江蘇省南通市如皋、鎮(zhèn)江市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 附答案

2021－2022學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合eqP＝{x|log\s\do(6)(x＋1)＜1，x∈N}，Q＝{1，3，5}，M＝P∪Q，則集合M中的元素共有A．4個B．6個C．8個D．無數(shù)個2．“函數(shù)f(x)＝sinx＋(a－1)cosx為奇函數(shù)”是“a＝1”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(4，σ2)，且P(3≤X≤5)＝0.86，則P(X＜3)＝A．0.43B．0.28C．0.14D．0.074．已知sin(α＋eq\f(π,3))＝EQ\F(1,2)，則sin(2α＋eq\f(π,6))的值為A．EQ\F(1,2)B．EQ\F(1,2)C．－eq\f(\r(,3),2)D．eq\f(\r(,3),2)5．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，則a2022＝A．－2B．－1C．1D．26．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－x的圖象在點A(1，f(1))處的切線方程為y＝4x－3，則函數(shù)y＝f(x)的極大值為A．1B．eq－\f(5,27)C．eq－\f(25,27)D．－17．已知雙曲線EQ\F(x\S(2),a\S(2))－\F(y\S(2),b\S(2))＝1，過左焦點F作一條漸近線的垂線，記垂足為P，點Q在雙曲線上，且滿eq\o\ac(\S\UP7(→),FP)＝2eq\o\ac(\S\UP7(→),FQ)，則雙曲線的離心率為A．eq\r(,6)B．eq\r(,2)C．eq\r(,3)D．28．已知x＝eq\r(,e)，b＝3－ln4，c＝eq\f(3,2)，則下列選項正確的是A．a(chǎn)＜b＜cB．a(chǎn)＜c＜bC．c＜b＜aD．c＜a＜b二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．關(guān)于復(fù)數(shù)eqz＝－\f(1,2)＋\f(\r(,3),2)i(i為虛數(shù)單位)，下列說法正確的是A．|z|＝1B．z＋z2＝－1C．z3＝－1D．(z＋1)3＝i10．已知函數(shù)f(x)＝2(cosx＋sinx)cosx－1，則下列說法正確的是A．f(x)≥f(eq\f(5,8)π)B．eqf(\f(π,8)＋x)＝f(\f(π,8)－x)C．eqf(\f(π,8)＋x)＋f(\f(π,8)－x)＝0D．f(1)＞f(2)12345678911．如右圖所示，是一個3×3九宮格，現(xiàn)從這9個數(shù)字中隨機挑出3個不同的數(shù)字，記事件A1：恰好挑出的是1、2、3；記事件A2：恰好挑出的是1、4、7；記事件A3：挑出的數(shù)字里含有數(shù)字1．下列說法正確的是A．事件A1，A2是互斥事件B．事件A1，A2是獨立事件C．P(A1|A3)＝P(A2|A3)D．P(A3)＝P(A1)＋P(A2)12．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)在1765年在其所著作的《三角形的幾何學(xué)》－書中提出：三角形的外心(中垂線的交點)、重心(中線的交點)、垂心(高的交點)在同一條直線上，后來，人們把這條直線稱為歐拉線．若△ABC的頂點A(－4，0)，B(0，4)，其歐拉線方程為x－y＋2＝0，則下列說法正確的是A．△ABC的外心為(－1，1)B．△ABC的頂點C的坐標(biāo)可能為(－2，0)C．△ABC的垂心坐標(biāo)可能為(－2，0)D．△ABC的重心坐標(biāo)可能為eq(－\f(4,3)，\f(2,3))三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分。13．eq(x＋\f(1,x)＋2)\s\up6(3)展開式中的常數(shù)項為．14．已知圓O：x2＋y2＝1，M，N，P是圓O上的三個動點，且滿足∠MON＝eq\f(π,2)，eq\o\ac(\S\UP7(→),OP)＝λeq\o\ac(\S\UP7(→),MN)，則eq\o\ac(\S\UP7(→),PM)·eq\o\ac(\S\UP7(→),PN)＝．15．已知拋物線y2＝8x，過焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，若AB＝9，eq\o\ac(\S\UP7(→),AF)＝λeq\o\ac(\S\UP7(→),FB)，則λ＝．16．已知三棱錐D－ABC中，AB＝AC＝AD＝1，∠DAB＝∠DAC＝eq\f(π,2)，∠BAC＝eq\f(π,3)，則點A到平面BCD的距離為，該三棱錐的外接球的體積為．四、解答題：本大題共6小題，共計70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)已知在△ABC中，D為邊BC上一點，CD＝10，2AC＝3AD＝eq\r(,3)AB，cos∠CAD＝EQ\F(1,3)．(1)求AD的長；(2)求sinB．CCADADBB18．(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(－1)nn．(1)求a2n；(2)設(shè)bn＝EQ\F(1,a\S\DO(2n)·a\S\DO(2(n＋1)))，求數(shù)列{bn}的前n項和．19．(本小題滿分12分)已知盒子里有6個形狀、大小完全相同的小球，其中紅、白、黑三種顏色，每種顏色各兩個小球現(xiàn)制定如下游戲規(guī)則：每次從盒子里不放回的摸出一個球，若取到紅球記1分；取到白球記2分；取到黑球記3分．(1)若從中連續(xù)取3個球，求恰好取到3種顏色球的概率；(2)若從中連續(xù)取3個球，記最后總得分為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列．20．(本小題鎮(zhèn)分12分)如圖，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，底面ABC是等腰直角三角形，AA1＝AB＝eq\r(,2)BC＝4，∠A1AB＝60°，cos∠BCC1＝eq\f(\r(,2),4)，M，N分別是棱B1C1，A1B1的中點．(1)證明：NB⊥平面A1B1C1；(2)求直線AM與平面BB1C1C所成角的正弦值．21．(本小題滿分12分)設(shè)橢圓E：EQ\F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點M(eq\r(,3)，EQ\F(1,2))，離心率為EQ\F(\R(,3),2)．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓E的右頂點為A，過定點N(1，0)且斜率不為0的直線與橢圓E交于B，C兩點，設(shè)直線AB，AC與直線x＝4的交點分別為P，Q，求△APQ面積的最小值．22．(本小題滿分12分)設(shè)f(x)＝xex－mx2，m∈R．(1)設(shè)g(x)＝f(x)－2mx，討論函數(shù)y＝g(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)有兩個零點x1，x2，證明：x1＋x2＞2．2021-2022學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.[答案]B[解析]，共6個元素，選B。2.[答案]C[解析]f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），∴∴，對于x∈R恒成立，∴a=I1，充分。。a=1時，f（x）=sinx為奇函數(shù)，必要條件，∴選充分必要條件，選C。3.[答案]D[解析]P（3≤X≤5）=0.86，則P（3≤X≤4）=0.43，則P（X<3）=0.07.故答案選D。4.[答案]B[解析]，選B。5.[答案]A[解析]，，，選A。6.[答案]A[解析]，∴，∴a=1，，x=-1或∴f（x）極大值=f（-1）=-1+1+1=1，選A。7.[答案]B[解析]漸近線：，PF：，∴，∴，則Q為PF中點，∴，Q在雙曲線上，則，∴，∴，∴，選B。8.[答案]C[解析]，∴，∴a>c，，∴a>b，，∴b>c，∴a>b>c，選C。二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.[答案]AB[解析]，A對。，B對。，C錯，D錯，選AB。10.[答案]ABD[解析]，則，即時f（x）取最小值，A對。，則，k∈Z。k=0時，，∴f（x）關(guān)于對稱，B對，C錯。角在第二象限，角在第三象限，∴f（1）>0，f（2）<0，f（0）>f（2），D對11.[答案]AC[解析]事件A1，A2不可能同時發(fā)生，互斥事件，A對。事件A1，A2不是獨立事件，B錯。，∴，C對。，，∴，∴D錯，選AC。12.[答案]ACD[解析]AB的垂直平分線：y-2=-（x+2）即y=x，∴∴外心M（-1，1），A對，外接圓方程，設(shè)C（x，y），則垂心G，G在歐拉線上，∴，即x-y-2=0，∴或∴C（2，0）或（0，-2），B錯。C（0，-2）時，G，D對。設(shè)垂心坐標(biāo)（m，n），則或∴或，即垂心（0，2）或（-2，0），C對，選ACD。三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分。13.[答案]20[解析]（x+1）6展開式中第r+1項，r=3時，，∴常數(shù)項為20。14.[答案]1[解析]取MIN中點Q，則OQ⊥MN，∵，，∴，，∴，∴，∴15.[答案]2或[解析]方法--：設(shè)AB：x=my+2，令，消x可得y2-8my-16=0，，∴，∴，即不妨設(shè)，則，即，∴或，∴或方法二：拋物線焦點弦（其中a為直線T的斜角），∴，∴或16.[答案]；[解析]方法一：，則AD⊥AB，AD⊥AC，∴AD⊥平面ABC，∴BC=1，，∴令A(yù)到平面BCD的距離為h，∴，∴設(shè)△ABC外接圓的圓心半徑為r，，∴設(shè)三棱錐外接球半徑為R，則，∴方法二：取BC中點M，連接AM，DM，∴DM⊥BC，AM⊥BC，∴BC⊥平面ADM?！嗥矫鍭DM⊥平面BCD，過A作AE⊥DM于點E，∴AE⊥平面BCD。，∴設(shè)△ABC外心為O1，過O1作底面ABC垂線1，則O一定在l上，由OA=OD，過O作OF⊥AD?！?，外接球半徑，外接球體積為故應(yīng)填：；四、解答題：本大題共6小題，共計70分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.[解析]方法一：（1）設(shè)AC=3m，AD=2m，在△ACD中，由余弦定理，∴AD=2。（2）由（1）知，AC=3，取AD中點E，連接CE，∴CE⊥AD，∴在△ABD中，由余弦定理方法二：（1）在△ADC中，由余弦定理得：因為，所以，即AD=2（舍負(fù)）（2）因為，4D=2，所以AC=3，，所以∠CDA=∠CAD，因為，所以在△ADB中，由正弦定理得：即，所以18.[解析]方法--：（1）①，②①+②且a2=-1，∴{a2n}成等差數(shù)列且首項為-1，公差為-1，∴。（2）∴{bn}的前n項和方法二：（1）因為，所以，上面2n-1個等式相加得：，因為a1=0，所以a2n=-n。（2）所以數(shù)列{bn}的前n項和19.[解析]方法一：（1）（2）ξ的所有可能取值為4，5，6，7，8，∴ξ的分布列如下：ξ45678PP方法二：（1）“恰好取到3種顏色球”記事件A，每次從盒子里不放回的摸出一個球，從中連續(xù)取3個球，共有種基本事件，事件A包含種基本事件。所以答：恰好取到3種顏色球的概率為（2）隨機變量ζ的可能取值為4，5，6，7，8；；；；所以隨機變量ξ的分布表為：ξ45678PP20.[解析]（1）證明：在△BB1N中，，∴，∴，∴又∵，而，∴，∴，∵，∴NB⊥平面。（2）取AB中點O。連接A1O，OC．如圖建立空間直角坐標(biāo)系∴∵，∴，∴設(shè)平面的一個法向量∴，設(shè)AM與平面所成角為θ，∴21.[解析]（1）由題意知∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)，直線BC：x=my+1。直線AB，AC的斜率分別為，由聯(lián)立得：所以所以直線AB的方程為y=k1（x-2），所以P（4，2k1），同理Q（4，2k2）?！鰽PQ面積，因為，所以后（當(dāng)且僅當(dāng)時取“="），綜上所述：△APQ面積的最小值為。22.[解析]（1），當(dāng)m≤0時，令當(dāng)x<-1時，g'（x）<0，；當(dāng)x>-1時，當(dāng)時，，g（x）在R上單調(diào)遞增當(dāng)時，令∴g（xr）在（-∞，ln2m）上，（ln2m，-1）上；（-1，+∞）上當(dāng)時，令∴g（x）在上，（-1，ln2