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湖北省黃岡八模系列2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.圓與圓的位置關(guān)系是()A.相交 B.相離C.內(nèi)切 D.外切2.“”是“圓與軸相切”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知,則a,b,c的大小關(guān)系為()A. B.C. D.4.積分()A. B.C. D.5.實(shí)數(shù)且,,則連接,兩點(diǎn)的直線與圓C:的位置關(guān)系是()A.相離 B.相切C.相交 D.不能確定6.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家,與歐幾里得、阿基米德并稱(chēng)為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠,他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書(shū),阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是:已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比,那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓,其方程為,其中,定點(diǎn)為軸上一點(diǎn),定點(diǎn)的坐標(biāo)為,若點(diǎn),則的最小值為()A. B.C. D.7.若數(shù)列滿(mǎn)足,,則該數(shù)列的前2021項(xiàng)的乘積是()A. B.C.2 D.18.設(shè)各項(xiàng)均為正項(xiàng)的數(shù)列滿(mǎn)足,,若,且數(shù)列的前項(xiàng)和為,則()A. B.C.5 D.69.正方體的棱長(zhǎng)為,為側(cè)面內(nèi)動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足,則△面積的最小值為()A. B.C. D.10.已知等比數(shù)列的公比為正數(shù),且,,則()A.4 B.2C.1 D.11.在中國(guó)古代,人們用圭表測(cè)量日影長(zhǎng)度來(lái)確定節(jié)氣,一年之中日影最長(zhǎng)一天被定為冬至.從冬至算起,依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這十二個(gè)節(jié)氣,其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列,若冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺,小寒、雨水,清明日影長(zhǎng)之和為28.5尺,則大寒、驚蟄、谷雨日影長(zhǎng)之和為()A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺12.如圖已知正方體,點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)且,,則()A.當(dāng)時(shí),平面 B.當(dāng)時(shí),平面C.當(dāng)為直角三角形時(shí), D.當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí),二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.下圖是4個(gè)幾何體的展開(kāi)圖,圖①是由4個(gè)邊長(zhǎng)為3的正三角形組成;圖②是由四個(gè)邊長(zhǎng)為3的正三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形組成;圖③是由8個(gè)邊長(zhǎng)為3的正三角形組成;圖④是由6個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形組成若直徑為4的球形容器(不計(jì)容器厚度)內(nèi)有一幾何體,則該幾何體的展開(kāi)圖可以是______(填所有正確結(jié)論的番號(hào))14.以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心,為半徑的圓與的一條漸近線交于兩點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為_(kāi)________15.已知點(diǎn)和,圓,當(dāng)圓C與線段沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)__________16.拋物線的準(zhǔn)線方程是___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的上一點(diǎn)處的切線方程為,橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為,離心率為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若點(diǎn)P為直線上任一點(diǎn),過(guò)P作橢圓的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,求證:18.(12分)已知橢圓:()的左、右焦點(diǎn)分別為,焦距為,過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn),的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程;(2)若斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),求定點(diǎn)與交點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積的最大值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線,分別過(guò)曲線上的兩點(diǎn),做曲線的兩條切線,且交于點(diǎn),與直線交于兩點(diǎn)(1)求曲線的方程;(2)求面積的最小值.20.(12分)設(shè)A,B為曲線C:y=上兩點(diǎn),A與B的橫坐標(biāo)之和為4(1)求直線AB的斜率;(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn),C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程21.(12分)在中,,,為邊上一點(diǎn),且(1)求;(2)若,求22.(10分)如圖1,在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,將△BCD沿對(duì)角線BD折起到△BDC′的位置,如圖2所示,并使得平面BDC′⊥平面ABD,E是BD的中點(diǎn),F(xiàn)A⊥平面ABD,且FA=.圖1圖2(1)求平面FBC′與平面FBA夾角的余弦值;(2)在線段AD上是否存在一點(diǎn)M,使得⊥平面?若存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】求出兩圓的圓心及半徑,求出圓心距,從而可得出結(jié)論.【詳解】解:圓的圓心為,半徑為,圓圓心為,半徑為,則兩圓圓心距,因?yàn)椋詢(xún)蓤A相交.故選:A.2、A【解析】根據(jù)充分不必要條件的定義和圓心到軸的距離求出可得答案.【詳解】時(shí),圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為2,此時(shí)圓與軸相切;當(dāng)圓與軸相切時(shí),因?yàn)閳A的半徑為2,所以圓心到軸的距離為,所以,“”是“圓與軸相切”的充分不必要條件故選:A3、A【解析】根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù),再探討其單調(diào)性并借助單調(diào)性判斷作答.【詳解】令函數(shù),求導(dǎo)得,當(dāng)時(shí),,于是得在上單調(diào)遞減,而,則,即,所以,故選:A4、B【解析】根據(jù)定積分的幾何意義求值即可.【詳解】由題設(shè),定積分表示圓在x軸的上半部分,所以.故選:B5、B【解析】由題意知,m,n是方程的根,再根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線方程,利用圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系即可求解.【詳解】由題意知,m,n是方程的根,,,過(guò),兩點(diǎn)的直線方程為:,圓心到直線的距離為:,故直線和圓相切,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,考查了計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】設(shè),,根據(jù)和求出a的值,由,兩點(diǎn)之間直線最短,可得的最小值為,根據(jù)坐標(biāo)求出即可.【詳解】設(shè),,所以,由,所以,因?yàn)榍遥?,整理可得,又?dòng)點(diǎn)M的軌跡是,所以,解得,所以,又,所以,因?yàn)?,所以的最小值,?dāng)M在位置或時(shí)等號(hào)成立.故選:D7、C【解析】先由數(shù)列滿(mǎn)足,,計(jì)算出前5項(xiàng),可得,且,再利用周期性即可得到答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足,,所以,同理可得,…所以數(shù)列每四項(xiàng)重復(fù)出現(xiàn),即,且,而,所以該數(shù)列的前2021項(xiàng)的乘積是.故選:C.8、D【解析】由利用因式分解可得,即可判斷出數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,從而得到數(shù)列,數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求出【詳解】等價(jià)于,而,所以,即可知數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,即有,所以,故故選:D9、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)由,得出點(diǎn)的軌跡方程,由幾何性質(zhì)求得,再根據(jù)垂直關(guān)系求出△面積的最小值【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:則,,設(shè)所以,得,所以因?yàn)槠矫妫怨省髅娣e的最小值為故選:B10、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為(),則由已知條件列方程組可求出【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為(),由題意得,且,即,,因?yàn)?,所以,,故選:D11、A【解析】由題意可知,十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列,設(shè)冬至日的日影長(zhǎng)為尺,公差為尺,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,求出,即可求出,從而得到答案【詳解】設(shè)從冬至日起,小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列{},如冬至日的日影長(zhǎng)為尺,設(shè)公差為尺.由題可知,所以,,,,故選:A12、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法一一計(jì)算可得;【詳解】解:由題可知,如圖令正方體的棱長(zhǎng)為1,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,所以,因?yàn)?,所以,所以,,,,設(shè)平面的法向量為,則,令,則,,所以對(duì)于A:若平面,則,則,解得,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:若平面,則,即,解得,故B錯(cuò)誤;當(dāng)為直角三角形時(shí),有,即,解得或(舍去),故C錯(cuò)誤;設(shè)到的距離為,則,當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí),,故正確故選:二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①【解析】根據(jù)幾何體展開(kāi)圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體,進(jìn)而求其外接球半徑,并與4比較大小,即可確定答案.【詳解】若幾何體外接球球心為,半徑為,①由題設(shè),幾何體為棱長(zhǎng)為3的正四面體,為底面中心,則,,所以,可得,即,滿(mǎn)足要求;②由題設(shè),幾何體為棱長(zhǎng)為3的正四棱錐,為底面中心,則,所以,可得,即,不滿(mǎn)足要求;③由題設(shè),幾何體為棱長(zhǎng)為3的正八面體,其外接球直徑同棱長(zhǎng)為3的正四棱錐,故不滿(mǎn)足要求;④由題設(shè),幾何體為棱長(zhǎng)為3的正方體,體對(duì)角線的長(zhǎng)度即為外接球直徑,所以,不滿(mǎn)足要求;故答案為:①14、【解析】由題意可得,化簡(jiǎn)整理得到,進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到其一條漸近線為,所有由題意可得,即,則,所以離心率,故答案為:.15、【解析】當(dāng)點(diǎn)和都在圓的內(nèi)部時(shí),結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得出實(shí)數(shù)m的取值范圍,再由圓心到直線的距離大于半徑得出實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】當(dāng)點(diǎn)和都在圓的內(nèi)部時(shí),,解得或直線的方程為,即圓心到直線的距離為,當(dāng)圓心到直線的距離大于半徑時(shí),,且.綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為:16、【解析】先根據(jù)拋物線方程求出,進(jìn)而求出準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線為,則,解得:,準(zhǔn)線方程為:.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)設(shè)為橢圓上的點(diǎn),為橢圓的右焦點(diǎn),求出然后求解最小值,推出,,,得到雙曲線方程(2)設(shè),,,,,即可得到,依題意可得以、為切點(diǎn)的切線方程,從而得到直線的方程,再分與兩種情況討論,即可得證;【小問(wèn)1詳解】解:設(shè)為橢圓上的點(diǎn),為橢圓的右焦點(diǎn),因?yàn)?,所以,又,所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí),,因?yàn)椋?,,因?yàn)?,所以,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】解:由(1)知,設(shè),,,,,所以,由題知,以為切點(diǎn)的橢圓切線方程為,以為切點(diǎn)的橢圓切線方程為,又點(diǎn)在直線、上,所以、,所以直線的方程為,當(dāng)時(shí),直線的斜率不存在,直線斜率為,所以,當(dāng)時(shí),,所以,所以,綜上可得;18、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)題意可得,,再由,即可求解.(2)設(shè)直線的方程為,將直線與橢圓方程聯(lián)立求得關(guān)于的方程,利用弦長(zhǎng)公式求出,再利用點(diǎn)到直線的距離求出點(diǎn)到直線的距離,利用三角形的面積公式配方即可求解.【詳解】解(1)由題意得:,,∴,∴∴橢圓的方程為(2)∵直線的斜率為,∴可設(shè)直線的方程為與橢圓的方程聯(lián)立可得:①設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為,由韋達(dá)定理得:,∴點(diǎn)到直線的距離,∴由①知:,,令,則,∴令,則在上的最大值為∴的最大值為綜上所述:三角形面積的最大值2.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了直線與橢圓額位置關(guān)系中三角形面積問(wèn)題,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】(1)由題意可得化簡(jiǎn)可得答案;(2)求出、方程并得到、點(diǎn)坐標(biāo),再聯(lián)立,方程求出交點(diǎn)和、點(diǎn)到的距離,可得,設(shè),與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理得到,設(shè),記,利用導(dǎo)數(shù)可得答案..【小問(wèn)1詳解】由題意可知:,即:化簡(jiǎn)得:;【小問(wèn)2詳解】由題意可知:,,,過(guò)點(diǎn)的切線斜率為,方程為:①,令,,則,同理:方程為:②,,聯(lián)立①②得:,的交點(diǎn),,點(diǎn)到的距離,所以③,設(shè):,則,整理得,所以,由韋達(dá)定理得:,,代入③式得:,設(shè),記,則,令得(舍負(fù)),時(shí),單調(diào)遞減:時(shí),單調(diào)遞增,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)的最小值為.20、(1)1;(2)y=x+7【解析】(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的斜率k==,代入即可求得斜率;(2)由(1)中直線AB的斜率,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得M點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)直線AB的方程為y=x+m,與拋物線聯(lián)立,求得根,結(jié)合弦長(zhǎng)公式求得AB,由知,|AB|=2|MN|,從而求得參數(shù)m.【詳解】解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直線AB的斜率k===1(2)由y=,得y′=設(shè)M(x3,y3),由題設(shè)知=1,解得x3=2,于是M(2,1)設(shè)直線AB的方程為y=x+m,故線段AB的中點(diǎn)為N(2,2+m),|MN|=|m+1|將y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0當(dāng)Δ=16(m+1)>0,即m>-1時(shí),x1,2=2±2從而|AB|=|x1-x2|=由題設(shè)知|AB|=2|MN|,即=2(m+1),解得m=7所以直線AB的方程為y=x+721、(1);(2)【解析】(1)在△中,由余弦定理,即可求.(2)在中,由正弦定理,即可求.【詳解】(1)在△中,,,,由余弦定理得:,∴(2)在中,,,,由正弦定理得:,即,∴22、(1)(2)不存在,理由見(jiàn)解析【解析】(1)利用垂直關(guān)系,以點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,分別求平面和平面的法向量和,利用公式,即可求解;(2)若滿(mǎn)足條件,,利用向量的坐標(biāo)表示,判斷是否存在點(diǎn)滿(mǎn)足.【小問(wèn)1詳解】∵,E為BD的中點(diǎn)∴CE⊥BD,又∵平面⊥平面ABD,平面平面,⊥平面,∴⊥平面ABD,如圖以E原點(diǎn),分別以EB、AE、EC′所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),A(0,-,0),D(-1,0,0),F(xiàn)(0,-,2),(0,0,),∴=
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