浙江省環(huán)大羅山聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期溫州環(huán)大羅山聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，，則=（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用補(bǔ)集、并集的定義直接求解即得.【詳解】依題意，全集，則，，得，所以.故選：B2.“”是“關(guān)于的不等式成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解不等式得到解集，由為或的真子集，得到結(jié)論.【詳解】，解得或，由于為或的真子集，故“”是“關(guān)于的不等式成立”的充分不必要條件.故選：A3.冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且在上是減函數(shù)，則的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，確定得到取值，再回代函數(shù)確定函數(shù)的奇偶性，即可求解.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，解得：，因?yàn)?，得，?dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)，不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故舍去，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故舍去，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)，不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故舍去，所以.故選：A4.若數(shù)據(jù)，，，的方差為，則，，的方差為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)方差性質(zhì)，即可求解.【詳解】由方差公式的性質(zhì)可知，新數(shù)據(jù)，，的方差為.故選：C5.為了支援山區(qū)教育，現(xiàn)在安排5名大學(xué)生到3個(gè)學(xué)校進(jìn)行支教活動(dòng)，每個(gè)學(xué)校至少安排1人，其中甲校要安排2名大學(xué)生，則不同的安排方法種數(shù)為（）A.30 B.60 C.90 D.120【答案】B【解析】【分析】首先安排甲校，再按照不平均分組分配安排其他3人，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】甲校安排2名大學(xué)生有種方法，剩下的3名大學(xué)生安排到其余2所學(xué)校，有種方法，所以不同的安排方法有種方法.故選：B6.已知某校有2400名同學(xué)參加某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，則下列說(shuō)法正確的有（）（參考數(shù)據(jù)：①；②；③A.這次考試成績(jī)超過(guò)100分的約有1000人B.這次考試分?jǐn)?shù)低于70分的約有40人C.D.從中任取4名同學(xué)，至少有2人的分?jǐn)?shù)超過(guò)100分的概率為【答案】D【解析】【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)即可得到A、B、C選項(xiàng)，用二項(xiàng)分布能夠解決D.【詳解】由公式得到，所以超過(guò)100分的占，所以有人，所以A錯(cuò)；低于分的概率為，所以大約有人，故B錯(cuò)；，故C錯(cuò)；分?jǐn)?shù)超過(guò)100分的概率為，至少有2人的分?jǐn)?shù)超過(guò)100分的概率為，符合題意，故D對(duì).故選：D.7.函數(shù)，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分析出為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，比較出，得到答案.【詳解】的定義域?yàn)椋渲?，故為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，故，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，其中，故，，故，所以，故故選：D8.設(shè)定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（）A.1011 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由為奇函數(shù)，可得，即可得到且關(guān)于對(duì)稱(chēng)，再求出，即可求出在上的解析式，由推出是以為周期的周期函數(shù)，最后由周期性與對(duì)稱(chēng)性計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，則，即關(guān)于對(duì)稱(chēng)，同時(shí)，又由，令，可得，則有，當(dāng)時(shí)，，則有，解得，故時(shí)，，由，即，則有，故，則是周期為的周期函數(shù)，因?yàn)?，則，由于，則，，故，故．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是推導(dǎo)出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，周期性，再由周期性求出函數(shù)值.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．9.考慮兩個(gè)變量和的樣本數(shù)據(jù)集，其樣本相關(guān)系數(shù)通過(guò)以下公式給出：其中，和分別是和的第i個(gè)樣本值，和分別是和的樣本均值．下列關(guān)于樣本相關(guān)系數(shù)公式各部分的陳述正確的是（）A.分母中的和是和的標(biāo)準(zhǔn)差.B.分子部分用于衡量?jī)蓚€(gè)變量之間變化趨勢(shì)的一致性，即分子為正值時(shí)表示變量之間正相關(guān)，分子為負(fù)值時(shí)表示變量之間負(fù)相關(guān).C.樣本相關(guān)系數(shù)的值越接近于0，表示和之間的線(xiàn)性關(guān)系越強(qiáng).D.通過(guò)對(duì)分子部分進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，樣本相關(guān)系數(shù)能夠消除變量的度量單位的影響，使得不同數(shù)據(jù)集之間的相關(guān)性能夠進(jìn)行直接比較.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差定義，判斷A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義和性質(zhì)，判斷BCD.【詳解】A.和是和的標(biāo)準(zhǔn)差，故A錯(cuò)誤；B.由相關(guān)系數(shù)的定義，可知B正確；C.樣本相關(guān)系數(shù)的值越接近于0，表示和之間的線(xiàn)性關(guān)系越弱，故C錯(cuò)誤；D.根據(jù)相關(guān)系數(shù)的演化過(guò)程，可知D正確.故選：BD10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則以下一定成立的是（）A. B.C.為奇函數(shù) D.在上是增函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】利用賦值法可判斷A；舉反例可判斷BD，根據(jù)奇函數(shù)的定義可判斷C.【詳解】對(duì)于A，令，可得，所以，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)，不一定有，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，令，，所以，令，時(shí)可得，所以為奇函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)在上不具備單調(diào)性，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)和事件的概率公式和條件概率公式逐個(gè)分析求解即可【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，，所以，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，所以，所以D正確，故選：ACD非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為80，則________．【答案】2【解析】【分析】由二項(xiàng)式定理得到通項(xiàng)公式，得到方程，求出.【詳解】展開(kāi)式通項(xiàng)公式，令，解得，故，解得.故答案為：213.已知正數(shù)x，y滿(mǎn)足且有解，則實(shí)數(shù)m取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】不等式有解，即，巧用均值不等式求最值即可.【詳解】由已知得：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；由題意：，即，解得：或，故答案為：.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.14.已知實(shí)數(shù)為函數(shù)的零點(diǎn)，為函數(shù)的零點(diǎn)，則________．【答案】【解析】【分析】首先將函數(shù)零點(diǎn)代入方程，得和，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和與函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，即可求解.【詳解】由題意可知，，即，則，，則，函數(shù)和互為反函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，設(shè)與的交點(diǎn)為，的交點(diǎn)為,點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，則.故答案：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是判斷和互為反函數(shù).四、解答題：本題共5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)（1）若不等式解集為，求，的值；（2）當(dāng)時(shí)，若方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根為，，求的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)不等式的解集與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解；（2）首先根據(jù)，求的取值范圍，再根據(jù)韋達(dá)定理表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用換元法，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求取值范圍.【小問(wèn)1詳解】原不等式可化為，因?yàn)樵摬坏仁降慕饧癁?，可知的兩根為?，則，解得；所以，．【小問(wèn)2詳解】方程有兩根，，解得或，又，．由韋達(dá)定理：，所以令，，，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以.16.李醫(yī)生家在小區(qū)，他在醫(yī)院工作，從家開(kāi)車(chē)到醫(yī)院上班有，兩條路線(xiàn)（如圖），路線(xiàn)上有，，三個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為，；路線(xiàn)上有，兩個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，．（1）若走路線(xiàn)且，求最多遇到1次紅燈的概率；（2）若走路線(xiàn)，求遇到紅燈次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）按照“平均遇到紅燈的次數(shù)最少”的要求，請(qǐng)你幫助李醫(yī)生分析，選擇，哪條路線(xiàn)上班更好．【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，（3）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件概率公式，即可求解；（2）首先確定，再根據(jù)獨(dú)立事件概率公式，求分布列以及數(shù)學(xué)期望；（3）如走線(xiàn)路，則遇到紅燈的次數(shù)，比例兩條線(xiàn)路遇到紅燈次數(shù)的期望，即可分析并判斷.【小問(wèn)1詳解】設(shè)“走路線(xiàn)最多遇到1次紅燈”為事件，則，所以走路線(xiàn)最多遇到次紅燈的概率為．【小問(wèn)2詳解】依題意，知的所有可能取值為0，1，2．，，，故隨機(jī)變量的分布列為012所以．【小問(wèn)3詳解】設(shè)選擇路線(xiàn)遇到紅燈的次數(shù)為，則，所以．若，則，，選擇路線(xiàn)上班更好；若，則，，此時(shí)選擇路線(xiàn)上班更好；若，則，此時(shí)選擇路線(xiàn)和路線(xiàn)一樣．17.生物鐘（晝夜節(jié)律）是生物體內(nèi)部的一個(gè)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，控制著生物的日常生理活動(dòng)．研究顯示，人體的某些荷爾蒙（如皮質(zhì)醇）在一天中的分泌量會(huì)隨著時(shí)間的不同而發(fā)生變化，從而影響人的活力和認(rèn)知能力．假設(shè)人體某荷爾蒙的分泌量（單位：）與一天中的時(shí)間（單位：小時(shí)，以午夜0點(diǎn)為起點(diǎn)）的關(guān)系可以通過(guò)以下分段函數(shù)來(lái)描述：●在夜間，荷爾蒙分泌量保持在較低水平，可以近似為常數(shù)．●在早晨，隨著人醒來(lái)和太陽(yáng)升起，荷爾蒙分泌量線(xiàn)性增加，其關(guān)系為，當(dāng)時(shí)，分泌量達(dá)到最大值●在下午和晚上，荷爾蒙分泌量逐漸降低，可以用指數(shù)衰減模型描述，即．已知午夜時(shí)荷爾蒙分泌量為，峰值分泌量為（1）求參數(shù)，和的值以及函數(shù)的解析式；（2）求該同學(xué)一天內(nèi)荷爾蒙分泌量不少于的時(shí)長(zhǎng)．【答案】（1），，，（2）10個(gè)小時(shí)【解析】【分析】（1）根據(jù)求出，再根據(jù)和分別求出，即可得出函數(shù)解析式；（2）分和兩種情況解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意得，午夜時(shí)荷爾蒙分泌量，，在早晨，荷爾蒙分泌量滿(mǎn)足關(guān)系式：，當(dāng)時(shí)，分泌量達(dá)到峰值即，即，解得：，因此早晨時(shí)段的荷爾蒙分泌量關(guān)系為，在下午和晚上時(shí)段，荷爾蒙分泌量滿(mǎn)足：，所以，解得，所以荷爾蒙分泌量為，綜上，荷爾蒙分泌量的函數(shù)關(guān)系為；【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)時(shí)，，解得，所以，②當(dāng)時(shí)，，，，，，綜上所述，該同學(xué)一天之內(nèi)荷爾蒙分泌不少于的時(shí)長(zhǎng)為10個(gè)小時(shí).18.已知函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求的值；（2）若，判斷在的單調(diào)性，并用定義法給出證明；（3）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)，得到方程，求出；（2）先得到，定義法判斷函數(shù)單調(diào)性步驟，取值，作差，判號(hào)，下結(jié)論；（3）參變分離得到，構(gòu)造，換元后得到，根據(jù)單調(diào)性求出其最值，得到結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】定義域?yàn)镽，，由于函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，即，即恒成立，．【小問(wèn)2詳解】已知函數(shù)，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，由第（1）問(wèn)可得，因此不妨設(shè)，，且則因?yàn)?，因此，由因?yàn)椋?，因此，所以，故，所以函?shù)在單調(diào)遞增．【小問(wèn)3詳解】由題得在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，因?yàn)椋?，所以在區(qū)間上恒成立，令，令，則，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故．．對(duì)任意的恒成立，且，．實(shí)數(shù)的取值范圍是．19.假設(shè)通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到和的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，合計(jì)合計(jì)課本中給出統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式如下：此處我們把列聯(lián)表中的，，，稱(chēng)為觀察頻數(shù)，記作，（例如，），把，，，稱(chēng)為期望頻數(shù)，記作，即第i行的頻數(shù)和乘以第j列的頻數(shù)和與頻數(shù)總和的商．（例如，）．則我們可以將卡方統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式寫(xiě)成以下更為一般的形式：（Σ表示對(duì)后面的代數(shù)式求和）根據(jù)以上信息，假設(shè)一項(xiàng)研究旨在分析不同教學(xué)方法對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的影響。研究中采用了三種不同的教學(xué)方法：傳統(tǒng)方法、在線(xiàn)學(xué)習(xí)和互動(dòng)式學(xué)習(xí)。學(xué)生根據(jù)他們的成績(jī)被分為三個(gè)級(jí)別：低、中、高，用頻率估計(jì)概率。研究結(jié)果如下表所示：教學(xué)方法\成績(jī)級(jí)別低中高總計(jì)傳統(tǒng)方法203050100在線(xiàn)學(xué)習(xí)354520100互動(dòng)式學(xué)習(xí)251560100總計(jì)8090130300（1）已知在“傳統(tǒng)方法”中，參加數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)按照成績(jī)“低”、“中”、“高”的分別占對(duì)應(yīng)人數(shù)的、、，求“傳統(tǒng)方法”中參加數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)的概率．（2）（i）求，；（ii）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析這三種教學(xué)方法對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)影響是否存在顯著差異．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0250.0100.005

7.789.4911.1413.2814.86【答案】（1）（2）（i）,（ii）存在顯