第05講線段的垂直平分線（原卷版）

第05講線段的垂直平分線思維導圖核心考點聚焦1.線段的垂直平分線的性質2.線段的垂直平分線的判定3.線段的垂直平分線的實際應用4.尺規(guī)作圖——作線段的垂直平分線1.線段的垂直平分線的性質定理:線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.①如圖，直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3是l上的點.試說明P1A=P1B.∵直線l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB.又CA=CB，P1C=P1C，∴△P1CA≌△P1CB(SAS).∴P1A=P1B.幾何語言敘述：∵直線l垂直平分AB，P是直線l上任意一點，∴PA=PB.2.線段的垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.如圖，在△PAB中，如果PA=PB，那么點P是否在線段AB的垂直平分線上？請證明這個結論？點P在線段AB的垂直平分線上作PC⊥AB，垂足為C，則∠ACP=∠BCP=90°，在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC.∴PC是AB的垂直平分線，即點P在線段AB的垂直平分線上.幾何語言敘述：∵PA=PB;∴P點在AB的垂直平分線上.3.尺規(guī)作圖——作線段的垂直平分線：（1）分別以點A，B為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點；說明：作弧時的半徑必須大于的長，否則就不能得到兩弧的交點了；（2）作直線CD，CD即為所求直線；說明：線段的垂直平分線的實質是一條直線.1.線段的垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.2.線段的垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.考點剖析考點一、線段的垂直平分線的性質例題：如圖，在中，，，垂直平分，的周長為20，．(1)求的周長．(2)求的度數(shù)．【解析】（1）∵垂直平分，∴，∵的周長為20，，∴，∴，∴的周長為；（2）∵在中，，，∴，∵，∴，∴．【變式訓練】1．如圖，在中，的垂直平分線交于點，連接，若，則的度數(shù)為．【答案】【解析】是線段的垂直平分線，，，，，，故答案為：．2．如圖，在中，是邊的垂直平分線，交于，交于，連接．(1)若，求的度數(shù)．(2)若，且的周長為，的周長為，求的長．【解析】（1）∵，∴，∵是邊的垂直平分線，∴，∴，∴；（2）∵，∴的周長為，∵的周長為，∴，∴．考點二、線段的垂直平分線的判定例題：如圖，中，，連接是上一點且．(1)求證：垂直平分．(2)已知求的面積．【解析】（1），，∴點A在垂直平分線上，點E在垂直平分線上，垂直平分；（2）中，，，，，過點作于，，的面積．【變式訓練】1.如圖，為等邊三角形，，，相交于點E．(1)求證：垂直平分；(2)求的長；(3)若點F為的中點，點P在上，則的最小值為______．（直接寫出結果）．【解析】（1）∵是等邊三角形，∴；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴垂直平分；（2）∵，∴平分，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）連接交于點，連接，∵是的垂直平分線，的最小值為是的中點，故答案為：6．2.如圖，是等邊三角形，是中線，延長至，使．(1)求證：；(2)過點A作，交延長線于點，DF交于，連接．①若，則．②求證：垂直平分．【解析】（1）是等邊三角形，是中線，，，又，，又，，，；（2）①∵是等邊三角形，是中線，∴，，根據(jù)解析（1）可知，，∴，∵，∴，根據(jù)（1）可知，，∴，∵，∴，解得；故答案為：8；②∵，，為的中線，∴∵，，，，，是等邊三角形，，，垂直平分．考點三、線段的垂直平分線的實際應用例題：如圖，地面上有三個洞口A、B、C，老鼠可以從任意一個洞口跑出，貓為能同時最省力地顧及到三個洞口（到A、B、C三個點的距離相等），盡快抓到老鼠，應該蹲守在(

)A．三邊垂直平分線的交點 B．三條角平分線的交點C．三條高所在直線的交點 D．三條中線的交點【答案】A【解析】∵貓所在的位置到A、B、C三個點的距離相等，∴貓應該蹲守在三邊垂直平分線的交點處；故選A．【變式訓練】1．如圖，某一個城市在一塊空地新建了三個居民小區(qū)，它們分別為，且三個小區(qū)不在同一直線上，要想規(guī)劃一所中學，使這所中學到三個小區(qū)的距離相等．這所中學應建在（

）A．的三條中線的交點 B．三邊的垂直平分線的交點C．三條角平分線的交點 D．三條高所在直線的交點【答案】B【解析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．則學校應建在三條邊的垂直平分線的交點處．故選：B．考點四、尺規(guī)作圖——作線段的垂直平分線例題：如圖，已知在中，．

(1)用尺規(guī)作邊的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)邊的垂直平分線分別交于點D、E，連接，若的周長是10，求．【解析】（1）如圖，即為所求；；（2）∵是邊的垂直平分線，∴，∵，∴，∵的周長是10，∴．∴．【變式訓練】1．某公司招收職工的試卷中有道題：如圖，有三條兩兩相交的公路，為便于及時進行監(jiān)控，防止違章，這個監(jiān)控儀器應安裝在什么位置可以使離三個路口的交叉點的距離相等，你能找到這個監(jiān)控安裝的位置嗎？（尺規(guī)作圖，不寫過程，保留作圖痕跡）【解析】如圖，點P為這個監(jiān)控安裝的位置．2．如圖，已知點、點以及直線．(1)用尺規(guī)作圖的方法在直線上求作一點，使．（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）；(2)在（1）中所作的圖中，連接，若，過點作于點，過點作于點．求證：【解析】（1）點如圖所示，；（2）∵，，，∴，∵，∴，∴，，∴．過關檢測一、選擇題1．如圖所示，在中，，，的垂直平分線交于點，交于點，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．在聯(lián)歡會上，有A、B、C三名選手站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩“搶凳子”游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應放的最適當?shù)奈恢檬窃诘模ǎ〢．三邊垂直平分線的交點 B．三條中線的交點C．三條角平分線的交點 D．三條高所在直線的交點3．如圖，四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，以下四個結論，正確的有（

）①；②；③平分；④四邊形的面積．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．如圖，已知∠AOB=30°，P是∠AOB內(nèi)部的一點，且OP=4，點M，N分別是射線OB和射線OA上的動點，則△PMN的周長的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空題5．如圖，在中，已知，，為的垂直平分線，交于點F，交于點E，且，則的長為．

6．如圖，在中，，分別以，為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點，，作直線，與，分別交于點，點，連結，當，時，則的周長是．7．如圖，點在內(nèi)，點分別是點關于的對稱點，且連接分別交，于點，若，則的周長．8．如圖，中，，，的平分線與的垂直平分線交于點，將沿（在上，在上）折疊，點與點恰好重合，則度數(shù)為．三、解答題9．已知：如圖，點A，B分別在線段上，分別為線段的垂直平分線．求的度數(shù)．10．如圖，在中，邊上的垂直平分線與、分別交于點D、E，且．(1)求證：；(2)若，求的長．11．如圖，已知為的角平分線．(1)按要求補充完圖形．用尺規(guī)作圖：作邊的垂直平分線，交于點，交于點，連接．(2)若，求的度數(shù)．12．如圖，在中，是邊上的一點，連接，垂直平分，垂足為，交于點，連接．(1)若的周長為，的周長為，求的長；(2)若，，求的度數(shù)．13．如圖，在中，，分別垂直平分和，交于M