湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟2024年秋季高三年級10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題命題學(xué)校：新洲一中邾城校區(qū)命題人：盧有勇審題人：新洲一中陽邏校區(qū)林志剛一?單項(xiàng)選擇題：（每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，則集合的子集個數(shù)為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】先確定集合中的元素，依次判斷是否滿足，即可確定，即可得解.【詳解】根據(jù)題意，，可得，所以，所以集合的子集個數(shù)為.故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的共軛及復(fù)數(shù)的模公式即可求解.【詳解】由題意得，，.故選：.3.在中，為重心，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)重心得出，進(jìn)而得出，再結(jié)合已知條件轉(zhuǎn)化為用表示即可.【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)，由于是三角形的重心，所以，則.因?yàn)?，所?,所以.故選：A.4.已知集合，若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】由題意確定,列出不等式即可求解.【詳解】或因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以，所以或.解得:或.故選:C5.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，80及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？（）（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】設(shè)至少經(jīng)過個小時才能駕駛，則，所以，再結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．【詳解】設(shè)至少經(jīng)過個小時才能駕駛，則，即，所以，所以，即至少經(jīng)過4個小時才能駕駛．故選：B．6.已知實(shí)數(shù)，且滿足，則下列一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知條件結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性可得，通過對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，判斷選項(xiàng)中的大小關(guān)系是否正確.【詳解】時，，余弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，則有.正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，A選項(xiàng)錯誤；冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則有，B選項(xiàng)錯誤；設(shè)函數(shù)，由，在上單調(diào)遞減，，則有，即，C選項(xiàng)錯誤；冪函數(shù)是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，D選項(xiàng)正確.故選：D.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則下列一定正確的是（）A. B.C.為奇函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性得出函數(shù)值判斷A,根據(jù)對稱性分別判斷B,C,D.【詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，且因?yàn)橛捎诤瘮?shù)是奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于對稱，則，令x=0，可得，即，由可得，因?yàn)椴灰欢ê銥?，所以不一定成立，故B選項(xiàng)錯誤；可得fx+4=?fx+2=fx，所以所以，故A選項(xiàng)錯誤；因?yàn)?，則，且，即得，所以為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)，D選項(xiàng)正確；因?yàn)椋?，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，不一定恒為0，所以不一定為奇函數(shù)，所以C選項(xiàng)錯誤.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是把為偶函數(shù)，為奇函數(shù)轉(zhuǎn)化為對稱關(guān)系得出函數(shù)周期及對稱軸對稱中心解題.8.在中，記角的對邊分別為，若，點(diǎn)在邊上，平分，且，則的最小值為（）A. B.25 C. D.24【答案】A【解析】【分析】由余弦定理可得角的大小，由可得，結(jié)合基本不等式“1”的巧用，即可得的最小值.【詳解】由，又，，，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號；又，即當(dāng)且僅當(dāng)取到最小值.故選：A.二?多項(xiàng)選擇題：每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，則下列說法正確的是（）A.若，則B.不存在實(shí)數(shù)，使得C.若向量，則或D.若向量在向量上的投影向量為，則的夾角為【答案】BCD【解析】【分析】運(yùn)用平面向量的性質(zhì)定理，即可求解.【詳解】A選項(xiàng)：，所以，所以，故A錯誤；B選項(xiàng)：若得，則，顯然不成立，故B正確；C選項(xiàng)：因?yàn)?若向量，則或，故C正確；D選項(xiàng)：設(shè)的夾角為，則向量在向量上的投影向量為所以，又因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，所以則的夾角為，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的圖像可由的圖像向左平移個單位得到B.圖像關(guān)于點(diǎn)對稱C.在上值域?yàn)镈.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換，化簡函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的圖象性質(zhì)判斷A，B，C選項(xiàng)；利用同角三角函數(shù)關(guān)系與二倍角公式轉(zhuǎn)化即可求的值，從而判斷D選項(xiàng).【詳解】，對于A，將的圖像向左平移個單位可得函數(shù)圖象，故A不正確；對于B，，所以圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；對于C，當(dāng)時，，則，所以，故C不正確；對于D，，因?yàn)?，所以，則，故，平方得，則，所以，則，所以，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.有極大值B.對于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C.當(dāng)時，過原點(diǎn)與曲線相切的直線有2條D.若關(guān)于的方程有兩個不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】求出極大值判斷A；探討最小值并建立不等式求出的范圍判斷B；求出過原點(diǎn)的曲線切線方程，再確定方程解的個數(shù)判斷C；變形給定等式并構(gòu)造函數(shù)，探討函數(shù)性質(zhì)求出的范圍判斷D.【詳解】對于A，，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在處取得極大值為，正確；對于B，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在遞減，在上遞增，，由對于恒成立，得，解得，B正確；對于C，，函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則在處，的切線方程為，則，化簡得，當(dāng)時，，此方程無解；當(dāng)時，，此方程無解；當(dāng)時，，滿足要求，因此方程只有這1個解，即過原點(diǎn)有且僅有一條直線與相切，C錯誤；對于D，由關(guān)于的方程有兩個實(shí)根，得有兩個不等實(shí)根，整理得，則，即，令函數(shù)，則即為，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，由A選項(xiàng)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時，函數(shù)取值集合為，而，因此在的取值集合為；當(dāng)時，令，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，當(dāng)時，，顯然函數(shù)在取值集合為，因此函數(shù)在的取值集合為，則有兩個根，必有，解得，所以的取值范圍為，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決過某點(diǎn)的函數(shù)f(x)的切線問題，先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)并求出切線方程，然后將給定點(diǎn)代入切線方程轉(zhuǎn)化為方程根的問題求解.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)__________.【答案】1【解析】【分析】由題可設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的定義結(jié)合對數(shù)運(yùn)算即可得實(shí)數(shù)的值.【詳解】已知為上的奇函數(shù)，若為偶函數(shù)，則函數(shù)為奇函數(shù)，又，則，故，整理得，所以，解得，則，其定義域?yàn)榉隙x域?qū)ΨQ，則函數(shù)?x為奇函數(shù)，所以.故答案為：1.13.已知的外心為，內(nèi)角的對邊分別為，且.若，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，不妨設(shè)，所以，解得k=1，則，又因?yàn)槭堑耐庑模^點(diǎn)作又因?yàn)?所以則，故填：.14.定義：如果集合存在一組兩兩不交（任意兩個集合交集為空集時，稱為不交）的非空真子集，且，那么稱無序子集組構(gòu)成集合的一個劃分.若使函數(shù)在有且僅有一個零點(diǎn)的的取值集合為，則集合的所有劃分的個數(shù)為__________.【答案】14【解析】【分析】通過零點(diǎn)個數(shù)確定，再結(jié)合新定義即可求解.【詳解】函數(shù)在有且僅有一個零點(diǎn)，則，，集合有4個元素，集合的2劃分個數(shù)為，集合的3劃分個數(shù)為，集合的4劃分個數(shù)為1，故集合的所有劃分的個數(shù)為14.故答案為：14四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.對于任意兩個非零向量，定義新運(yùn)算：.（1）若向量，求；（2）若兩個單位向量滿足，求與夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合新定義求解即可.（2）利用新定義以及向量求夾角的公式求解.【小問1詳解】，.【小問2詳解】由，，.，故與夾角的余弦值為.16.已知的三個內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角；（2）若，點(diǎn)滿足，且，求的面積；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角及兩角和的正弦公式可得：，再由輔助角公式即可求解；（2）由題意得到：，平方得到，再由面積公式即可求解.【小問1詳解】（1），，，，，【小問2詳解】由，，，，17.已知函數(shù).（1）若是的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，通過極值點(diǎn)，求，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間；（2）將轉(zhuǎn)換成構(gòu)造函數(shù)，通過，，三類情況討論單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】是的極值點(diǎn)，故，當(dāng)時，，，可知是的極大值點(diǎn)，故，的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為【小問2詳解】由得，易知當(dāng)時，滿足題意；當(dāng)時，令，在1,+∞上單調(diào)遞增，則，不符合題意；當(dāng)時，由得，由得，于是有在遞減，在遞增，，所以當(dāng)，，使得gx<0，也即，使得，綜上，的取值范圍時18.已知函數(shù)在上的最大值為2，集合.（1）求的值，并用區(qū)間的形式表示集合；（2）若，對，都，使得，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）2，（2）.【解析】【分析】（1）通過換元，先求得的范圍，在通過，和討論確定，即可求解；（2）通過換元，構(gòu)造，通過和的討論即可求解.【小問1詳解】，則，當(dāng)時，（舍）當(dāng)時，滿足，故.，故集合【小問2詳解】由集合，設(shè)，則當(dāng)，即時，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，故，設(shè)，則由題意得為當(dāng)時，的值域的子集.當(dāng)即時，易知在上單調(diào)遞增，故，得當(dāng)，即時，在上的最大值為和中的較大值，若得，若得，而，故不合題意；當(dāng)，即時，易知在上單調(diào)遞減，故，不等式組無解.綜上所述：實(shí)數(shù)的值為.19.（1）當(dāng)時，求證：（i）；（ii）（2）已知函數(shù).（i）當(dāng)時，求在點(diǎn)處的切線方程；（ii）討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù).【答案】（1）（i）證明見解析；（ii）證明見解析；（2）（i）；（ii）答案見解析【解析】【分析】（1）（i）作差之后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性可得；（ii）作差之后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性可得；（2）（i）由導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，再得到切線方程即可；（ii）當(dāng)和，求導(dǎo)后由（1）結(jié)果進(jìn)行簡單放縮即可，當(dāng)時，屬于隱零點(diǎn)問題，求導(dǎo)后構(gòu)造函數(shù)再求導(dǎo)，結(jié)合單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理分析即可；【詳解】證明：（1）（i）令，則，故在上為增函數(shù)，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；故當(dāng)時，成立.（ii）令，則當(dāng)時，，設(shè)，則，令，當(dāng)時，故在上為增函數(shù)，故當(dāng)時，，即：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；故在上為增函數(shù)，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；故當(dāng)時，成立.（2）（i）當(dāng)時，，故在點(diǎn)處的切線方程為：（ii）（A）當(dāng)時，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故在區(qū)間