中考數(shù)學試卷解直角三角形（含解析）

解直角三角形

一、選擇題

1.（淄博?4分）一輛小車沿著如圖所示的斜坡向上行駛了100米，其鉛直高度上升了15米.在用科學

計算器求坡角a的度數(shù)時，具體按鍵順序是（）

【考點】T9：解直角三角形的應用-坡度坡角問題；T6：計算器一三角函數(shù).

【分析】先利用正弦的定義得到sinA=0.15,然后利用計算器求銳角a.

【解答】解：sinA=a￡=」^-=0.15,

AC100

所以用科學計算器求這條斜道傾斜角的度數(shù)時，按鍵順序為

區(qū)r0-iF-In~i|3~|日

故選：A.

【點評】本題考查了計算器-三角函數(shù)：正確使用計算器，一般情況下，三角函數(shù)值直接可以求出，已知

三角函數(shù)值求角需要用第二功能鍵.

2.（2018年湖北省宜昌市3分）如圖，要測量小河兩岸相對的兩點P,A的距離，可以在小河邊取PA

的垂線PB上的一點C,測得PC=100米，ZPCA=35°,則小河寬PA等于（）

A.100sin350米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan550米

【分析】根據(jù)正切函數(shù)可求小河寬PA的長度.

【解答】解:VPA±PB,PC=100米,ZPCA=35°,

，小河寬PA=PCtanZPCA=100tan350

米.故選：C.

【點評】考查了解直角三角形的應用，解直角三角形的一般過程是：①將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出

平面圖形，構造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）.②根據(jù)題目已知特點選用適當銳角三角函數(shù)或邊

角關系去解直角三角形，得到數(shù)學問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案.

3.（2018四川省綿陽市）一艘在南北航線上的測量船，于A點處測得海島B在點A的南偏東30°方向，繼

續(xù)向南航行30海里到達C點時，測得海島B在C點的北偏東15°方向，那么海島B離此航線的最近

距離是

（結果保留小數(shù)點后兩位）（參考數(shù)據(jù)：1?732,亞X1.414）（）A.

4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里

【答案】B

【考點】三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應用-方向角問題

【解析】【解答】解：根據(jù)題意畫出圖如圖所示：作BD_LAC,取BE=CE,

ZACB=15

/.ZABC=135°,

又：BE=CE,

AZACB=ZEBC=15°,

/.ZABE=120",

又?.,NCAB=30°

，BA=BE,AD=DE,

設BD=x,

在RtAABD中,

AAD=DE=瓦，AB=BE=CE=2x,

,AC=AD+DE+EC=2V3x+2x=30,

-P-1矩T)

，x=曲+1=2~^5.49,

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意畫出圖如圖所示:作BDXAC,取BE=CE,根據(jù)三角形內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)得出BA=BE,

AD=DE,設BD=x,Rt^ABD中，根據(jù)勾股定理得AD=DE=AB=BE=CE=2x,由AC=AD+DE+EC=2Gx+2x=30

解之即可得出答案.

二.填空題

1.(2018?重慶(A)?4分)如圖，把三角形紙片折疊，使點3、點C都與點A重合，折痕分別為OE,

FG,得到NAGE=3O。，若AE=EG=2有厘米，則△ABC的邊8C的長為厘米。

【考點】解直角三角形、勾股定理

【解析】過E作E//JLAG于從

?;AE=EG=2sNAGE=30°.

GA=2AH=2AE-cos300=2x2J3x工=6.

2

由翻折得BE=AE=2離GC=GA=6.

BC=BE+EG+GC=6+43.

【點評】本題考查了解直角三角形中的翻折問題，其中包括勾股定理的應用，難度中等

2.(2018?湖北黃石?3分)如圖，無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60。、45°,如

果無人機距地面高度CD10小米，點A、D、E在同一水平直線上，則A、B兩點間的距離是果0(1+限_

米.(結果保留根號)

【分析】如圖，利用平行線的性質(zhì)得NA=60°,NB=45°,在RtAACD中利用正切定義可計算出AD=100,

在RtABCD中利用等腰直角三角形的性質(zhì)得BD=CD=100Jg,然后計算AD+BD即可.

【解答】解：如圖，

?.?無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60°、45°,

AZA=60°,ZB=45°,

在RtAACl)^.,

AD

..加=1°1^=ioo,

tan600

在RtABCDV3>

AB=AD+BD=100+100100(l+后.

答：A、B兩點間的距離為100(1+V3)

米.故答案為f).

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題：解決此類問題要了解角之間的關系，找到與己

知和未知相關聯(lián)的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構造直角三角形.

3.(2018?ft東泰安?3分)如圖，在AABCa,點D是AC邊上的動點(不與點

4

C重合)，過D作DELBC,垂足為E,點F是BD的中點，連接EF,設CD=x,ADEF的面積為S,則S與x之

【分析】可在直角三角形CED中，根據(jù)DE、CE的長，求出ABED的面積即可解決問題.

【解答】解:⑴在RtZXCDE中，tanC3,CD=x

4

/.DE=—x,CE=AX,

55

.,.BE=10--lx,

5

2

.?.SABETX(10-AX)?^.X=--^-X+3X.

25525

VDF=BF,

2

/.S=A.SABED=__3_xxA，

2252

2

故答案為_^-x+1-x.

【點評】本題考查解直角三角形，三角形的面積等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？?/p>

題型.

4（2018?ft東濰坊?3分）如圖，一艘漁船正以60海里/小時的速度向正東方向航行，在A處測得島礁

P在東北方向上，繼續(xù)航行1.5小時后到達B處，此時測得島礁P在北偏東30°方向，同時測得島礁P正

東方向上的避風港M在北偏東60°方向.為了在臺風到來之前用最短時間到達M處，漁船立刻加速以75

海里48+16?

/小時的速度繼續(xù)航行—~_小時即可到達.（結果保留根號）

【分析】如圖，過點P作PQLAB交AB延長線于點Q,過點M作MNLAB交AB延長線于點N,通過解直角△

AQP、直角求得PQ的長度，即MN的長度，然后通過解直角△BMN求得BM的長度，則易得所需時間.

【解答】解：如圖，過點P作PQ1AB交AB延長線于點Q,過點M作MN1AB交AB延長線于點N,

在直角AAOP中，NPAQ=45°,則AQ=PQ=60X1.5+BQ=90+BQ（海里），

所以BQ=PQ-90.

在直角△BPQ中，ZBPQ=30°,則BQ=PQ?tan30°（海里），所以PQ-90=返PQ,

33

所以PQ=45（3+V3）（海里）

所以MN=PQ=45（3+V^）（海里）

在直角△BMN中，ZMBN=30°,所

以V3）（海里）

所以90（3+遙）=48+16遍（小時）

7515

故答案是：48+16/5.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用，此題是一道方向角問題，結合航海中的實際問題，將解直角

三角形的相關知識有機結合，體現(xiàn)了數(shù)學應用于實際生活的思想.

5.（2018年江蘇省泰州市?3分）如圖，ZXABC得，AC=12,將4ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到

△A'B'C,P為線段A'B'上的動點，以點P為圓心，PA'長為半徑作。P,當。P與4ABC

的邊相切時，OP的半徑為返四.

-2513

【分析】分兩種情形分別求解：如圖1中，當。P與直線AC相切于點Q時，如圖2中，當OP與AB

相切于點T時，

【解答】解：如圖1中，當。P與直線AC相切于點Q時，連接PQ.

圖1

設PQ=PA'=r,

VPQ/7CA,,

.PQ_PBZ

,,CNA，B，

?.?r_―13rr,

1213

.,.r=156.

25

如圖2中，當0P與AB相切于點T時，易證A'、B'、T共線,

圖2

VAA,BT^AABC,

.A'T_A'B

*'-ACAB-

.NT17

1213

*丁嚕

T喑

綜上所述，OP騫或挈.

2513

【點評】本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比

例定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題.

6（2018?湖北省武漢?3分）如圖.在aABC中，ZACB=60°,AC=1,D是邊AB的中點，E是邊BC

上一點.若DE平分AABC的周長，則DE的長盤.

【分析】延長BC至M,使CM=CA,連接AM,作CN±AM于N,根據(jù)題意得到ME=EB,根據(jù)三角形中位線

定理得到IAM,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NACN,根據(jù)正弦的概念求出AN,計算即可.

2

【解答】解：延長BC至M,使CM=CA,連接AM,作CNJ_AM于N,

?；DE平分4ABC的周長，

.,.ME=EB,又AD=DB,

，DE=Jj\M,DE/7AM,

2

VZACB=60°,

/.ZACM=120°,

VCM=CA,

AZACN=60°,AN=MN,

.".AN=AC?sinZACN=2/l

2

.,.AM=V3>

,-.DE=2Z1,

2

故答案為：返.

2

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形，掌握三角形中位線定理、

正確作出輔助性是解題的關鍵.

題號依次順延

三.解答題

1..（2018?四川涼州?8分）如圖，要在木里縣某林場東西方向的兩地之間修一條公路MN,已知C點周圍

200米范圍內(nèi)為原始森林保護區(qū)，在MN上的點A處測得C在A的北偏東45°方向上，從A向東走600米

到達B處，測得C在點B的北偏西60°方向上.

（1）MN73^1.732）

（2）若修路工程順利進行，要使修路工程比原計劃提前5天完成，需將原定的工作效率提高25%,則原

計劃完成這項工程需要多少天？

【分析】（1）要求MN是否穿過原始森林保護區(qū)，也就是求C到MN的距離.要構造直角三角形，再解直

角三角形；

（2）根據(jù)題意列方程求解.

【解答】解：（1）理由如下：

如圖，過C作CUAB于

H.設CH=x,

由已知有NEAC=45°,ZFBC=60°,

則NCAH=45°,ZCBA=30°.

在RtAACH中，AH=CH=x,

在RtAHBC中，CH

HB

tanZHBC=

CH

??汪不前"近X二LFx，

T

VAH+HB=AB,

/.X+A/3X=600,

解得x=600-220（米）＞200（米）.

1+V3

.?.MN不會穿過森林保護區(qū).

（2）設原計劃完成這項工程需要y」_=（1+25%）X

y-5

解得：y=25.1

經(jīng)檢驗知：y=25是原方程的根.Y

答：原計劃完成這項工程需要25天.

【點評】考查了構造直角三角形解斜三角形的方法和分式方程的應用.

2.(2018?ft西?8分)祥云橋位于省城太原南部，該橋塔主體由三根

曲線塔柱

組合而成，全橋共設13對直線型斜拉索，造型新

穎，是“三晉大地”的一種象征.某數(shù)學“綜合與實踐”小組的

同學把

“測量斜拉索頂端到橋面的距離”作為一項課題活動，他們制訂了測

量方案，并利用課余時間借助該橋斜拉索完成了實地測

量.

測量

結果

如下

表.

項目內(nèi)容

課題測量斜拉索頂端到橋面的距離

說明：兩側最長斜拉索AC,BC相交于點C,分別與

C

橋面交于A,B兩點，且點A,B,C在同一豎直平面內(nèi).

測量示意圖

NA的度數(shù)ZB的度數(shù)AB的長度

測量數(shù)據(jù)

38°28°234米

(1)請幫助該小組根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)求斜拉索頂端點C到AB的距離參考數(shù)據(jù)sin38。X0.6,cos38。*

tan38°?0.8，sin28°?0.5，cos28°b0.9，tan28°=0.5）；

(2)該小組要寫出一份完整的課題活動報告，除上表的項目外，你認為還需要補充哪些項目(寫出一個即

可).

【考點】三角函數(shù)的應用

【解析】

(1)解：過點C作CD，AB于點D.

設CD=x米，在RtAADC中，

ZADC=90°,NA=380.

tan38，=腎

在RtABDC中,

CD

tan280=—

BD

5

AD+BD=AB=234.

.x+2x=234.

4

解得x=72.

答：斜拉索頂端點C到AB的距離為72米.

（2）解：答案不唯一，還需要補充的項目可為：測量工具，計算過程，人員分工，指導教師,

活動感受等.

3.（棗莊?4分）如圖，某商店營業(yè)大廳自動扶梯AB的傾斜角為31°,AB的長為12米，則大廳兩層之

間的高度為&A8米.（棗莊?結果保留兩個有效數(shù)字）【參考數(shù)據(jù)；sin31°=0.515,

cos31°=0.857,tan31°=0.601]

【分析】根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以求得BC的長，從而可以解答本題.

【解答】解：在RtZXABC中，

VZACB=90°,

/.BC=AB?sinZBAC=12X0.515=6.18（米），

答：大廳兩層之間的距離BC的長約為6.18

米.故答案為：6.18.

【點評】本題考查解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用銳

角三角函數(shù)和數(shù)形結合的思想解答.

4（2018?四川成都?8分）由我國完全自主設計、自主建造的首艦國產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次

海上試驗任務.如圖，航母由西向東航行，到達處時，測得小島。位于它的北偏東70°方向，且于航母相

距

80海里，再航行一段時間后到達處，測得小島。位于它的北偏東37°方向.如果航母繼續(xù)航行至小島。的

正南方向的力處，求還需航行的距離8力的長.（參考數(shù)據(jù)：sin70°=0.94,cos700片0?34,

tan700片2?75，sin37°s：0.6,cos37°~0.80,tan37°s0.75）

【答案】解：由題知：ZJCD=70°,乙BCD=31°,HC=8O在R7-L4CQ中，AC=A'C=2,

尸。，G（海里）.

BDBD

在NPC0=9O。中，tanZ5CD=CD.>'?0,75=272,...BD=20?4（海里）.

答：還需要航行的距離87）的長為20.4海里.

【考點】解直角三角形，解直角三角形的應用-方向角問題

【解析】【分析】根據(jù)題意可得出NHCQ=70°,￡BCD=31°,HC=80,再利用解直角三角形

在RtZkACD和Rt^BCD中，先求出CD的長，再求出BD的長，即可解答。

5（荷澤?6分）2018年4月12日，荷澤國際牡丹花會拉開帷幕，薄澤電視臺用直升機航拍技術全程直

播.如圖，在直升機的鏡頭下，觀測曹州牡丹園A處的俯角為30°,B處的俯角為45°,如果此時直升機

鏡頭C處的高度CD為200米，點A、B、D在同一條直線上，則A、B兩點間的距離為多少米？（結果保留

根號）

￡

ABD

【考點】TA：解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【分析】在兩個直角三角形中，都是知道已知角和對邊，根據(jù)正切函數(shù)求出鄰邊后，相加求差即可.

【解答】解：；EC〃AD,

ZA=30°,ZCBD=45°,CD=200,

?.?CD_LAB于點D.

.?.在RtZ\ACD型，

AD

，AD=詈^200/，

在RtaBCD中，ZCDB=90",ZCBD=45°

/.DB=CD=200,

.\AB=AD-DB=200V3-200,

答：A、B兩點間的距離為，號-200米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解決本題的關鍵是利用CD為直角^ABC斜邊上的高，將三角

形分成兩個三角形，然后求解.分別在兩三角形中求出AD與BD的長.

6(2018?江西?8分)圖1是一種折疊門，由上下軌道和兩扇長寬相等的活頁門組成，整個活頁門的右軸

固定在門框上，通過推動左側活頁門開關；圖2是其俯視圖簡化示意圖，已知軌道AB=120cm，兩扇活

頁門的寬OC=08=60cm，點固定，當點在4B上左右運動時，OC與08的長度不變(所有結果保留小數(shù)點

后

一位).

(1)若〃BC=50°,求

AC的長；

(2)當點從點向右運動cm時，求點在此過程中運動的路徑長.

參考數(shù)據(jù)：sin50°^0.77,cos50°-0.64,tan50°^1.19,TT取3.14

圖1圖2

【解析】(1)如圖，作OHLAB于H

,.-0C=0B=60.\CH=BH

在RtAOBH中

cosZ0BC=—

OB

JBH=OB?cos50°^60X0.64=38.4

.??AC=AB—2BH=120—2X38.4=43.2

???AC的長約為43.2cm.

(2)VAC=60???BC=60V0C=0B=60

.\0C=0B=BC=60

??.△OBC是等邊三角形

?,.oc弧長二絲2nl=-x2x60x3.14

3606

=62.8

...點0在此過程中運動的路徑長約為62.8cm.

7.（2018?湖南省常德?7分）圖1是一商場的推拉門，已知門的寬度AD=2米，且兩扇門的大小相同（即

AB=CD）,將左邊的門ABBA繞門軸AAi向里面旋轉(zhuǎn)37°,將右邊的門CDDC繞門軸D"向外面旋轉(zhuǎn)45°,其

示意圖如圖2,求此時B與C之間的距離（結果保留一位小數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sin37°-0.6,cos37°-0.8,

我七1.4）

【分析】作BELAD于點E,作CFLAD于點F,延長FC到點M,使得BE=CM,則EM=BC,在RtaABE、RtA

CDF中可求出AE、BE、DF、FC的長度，進而可得出EF的長度，再在RtAMEF中利用勾股定理即可求出

EM的長，此題得解.

【解答】解：作BE_LAD于點E,作CFJ_AD于點F,延長FC到點M,使得BE=CM,如圖所示.

VAB=CD,AB+CD=AD=2,

，AB=CD=1.

在RtZ\ABE中,AB=1,ZA=37°,

...BE=AB?sinNA10.6,

AE=AB?cosZA^O.8.在RtZ\CDF中，CD=1,

ND=45°,

/.CF=CD?sinZD?O.7,DF=CD?cosZD?0.7.

VBE±AD,CF1AD,

ABE//CM,

XVBE=CM,

.?.四邊形BEMC為平行四邊形，

；.BC=EM,CM=BE.

在RtZ\MEF中，EF=AD-AE-DF=O.5,FM=CF+CM=1.3,

EMREF2+FM2s55L41

???B與C之間的距離約為1.4米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用、勾股定理以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，構造直角三角形，利

用勾股定理求出BC的長度是解題的關鍵.

8(2018?湖南省衡陽?8分)一名徒步愛好者來衡陽旅行，他從賓館C出發(fā)，沿北偏東30°的方向行走

2000米到達石鼓書院A處，參觀后又從A處沿正南方向行走一段距離，到達位于賓館南偏東45°方向的

雁峰公園B處，如圖所示.

(1)求這名徒步愛好者從石鼓書院走到雁峰公園的途中與賓館之間的最短距離；

(2)若這名徒步愛好者以100米/分的速度從雁峰公園返回賓館，那么他在15分鐘內(nèi)能否到達賓館？

【解答】解：(1)作CPLAB于P,

由題意可得出：ZA=30°,AP=2000米，

則J^AC=1000米；

2

(2)..?在RtZ\PBC中，PC=1000,ZPBC=ZBPC=45°,

.\BC=V2PC=IOOOV2X.

?.?這名徒步愛好者以100米/分的速度從雁峰公園返回賓館,

.?.他到達賓館需要的時間為10°°a=蟲我<15,

100

,他在15分鐘內(nèi)能到達賓館.

9.(2018?ft東臨沂?7分)如圖，有一個三角形的鋼架ABC,ZA=30°,ZC=45°,AC=2（V5+1）m.請

計算說明，工人師傅搬運此鋼架能否通過一個直徑為2.1m的圓形門？

【分析】過B作BDJ_AC于Uxm,CD=BD=xm,得出方程，求出方程的解即可.

工人師傅搬運此鋼架能通過一個直徑為2.1m的圓形門,

理由是：過B作BD_LAC于D,

VAB>BD,BOBD,AOAB,

???求出DB長和2.1m比較即可，

設BD=xm,

VZA=30°,ZC=45°，

DC=BD=xm,AD==J^xm,

VAC=2（灰+1）m,

，x+&x=2（V^-1）,

x—21

即BD=2m<2.Im,

.??工人師傅搬運此鋼架能通過一個直徑為2.1m的圓形門.

【點評】本題考查了解直角三角形，解一元一次方程等知識點，能正確求出BD的長是解此題的關鍵.

10（2018?ft東青島?6分）某區(qū)域平面示意圖如圖，點0在河的一側，AC和BC表示兩條互相垂直的公

路.甲勘測員在A處測得點0位于北偏東45°,乙勘測員在B處測得點0位于南偏西73.7°,測得

AC=840m,

BC=500m.請求出點0到BC的距離.

tan73.7。4絲

257

【分析】作0M_LBC于M,ON_LAC于N,設0M=x,根據(jù)矩形的性質(zhì)用x表示出0M、MC,根據(jù)正切的定義用

x表示出BM,根據(jù)題意列式計算即可.

【解答】解：作0M1BC于M,0N1AC于

N,則四邊形0NCM為矩形，

.,.0N=MC,0M=NC,

設0M=x,則NC=x,AN=840-x,

在RtAANO中，ZOAN=45°,

.?.0N=AN=840-x,則MC=0N=840-x,

HRtABOM——要——=-Lx,由題意得，840-X+-LX=500,

tanZOBM2424

解得，x=480,

答：點0到BC的距離為480m.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確標注方向角是解題的關鍵.

11.ZCAB=30°,NCBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后與打通前相比，從地到地的路程將約縮短多

少公里？（參考數(shù)據(jù)：幣=1.7,1.4）

【答案】隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短224公里.一

【解析】【分析】過點。作切，力氏垂足為〃在和RtZ\6（力中，分別解直角三角形即可.

【解答】如圖，過點。作CDLAB,垂足為

D,在RtZ\496'和RtZ\6如中，

/。代30°,/煙=45°,48640.

Z.320由，

320也

：.640+320亞=1088,

,320^+320=864,

二1088-864=224（公里）.

答：隧道打通后與打通前相比，從/地到6地的路程將約縮短224公里.

【點評】考查解直角三角形，構造直角三角形是解題的關鍵.

12（2018?安徽?4分）為了測量豎直旗桿AB的高度，某綜合實踐小組在地面D處豎直放置標桿CD,并在

地面上水平放置個平面鏡E,使得B,E,D在同一水平線上，如圖所示,該小組在標桿的F處通過平面鏡

E恰好觀測到旗桿頂A（此時NAEB=NFED）.在F處測得旗桿頂A的仰角為39.3。，平面鏡E的俯角為45。，

FD=1.8米，問旗桿AB的高度約為多少米？（結果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù):tan為多。^0.82,tan84.3°g10.02）

【答案】旗桿AB高約18米.

【解析】【分析】如圖先證明△FDEs/\ABE,從而得——=一，在RtZ\FEA中，由一，通過運算求得AB的

DFEFEF

值即可.

【詳解】如圖，VFM//BI）,AZFED=ZMFE=45°,

VZDEF=ZBEA,JNAEB=45°,

AZFEA=90°,

VZFDE=ZABE=90°，

ABAE

.'.△FDE^AABE,

DFEF

AE

在RtZ\FEA—，

EF

AB

—=tan84.3°=10.02,

1.8

.\AB=1.8X10.02^18,

答：旗桿AB高約18米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，相似三角形的判定與性質(zhì)，得到二=3843。是解題的

DF

關鍵.

13.(2018?株洲市)下圖為某區(qū)域部分交通線路圖，其中直線L也2心3,直線與直線L、LU都垂直,，垂足

分別為點A、點B和點C,(高速路右側邊緣)，上的點M位于點A的北偏東30°方向上，且由千米，

上的點N位于點Mcosa=三，MN=2護千米，點A和點N是城際線L上的兩個相鄰的站

點.

城際鐵路線L

道路線g

道路線

道路線4

(1)求12和b之間的距離

(2)若城際火車平均時速為150千米/小時，求市民小強乘坐城際火車從站點A到站點N需要多少小時？

(結果用分數(shù)表示)

【答案】(1)2；(2)1小時.

【解析】分析：(1)直接利用銳角三角函數(shù)關系得出DM的長即可得出答案；

(2)利用tan30。得出AB的長，進而利用勾股定理得出DN的長，進而得出AN的長，即

ABAB3

可得出答案.

詳解：(1)過點M作MD±NC于點D,

解得：DM=2(km),

答：L和L,之間的距離為2km；

(2)?.?點M位于點A的北偏東30°方向上，且BM=4千米,

.,.tan30o=吧=坦=色，

ABAB3

解得：AB=3(km),

可得：AC=3+2=5(km),

VMN=27T3km,DM=2km,

；必=向序，=4由

(km),則NC=DN+BM=5由

(km),

；?AN=JAC2+C\2=J(5揚2+52=1o(km),

?.?城際火車平均時速為150千米/小時，

_101

?,?市民小強乘坐城際火車從站點A到站點N---=一小時.

15015

點睛：此題主要考查了解直角三角形的應用，正確得出AN的長是解題關鍵.14(2018?株洲市)

如圖，在RtZ\ABM和Rtz^ADN的斜邊分別為正方形的邊AB和AD,其中AM=AN.(1)求證：

RtAABM^RtAAND(2)線段MN與線

段AD相交于T,若加，求

tan4AB面值

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】分析：（1）利用HL證明即可；

,AMDT,…AM1一

（2）證明△DNTs/\AMT,可得一=—,由AT4〃推出一=-,在RtaABM中，tanNABM二

DNATDN3

AMAM1一

—=—=-.詳解：（1）VA1>AB,AM=AN,ZAMB=ZAND=90°

BMDN3

ARtAABM^RtAAND（HL）.

（2）由RtZXABMgRtZXAND易得：ZDAN=ZBAM,DN=BM

VZBAM+ZDAM=90°；ZDAN+ZADN=90°

，NDAMn/AND

???ND〃AM

AADNT^AAMT

.AMDT

DNAT

.AM_1

*'DN"3

VRtAABM

AMAM1

tanNABM=----=------=-.

BMDN3

點睛：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、解直角三角形等知

識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題

15（2018年江蘇省南京市）如圖，為了測量建筑物AB的高度，在D處樹立標桿CD,標桿的高是2m,在

DB上選取觀測點E、F,從E測得標桿和建筑物的頂部C、A的仰角分別為58°、45°.從F測得C、A

的仰角分別為22°、70°.求建筑物AB的高度（精確到0.1m）.（參考數(shù)據(jù)：tan22°^0.40,

tan58°^1.60,tan70°^2.75.）

【分析】在4CED中，得出DE,在4CFD中，得出DF,進而得出EF,列出方程即可得出建筑物AB的高度;

【解答】解：在RtZkCED中，NCED=58°,

oCD

?tan5R8Q,

DE

?np_CD2

tan580tan58°'

在RtZ\CFD中,ZCFD=22°，

Vtan22°,

DF

ADF=——2

tan22tan22"

.,.EF=DF-DE=

2____________2

tan22°tan58°'

同理:EF=BE-BF=

AB_AB

tan45°tan700'

.AB_AB=2____________2

tan45°tan700tan22°tan580

解得：解%5.9（米），

答：建筑物AB的高度約為5.9米.

【點評】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答問題.

16(2018年江蘇省南京市)結果如此巧合！

下面是小穎對一道題目的解答.

題目：如圖，RtAABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點D,AD=3,BD=4,

求aABC的面積.

解：設AABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點E、F,CE的長為

x.根據(jù)切線長定理，得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.

根據(jù)勾股定理，得(x+3)2+(x+4)玄(3+4)

2.整理，得x?+7x=12.

所以LC?BC

2

=—(x+3)(x+4)

2

1,

=—(X2+7X+12)

2

=—X(12+12)

2

=12.

小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3X4,即AABC的面積等于AD與BD的積.這僅僅是巧合

嗎？請你幫她完成下面的探索.

己知：AABC的內(nèi)切圓與AB相切于點D,AD=m,

BD=n.可以一般化嗎？

(1)若/C=90°,求證：4ABC的面積等于

mn.倒過來思考呢？

(2)若AC?BC=2mn,求證

NC=90°.改變一下條件……

(3)若NC=60°,用m、n表示aABC的面積.

CxF4B

【分析】(1)由切線長知AE二AD=m、BF=BD=n>CF=CE=x,根據(jù)勾股定理得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,即

x2+(m+n)x=mn,再利用三角形的面積公式計算可得；

(2)由由AOBC=2mn得(x+m)(x+n)=2mn,即x2+(m+n)x=mn,再利用勾股定理逆定理求證即可;

(3)作AG±BC,由三角函數(shù)得上3(x+m),CG=AC,cos60°=—(x+m)、BG=BC-CG=(x+n)

22

-(x+m),在RtZ\ABG中，根據(jù)勾股定理可得x'+(m+n)x=3mn,最后利用三角形的面積公式計算可得.

【解答】解：設4ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點E、F,CE的長為

x,根據(jù)切線長定理,得：AE=AD=m,BF=BD=n、CF=CE=x,

(1)如圖1,

圖1

在RtaABC中，根據(jù)勾股定理，得：(x+m)'+(x+n)'=(m+n)2

整理，得：x2+(m+n)x=mn,

所以》C?BC

=-(x+m)(x+n)

2

=-[x2+(m+n)x+mn]

2

二一(mn+mn)

2

=mn,

(2)由AJBC=2mn,得：(x+m)(x+n)=2mn,

整理，得：x2+(m+n)x=mn,

AC2+BC2=(x+m)'+(x+n)'

=2[X2+(m+n)x]+m2+n2

=2mn+m'+n'

=(m+n)2

=AB2,

根據(jù)勾股定理逆定理可得NC=90°；

(3)如圖2,過點A作AGLBC于點G,

在RtZ\ACG返(x+m),CG=AC?cos60°=—(x+m),

22

/.BG=BC-CG=(x+n)-—(x+m),

2

在Rtz^ABG亞(x+m)]2+[(x+n)--(x+m)]2=(m+n)2,整理，得：x2+(m+n)

22

x=3mn,

SAABC=--BC*AG

2

=-X(x+n)(x+m)

22

怎[x2+(m+n)x+mn]

4

(3mn+mn)

4

=V^nn.

【點評】本題主要考查圓的綜合問題，解題的關鍵是掌握切線長定理的運用、三角函數(shù)的應用及勾股定理

及其逆定理等知識點.

17(2018?株洲市)如圖,在RtZXABM和RtzIXADN的斜邊分別為正方形的邊AB和AD,其中AM=AN.

(1)求證：RtAABM^RtAAND

⑵線段MN與線段AD相交于T,若1.AD,求tan/ABM的值

4

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】分析：(1)利用HL證明即可;

,AMDT,9AM1一

(2)證明△DNTs/^AMT,可得一=一,由AT=/〃，推出——=-,在RtZXABM中，tanNABM二

DNATDN3

AMAM1一

—=——=-.詳解：(1)VAD=AB,AM=AN,ZAMB=ZAND=90°

BMDN3

ARtAABM^RtAAND(HL).

(2)由RtZiABM義RtZkAND易得：NDAN二NBAM,DN二BM

VZBAM+ZDAM=90°；ZDAN+ZADN=90°

，ZDAM=ZAND

AND/7AM

.'.△DNT^AAMT

?_A__M___DT

*eDN-AT

TAT=/〃

?AM_I

**DN-3

VRtAABM

AMAM1

/.tanZABM=——=——=-.

BMDN3

點睛：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、解直角三角形等知

識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題

18(2018年江蘇省泰州市?10分)日照間距系數(shù)反映了房屋日照情況.如圖①，當前后房屋都朝向正南時，

日照間距系數(shù)=L：(H-H,)，其中L為樓間水平距離，H為南側樓房高度，乩為北側樓房底層窗臺至地面高

度.

圖①圖②

如圖②，ft坡EF朝北，EF長為15m,坡度為i=l：0.75,ft坡頂部平地EM上有一高為22.5m的樓房

AB,底部A到E點的距離為4m.

(1)求ft坡EF的水平寬度FH；

(2)欲在AB樓正北側ft腳的平地FN上建一樓房CD,已知該樓底層窗臺P處至地面C處的高度為

0.9m,要使該樓的日照間距系數(shù)不低于1.25,底部C距F處至少多遠？

【分析】⑴在RtZkEFH中，根據(jù)坡度的定義得出名雪，設EH=4x,則FH=3x,由勾股定理求出EF=

3FH

VEH^+FH^X,那么5X=15,求出X=3,即可得到ft坡EF的水平寬度FH為9m；

(2)根據(jù)該樓的日照間距系數(shù)不低于罷孕21.25,解不等式即可.

33.6

【解答】解:(1)在RtZSEFH中，；NH=90°,

4RU

/.tanZEFH=i=l：0.75=-^=—,設EH=4x,貝UFH=3x,

3FH

AEF=VEH^+FH^5X,

VEF=15,

.\5x=15,x=3,

AFH=3x=9.

即ft坡EF的水平寬度FH為9m；

(2)?.?L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13,

H=AB+EH=22.5+12=34.5,H尸0.9,

CF+13_CF+13

日照間距系數(shù)=L：(H-H.)

-34.5-0.9—33.6

該樓的日照間距系數(shù)不低于1.25,

.CF+13

21.25,

…33.6

；.CF，29.

答：要使該樓的日照間距系數(shù)不低于L25,底部C距F處29m遠.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-坡度坡角問題，勾股定理，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是解題

的關鍵.

19(2018年江蘇省宿遷)如圖，為了測量ft坡上一棵樹PQ的高度，小明在點A處利用測角儀測得樹頂P

的仰角為45°,然后他沿著正對樹PQ的方向前進100m到達B點處，此時測得樹頂P和樹底Q的仰

角分別是60°和30°,設PQ垂直于AB,且垂足為C.

p

（1）求NBPQ的度數(shù);

（2）求樹PQ的高度（結果精確到0.1m,6~1.73）

【答案】（1）解：依題可得：ZA=45°,ZPBC=60°,ZQBC=30°,AB=100m,

在RtZXPBC中，

■:ZPBC=60°,ZPCB=90°,

/.ZBPQ=30°,

(2)解：設CQ=x,

在RtAQBC中,

ZQBC=30°,ZQCB=90",

/.BQ=2x,BC=V3X,

XVZPBC=60°，/QBC=30°,

/.ZPBQ=30",

由⑴知NBPQ=30°,

，PQ=BQ=2x,

/.PC=PQ+QC=3x,AC=AB+BC=10+艮,

又?；/A=45°,

.\AC=PC,

即3x=10+\PX,

解得：x=-3一,

1O（升⑸

PQ=2x=3七15.8（m）.

答：樹PQ的高度約為15.8m.

【考點】三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意題可得：ZA=45°,ZPBC=60°,ZQBC=30°,AB=100m,在RtaPBC中，根據(jù)

三角形內(nèi)角和定理即可得NBPQ度數(shù).

（2）設CQ=x,在RtZiQBC中，根據(jù)30度所對的直角邊等于斜邊的一半得BQ=2x,由勾股定理得BC=

根據(jù)角的計算得NPBQ=/BPQ=30°,由等角對等邊得PQ=BQ=2x,用含x的代數(shù)式表示PC=PQ+QC=3x,

AC=AB+BC=10+6x,又NA=45°,得出AC=PC,建立方程解之求出x,再將x值代入PQ代數(shù)式求之即可.

20（2018?株洲市）下圖為某區(qū)域部分交通線路圖，其中直線L1112II「直線與直線卜Lb都垂直，，垂足分

別為點A、點B和點C,（高速路右側邊緣），上的點M位于點A的北偏東30°方向上，且近千米，上的點

N位于點Mcosa=—,MN=2護千米，點A和點N是城際線L上的兩個相鄰的站點.

13

城際鐵路線L

道路線4

道路線4