2022-2013北京中考十年真題分類《幾何綜合》含答案解析

2022~2013北京中考十年真題分類——幾何綜合12022?北京）在△中，∠ACB＝°，D為△ABC內(nèi)一點，連接BDDC，延長DC，使得CE．（1FCFBCAFEF⊥EFBD⊥AF；222（2AE的延長線于點HCH2ABAE，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．22021?北京）如圖，在△ABC中，ABAC，∠BAC＝，M為的中點，點D在上，以點A為中心，將線段順時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接BEDE．（1BAE與∠BEBM證明；（2）過點M作AB的垂線，交DE于點N，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．32020?北京）在△ABC中，∠＝°，AC＞，D是AB的中點．E為直線AC上一動點，連接DED作DFDE，交直線，連接EF．（11E是線段的中點時，設(shè)AEaBF＝b，b的（2）當(dāng)點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2，用等式表示線段AE，EFBF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．42019?北京）已知∠AOB＝°，HOA上一定點，OH＝+1P為射線OB上一點，M為線段OH上一動點，連接PMOMP為鈍角，以點P為中心，將線段PM順時針旋轉(zhuǎn)150°，得到線段PN，連接ON．（1）依題意補全圖1；（2）求證：∠OMP＝∠OPN；（3M關(guān)于點HQQPOPM總有ONQP，并證明．52018?北京）如圖，在正方形E上的一動點（不與點、B連接DEA關(guān)于直線DE的對稱點為FEF并延長交BCGDG點E作DE交DG的延長線于點H，連接BH．（1GF＝GC；（2）用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．6（2017ABCACB＝P是線段CAPBC至點Q＝Q作QHAP于點H于點．（1）若∠＝，求∠AMQ的大?。ㄓ煤粒?）用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．72016?北京）在等邊△ABC（1）如圖1PQ是邊上的兩點，AP＝AQBAP＝°，求∠的度數(shù)；（2）點PQ是BC邊上的兩個動點（不與點BCP在點Q的左側(cè)，且＝AQQ關(guān)于直線AC的對稱點為M，連接AM，PM．①依題意將圖2補全；②Q＝PM個猜想與同學(xué)們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：想法：要證明PM，只需證△APM是等邊三角形；想法：在上取一點，使得BNBP，要證明PM，只需證△ANP≌△PCM；想法B順時針旋轉(zhuǎn)BKPM＝CK，PMCK…請你參考上面的想法，幫助小茹證明PM82015?北京）在正方形ABCD中，是一條對角線，點P在射線上（與點CDAPADPD移動到點CBCQQ作QH⊥于H，連接AH，．（1）若點P在線段上，如圖1．①依題意補全圖1；②與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；（2）若點P在線段CD的延長線上，且∠AHQ＝°，正方形ABCD的邊長為1寫出求DP92014?北京）在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點B關(guān)于直線AP的對稱點為E，連接BE，DEDE交直線AP于點F．（1）依題意補全圖1；（2）若∠＝°，求∠的度數(shù)；（3）如圖2°＜∠90°，用等式表示線段AB，F(xiàn)E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．102013?北京）在△中，ABAC，∠BACα（°＜＜BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)°得到線段BD．（1）如圖1，直接寫出∠ABD的大?。ㄓ煤粒?）如圖2，∠BCE＝°，∠ABE＝°，判斷△ABE的形狀并加以證明；（3）在（）的條件下，連接DE，若∠DEC45°，求α的值．2022~2013北京中考十年真題分類——幾何綜合參考答案與試題解析12022?北京）在△中，∠ACB＝°，D為△ABC內(nèi)一點，連接BDDC，延長DC，使得CE．（1FCFBCAFEF⊥EFBD⊥AF；222（2AE的延長線于點HCH2ABAE，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）證明△BCD≌△FCE（SASDBC＝∠EFC，證出BDEF，則可得出結(jié)論；（2）由題意畫出圖形，延長到FCF＝，連接AFEF，由（）可知BD∥EFBDEFAEF＝90DHE＝【解答】（）證明：在△和△FCE中，，∴△BCDFCE（SAS，∴∠DBCEFC，∴BDEF，∵AFEF，∴BDAF；（2）解：由題意補全圖形如下：CDCH．證明：延長到，使CFBC，連接AFEF，∵ACBF，BCCF，∴ABAF，由（）可知BD∥EF＝EF，222∵＝，222∴＝EF，∴∠AEF＝∴AEEF，∴BDAE，∴∠DHE＝°，又∵CDCE，∴CHCDCE．勾股定理的逆定理，證明△BCD≌△FCE是解題的關(guān)鍵．22021?北京）如圖，在△ABC中，ABAC，∠BAC＝，M為的中點，點D在上，以點A為中心，將線段順時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接BEDE．（1BAE與∠BEBM證明；（2）過點M作AB的垂線，交DE于點N，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（DAE＝∠BAC可得∠BAE＝∠SAS證△ABEACD即可；（EHAB交于HBEF≌△得BEBHMH＝MNHF，由平行線分線段成比例即可證出．【解答】）∵∠DAE＝∠BACα，∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△，∴△ABE≌△ACD（SAS，∴BECD，∵M為的中點，∴BM＝CM，∴BE+＝BM；（2）如圖，作EHAB交于H，交于F，由（）△ABE≌△得：∠ABE＝∠ACD，∵∠ACDABC，∴∠ABE＝∠ABD，在△BEF和△，∴△BEF≌△BHFASA，∴BEBH，由（）知：BE+MD＝，∴MH＝MD，∵MNHF，∴，∴ENDN．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的對稱性等知識，作EH構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．32020?北京）在△ABC中，∠＝°，AC＞，D是AB的中點．E為直線AC上一動點，連接DED作DFDE，交直線，連接EF．（11E是線段的中點時，設(shè)AEaBF＝b，b的（2）當(dāng)點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2，用等式表示線段AE，EFBF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（DE∥BCDE＝矩形得DECF，得出CF，再根據(jù)勾股定理得結(jié)果；CEDF是（2B作BMAC的延長線交于點MFADE≌△BDM得AE＝BMDE＝DM，由垂直平分線的判定定理得EF＝MF，進而根據(jù)勾股定理得結(jié)論．【解答】）∵D是AB的中點，E是線段的中點，∴DEBCDE＝BC，∵∠ACB＝∴∠DEC90∵DFDE，∴∠EDF90∴四邊形CEDF是矩形，∴DECF＝BC，∴CFBF＝b，∵CEAE＝a，∴EF＝；222（2AE+＝．證明：過點B作BMAC，與的延長線交于點M，連接MF，則∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB90∵D的中點，∴ADBD，在△ADE和△BDM，∴△ADE≌△BDM（AAS，∴AEBMDEDM，∵DFDE，∴EF＝MF，222∵BM＝MF，222∴+EF．【點評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂直平分線的判定，關(guān)鍵在于構(gòu)造全等三角形．42019?北京）已知∠AOB＝°，HOA上一定點，OH＝+1P為射線OB上一點，M為線段OH上一動點，連接PMOMP為鈍角，以點P為中心，將線段PM順時針旋轉(zhuǎn)150°，得到線段PN，連接ON．（1）依題意補全圖1；（2）求證：∠OMP＝∠OPN；（3M關(guān)于點HQQPOPM總有ONQP，并證明．【分析】（）根據(jù)題意畫出圖形．（2150OPN＝150°﹣∠OPMAOB＝°和三角形內(nèi)角和180°可得∠OMP＝180°﹣°﹣∠OPM150°﹣∠OPM，得證．（3＝QP為已知條件反推OPOMP＝∠OPNPMPNN作NCOB于點C，過點P作PDOA于點D，即可構(gòu)造出△PDM≌△NCP，進而得＝DMCP＝，則易證得△OCN≌△QDPOCQD∠AOB＝°，設(shè)PDNC＝，則OP＝2OD＝＝OCOPPC＝a+MQDMQD＝2+2xMQ關(guān)于點HH為MQMH＝MQaxDH＝MHDMaOHODDH＝aa＝+1，a．再設(shè)DM＝CPxQD求得＝OP＝OP2證得ONQP．【解答】）如圖1所示為所求．（2）設(shè)∠OPMα，∵線段PM繞點P順時針旋轉(zhuǎn)150°得到線段∴∠＝150°，PM＝∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB30°∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣°﹣α＝150α∴∠OMP＝∠OPN（3OP＝2時，總有＝QP，證明如下：過點N作NCOB，過點P作OA于點D，如圖2∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ90°∵∠AOB30OP＝2∴PD＝OP＝1∴OD＝∵OH＝+1∴DH＝OHOD＝1∵∠OMP＝∠OPN∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN即∠PMD＝∠NPC在△PDM與△NCP中∴△PDM≌△NCP（）∴PDNCDM＝設(shè)DMCP＝xOCOPPC＝2+x，＝MDDH＝+1∵點M關(guān)于點HQ∴HQ＝MH＝+1∴DQ＝DHHQ＝1++12+x∴OCDQ在△OCN與△QDP中∴△OCN≌△QDP（）∴ONQP180ON＝QP為條件反推OP2OP2為條件構(gòu)造全等證明＝QP．52018?北京）如圖，在正方形E上的一動點（不與點、B連接DEA關(guān)于直線DE的對稱點為FEF并延長交BCGDG點E作DE交DG的延長線于點H，連接BH．（1GF＝GC；（2）用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（）如圖，連接DF，根據(jù)對稱得：△ADE≌△FDE，再由HLRt≌RtDCG，可得結(jié)論；（2）證法一：如圖，作輔助線，構(gòu)建AM＝AE，先證明∠EDG＝45°，得DE＝，證明△DME≌△EBHEMBH，根據(jù)等腰直角△AEM得：EM＝AE，得結(jié)論；證法二：如圖，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△DAE≌△ENHAE＝HN＝EN，再說明△BNH是等腰直角三角形，可得結(jié)論．【解答】11，連接DF，∵四邊形ABCD∴DADC，∠A＝∠C°，∵點A關(guān)于直線DE的對稱點為，∴△ADE≌△FDE，∴DADFDC，∠＝∠A＝∴∠DFG＝°，在Rt和Rt中，∵，∴RtDFGRtDCGHL，∴GFGC；（2BH＝AE，理由是：證法一：如圖，在線段AM，使AM，∵ADAB，∴DM＝BE，由（）知：∠＝∠23＝∠，∵∠ADC90∴∠1+2+∠3+∠＝∴2∠∠＝90°，∴∠2+3＝即∠EDG＝°，∵EHDE，∴∠DEH＝°，△是等腰直角三角形，∴∠AED+BEH＝∠+∠＝°，DEEH，∴∠＝∠BEH，在△DME和△∵，∴△DME≌△EBH（SAS，∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠＝°，AM＝AE，∴EM＝∴BH＝AE，AE；證法二：如圖，過點H作⊥于，∴∠ENH90由方法一可知：DEEH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENHAAS，∴AEHNAD＝，∵ADAB，∴ABEN＝AE+BEBEBN，∴AEBNHN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝HN＝AE．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解決本題的關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)得到相等的邊和相等的角，證明三角形全等，作出輔助線也是解決本題的關(guān)鍵．6（2017ABCACB＝P是線段CAPBC至點Q＝Q作QHAP于點H于點．（1）若∠＝，求∠AMQ的大?。ㄓ煤粒?）用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠B＝45°，∠＝°﹣α，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2MEQBAAS證明△APC≌△QMEPC＝MEMEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】）∠AMQ＝45α；理由如下：∵∠，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠＝°，∠45α，∵QH⊥AP，∴∠AHM＝°，∴∠AMQ＝180°﹣∠AHM﹣∠＝45α；（2PQ＝MB；理由如下：連接AQMEQB，如圖所示：∵ACQPCQCP，∴∠QAC，∴∠QAM＝+＝∠AMQ，∴APAQQM，在△APCQME中，，∴△APCQME（AAS，∴PC＝ME，∵△是等腰直角三角形，∴PQ＝MB，MB．∴PQ＝方法二：也可以延長到D，使得CDCQ．則易證△ADPQBM．∴BM＝PD＝CD＝QC＝PQ，即PQ＝MB．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．72016?北京）在等邊△ABC（1）如圖1PQ是邊上的兩點，AP＝AQBAP＝°，求∠的度數(shù)；（2）點PQ是BC邊上的兩個動點（不與點BCP在點Q的左側(cè)，且＝AQQ關(guān)于直線AC的對稱點為M，連接AM，PM．①依題意將圖2補全；②Q＝PM個猜想與同學(xué)們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：想法：要證明PM，只需證△APM是等邊三角形；想法：在上取一點，使得BNBP，要證明PM，只需證△ANP≌△PCM；想法B順時針旋轉(zhuǎn)BKPM＝CK，PMCK…請你參考上面的想法，幫助小茹證明PM【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠APQ＝∠AQP，由鄰補角的定義得到∠APB＝∠AQC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）如圖2根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠APQ＝∠AQP，由鄰補角的定義得到∠APB＝∠AQC，由點Q關(guān)于直線AC的對稱點為，得到AQAMOAC＝∠，等量代換得到∠＝∠BAP，推出△APM是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】）∵APAQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ＝∴∠AQB＝∠APQ＝∠BAP∠＝°；（2）如圖2，∵AP，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠＝60°，∴∠BAP＝∠CAQB順時針旋轉(zhuǎn)°，得到線段BK，要證＝PM，只需證CKPM…請你參考上面的想法，幫助小茹證明PM）∵點Q關(guān)于直線AC的對稱點為M，∴AQAMQAC＝∠，∴∠＝∠BAP，∴∠BAP＝∠+CAP60∴∠＝°，∵APAQ，∴APAM，∴△APM是等邊三角形，∴APPM．證明△ABP≌△ACM≌△【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．82015?北京）在正方形ABCD中，是一條對角線，點P在射線上（與點CDAPADPD移動到點CBCQQ作QH⊥于H，連接AH，．（1）若點P在線段上，如圖1．①依題意補全圖1；②與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；（2）若點P在線段CD的延長線上，且∠AHQ＝°，正方形ABCD的邊長為1寫出求DP【分析】（）根據(jù)題意畫出圖形即可；②，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出△DHQ是等腰直角三角形，再由SAS定理得出△HDP≌△HQC，故PHCHHPCHCP，由正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，QH⊥可知△DHQ是等腰直角三角形，再由平移的性質(zhì)得出＝．作HR⊥，由∠AHQ152°，可得出∠AHB及∠DAH的度數(shù)，設(shè)DPxDR＝HRRQ，由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【解答】）1；②解法一：如圖1，連接CH，∵四邊形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ＝°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵DPCQ，在△HDP與△HQC∵，∴△HDP≌△HQC（SAS，∴PHCHHPCHCP．∵是正方形ABCD的對稱軸，∴AHCHDAHHCP，∵∠HPC+DPH＝180∴∠DAH+DPH＝180∴∠ADP+AHP180∴∠AHP180°﹣∠ADP＝90∴AHPHAHPH．解法二：如圖，連接CH，∵QH⊥BD，∴∠QHB＝∠BCQ＝∴、H、Q∴∠DHC＝∠BQC，由正方形的性質(zhì)可知∠DHC＝∠AHD，由平移性質(zhì)可知∠BQC＝∠APD，∴∠AHD＝∠APD，∴、H、D∴∠＝∠PDH＝°，∠AHP＝∠ADP90∴△HAP是等腰直角三角形，∴AHPHAHPH．（2）解法一：如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ＝°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵△BCQ由△ADP平移而成，∴PDCQ．作HR，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB62∴∠DAH＝°．設(shè)DPxDR＝HRRQ＝．，∵tan17°＝，即tan17∴x＝．解法二：由（）可知∠AHP＝°，∴∠AHP＝∠ADP90∴、HDP又∠AHQ＝152°，∠＝90∴∠AHB152°﹣62°，由圓的性質(zhì)可知∠APD＝∠AHB＝°，在RtAPD中，∠90°﹣62°＝°，∴PDAD?tan28°＝tan28°．【點評】本題考查的是四邊形綜合題，涉及到正方形的性質(zhì)、圖形平移的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，難度適中．92014?北京）在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點B關(guān)于直線AP的對稱點為E，連接BE，DEDE交直線AP于點F．（1）依題意補全圖1；（2）若∠＝°，求∠的度數(shù)；（3）如圖2°＜∠90°，用等式表示線段AB，F(xiàn)E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（）根據(jù)題意直接畫出圖形得出即可；（2）利用對稱的性質(zhì)以及等角對等邊進而得出答案；（）由軸對稱的性質(zhì)可得：EFBFAE＝＝ABF＝∠AEF＝∠ADF，進而利用勾股定理得出答案．【解答】）如圖1所示：（2）如圖2，連接AE，則∠20AE＝ABAD，∵四邊形ABCD∴∠BAD90∴∠EAP＝∠BAP＝°，∴∠EAD130°，∴∠ADF＝＝°；（3）如圖3，連接AE、BFBD，由軸對稱的性質(zhì)可得：＝BFAE＝ABAD，∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，∴∠BFD＝∠BAD90222∴+，222∴+2．【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及勾股定理和等腰