專題6.3 等比數(shù)列及其前n項和（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題6.3等比數(shù)列及其前n項和【十一大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等比數(shù)列的基本量運(yùn)算】 4【題型2等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】 5【題型3等比數(shù)列的判定與證明】 5【題型4等比數(shù)列的通項公式】 5【題型5等比數(shù)列中的單調(diào)性與最值問題】 6【題型6等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)】 6【題型7等比數(shù)列的簡單應(yīng)用】 7【題型8等比數(shù)列的奇偶項討論問題】 8【題型9等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】 9【題型10等比數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】 10【題型11與等比數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問題】 111、等比數(shù)列及其前n項和考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計考情分析(1)通過生活中的實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義(2)掌握等比數(shù)列前n項和公式，理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系(3)能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題(4)體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系2022年新高考全國Ⅱ卷：第17題，10分2023年新高考Ⅱ卷：第8題，5分2023年全國乙卷（理數(shù)）：第15題，5分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第5題，5分2024年新高考Ⅱ卷：第19題，17分2024年北京卷：第5題，5分等比數(shù)列是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的?？純?nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，等比數(shù)列的基本量計算和基本性質(zhì)、等比數(shù)列的中項性質(zhì)、判定是高考考查的熱點(diǎn)，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；等比數(shù)列的證明、求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)，一般出現(xiàn)在解答題中，難度中等.去年高考壓軸題中出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景題，綜合性強(qiáng)，難度大，需要靈活求解.【知識點(diǎn)1等比數(shù)列及其前n項和】1．等比數(shù)列的概念文字

語言一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)符號

語言在數(shù)列{}中，如果（或）(q≠0)成立，則稱數(shù)列{}為等比數(shù)列，常數(shù)q稱為等比數(shù)列的公比遞推

關(guān)系或2．等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù)G(G≠0)，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.

若G是a與b的等比中項，則，所以=ab，即G=.3．等比數(shù)列的通項公式若等比數(shù)列{}的首項為，公比為q，則這個等比數(shù)列的通項公式是=(,q≠0).4．等比數(shù)列的單調(diào)性已知等比數(shù)列{}的首項為，公比為q，則

(1)當(dāng)或時，等比數(shù)列{}為遞增數(shù)列；

(2)當(dāng)或時，等比數(shù)列{}為遞減數(shù)列；

(3)當(dāng)q=1時，等比數(shù)列{}為常數(shù)列(這個常數(shù)列中各項均不等于0)；

(4)當(dāng)q<0時，等比數(shù)列{}為擺動數(shù)列(它所有的奇數(shù)項同號，所有的偶數(shù)項也同號，但是奇數(shù)項與偶數(shù)項異號).5．等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè){}為等比數(shù)列，公比為q，則

(1)若m+n=p+q，m,n,p,q，則.

(2)若m,n,p(m,n,p)成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列.

(3)數(shù)列{}(為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；

數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；

數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；

若數(shù)列{}是公比為q'的等比數(shù)列，則數(shù)列{}是公比為q·q'的等比數(shù)列.

(4)在數(shù)列{}中，每隔k(k)項取出一項，按原來的順序排列，所得數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為.

(5)在數(shù)列{}中，連續(xù)相鄰k項的和(或積)構(gòu)成公比為(或)的等比數(shù)列.

(6)若數(shù)列{}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列{}(c>0且c≠1)是公差為的等差數(shù)列.6．等比數(shù)列的前n項和公式若等比數(shù)列{}的首項為，公比為q，則等比數(shù)列{}的前n項和公式為

=.7．等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)已知等比數(shù)列{}的公比為q，前n項和為，則有如下性質(zhì)：

(1).

(2)若(k)均不為0，則成等比數(shù)列，且公比為.

(3)若{}共有2n(n)項，則=q；

若{}共有(2n+1)(n)項，則=q.【知識點(diǎn)2等比數(shù)列的基本運(yùn)算的解題策略】1．等比數(shù)列基本量的運(yùn)算的求解思路：等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解.【知識點(diǎn)3等比數(shù)列的判定方法】1．證明數(shù)列是等比數(shù)列的主要方法：(1)定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；(2)中項法：為等比數(shù)列；(3)通項公式法：（k，q為常數(shù)）為等比數(shù)列；證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.2．在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時，要注意對n=1的情形進(jìn)行驗證.【知識點(diǎn)4等比數(shù)列及其前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用】1．等比數(shù)列的性質(zhì)：等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形；二是等比中項的變形；三是前n項和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.2．等比數(shù)列的單調(diào)性與最值問題涉及等比數(shù)列的單調(diào)性與最值的問題，一般要考慮公比與首項的符號對其的影響.【知識點(diǎn)5等比數(shù)列前n項和的函數(shù)特征】1．Sn與q的關(guān)系(1)當(dāng)公比q≠1時，等比數(shù)列的前n項和公式是，它可以變形為,設(shè)，則上式可以寫成的形式，由此可見，數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn)；(2)當(dāng)公比q=1時，等比數(shù)列的前n項和公式是，則數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點(diǎn).2．Sn與an的關(guān)系當(dāng)公比q≠1時，等比數(shù)列的前n項和公式是，它可以變形為,設(shè)，則上式可以寫成的形式，則Sn是an的一次函數(shù).【方法技巧與總結(jié)】1．等比數(shù)列{}的通項公式可以寫成，這里c≠0，q≠0.2．等比數(shù)列{}的前n項和Sn可以寫成(A≠0，q≠1,0).3．設(shè)數(shù)列{}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和.(1).(2)若，則成等比數(shù)列.(3)若數(shù)列{}的項數(shù)為2n，則；若項數(shù)為2n+1，則.【題型1等比數(shù)列的基本量運(yùn)算】【例1】（2024·安徽滁州·三模）已知an是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，a4+a5=24,a3a6=128，則公比q的值是（

）A．2 B．?2 C．3 D．?3【變式1-1】（2024·廣東廣州·三模）等比數(shù)列an滿足a1+a3=10，A．14 B．12 C．1【變式1-2】（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S4S2A．12 B．22 C．2 【變式1-3】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且S3=14,aA．1 B．23或-1 C．?23 【題型2等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】【例2】（2024·寧夏石嘴山·三模）已知數(shù)列an是等比數(shù)列，且a2a3aA．1 B．2 C．3 D．4【變式2-1】（2024·海南·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列an的公比為3,a2+aA．20 B．24 C．28 D．32【變式2-2】（2024·河南駐馬店·二模）設(shè)等比數(shù)列an的前n項之積為Sn，若S3=1，S9=512，則A．2 B．4 C．8 D．16【變式2-3】（2024·四川巴中·模擬預(yù)測）在等比數(shù)列an中，a1+a3=2，A．3 B．6 C．9 D．18【題型3等比數(shù)列的判定與證明】【例3】（2024·浙江·三模）已知數(shù)列an滿足a1=2，則“an為等比數(shù)列”是“am?aA．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件【變式3-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）等差數(shù)列an的前項n和為Sn，且an∈NA．?dāng)?shù)列2an一定是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列C．?dāng)?shù)列Snn一定是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列【變式3-2】（2024·寧夏銀川·二模）已知數(shù)列{an}滿足a1=1A．{an+3} B．{an?3}【變式3-3】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知“正項數(shù)列an滿足an+1?an=4A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【題型4等比數(shù)列的通項公式】【例4】（2024·全國·一模）等比數(shù)列an中，a1=1，a5=?8a2A．(?2)n?1 B．?(?2)n?1 C．(?2)【變式4-1】（23-24高三下·青海玉樹·階段練習(xí)）已知Sn為數(shù)列an的前n項和，若an+1=2aA．a(chǎn)n=3n?4 B．a(chǎn)n【變式4-2】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知在遞增的等比數(shù)列an中，a1a2a3=1，【變式4-3】（2024·北京·三模）已知等比數(shù)列an滿足：a2<an<a【題型5等比數(shù)列中的單調(diào)性與最值問題】【例5】（23-24高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知數(shù)列an是無窮項等比數(shù)列，公比為q，則“q>1”是“數(shù)列an單調(diào)遞增”的（A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【變式5-1】（2024·四川自貢·三模）等比數(shù)列an公比為qq≠1，若Tn=a1a2aA．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【變式5-2】（23-24高二下·北京順義·期中）數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則對于“對于任意的m∈N?，an+2A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要【變式5-3】（2024·上海閔行·二模）已知數(shù)列an為等比數(shù)列，首項a1>0，公比q∈A．?dāng)?shù)列an的最大項為a1 B．?dāng)?shù)列aC．?dāng)?shù)列anan+1為嚴(yán)格遞增數(shù)列 【題型6等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)】【例6】（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）在正項等比數(shù)列an中，Sn為其前n項和，若S30=7S10，A．10 B．20 C．30 D．40【變式6-1】（2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測）記Sn為公比小于1的等比數(shù)列an的前n項和，S3=2，S12A．6 B．3 C．1 D．1【變式6-2】（23-24高二上·重慶·期中）已知等比數(shù)列an有2n+1項，a1=1，所有奇數(shù)項的和為85，所有偶數(shù)項的和為42，則n=A．2 B．3 C．4 D．5【變式6-3】（2024·江蘇·三模）設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,a5A．1 B．4 C．8 D．25【題型7等比數(shù)列的簡單應(yīng)用】【例7】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）每年6月到9月，昆明大觀公園的荷花陸續(xù)開放，已知池塘內(nèi)某種單瓣荷花的花期為3天（第四天完全凋謝），池塘內(nèi)共有2000個花蕾，第一天有10個花蕾開花，之后每天花蕾開放的數(shù)量都是前一天的2倍，則在第幾天池塘內(nèi)開放荷花的數(shù)量達(dá)到最大（

）A．6 B．7 C．8 D．9【變式7-1】（2024·云南昆明·一模）第七屆國際數(shù)學(xué)大會（ICNE7）的會徽圖案是由若干三角形組成的.如圖所示，作Rt△?AOB，OA=1，∠AOB=30°，再依次作相似三角形△?BOC，△?COD，△

A．32233C．3223【變式7-2】（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）某農(nóng)村合作社引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達(dá)到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2023年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按照計劃該公司從2023年到2032年該產(chǎn)品的銷售總額約為（參考數(shù)據(jù)：1.310≈13.79）（A．3937萬元 B．3837萬元C．3737萬元 D．3637萬元【變式7-3】（2023·陜西安康·模擬預(yù)測）中國古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，則該馬第五天走的里程數(shù)約為（

）A．2.76 B．5.51 C．11.02 D．22.05【題型8等比數(shù)列的奇偶項討論問題】【例8】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）記Sn為數(shù)列an的前n項和，已知(1)求an(2)若bn=(?1)nan+【變式8-1】（2024·湖南長沙·三模）若各項均為正數(shù)的數(shù)列cn滿足cncn+2?cn+12=k(1)求an(2)設(shè)bn=an,n為奇數(shù)b【變式8-2】（2024·云南昆明·三模）正項數(shù)列an的前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項和為Tn(1)求數(shù)列an(2)已知數(shù)列cn滿足cn=bn?a【變式8-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知在正項數(shù)列an中，a3=4,(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足bn=an+(?1)【題型9等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】【例9】（2024·四川綿陽·三模）已知首項為1的等差數(shù)列an滿足：a(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足：a1bn+a2【變式9-1】（2024·天津·高考真題）已知an是等差數(shù)列，a(1)求an的通項公式和i=(2)設(shè)bn是等比數(shù)列，且對任意的k∈N*，當(dāng)2（Ⅰ）當(dāng)k≥2時，求證：2k（Ⅱ）求bn的通項公式及前n【變式9-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a1+a2+3(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=an?3a【變式9-3】（2023·天津濱海新·三模）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列．且a1=b1(1)求an，b(2)記Tn為bn的前n項和，求證：(3)若cn=an+1?b【題型10等比數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】【例10】（2024·廣西桂林·三模）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=nan，且數(shù)列bn的前n項和為Tn，若【變式10-1】（23-24高二下·湖北·期中）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an?2.數(shù)列bn的前(1)求數(shù)列an(2)若cn=anbn，設(shè)數(shù)列cn的前n【變式10-2】（2024·湖南·二模）已知an是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足：bn=2log(1)求數(shù)列an(2)若對任意的n∈N*都有2λa【變式10-3】（2024·天津紅橋·一模）已知Sn為數(shù)列an的前n項和，且滿足Sn=2a(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=(?1)n+1Snr【題型11與等比數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問題】【例11】（2024·全國·模擬預(yù)測）約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)a除以整數(shù)mm≠0所得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱a為m的倍數(shù)，稱m為a的約數(shù).設(shè)正整數(shù)a共有k個正約數(shù)，即為a1，(1)若a=8，求k的值；(2)當(dāng)k≥4時，若ak?a(3)記A=a1a【變式11-1】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若無窮數(shù)列an滿足：對于?n∈N*，an+12(1)若一個公比為q的等比數(shù)列xn為“P數(shù)列”，求q(2)若a1=1，p=2，yn是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，在yk與yk+1之間依次插入數(shù)列a(3)若一個“P數(shù)列"an滿足a1=2,a2=22,an>0，設(shè)數(shù)列1an【變式11-2】（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測）定義：在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”，例如：數(shù)列1,2,3經(jīng)過第一次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1,3,2,5,3；第二次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1,4,3,5,2,7,5,8,3．設(shè)數(shù)列a,b,c經(jīng)過n次“和擴(kuò)充”后得到的數(shù)列的項數(shù)為Pn，所有項的和為S(1)若a=2,b=3,c=4，求P2(2)求不等式Pn(3)是否存在數(shù)列a,b,ca,b,c∈R，使得數(shù)列S【變式11-3】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）若無窮項數(shù)列an滿足an+1=an+d，nt?N?，qa(1)設(shè)d=1，q=1，若首項為1的數(shù)列an為“M3數(shù)列”，求(2)若首項為1的等比數(shù)列bn為“Mt數(shù)列”，求數(shù)列bn的通項公式及前n(3)設(shè)d=1，q=2，若首項為1的數(shù)列cn為“M5數(shù)列”，記數(shù)列cn的前n項和為Tn，求所有滿足一、單選題1．（2024·山東淄博·二模）已知等比數(shù)列an,aA．8 B．±8 C．10 D．±102．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列an的各項均為負(fù)數(shù)，記其前n項和為Sn，若S6?SA．－8 B．－16 C．－32 D．－483．（2024·陜西西安·三模）已知Sn是等比數(shù)列an的前n項和，a1+a4+A．12 B．14 C．16 D．184．（2024·江西·二模）已知數(shù)列an的首項a1為常數(shù)且a1≠23，an+1A．?23,C．0,23 5．（2023·貴州遵義·模擬預(yù)測）公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問題：“十人分十斗玉米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗？”在上述問題中，前五人得到的玉米總量為（

）A．10×8585+C．10×8585?6．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn都是各項為正實(shí)數(shù)的無窮數(shù)列，且a1=b1，a2=b2，an的前nA．a(chǎn)n是遞增數(shù)列 B．bC．Sn>T7．（2024·北京西城·二模）已知{?an?}是無窮等比數(shù)列，其前n項和為Sn，?a?1A．(??3?,1?) B．[8．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Tn，前n項積為Kn，若K7>A．a(chǎn)8=1 B．對任意正整數(shù)nC．K10>K6二、多選題9．（2024·廣西·模擬預(yù)測）若數(shù)列anbn滿足an+1=2an+bnA．a(chǎn)B．a(chǎn)C．i=1D．若an+λ10．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列a的前n項和為Sn,aA．a(chǎn)B．?dāng)?shù)列a2kC．a(chǎn)D．Sn≤50的最大整數(shù)11．（2024·湖南益陽·三模）已知an是等比數(shù)列，Sn是其前n項和，滿足a3A．若an是正項數(shù)列，則aB．SnC．若存在M>