第七章第四節(jié)求通項公式

第四節(jié)求通項公式課程標準能根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的項或通項公式考情分析考點考法:高考命題常以求通項公式為基礎(chǔ),考查數(shù)列基本計算、求和、不等式等.利用遞推公式求通項公式是高考的熱點,常以解答題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學建模、數(shù)學運算、邏輯推理.【核心考點·分類突破】考點一累加、累乘法求通項公式[例1](1)數(shù)列{an}滿足:a1=1,且對任意的m,n∈N*,都有am+n=am+an+mn,則1a1+1a2+1a3+…A.20242025B.20252026【解析】選D.因為a1=1,且對任意的m,n∈N*都有am+n=am+an+mn,所以an+1=an+n+1,即an+1an=n+1,用累加法可得an=a1+(n-1所以1an=2n(所以1a1+1a2+1a3+…+1a2025=2(112(2)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且an=n(an+1an)(n∈N*),則a3=________,an=________.

【解析】由an=n(an+1an),可得an+1a則an=anan-1·an-1an-2·an-2an-3·…·所以a3=3.因為a1=1滿足an=n,所以an=n.答案:3n【解題技法】1.已知a1,形如anan1=f(n)(n≥2)的遞推公式可以用累加求和的方法求通項公式,進而解決相關(guān)的問題.2.已知a1,形如anan-1=f(n)(n【對點訓練】1.若數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=an+2n,則數(shù)列{an}的通項公式為an=________.

【解析】由題意,知an+1an=2n,an=(anan1)+(an1an2)+…+(a2a1)+a1=2n1+2n2+…+2+1=1-2n1答案:2n12.在數(shù)列{an}中,a1=4,nan+1=(n+2)an,則數(shù)列{an}的通項公式為an=________.

【解析】由遞推關(guān)系得an+1an=n+2所以an=anan-1·an-1a=n+1n-1×nn-2×n=(n+1)×n2×1×4=2n(n+1)(答案:2n(n+1)考點二整式構(gòu)造法求通項公式【考情提示】構(gòu)造法是求通項公式的重要方法,因其重點考查數(shù)學抽象、數(shù)學建模成為高考命題的熱點.角度1形如an+1=pan+q(p,q為常數(shù))求通項[例2]已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+2,則an=________.

【解析】因為an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),所以an+1+1an+1=3,所以數(shù)列公比q=3,又a1+1=2,所以an+1=2·3n1,所以該數(shù)列的通項公式為an=2·3n11.答案:2·3n11【解題技法】遞推關(guān)系形如an+1=pan+q,可構(gòu)造an+1q1-p=p(anq1-p),即a角度2形如an+1=pan+An+B(p,A,B為常數(shù))求通項[例3]已知數(shù)列{an}滿足an+1=2ann+1(n∈N*),a1=3,求數(shù)列{an}【解析】設(shè)an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y),化簡后得an+1=2an+xn+yx,對比原式解方程組得x=1,y=0,即an+1(n+1)=2(ann),所以an+1-(n+1)an-n=2,即數(shù)列{ann}是以a11=2為首項,2為公比的等比數(shù)列,則ann=2·2n1【解題技法】遞推關(guān)系形如an+1=pan+An+B,構(gòu)造an+xn+y成等比數(shù)列,通過待定系數(shù)法可求得x,y,同理an+1=pan+f(n)中,f角度3形如an+1=pan+r·tn(p,r,t為常數(shù))求通項[例4]已知數(shù)列an滿足an+1=2an+3×5n,a1=2,求數(shù)列{an}的通項公式【解析】方法一:將遞推公式的兩邊同時除以5n+1,得an+15n+1=25×an5n+35,利用變形得an+15n+11=25(an5n1),由于a1511=35≠0,所以數(shù)列an5n-1是以35方法二:設(shè)an+1+A×5n+1=2(an+A×5n),展開整理得an+1=2an3A×5n,對比原式an+1=2an+3×5n,可得A=1,即an+15n+1=2(an5n),由于a151=3≠0,所以數(shù)列an-5n是以3為首項,2為公比的等比數(shù)列.即an5n=3×2n1,故數(shù)列an的通項公式為an=5【解題技法】遞推關(guān)系形如an+1=pan+r×tn,(t≠1,rt≠0,p≠t),滿足此遞推關(guān)系的數(shù)列的通項公式的求法:方法一:在遞推關(guān)系式的兩邊同時除以tn+1,可得an+1tn+1=pt×antn+rt,視antn方法二:可構(gòu)造an+Atn為等比數(shù)列模型,即an+1+A×tn+1=p(an+A×tn),展開整理后,利用待定系數(shù)法求出A的值(A=rp-t),然后求出an角度4形如an+1=Aan+Ban1(A,B為常數(shù))求通項[例5]已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1+3an.bn=an+an+1.求數(shù)列{bn}的通項公式.【解析】由an+2=2an+1+3an可得an+2+an+1=3an+1+3an=3(an+1+an),因為各項都為正數(shù),所以an所以數(shù)列{an+an+1}是公比為3的等比數(shù)列.又因為a1+a2=1+2=3,所以an+an+1=3n,所以bn=3n.【解題技法】遞推關(guān)系形如an+2=A·an+1+Ban,可構(gòu)造an+1+x【對點訓練】1.在數(shù)列{an}中,a1=a(a≠1),an+1=2an1,若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,則a的取值范圍為()A.(0,+∞) B.(1,+∞)C.(2,+∞) D.(3,+∞)【解析】選B.因為an+1=2an1,所以an+11=2(an1),所以an又因為a11=a1≠0,所以數(shù)列{an1}是首項為a1,公比為2的等比數(shù)列,所以an1=(a1)2n1,所以an=(a1)2n1+1,又因為數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,所以an+1an=(a1)2n(a1)2n1=12(a1)2n所以a1>0,所以a>1.2.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=13an+(13)n+1(n∈N*),則an=________,1243是這個數(shù)列的第【解析】由題意得an=13an1+(13)n(所以3nan=3n1an1+1(n≥2),即3nan3n1·an1=1(n≥2).又a1=1,所以31·a1=3,所以數(shù)列{3nan}是以3為首項,1為公差的等差數(shù)列,所以3nan=3+(n1)×1=n+2,所以an=n+23n(n∈N由n+23n=1243,答案:n+233.在數(shù)列{an}中,(1)若a1=2,an+1=4an3n+1,n∈N*,則an=______________.

(2)若a1=1,an+1=2an+3n,n∈N*,則an=______________.

【解析】(1)因為an+1=4an3n+1,所以an+1(n+1)=4(ann),即an又a1=2,所以a11=1,所以{ann}是首項為1,公比為4的等比數(shù)列,所以ann=4n1,所以an=4n1+n.答案:4n1+n(2)方法一:因為an+1=2an+3n,令an+1+λ·3n+1=2(an+λ·3n)比較系數(shù)得λ=1.所以an+13n+1=2(an3n),即an又a1=1,所以a13=2,所以{an3n}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,所以an3n=2n,所以an=3n2n.方法二:因為an+1=2an+3n,所以an+13n=所以an+13n3=23所以{an3n-13}是首項為2,公比為23的等比數(shù)列,所以an所以an=3n2n.答案:3n2n考點三分式構(gòu)造法求通項公式[例6]已知數(shù)列{an}的首項a1=1,an+1=4anan+2(n∈N*),則通項公式【解析】因為an+1=4a所以1an+1=an+2所以1an+112又a1=1,所以1a112所以數(shù)列1an-12是以12為首項,12為公比的等比數(shù)列.所以1an12=(12)n,1答案:2【解題技法】遞推數(shù)列形如an+1=Aan(1)若A=C,則通過倒數(shù)構(gòu)造1an(2)若A≠C,可通過倒數(shù)構(gòu)造1an+x成等比數(shù)列,【對點訓練】