112不等式的解集-2020-2021學年七年級數(shù)學下冊課堂幫幫幫（蘇科版）

不等式的解集知識點一、不等式的解1. 能使不等式成立的未知數(shù)的值叫作不等式的解. 不等式的解可以有多個，指在某一特定范圍內的數(shù)，用它代替不等式中的未知數(shù)，不等式一定成立.2. 不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集.3. 解不等式：求不等式解集的過程叫作解不等式.例：下列x的值不是不等式﹣2x+4＜0的解，答案是（）A．﹣2 B．3 C．3.5 D．10【分析】求出不等式的解集，即可作出判斷．【解答】解：不等式﹣2x+4＜0，解得：x＞2，則﹣2不是不等式的解．故選：A．【點評】此題考查了不等式的解集，求出不等式的解集是解本題的關鍵．知識點二、在數(shù)軸上表示不等式的解集 數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大，因此我們可以借助數(shù)軸將不等式的解集直觀地表示出來. 通過數(shù)軸表示不等式的解集有以下四種情況：不等式的解集（a＞0）x＞ax≥ax＜ax≤a意義在數(shù)軸上表示a的點的右邊對應的數(shù)，不包括數(shù)a在數(shù)軸上表示a的點的右邊對應的數(shù)，包括數(shù)a在數(shù)軸上表示a的點的左邊對應的數(shù)，不包括數(shù)a在數(shù)軸上表示a的點的左邊對應的數(shù)，包括數(shù)a畫法從a開始向右畫，在表示a的點處畫空心圓圈從a開始向右畫，在表示a的點處畫實心圓點從a開始向左畫，在表示a的點處畫空心圓圈從a開始向左畫，在表示a的點處畫實心圓點示意圖 在數(shù)軸上表示不等式的解集時，要注意兩點：（1）確定邊界點，若邊界點表示的數(shù)是不等式的解，用實心圓點，若邊界點表示的數(shù)不是不等式的解，則用空心圓圈；（2）確定方向，小于邊界點表示的數(shù)時向左畫，大于邊界點表示的數(shù)時向右畫.例：不等式x≤2在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】把已知解集表示在數(shù)軸上即可．【解答】解：不等式x≤2在數(shù)軸上表示為：．故選：B．【點評】此題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．鞏固練習一．選擇題（共10小題）1．不等式x＞3A． B． C． D．【分析】x＞32在數(shù)軸上表示為32【解答】解：不等式x＞32的解集在數(shù)軸上表示為故選：C．【點評】本題考查了不等式組的解集在數(shù)軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．2．如圖，在數(shù)軸上表示的解集用不等式表示為（）A．2＜x＜4 B．﹣2＜x≤4 C．﹣2≤x＜4 D．﹣2≤x≤4【分析】根據(jù)求不等式組的解集的表示方法，可得答案．【解答】解：由數(shù)軸表示的不等式的解集，得﹣2＜x≤4，故選：B．【點評】考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．3．下列各數(shù)中，是不等式x＞1的解的是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．3【分析】根據(jù)不等式的解集的定義分析即可．【解答】解：∵3＞1∴3是不等式x＞1的解故選：D．【點評】此題考查不等式解集的意義，是一道基礎題．理解不等式的解集的意義是解題的關鍵．4．菠蘿適宜的冷藏溫度是4℃～12℃，香蕉適宜的冷藏溫度是11℃～13℃．將菠蘿和香蕉放在一起同時冷藏，適宜的溫度是（）A．4℃～13℃ B．11℃～12℃ C．4℃～11℃ D．12℃～13℃【分析】找出甲乙兩種蔬菜保鮮適宜的溫度范圍的公共部分即可．【解答】解：∵菠蘿適宜的冷藏溫度是4℃～12℃，香蕉適宜的冷藏溫度是11℃～13℃，∴將這兩種蔬菜放在一起同時保鮮，適宜的溫度是11℃～12℃，故選：B．【點評】此題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關鍵．5．若不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解，則m的取值范圍是（）A．m≤2 B．m≥2 C．m＜2 D．m＞2【分析】根據(jù)“同小取小”即可得出m的取值范圍．【解答】解：∵不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解，∴m≤2．故選：A．【點評】本題考查的是不等式組的解集，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．6．用三個不等式x＞0，x＜﹣3，x＞﹣2中的兩個組成不等式組，其中有解集的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)不等式組的解集是構成該不等式組的兩個不等式解集的交集解答．【解答】解：根據(jù)題意知，所以不等式組x＞故選：B．【點評】本題考查了不等式的解集，解題時，采用了“數(shù)形結合”的數(shù)學思想，降低了解題的難度．7．把不等式x+1≤3的解集表示在數(shù)軸上，下列選項正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)不等式的基本性質求得不等式的解集為x≤2，所以D是正確的．【解答】解：x+1≤3，x≤3﹣1，x≤2，把不等式x+1≤3的解集表示在數(shù)軸上為：．故選：D．【點評】本題主要考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．8．若一個有理數(shù)與它的相反數(shù)的差為一個負數(shù)，則（）A．這個有理數(shù)一定是負數(shù) B．這個有理數(shù)一定是正數(shù) C．這個有理數(shù)可為正數(shù)，也可為負數(shù) D．這個有理數(shù)一定是零【分析】設這個有理數(shù)為a，則它的相反數(shù)為﹣a根據(jù)列出不等式，再解即可．【解答】解：設這個有理數(shù)為a，則它的相反數(shù)為﹣a，由題意得：a﹣（﹣a）＜0，a+a＜0，2a＜0，a＜0，故選：A．【點評】此題主要考查了有理數(shù)的減法和相反數(shù)，以及一元一次不等式，關鍵是列出不等式．9．已知關于x的不等式4x+a3＞1的解都是不等式2x+13＞A．a(chǎn)＝5 B．a(chǎn)≥5 C．a(chǎn)≤5 D．a(chǎn)＜5【分析】先把a看作常數(shù)求出兩個不等式的解集，再根據(jù)同大取大列出不等式求解即可．【解答】解：由4x+a3＞1得，x由2x+13＞0得，x∵關于x的不等式4x+a3＞1的解都是不等式2x+1∴3-a4解得a≤5．即a的取值范圍是：a≤5．故選：C．【點評】本題考查了不等式的解集，解一元一次不等式，分別求出兩個不等式的解集，再根據(jù)同大取大列出關于a的不等式是解題的關鍵．10．滿足﹣3＜x≤1的數(shù)在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【分析】表示解集表示在數(shù)軸上即可．【解答】解：滿足﹣3＜x≤1的數(shù)在數(shù)軸上表示為故選：A．【點評】此題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．二．填空題（共10小題）11．已知a，b為常數(shù)，若ax+b＞0的解集是x＜13，則bx﹣a＜0的解集是x＜﹣3【分析】根據(jù)ax+b＞0的解集是x＜13，可以解得a、b的值，再代入bx﹣a＜【解答】解：∵ax+b＞0的解集是x＜1由于不等號的方向發(fā)生了變化，∴a＜0，又-ba=13，即∴b＞0，不等式bx﹣a＜0即bx+3b＜0，解得x＜﹣3．故答案是：x＜﹣3．【點評】本題考查了解簡單不等式的能力，解答這類題學生在解題時要注意移項要改變符號這一點．此題解不等式主要依據(jù)不等式的基本性質：不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù)不等號的方向改變．正確判斷出ab的取值范圍及關系是解答此題的關鍵．12．如圖，小圓A表示不等式2x﹣1≥3的解集，大圓B表示關于x的不等式m﹣x＜1的解集，則字母m的取值范圍是m＜3．【分析】由2x﹣1≥3得x≥2，⊙A在⊙B的內部，可知m﹣x＜1的解集x＞m﹣1比x≥2的范圍大，可求m的取值范圍．【解答】解：解不等式2x﹣1≥3得x≥2，解不等式m﹣x＜1得x＞m﹣1，∵小圓A在大圓B的內部，∴m﹣1＜2，∴m＜3．故答案是：m＜3．【點評】本題運用了解不等式的知識點，關鍵是會用集合的觀點分析問題．13．使不等式x2＜|x|成立的x的取值范圍是﹣1＜x＜0或0＜x＜1【分析】由已知x2＜|x|可以判斷出|x|與1的大小關系，從而確定x的范圍．【解答】解：∵不等式x2＜|x|成立，而x2和|x|都是正數(shù)，∴|x2|＜|x|，∴|x|×|x|＜|x|，∴|x|＜1且x≠0，∴﹣1＜x＜0或0＜x＜1．故答案是：﹣1＜x＜0或0＜x＜1．【點評】此題主要考查了不等式的解集，根據(jù)不等式|x2|＜|x|，得出|x|＜1從而得出答案是解決問題的關鍵．14．如圖表示的不等式的解集是x＜1．【分析】根據(jù)數(shù)軸得出不等式的解集即可．【解答】解：圖中不等式的解集是x＜1，故答案為：x＜1．【點評】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，能根據(jù)數(shù)軸得出不等式的解集是解此題的關鍵．15．有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，用不等式表示：①a+b＜0；②|a|＜|b|；③a﹣b＞0．【分析】根據(jù)數(shù)軸得出b＜0＜a，|b|＞|a，再比較大小即可．【解答】解：∵從數(shù)軸可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，∴①a+b＜0，②|a|＜|b|，③a﹣b＞0，故答案為：＜，＜，＞．【點評】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的大小比較，整式的加減等知識點，能從數(shù)軸得出b＜0＜a和|b|＞|a|是解此題的關鍵．16．已知x＝2是關于x的不等式x﹣3m+1≤0的一個解，那么m的取值范圍為m≥1．【分析】直接把x的值代入，進而解不等式求出答案．【解答】解：∵x＝2是關于x的不等式x﹣3m+1≤0的一個解，∴2﹣3m+1≤0，解得：m≥1．故答案為：m≥1．【點評】此題主要考查了解一元一次不等式，正確解不等式是解題關鍵．17．請寫出一個關于x的不等式，使﹣2，3都是它的解x≥﹣2（答案不唯一）．【分析】寫出一個關于x的不等式，滿足題意即可．【解答】解：根據(jù)題意得：x≥﹣2（答案不唯一），故答案為：x≥﹣2（答案不唯一）【點評】此題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式解與解集的定義是解本題的關鍵．18．根據(jù)長期積累的生活經(jīng)驗得知：甲種水果保鮮適宜的溫度是2℃～10℃，乙種水果保鮮適宜的溫度是5℃～12℃，將這兩種水果放在一起保鮮．設最適宜的溫度為x℃，則x的取值范圍是5≤x≤10．【分析】依據(jù)甲種水果保鮮適宜的溫度是2℃～10℃，乙種水果保鮮適宜的溫度是5℃～12℃，即可得出最適宜的溫度x的取值范圍是5＜x＜10．【解答】解：∵甲種水果保鮮適宜的溫度是2℃～10℃，乙種水果保鮮適宜的溫度是5℃～12℃，∴最適宜的溫度x的取值范圍是5＜x＜10，故答案為：5；10．【點評】本題主要考查了不等式的解集，能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集．19．當m＜0時，不等式mx＜7的解集為x＞7【分析】根據(jù)不等式mx＜7的解集為x＞7m，可以發(fā)現(xiàn)不等號的方向發(fā)生了改變，根據(jù)不等式的性質，所以m＜【解答】解：∵不等式mx＜7的解集為x＞7∴m＜0．故答案為：＜0．【點評】本題考查了不等式的解集，解決本題的關鍵是熟記不等式的性質．20．x＝﹣1是不等式1+x3≤【分析】求出不等式的解集，判斷即可．【解答】解：不等式去分母得：2+2x≤3+6x+6，移項合并得：4x≥﹣7，解得：x≥-7則x＝﹣1是不等式一個解，故答案為：是【點評】此題考查了不等式的解集，求出不等式的解集是解本題的關鍵．三．解答題（共6小題）21．在數(shù)軸上表示下列不等式：（1）x＞﹣3．（2）x≥-2（3）x≤1.5．【分析】（1）利用數(shù)軸表示數(shù)的方法，畫出數(shù)軸上表示﹣3點的右側部分；（2）利用數(shù)軸表示數(shù)的方法，畫出數(shù)軸上表示-2點的右側部分（含表示-（3）利用數(shù)軸表示數(shù)的方法，畫出數(shù)軸上表示1.5點的左側部分．【解答】解：（1）如圖所示．（2）如圖所示．（3）如圖所示．【點評】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集：用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．22．分別用含x的不等式表示下列數(shù)軸中所表示的不等式的解集：（1）（2）【分析】直接利用數(shù)軸進而分別得出不等式的解集．【解答】解：（1），則不等式的解集為：x＞0；（2），則不等式的解集為：x≤3．【點評】此題主要考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確結合數(shù)形分析是解題關鍵．23．如圖所示，O為數(shù)軸的原點，A、B、M為數(shù)軸上一點，C為線段OM上的動點，設x表示C與原點的距離，y表示C到A距離的4倍與C到B距離的6倍的和．（1）若y的值不超過70．求x的取值范圍；（2）求y的最小值．【分析】（1）根據(jù)題意列出y與x的關系式，根據(jù)y的范圍確定出x的范圍即可；（2）分類討論x的范圍確定出y的最小值即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：y＝4|x﹣10|+6|x﹣20|，0≤x≤30，依題意得：4|x-解得：9≤x≤23；（2）當0≤x≤10時，y＝160﹣10x，此時y最小值為60；當10＜x≤20時，y＝80﹣2x，此時y最小值為40；當20＜x≤30時，y＝10x﹣160，此時y最小值大于40，綜上，y的最小值為40．【點評】此題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，利用了分類討論的思想，分類討論時注意考慮問題要全面．24．請寫出滿足下列條件的一個不等式．（1）0是這個不等式的一個解：x＜1；（2）﹣2，﹣1，0，1都是不等式的解：x＜2；（3）0不是這個不等式的解：x＜0；（4）與x≤﹣1的解集相同的不等式：