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山東省青島市城陽(yáng)一中2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè)集合,則中元素的個(gè)數(shù)為()A.0 B.2C.3 D.42.已知α是第三象限的角,且,則()A. B.C. D.3.已知集合,,則()A. B.C. D.4.下列函數(shù)中,最小正周期是且是奇函數(shù)的是()A. B.C. D.5.已知,都是正數(shù),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件6.已知集合,,若,則A. B.C. D.7.函數(shù)的圖像大致為()A. B.C. D.8.在平行四邊形中,設(shè),,,,下列式子中不正確的是()A. B.C. D.9.如圖,點(diǎn),,分別是正方體的棱,的中點(diǎn),則異面直線和所成的角是()A. B.C. D.10.若函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為,則整數(shù)的值為()A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.若直線與互相垂直,則點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)_________12.已知點(diǎn),,則以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________13.若關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)___________14.函數(shù)的最大值是____________.15.奇函數(shù)的定義域?yàn)?,若在上單調(diào)遞減,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________.16.空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(﹣1,0,1)到原點(diǎn)O的距離為_(kāi)____三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.2021年12月9日15時(shí)40分,神舟十三號(hào)“天宮課堂”第一課開(kāi)講!受“天宮課堂”的激勵(lì)與鼓舞,某同學(xué)對(duì)航天知識(shí)產(chǎn)生了濃厚的興趣.通過(guò)查閱資料,他發(fā)現(xiàn)在不考慮氣動(dòng)阻力和地球引力等造成的影響時(shí),火箭是目前唯一能使物體達(dá)到宇宙速度,克服或擺脫地球引力,進(jìn)入宇宙空間的運(yùn)載工具.早在1903年齊奧爾科夫斯基就推導(dǎo)出單級(jí)火箭的最大理想速度公式:,被稱為齊奧爾科夫斯基公式,其中為發(fā)動(dòng)機(jī)的噴射速度,和分別是火箭的初始質(zhì)量和發(fā)動(dòng)機(jī)熄火(推進(jìn)劑用完)時(shí)的質(zhì)量.被稱為火箭的質(zhì)量比(1)某單級(jí)火箭的初始質(zhì)量為160噸,發(fā)動(dòng)機(jī)的噴射速度為2千米/秒,發(fā)動(dòng)機(jī)熄火時(shí)的質(zhì)量為40噸,求該單級(jí)火箭的最大理想速度(保留2位有效數(shù)字);(2)根據(jù)現(xiàn)在的科學(xué)水平,通常單級(jí)火箭的質(zhì)量比不超過(guò)10.如果某單級(jí)火箭的發(fā)動(dòng)機(jī)的噴射速度為2千米/秒,請(qǐng)判斷該單級(jí)火箭的最大理想速度能否超過(guò)第一宇宙速度千米/秒,并說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù):,無(wú)理數(shù))18.已知函數(shù)(Ⅰ)求在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間;(Ⅱ)若,,求的值19.已知平面向量,,,且,.(1)求和:(2)若,,求向量與向量夾角的大小.20.如圖,幾何體EF-ABCD中,四邊形CDEF是正方形,四邊形ABCD為直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,△ACB是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,平面CDEF⊥平面ABCD(1)求證:BC⊥AF;(2)求幾何體EF-ABCD的體積21.已知對(duì)數(shù)函數(shù).(1)若函數(shù),討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)對(duì)于(1)中的函數(shù),若,不等式的解集非空,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】先求出集合,再求,最后數(shù)出中元素的個(gè)數(shù)即可.【詳解】因集合,,所以,所以,則中元素的個(gè)數(shù)為2個(gè).故選:B2、B【解析】由已知求得,則由誘導(dǎo)公式可求.【詳解】α是第三象限的角,且,,.故選:B.3、A【解析】由已知得,因?yàn)?,所以,故選A4、A【解析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性和奇偶性對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng),的最小正周期是,且是奇函數(shù),A正確.B選項(xiàng),的最小正周期是,且是奇函數(shù),B錯(cuò)誤.C選項(xiàng),的最小正周期為,且是奇函數(shù),C錯(cuò)誤.D選項(xiàng),的最小正周期是,且是偶函數(shù),D錯(cuò)誤.故選:A5、B【解析】利用特殊值法、基本不等式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】充分性:由于,,且,取,則,充分性不成立;必要性:由于,,且,解得,必要性成立.所以,當(dāng),時(shí),“”“”必要不充分條件.故選:B.6、A【解析】利用兩個(gè)集合的交集所包含的元素,求得的值,進(jìn)而求得.【詳解】由于,故,所以,故,故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩個(gè)集合交集元素的特征,考查兩個(gè)集合的并集的概念,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】分析:通過(guò)研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性,確定函數(shù)圖像.詳解:為奇函數(shù),舍去A,舍去D;,所以舍去C;因此選B.點(diǎn)睛:有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路(1)由函數(shù)的定義域,判斷圖象左右的位置,由函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置;②由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢(shì);③由函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱性;④由函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù).8、B【解析】根據(jù)向量加減法計(jì)算,再進(jìn)行判斷選擇.【詳解】;;;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查向量加減法,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.9、C【解析】通過(guò)平移的方法作出直線和所成的角,并求得角的大小.【詳解】依題意點(diǎn),,分別是正方體的棱,的中點(diǎn),連接,結(jié)合正方體的性質(zhì)可知,所以是異面直線和所成的角,根據(jù)正方體的性質(zhì)可知,是等邊三角形,所以,所以直線和所成的角為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線角的求法,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】結(jié)合函數(shù)單調(diào)性,由零點(diǎn)存在性定理可得解.【詳解】由為增函數(shù),且,可得零點(diǎn)所在的區(qū)間為,所以.故選:C.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、或.【解析】分析:由題意首先求得實(shí)數(shù)m的值,然后求解距離即可.詳解:由直線垂直的充分必要條件可得:,即:,解得:,,當(dāng)時(shí)點(diǎn)到軸的距離為0,當(dāng)時(shí)點(diǎn)到軸的距離為5,綜上可得:點(diǎn)到軸的距離為或.點(diǎn)睛:本題主要考查直線垂直的充分必要條件,分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.12、【解析】,,中點(diǎn)坐標(biāo)為,圓的半徑以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,故答案為.13、【解析】根據(jù)題意顯然可知,整理不等式得:,令,求出在的范圍即可求出答案.【詳解】由題意知:,即對(duì)任意的恒成立,當(dāng),得:,即對(duì)任意的恒成立,即對(duì)任意的恒成立,令,在上單減,所以,所以.故答案為:14、【解析】把函數(shù)化為的形式,然后結(jié)合輔助角公式可得【詳解】由已知,令,,,則,所以故答案為:15、【解析】因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域?yàn)?,若在上單調(diào)遞減,所以在定義域上遞減,且,所以解得,故填.點(diǎn)睛:利用奇函數(shù)及其增減性解不等式時(shí),一方面要確定函數(shù)的增減性,注意奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性一致,同時(shí)還要注意函數(shù)的定義域?qū)?wèn)題的限制,以免遺漏造成錯(cuò)誤.16、【解析】由空間兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算可得所求值.【詳解】點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查空間兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)千米/秒;(2)該單級(jí)火箭最大理想速度不可以超過(guò)第一宇宙速度千米/秒,理由見(jiàn)解析.【解析】(1)由題可知,,,代入即求;(2)利用條件可求,即得.【小問(wèn)1詳解】,,,該單級(jí)火箭的最大理想速度為千米/秒.【小問(wèn)2詳解】,,,,,.該單級(jí)火箭最大理想速度不可以超過(guò)第一宇宙速度千米/秒.18、(Ⅰ),;(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為,求得函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間,與取交集可得出結(jié)果;(Ⅱ)由可得出,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值,利用兩角和的正弦公式可求得的值詳解】(Ⅰ)令,,得,令,得;令,得.因此,函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間為,;(Ⅱ)由,得,,又,,因此,【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解,同時(shí)也考查了利用兩角和的正弦公式求值,考查計(jì)算能力,屬于中等題.19、(1),;(2).【解析】(1)本題首先可根據(jù)、得出,然后通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果;(2)本題首先可根據(jù)題意得出以及,然后求出、以及的值,最后根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可得出結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)椋?,,且,,所以,解得,故?(2)因?yàn)?,,所以,因?yàn)?,,所以,,,,設(shè)與的夾角為,則,因?yàn)椋?,向量與向量的夾角為.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行、向量垂直以及向量的數(shù)量積的相關(guān)性質(zhì),若、且,則,考查通過(guò)向量的數(shù)量積公式求向量的夾角,考查計(jì)算能力,是中檔題.20、(1)詳見(jiàn)解析;(2).【解析】(1)推導(dǎo)出FC⊥CD,F(xiàn)C⊥BC,AC⊥BC,由此BC⊥平面ACF,從而BC⊥AF(2)推導(dǎo)出AC=BC=2,AB4,從而AD=BCsin∠ABC=22,由V幾何體EF﹣ABCD=V幾何體A﹣CDEF+V幾何體F﹣ACB,能求出幾何體EF﹣ABCD的體積【詳解】(1)因?yàn)槠矫鍯DEF⊥平面ABCD,平面CDEF∩平面ABCD=CD,又四邊形CDEF是正方形,所以FC⊥CD,F(xiàn)C?平面CDEF,所以FC⊥平面ABCD,所以FC⊥BC因?yàn)椤鰽CB是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,所以AC⊥BC又AC∩CF=C,所以BC⊥平面ACF所以BC⊥AF(2)因?yàn)椤鰽BC是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,所以AC=BC=2,AB==4,所以AD=BCsin∠ABC=2=2,CD=AB=BCcos∠ABC=4-2cos45°=2,∴DE=EF=CF=2,由勾股定理得AE==2,因?yàn)镈E⊥平面ABCD,所以DE⊥AD又AD⊥DC,DE∩DC=D,所以AD⊥平面CDEF所以V幾何體EF-ABCD=V幾何體A-CDEF+V幾何體F-ACB==+==【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明,考查幾何體的體積的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題21、(1)詳見(jiàn)解析;(2).【解析】(1)由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義,得到的值,進(jìn)而得到函數(shù)的
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