2025屆江蘇省海安市南莫中學數(shù)學高二上期末經典試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆江蘇省海安市南莫中學數(shù)學高二上期末經典試題注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知數(shù)列滿足,,則的最小值為()A. B.C. D.2.若直線與互相垂直,則實數(shù)a的值為()A.-3 B.C. D.33.給出下列判斷,其中正確的是()A.三點唯一確定一個平面B.一條直線和一個點唯一確定一個平面C.兩條平行直線與同一條直線相交,三條直線在同一平面內D.空間兩兩相交的三條直線在同一平面內4.已知則是的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知數(shù)列的前項和為,當時,()A.11 B.20C.33 D.356.已知直線l和拋物線交于A,B兩點,O為坐標原點,且,交AB于點D,點D的坐標為,則p的值為()A. B.1C. D.27.已知雙曲線C:的漸近線方程是,則m=()A.3 B.6C.9 D.8.小王與小張二人參加某射擊比賽預賽的五次測試成績如下表所示,設小王與小張成績的樣本平均數(shù)分別為和,方差分別為和,則()第一次第二次第三次第四次第五次小王得分(環(huán))910579小張得分(環(huán))67557A. B.C. D.9.從2,4中選一個數(shù)字,從1,3,5中選兩個數(shù)字,組成無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A.48 B.36C.24 D.1810.已知圓:,是直線的一點,過點作圓的切線,切點為,,則的最小值為()A. B.C. D.11.雙曲線(,)的一條漸近線的傾斜角為,則離心率為()A. B.C.2 D.412.在數(shù)列中抽取部分項(按原來的順序)構成一個新數(shù)列,記為,再在數(shù)列插入適當?shù)捻棧顾鼈円黄鹉軜嫵梢粋€首項為1,公比為3的等比數(shù)列.若,則數(shù)列中第項前(不含)插入的項的和最小為()A.30 B.91C.273 D.820二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.由曲線圍成的圖形的面積為________14.已知函數(shù)在R上連續(xù)且可導,為偶函數(shù)且,其導函數(shù)滿足,則不等式的解集為___.15.已知函數(shù)有零點,則的取值范圍是___________.16.在圓M:中,過點的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為___________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)冬奧會的全稱是冬季奧林匹克運動會,是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運動會,每四年舉辦一屆.第24屆冬奧會將于2022年在中國北京和張家口舉行.為了弘揚奧林匹克精神,增強學生的冬奧會知識,廣安市某中學校從全校隨機抽取50名學生參加冬奧會知識競賽,并根據(jù)這50名學生的競賽成績,繪制頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間(1)求頻率分布直方圖中a的值:(2)求這50名學生競賽成績的眾數(shù)和中位數(shù).(結果保留一位小數(shù))18.(12分)在等差數(shù)列中,,.(1)求數(shù)列通項公式;(2)若,求數(shù)列的前項和.19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為正方形,底面,,為棱的中點.(1)求直線與所成角的余弦值;(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)求二面角的余弦值.20.(12分)某電腦公司為調查旗下A品牌電腦的使用情況,隨機抽取200名用戶,根據(jù)不同年齡段(單位:歲)統(tǒng)計如下表:分組頻率/組距0.010.040.070.060.02(1)根據(jù)上表,試估計樣本的中位數(shù)、平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表,結果精確到0.1);(2)按照年齡段從內的用戶中進行分層抽樣,抽取6人,再從中隨機選取2人贈送小禮品,求恰有1人在內的概率21.(12分)已知函數(shù)(1)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;(2)當時,若關于x的不等式恒成立,試求a的取值范圍22.(10分)以直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知直線的極坐標方程為,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)(1)求直線和曲線的普通方程;(2)直線與軸交于點,與曲線交于,兩點,求

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】采用疊加法求出,由可得,結合對勾函數(shù)性質分析在或6取到最小值,代值運算即可求解.【詳解】因為,所以,,,,式相加可得,所以,,當且僅當取到,但,,所以時,當時,,,所以的最小值為.故選:C2、C【解析】根據(jù)給定條件利用兩條直線互相垂直的關系列式計算作答.【詳解】因直線與互相垂直,則,解得,所以實數(shù)a的值為.故選:C3、C【解析】根據(jù)確定平面的條件可對每一個選項進行判斷.【詳解】對A,如果三點在同一條直線上,則不能確定一個平面,故A錯誤;對B,如果這個點在這條直線上,就不能確定一個平面,故B錯誤;對C,兩條平行直線確定一個平面,一條直線與這兩條平行直線都相交,則這條直線就在這兩條平行直線確定的一個平面內,故這三條直線在同一平面內,C正確;對D,空間兩兩相交的三條直線可確定一個平面,也可確定三個平面,故D錯誤.故選:C4、A【解析】先解不等式,再比較集合包含關系確定選項.【詳解】因為,所以是的充分不必要條件,選A.【點睛】本題考查解含絕對值不等式、解一元二次不等式以及充要關系判定,考查基本分析求解能力,屬基礎題.5、B【解析】由數(shù)列的性質可得,計算可得到答案.【詳解】由題意,.故答案為B.【點睛】本題考查了數(shù)列的前n項和的性質,屬于基礎題.6、B【解析】由垂直關系得出直線l方程,聯(lián)立直線和拋物線方程,利用韋達定理以及數(shù)量積公式得出p的值.【詳解】,,即聯(lián)立直線和拋物線方程得設,則解得故選:B7、C【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線求得的值.【詳解】依題意可知,雙曲線的漸近線為,所以.故選:C8、C【解析】根據(jù)圖表數(shù)據(jù)可以看出小王和小張的平均成績和成績波動情況.【詳解】解:從圖表中可以看出小王每次的成績均不低于小張,但是小王成績波動比較大,故設小王與小張成績的樣本平均數(shù)分別為和,方差分別為和.可知故選:C9、B【解析】直接利用乘法分步原理分三步計算即得解.【詳解】從中選一個數(shù)字,有種方法;從中選兩個數(shù)字,有種方法;組成無重復數(shù)字的三位數(shù),有個.故選:B10、A【解析】根據(jù)題意,為四邊形的面積的2倍,即,然后利用切線長定理,將問題轉化為圓心到直線的距離求解.【詳解】圓:的圓心為,半徑,設四邊形的面積為,由題設及圓的切線性質得,,∵,∴,圓心到直線的距離為,∴的最小值為,則的最小值為,故選:A11、C【解析】根據(jù)雙曲線方程寫出漸近線方程,得出,進而可求出雙曲線的離心率.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為,又其中一條漸近線的傾斜角為,所以,則,所以該雙曲線離心率為.故選:C.12、C【解析】先根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得到,列出數(shù)列的前6項,將其中是數(shù)列的項的所有數(shù)去掉即可求解.【詳解】因為是以1為首項、3為公比的等比數(shù)列,所以,則由,得,即數(shù)列中前6項分別為:1、3、9、27、81、243,其中1、9、81是數(shù)列的項,3、27、243不是數(shù)列的項,且,所以數(shù)列中第7項前(不含)插入的項的和最小為.故選:C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】曲線圍成的圖形關于軸,軸對稱,故只需要求出第一象限的面積即可.【詳解】將或代入方程,方程不發(fā)生改變,故曲線關于關于軸,軸對稱,因此只需求出第一象限的面積即可.當,時,曲線可化為:,在第一象限為弓形,其面積為,故.故答案為:.14、【解析】由已知條件可得圖象關于對稱,在上遞增,在上遞減,然后分四種情況討論求解即可【詳解】因為為偶函數(shù),所以的圖象關于軸對稱,所以的圖象關于對稱,因為,所以當時,,當時,,所以在上遞增,在上遞減,由,得,或,或,或,解得,或,或,或,綜上,,所以等式的解集為故答案為:15、【解析】利用導數(shù)可求得函數(shù)的最小值,要使函數(shù)有零點,只要,求得函數(shù)的最小值,即可得解.【詳解】解:,當時,,當時,,所以在上遞減,在上遞增,所以,因為函數(shù)有零點,所以,解得.故答案為:.16、【解析】首先將圓的方程配成標準式,即可得到圓心坐標與半徑,從而可得點在圓內,即可得到過點的最長弦、最短弦弦長,即可求出四邊形的面積;【詳解】解:圓M:,即,圓心,半徑,點,則,所以點在圓內,所以過點的最長弦,又,所以最短弦,所以故答案為:三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)眾數(shù);中位數(shù)【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖矩形面積和為1列式即可;(2)根據(jù)眾數(shù)即最高矩形中間值,中位數(shù)左右兩邊矩形面積各為0.5列式即可.【小問1詳解】由,得【小問2詳解】50名學生競賽成績的眾數(shù)為設中位數(shù)為,則解得所以這50名學生競賽成績的中位數(shù)為76.418、(1);(2).【解析】(1)利用等差數(shù)列的基本量,根據(jù)題意,列出方程,即可求得公差以及通項公式;(2)根據(jù)(1)中所求,結合等差數(shù)列的前項和的公式,求得,以及,再利用等比數(shù)列的前項和公式求得.【小問1詳解】因為,所以,故可得,所以.【小問2詳解】因為,所以.于是,令,則.顯然數(shù)列是等比數(shù)列,且,公比,所以數(shù)列的前n項和.19、(1);(2);(3).【解析】以點為坐標原點,、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系,設.(1)寫出、的坐標,利用空間向量法計算出直線與所成角的余弦值;(2)求出平面的一個法向量的坐標,利用空間向量法可計算得出直線與平面所成角的正弦值;(3)求出平面的一個法向量的坐標,利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【詳解】平面,四邊形為正方形,設.以點為坐標原點,、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系,如下圖所示:則、、、、、.(1),,,所以,異面直線、所成角的余弦值為;(2)設平面的一個法向量為,,,由,可得,取,可得,則,,,因此,直線與平面所成角的正弦值為;(3)設平面的一個法向量為,,,由,可得,得,取,則,,所以,平面的一個法向量為,,由圖形可知,二面角為銳角,因此,二面角的余弦值為.【點睛】方法點睛:求空間角的常用方法:(1)定義法:由異面直線所成角、線面角、二面角的定義,結合圖形,作出所求空間角,再結合題中條件,解對應的三角形,即可求出結果;(2)向量法:建立適當?shù)目臻g直角坐標系,通過計算向量的夾角(兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量)的余弦值,即可求得結果.20、(1)中位數(shù)為38.6,平均數(shù)為38.5歲;(2).【解析】(1)由中位數(shù)分數(shù)據(jù)兩邊的頻率相等,列方程求中位數(shù);根據(jù)各組數(shù)據(jù)的中點數(shù)乘以頻率即可得平均數(shù);(2)由分層抽樣確定從中各抽4人、2人,列舉出隨機選取2人的所有組合,得到恰有1人在的組合數(shù),即可求概率.【詳解】(1)中位數(shù)在中,設為,則,解得.平均數(shù)為歲.所以樣本的中位數(shù)約為38.6,平均數(shù)為38.5歲.(2)根據(jù)分層抽樣法,其中位于中的有4人,記為,,,;位于中的有2人,記為,.從6人中抽取2人,有,,,,,,,,,,,,,,,共15種情況,恰有1人在內的有,,,,,,,,共8種情況,∴恰有1人在內的概率為.【點睛】關鍵點點睛:由中位數(shù)的性質以及平均數(shù)與各組數(shù)據(jù)中點值、頻率的關系求中位數(shù)、平均數(shù);根據(jù)分層抽樣確定各組選取人數(shù),利用列舉法求概率.21、(1)的減區(qū)間為,增區(qū)間為(2)【解析】(1)利用導數(shù)求得的單調區(qū)間.(2)利用分離參數(shù)法,結合構造函數(shù)法以及導數(shù)求得的取值范圍.【小問1詳解】當時,,,所以在區(qū)間遞減;在區(qū)間遞增.所以的減區(qū)間為,增區(qū)間為.【小問2詳解】,恒成立.構造函數(shù),,,構造函數(shù)

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