專題7.6 空間向量的應(yīng)用（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題7.6空間向量的應(yīng)用【十二大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1向量法證明線線平行】 4【題型2向量法證明直線和平面平行】 5【題型3向量法證明平面和平面平行】 7【題型4向量法證明線線垂直】 8【題型5向量法證明直線和平面垂直】 10【題型6向量法證明平面和平面垂直】 11【題型7求異面直線所成的角】 13【題型8求線面角】 14【題型9求平面與平面所成角】 15【題型10點到直線距離、異面直線距離的向量求法】 17【題型11求點面距、線面距、面面距】 18【題型12立體幾何中的探索性問題】 191、空間向量的應(yīng)用考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理(2)能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量法在研究空間角問題中的作用(3)會求空間中點到直線以及點到平面的距離(4)以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系或空間角存在的條件2022年新高考全國I卷：第19題，12分2022年新高考全國Ⅱ卷：第20題，12分2023年新高考I卷：第18題，12分2023年新高考Ⅱ卷：第20題，12分2024年新高考I卷：第17題，15分2024年新高考Ⅱ卷：第17題，15分空間向量的應(yīng)用是高考的熱點內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，空間向量解立體幾何一般以解答題形式為主，每年必考，難度中等偏難，第一小問一般考查空間線、面位置關(guān)系的證明；空間角與點、線、面距離問題通常在解答題的第二小問考查，有時在選擇題、多選題中也會涉及.在高考復(fù)習(xí)過程中除了掌握空間向量法求空間角、空間距離，還需多鍛煉幾何法的應(yīng)用，學(xué)會靈活求解.【知識點1空間位置關(guān)系的向量表示】1．直線的方向向量直線的方向向量：如果表示非零向量的有向線段所在的直線與直線l平行或重合，那么稱此向量為直線l的方向向量.2．平面的法向量平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量，則稱向量為平面α的法向量.【知識點2用空間向量研究直線、平面的平行關(guān)系】1．空間中直線、平面的平行(1)線線平行的向量表示：設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.(2)線面平行的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.(3)面面平行的向量表示：設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.2．利用向量證明線線平行的思路：證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可．3．證明線面平行問題的方法：(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；(2)證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個不共線向量表示且直線不在平面內(nèi)；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi)．4．證明面面平行問題的方法：(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進行證明．【知識點3用空間向量研究直線、平面的垂直關(guān)系】1．空間中直線、平面的垂直(1)線線垂直的向量表示：設(shè)u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.(2)線面垂直的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.(3)面面垂直的向量表示：設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.2．證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直．3．用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟：(1)利用線線垂直：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量；③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②求出平面的法向量；③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．4．證明面面垂直的兩種方法：(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．【知識點4用向量法求空間角】1．用向量法求異面直線所成角的一般步驟：(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值.2．向量法求直線與平面所成角的主要方法:(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角.3．向量法求二面角的解題思路:用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到兩平面夾角的大小.【知識點5用空間向量研究距離問題】1．距離問題(1)點P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點P到直線l的距離為(如圖)．(2)點P到平面α的距離：設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點，則點P到平面α的距離為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如圖)．2．向量法求點到直線距離的步驟：(1)根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量.(2)在直線上任取一點M(可選擇特殊便于計算的點).計算點M與直線外的點N的方向向量.(3)垂線段長度.3．求點到平面的距離的常用方法(1)直接法：過P點作平面的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ的長度就是點P到平面的距離.②轉(zhuǎn)化法：若點P所在的直線l平行于平面，則轉(zhuǎn)化為直線l上某一個點到平面的距離來求.③等體積法.④向量法：設(shè)平面的一個法向量為，A是內(nèi)任意點，則點P到的距離為.【方法技巧與總結(jié)】1．異面直線所成角的范圍是；直線與平面所成角的范圍是；二面角的范圍是；兩個平面夾角的范圍是.【題型1向量法證明線線平行】【例1】（23-24高二上·河南·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知A1,2,3，B?2,?1,6，C3,2,1，D4,3,0，則直線AB與CD的位置關(guān)系是（

）A．異面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直【變式1-1】（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知空間中兩條不同的直線m，n，其方向向量分別為a，b，則“a，b共線”是“直線m，n平行”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1=1,0,?1，v2=A．平行 B．相交 C．垂直 D．不確定【變式1-3】（23-24高三上·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列說法錯誤的是（

）

A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行【題型2向量法證明直線和平面平行】【例2】（2024高二上·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC,AB=1，AC=AA1=2,AD=CD=【變式2-1】（2024高二上·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=12AP=2，D是AP的中點，E,F,G分別為PC,PD,CB的中點，將△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，試用向量方法證明AP∥【變式2-2】（2024高二·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐O?ABCD中，底面ABCD為矩形，OA⊥底面ABCD，OA=2，AD=2AB=2，M為OA的中點，N為BC的中點，求證：直線MN//平面OCD.【變式2-3】（23-24高二上·江西·階段練習(xí)）如圖，正四棱錐P?ABCD的高為6，AB=32，且M是棱PC上更靠近C(1)證明：BD⊥PC；(2)若在棱PB上存在一點N，使得AN//平面BDM，求BN【題型3向量法證明平面和平面平行】【例3】（2024高二·全國·專題練習(xí)）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點，求證：平面EFG//平面PBC．【變式3-1】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）如圖，已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N，

(1)MN//平面C(2)平面MNP//平面C【變式3-2】（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，【變式3-3】（23-24高二上·天津薊州·階段練習(xí)）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D(1)求證：平面A1C1(2)線段B1C上是否存在點P，使得A1P//平面【題型4向量法證明線線垂直】【例4】（23-24高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）如圖，在下列各正方體中，l為正方體的一條體對角線，M、N分別為所在棱的中點，則滿足MN⊥l的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式4-1】（23-24高二下·江蘇徐州·期中）在正方體ABCD?A1BA．A1D1⊥B1C B．【變式4-2】（2024高二·全國·專題練習(xí)）如圖，在多面體PABCD中，∠ABC=90°,△DAB,△DBC都是等邊三角形，AC=22,PB=2【變式4-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）斜三棱柱ABC?A1B1C1的各棱長都為4,∠A1AB=60°，點A1在下底面ABC的投影為【題型5向量法證明直線和平面垂直】【例5】（23-24高二上·浙江·期中）已知正三棱臺ABC?A1B1C1中，AA1=1，BC=2

(1)求該正三棱臺的表面積；(2)求證：DE⊥平面BC【變式5-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，M、N、P分別是棱CC【變式5-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知直三棱柱ABC?FGE,AC=BC=4,AC⊥BC,O為BC的中點，D為側(cè)棱BG上一點，且BD=14BG，三棱柱ABC?FGE的體積為32．過點O作OQ⊥DE，垂足為點Q，求證：BQ⊥【變式5-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E在棱DD1上運動，

(1)當(dāng)E,F為中點時，證明：DF⊥平面ACE；(2)若DF⊥平面ACE，求DGDF的最大值及此時DE【題型6向量法證明平面和平面垂直】【例6】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在底面是矩形的四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中點.求證：平面PCD⊥平面PAD.【變式6-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E為PD的中點，點F在PC上，且求證：平面AEF⊥平面PCD.【變式6-2】（23-24高二下·湖北·期中）在△ABC中，B=π2,AB=2BC=4，點D、E分別為邊AC、AB的中點，將△AED沿DE折起，使得平面AED⊥

(1)求證：DC⊥AE；(2)在平面ACD內(nèi)是否存在點M，使得平面AEM⊥平面ABD？若存在，指出點M的位置；若不存在，說明理由.【變式6-3】（2024·上海靜安·二模）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，若AD=2，(1)求五面體ABCDEF的體積；(2)若M為EC的中點，求證：平面CDE⊥平面AMD.【題型7求異面直線所成的角】【例7】（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知三棱柱ABC?A1B1C1滿足BB12?BAA．33 B．36 C．39【變式7-1】（2024·廣東梅州·模擬預(yù)測）直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=120°，AB=AC=AAA．34 B．?34 C．2【變式7-2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知菱形ABCD，∠DAB=π3，將△DAC沿對角線AC折起，使以A,B,C,D四點為頂點的三棱錐體積最大，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（A．35 B．32 C．34【變式7-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD是圓柱O1O2的軸截面，點E在圓O2上，若AD=22，AB=23，∠BAE=60°，則異面直線

A．5524 B．5522 C．2224【題型8求線面角】【例8】（2024·青海西寧·模擬預(yù)測）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=32AA1，D為線段BC的中點，點EA．16 B．26 C．36【變式8-1】（2023·四川雅安·一模）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P是線段AB1上的動點（含端點），點Q是線段AC的中點，設(shè)A．13 B．33 C．63【變式8-2】（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測）如圖，三棱錐A?BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°.(1)證明：平面ABC⊥平面BCD；(2)若E為BC中點，點F滿足EF=DA，求直線BF與平面【變式8-3】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，直線PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=90°，F(xiàn)為線段PA的中點，PD=2，AB=AD=12(1)求證：AC//平面DEF；(2)求直線AE與平面BCP所成角的正弦值.【題型9求平面與平面所成角】【例9】（2024·四川·模擬預(yù)測）如圖，多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為4的正方形，△FBC是等邊三角形，EF//AB，EF=12AB，平面FBC⊥(1)求證：EF⊥BF；(2)求二面角E?AD?B的大小．【變式9-1】（2024·四川樂山·三模）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD=60°，AA(1)證明：A1O⊥平面(2)求二面角B?CC【變式9-2】（2024·湖南·三模）如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是梯形，BC//AD,PA=AB=BC=1,AD=2,PC=3,PA⊥平面(1)求證：平面PBC⊥平面PAB；(2)在棱PD上是否存在一點E，使得二面角E?AC?P的余弦值為63.若存在，求出PE:ED【變式9-3】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）如圖1，在五邊形ABCDE中，AB=BD，AD⊥DC，EA=ED且EA⊥ED，將△AED沿AD折成圖2，使得EB=AB，F(xiàn)為AE的中點．(1)證明：BF//平面ECD(2)若EB與平面ABCD所成的角為30°，求二面角A?EB?D的正弦值．【題型10點到直線距離、異面直線距離的向量求法】【例10】（2024·廣西來賓·一模）棱長為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)滿足D1A．3355 C．375 【變式10-1】（23-24高二上·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=1，M，N分別是棱AB，CC1的中點，A．24 B．22 C．1 【變式10-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在空間直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過A3,3,3，B0,6,0兩點，則點P0,0,6到直線lA．62 B．23 C．26【變式10-3】（23-24高二下·江蘇泰州·期中）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為3的正方形，PA⊥底面ABCD,PA=6，點G在側(cè)棱PB上，且滿足2PG=GB，則異面直線PC和DG的距離為（

）A．31414 B．31515 C．【題型11求點面距、線面距、面面距】【例11】（2024·廣東·三模）如圖，邊長為4的兩個正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，點G在棱AD上，AG=2GD，直線AB與平面EFG相交于點H.(1)證明：BD//(2)求直線BD與平面EFG的距離.【變式11-1】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D(1)求點O到平面A1(2)求直線AB與平面A1【變式11-2】（2024高二上·全國·專題練習(xí)）直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，邊長為2，側(cè)棱A1

(1)求證：平面AMN//平面EFBD；(2)求平面AMN與平面EFBD的距離．【變式11-3】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，三棱柱ABC?A1B1C

(1)證明：A1(2)若三棱柱ABC?A1B1C1的體積為3，且直線AA【題型12立體幾何中的探索性問題】【例12】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是等腰直角三角形，其中∠EBC=π(1)設(shè)線段BE中點為F，證明：CF∥平面ADE(2)在線段AB上是否存在點M，使得點B到平面CEM的距離等于22，如果存在，求MB【變式12-1】（2024·貴州黔西·一模）如圖所示為直四棱柱ABCD?A1B1C1D(1)證明:BC⊥平面MM(2)求直線BC與平面BDA1所成角的正弦值，并判斷線段BC上是否存在點P，使得PB1//【變式12-2】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖1，在平行四邊形ABCD中，D=60°,DC=2AD=2，將△ADC沿AC折起，使點D到達點P位置，且PC⊥BC，連接PB得三棱錐P?ABC，如圖2．(1)證明：平面PAB⊥平面ABC；(2)在線段PC上是否存在點M，使平面AMB與平面MBC的夾角的余弦值為58，若存在，求出|PM|【變式12-3】（2024·福建龍巖·二模）三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，側(cè)面A1

(1)求側(cè)棱AA(2)側(cè)棱CC1上是否存在點E，使得直線AE與平面A1BC所成角的正弦值為一、單選題1．（2024·四川德陽·二模）已知m,n是兩條不同的直線，α,β是兩個不同的平面，給出下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）①若m⊥α,n⊥β，且m⊥n，則α⊥β②若m?α,n?α且m//β,n//β，則α//β③若m⊥α,n//β，且m⊥n，則α⊥β④若m⊥α,n//β，且m//n，則α//βA．1 B．2 C．3 D．42．（2024·山東菏澤·二模）如圖，在正方體ABCD?A1B1CA．BB1//平面ACD1C．EF⊥平面BDD1B1 D．平面3．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=CC1=2A．32 B．155 C．1044．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知A?1,?1,?1，直線l過原點且平行于a=(0,1,2)，則A到l的距離為（A．255 B．1 C．3055．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，平面α經(jīng)過點B,D，平面β經(jīng)過點A,DA．12 B．33 C．636．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，設(shè)點P為底面A．33 B．233 C．27．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P為線段①不存在點P，使得BB1②存在點P，使得B1P⊥③當(dāng)點P不是BD1的中點時，都有m④當(dāng)點P不是BD1的中點時，都有m⊥其中正確的說法有（

）A．①③ B．③④ C．②③ D．①④8．（2024·陜西·模擬預(yù)測）在平行六面體ABCD?A1B1C1DA．直線A1C與B．線段A1CC．直線