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河北省永清一中2025屆數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.函數(shù)圖像大致為()A. B.C. D.2.中,設(shè),,為中點(diǎn),則A. B.C. D.3.已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都滿足,若,則A.-1 B.0C.1 D.24.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是A.1 B.C. D.1+5.如圖,質(zhì)點(diǎn)在單位圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),其初始位置為,角速度為2,則點(diǎn)到軸距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象大致為()A. B.C. D.6.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑,如圖,在鱉臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,則異面直線AC與BD所成角的余弦值為()A. B.-C.2 D.7.已知,,則的值約為(精確到)()A. B.C. D.8.學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況,抽出了一個(gè)容量為的樣本,其頻率分布直方圖如圖所示,其中支出在元的同學(xué)有30人,則的值為A.300 B.200C.150 D.1009.菱形ABCD在平面α內(nèi),PC⊥α,則PA與BD的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交但不垂直C.垂直相交 D.異面且垂直10.計(jì)算:的值為A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.設(shè)函數(shù),則____________12.不等式的解集是________.13.函數(shù)定義域?yàn)開__________14.若,則___________.15.已知函數(shù)fx=log5x.若f16.函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為___________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知函數(shù)(且).(1)若函數(shù)的定義域?yàn)?,求?shí)數(shù)的取值范圍;(2)函數(shù)的定義域?yàn)?,且滿足如下條件:存在,使得在上的值域?yàn)?,那么就稱函數(shù)為“二倍函數(shù)”.若函數(shù)是“二倍函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.某運(yùn)營(yíng)商為滿足用戶手機(jī)上網(wǎng)的需求,推出甲、乙兩種流量包月套餐,兩種套餐應(yīng)付的費(fèi)用(單位:元)和使用的上網(wǎng)流量(單位:GB)之間的關(guān)系如圖所示,其中AB,DE都與橫軸平行,BC與EF相互平行(1)分別求套餐甲、乙的費(fèi)用(元)與上網(wǎng)流量x(GB)的函數(shù)關(guān)系式f(x)和g(x);(2)根據(jù)題中信息,用戶怎樣選擇流量包月套餐,能使自己應(yīng)付的費(fèi)用更少?19.如圖甲,直角梯形中,,,為的中點(diǎn),在上,且,現(xiàn)沿把四邊形折起得到空間幾何體,如圖乙.在圖乙中求證:(1)平面平面;(2)平面平面.20.已知為銳角,,(1)求和的值;(2)求和的值21.已知函數(shù)f(1)求f-23(2)作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖;(3)由簡(jiǎn)圖指出函數(shù)的值域;(4)由簡(jiǎn)圖得出函數(shù)的奇偶性,并證明.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】先求出函數(shù)的定義域,判斷出函數(shù)為奇函數(shù),排除選項(xiàng)D,由當(dāng)時(shí),,排除A,C選項(xiàng),得出答案.【詳解】解析:定義域?yàn)椋?,所以為奇函?shù),可排除D選項(xiàng),當(dāng)時(shí),,,由此,排除A,C選項(xiàng),故選:B2、C【解析】分析:直接利用向量的三角形法則求.詳解:由題得,故答案為C.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查向量的加法和減法法則,意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和轉(zhuǎn)化能力.(2)向量的加法法則:,向量的減法法則:.3、A【解析】由題意首先確定函數(shù)的周期性,然后結(jié)合所給的關(guān)系式確定的值即可.【詳解】由可得,據(jù)此可得:,即函數(shù)是周期為2的函數(shù),且,據(jù)此可知.本題選擇A選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的周期性及其應(yīng)用等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.4、C【解析】由,故選C.5、A【解析】利用角速度先求出時(shí),的值,然后利用單調(diào)性進(jìn)行判斷即可【詳解】因?yàn)?,所以由,得,此時(shí),所以排除CD,當(dāng)時(shí),越來越小,單調(diào)遞減,所以排除B,故選:A6、A【解析】如圖所示,分別取,,,的中點(diǎn),,,,則,,,或其補(bǔ)角為異面直線與所成角【詳解】解:如圖所示,分別取,,,的中點(diǎn),,,,則,,,或其補(bǔ)角為異面直線與所成角設(shè),則,,,異面直線與所成角的余弦值為,故選:A【點(diǎn)睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法,其基本思路是通過平移直線,把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決,具體步驟如下:①平移:平移異面直線中的一條或兩條,作出異面直線所成的角;②認(rèn)定:證明作出的角就是所求異面直線所成的角;③計(jì)算:求該角的值,常利用解三角形;④取舍:由異面直線所成的角的取值范圍是,當(dāng)所作的角為鈍角時(shí),應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角7、B【解析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將化為和的形式,代入和的值即可得解.【詳解】.故選:B8、D【解析】根據(jù)頻率分布直方圖的面積和1,可得的頻率為P=1-10(0.01+0.024+0.036)=0.3,又由,解得.選D.9、D【解析】由菱形ABCD平面內(nèi),則對(duì)角線,又,可得平面,進(jìn)而可得,又顯然,PA與BD不在同一平面內(nèi),可判斷其位置關(guān)系.【詳解】假設(shè)PA與BD共面,根據(jù)條件點(diǎn)和菱形ABCD都在平面內(nèi),這與條件相矛盾.故假設(shè)不成立,即PA與BD異面.又在菱形ABCD中,對(duì)角線,,,則且,所以平面平面.則,所以PA與BD異面且垂直.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查異面直線的判定和垂直關(guān)系的證明,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】運(yùn)用指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則.【詳解】.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算,是簡(jiǎn)單題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、2【解析】利用分段函數(shù)由里及外逐步求解函數(shù)的值即可.【詳解】解:由已知,所以,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)值的求法,考查計(jì)算能力.12、【解析】由題意,,根據(jù)一元二次不等式的解法即可求出結(jié)果.【詳解】由題意,或,故不等式的解集為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.13、[0,1)【解析】要使函數(shù)有意義,需滿足,函數(shù)定義域?yàn)閇0,1)考點(diǎn):函數(shù)定義域14、1【解析】由已知結(jié)合兩角和的正切求解【詳解】由,可知tan(α+β)=1,得,即tanα+tanβ=,∴故答案為1【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的正切公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)的計(jì)算題15、1,2【解析】結(jié)合函數(shù)的定義域求出x的范圍,分x=1,0<x<1以及1<x<2三種情況進(jìn)行討論即可.【詳解】因?yàn)閒x=log5x的定義域?yàn)?,+當(dāng)x=1時(shí),fx當(dāng)0<x<1時(shí),2-x>1,則fx<f2-x等價(jià)于log5x<log52-x,所以-當(dāng)1<x<2時(shí),0<2-x<1,則fx<f2-x等價(jià)于log5x<log52-x,所以log5x<-log5所以x的取值范圍是1,2.故答案為:1,2.16、【解析】利用正切函數(shù)的對(duì)稱中心求解即可.【詳解】令=(),得(),∴對(duì)稱中心的坐標(biāo)為故答案:()三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)由題意可知,對(duì)任意的,恒成立,利用參變量分離法結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域可求得實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)分析可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,由“二倍函數(shù)”的定義可知關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不等的正根,可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組,由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解:的定義域?yàn)?,所以,恒成立,則恒成立,,,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍為.小問2詳解】解:當(dāng)時(shí),因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)為增函數(shù),外層函數(shù)為增函數(shù),故函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)為減函數(shù),外層函數(shù)為減函數(shù),故函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,若函數(shù)是“二倍函數(shù)”,則需滿足,即,所以,、是關(guān)于的方程的兩根,設(shè),則關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的正根,所以,,解得,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.18、(1)f(x)=30,?(2)答案見解析【解析】(1)利用函數(shù)的圖像結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)求出解析式;(2)由f(x)=g(x),得x=30,結(jié)合圖像選擇合適的套餐.【小問1詳解】對(duì)于套餐甲:當(dāng)0≤x≤20時(shí),f(x)=30,當(dāng)x>20時(shí),設(shè)f(x)=kx+b,可知函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(20,30),所以20k+b=3050k+b=120,解得k=3b=-30故f(x)=對(duì)于套餐乙:當(dāng)0≤x≤50時(shí),g(x)=60,當(dāng)x>50時(shí),根據(jù)題意,可設(shè)g(x)=3x+d,將(50,60)代入可得d=-90故g(x)=【小問2詳解】由f(x)=g(x),可得3x-30=60,解得x=30由函數(shù)圖象可知:若用戶使用的流量x∈[0,30若用戶使用的流量x=30時(shí),選擇兩種套餐均可;若用戶使用的流量x∈(30,+∞19、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)證明出平面,平面,利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立;(2)證明出平面,可得出平面,利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】證明:翻折前,,翻折后,則有,,因?yàn)槠矫?,平面,平面,因?yàn)槠矫?,平面,平面,因?yàn)?,因此,平面平?【小問2詳解】證明:翻折前,在梯形中,,,則,,則,翻折后,對(duì)應(yīng)地,,,因?yàn)?,所以,平面,,則平面,平面,因此,平面平面.20、(1),(2),【解析】(1)由為銳角,可求出,利用同角之間的關(guān)系可求出,由正弦的兩角和求.(2)利用同角之間的關(guān)系可求出,根據(jù)結(jié)合余弦的差角公式可得出答案.【小問1詳解】因?yàn)闉殇J角,且,所以所以【小問2詳解】因?yàn)闉殇J角,所以所以所以21、(1)f(-23)=-(2)作圖見解析;(3)[-1,1(4)f(x)為奇函數(shù),證明見解析.【解析】(1)根據(jù)對(duì)應(yīng)區(qū)間,將自變量代入解析式求值即可.(2)應(yīng)用五點(diǎn)法確定點(diǎn)坐標(biāo)列表,再描點(diǎn)畫出函數(shù)圖象.(3)由(2)圖象直接寫出
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