專題3.2 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題3.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1不含參函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間】 2【題型2含參函數(shù)的單調(diào)性】 4【題型3根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】 7【題型4函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系】 9【題型5函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——比較大小】 12【題型6函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——解不等式】 14【題型7導(dǎo)數(shù)關(guān)系構(gòu)造函數(shù)解不等式】 161、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)結(jié)合實(shí)例，借助幾何直

觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

(2)能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)

(3)會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，求參數(shù)的取值范圍等簡(jiǎn)單應(yīng)用2022年新課標(biāo)I卷：第7題，5分2022年全國(guó)甲卷：第12題，5分2023年新課標(biāo)Ⅱ卷：第6題，5分2024年新課標(biāo)I卷：第10題，6分導(dǎo)數(shù)與函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近三年的高考情況來(lái)看，本節(jié)內(nèi)容在高考中常涉及的問(wèn)題有：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小、解不等式、求參數(shù)范圍等；此類問(wèn)題體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，此類問(wèn)題在選擇、填空、解答題中都有考查，而在解答題中時(shí)往往在第一小問(wèn)中呈現(xiàn)，此時(shí)試題整體難度較大.【知識(shí)點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)中函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的解題策略】1.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟；(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；(4)解不等式f'(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.2.含參函數(shù)的單調(diào)性的解題策略：(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.(2)若導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)及兩根的大小；若不能因式分解，則需討論判別式△的正負(fù)，二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).3.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y=f(x)在(a,b)上單調(diào)，則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.(2)f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f'(x)不恒為零，應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則會(huì)漏解.(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問(wèn)題.【知識(shí)點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)中函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用】1.比較大?。豪脤?dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性比較大小.2.解不等式：與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)；題目中若存在f(x)與f'(x)的不等關(guān)系時(shí)，常構(gòu)造含f(x)與另一函數(shù)的積(或商)的函數(shù)，與題設(shè)形成解題鏈條，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，從而求解不等式.【解題方法與技巧】導(dǎo)數(shù)關(guān)系構(gòu)造函數(shù)的一些常見(jiàn)結(jié)構(gòu)：(1)對(duì)于不等式f'(x)+g'(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)+g(x).(2)對(duì)于不等式f'(x)-g'(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x).特別地，對(duì)于不等式f'(x)>k，構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-kx.(3)對(duì)于不等式f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)·g(x).(4)對(duì)于不等式f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=.(5)對(duì)于不等式xf'(x)+nf(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=.(6)對(duì)于不等式f'(x)+f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=.(7)對(duì)于不等式f'(x)+kf(x)>0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=.【題型1不含參函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間】【例1】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=ln2x?1?x2+x的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A．0,1 B．1C．1?22,【解題思路】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再令f′【解答過(guò)程】函數(shù)fx=ln且f′令f′x>0所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為1故選：D.【變式1-1】（2024·上海靜安·二模）函數(shù)y=xlnA．嚴(yán)格增函數(shù)B．在0,1eC．嚴(yán)格減函數(shù)D．在0,1e【解題思路】求導(dǎo)后利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)嚴(yán)格增減函數(shù)的定義即可得到選項(xiàng).【解答過(guò)程】解：已知y=xlnx，x>0，則令y′=0，即lnx+1=0當(dāng)0<x<1e時(shí)，y′當(dāng)x>1e時(shí)，y′故選：D.【變式1-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)是奇函數(shù)且在0,+∞上單調(diào)遞減的是（

A．fx=3C．fx=x?x【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義可排除A，利用特殊值法可排除B，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性可排除C，根據(jù)函數(shù)奇偶性定義及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)果.【解答過(guò)程】對(duì)于A，因?yàn)閒?x=3即fx對(duì)于B，因?yàn)閒1=2?12所以fx在0,+對(duì)于C，對(duì)fx求導(dǎo)，得f′x=1?3x令f′x<0，解得x>所以fx在0,33對(duì)于D，易得fx的定義域?yàn)镽且f=log121令t=x+x2+1，則fx=y=log12x在在0,+∞故選：D．【變式1-3】（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，fx=x1?lnx，則當(dāng)A．?∞,?eC．?∞,0 【解題思路】首先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在0,+∞上的單調(diào)性，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)在?【解答過(guò)程】當(dāng)x>0時(shí)，fx=x1?所以當(dāng)0<x<1時(shí)f′x>0，當(dāng)x>1所以fx在0,1上單調(diào)遞增，在1,+又函數(shù)fx是定義在R所以fx在?1,0上單調(diào)遞增，在?故選：D.【題型2含參函數(shù)的單調(diào)性】【例2】（2024·遼寧鞍山·二模）已知函數(shù)fx=1(1)若曲線y=fx在x=2處的切線與y軸垂直，求實(shí)數(shù)a(2)討論函數(shù)fx【解題思路】1）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線與y軸垂直建立方程求解即可；（2）求導(dǎo)函數(shù)，按照a≤0和a>0分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)性.【解答過(guò)程】（1）依題意x>0，fx則f′因?yàn)樵趚=2處的切線與y軸垂直，所以f′x=a?1=0（2）由（1）知f′當(dāng)a≤0時(shí)，由f′(x)>0得0<x<1，由f′所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1，單調(diào)遞減區(qū)間(1,+∞當(dāng)a>0時(shí)，分以下三種情況：若a=2，則f′所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞若0<a<2，令f′(x)>0得0<x<1或x>2a，令所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1,2a若a>2，令f′(x)>0得0<x<2a或x>1，令所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,2a,綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，fx在區(qū)間0,1單調(diào)遞增，在區(qū)間1,+當(dāng)a=2時(shí)，fx在區(qū)間0,+當(dāng)0<a<2時(shí)，fx在區(qū)間0,1,2當(dāng)a>2時(shí)，fx在區(qū)間0,2a【變式2-1】（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)fx=?a(1)討論fx(2)若y=fx的圖象與x【解題思路】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)分析fx（2）將y=fx的圖象與x【解答過(guò)程】（1）由題意，fx的定義域?yàn)?,+∞f'則當(dāng)x>1a時(shí)，f′x故函數(shù)fx在0,1a（2）由（1）知函數(shù)fx的最大值為f1a，要使y=fx的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，只需故?a21a2?a【變式2-2】（2024·貴州·二模）已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx在點(diǎn)1,f(2)討論fx在0,+【解題思路】（1）求導(dǎo)，計(jì)算斜率，再用點(diǎn)斜式求解即可；（2）令gx=f′x，求出g′x，根據(jù)g′12>0、g【解答過(guò)程】（1）f′∴f′1=1?∴曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程是即y=1?（2）令gx則g′x=1x?e∴?x0∈12當(dāng)x∈0,x0時(shí)，g′x∴f′x在0,x∴f′當(dāng)且僅當(dāng)x0=1x0∴fx在0,+【變式2-3】（2024·陜西榆林·三模）已知函數(shù)fx=mln(1)討論fx(2)當(dāng)m=1時(shí)，證明：f′【解題思路】（1）求導(dǎo)，根據(jù)判別式分類討論，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)性，（2）將所證不等式等價(jià)變形后構(gòu)造st【解答過(guò)程】（1）f′當(dāng)Δ=1?8m≤0，即m≥18時(shí)，此時(shí)，f′x當(dāng)Δ=1?8m>0，即m<18則x1①當(dāng)0<m<18時(shí)，x2>x②當(dāng)m≤0時(shí)，x1≤0<x2，fx（2）證明：當(dāng)m=1時(shí)，f′證原不等式等價(jià)于證x+2x+1≤2e則t>0，且x=t2?1，故只需證令st=t令φt=t2+1?2由于t>0，令φ′t>0,∴φt在0,12上單調(diào)遞增，在1∴當(dāng)t∈0,1時(shí)，φt>0，即s′t>0，當(dāng)t∈(1,∴st在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∴s(t)所以，當(dāng)m=1時(shí)，f′【題型3根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【例3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)?x=lnx?12aA．?∞,?1 B．?∞,?1 C．【解題思路】根據(jù)條件得?′x=1x?ax?2≥0即a≤1x2【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)?x=ln所以?′x=1x?ax?2≥0在令Gx=1x2?2x，所以當(dāng)1x=1，即x=1時(shí)，G(x)故選：A．【變式3-1】（2024·江西宜春·三模）已知a>0，且a≠1，若函數(shù)f(x)=a(lnx?ax?1)在(1,+A．(0,1e] B．[1e,1)【解題思路】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為f′(x)≤0在(1,+∞)上恒成立，令g(x)=f′(x)【解答過(guò)程】由函數(shù)f(x)=a(lnx?因?yàn)閒(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以f′令g(x)=f′(x)=所以gx在(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以g(x)<g(1)=a?a則a?alna≤0，解得a≥e，即實(shí)數(shù)a故選：D．【變式3-2】（2024·山東濟(jì)寧·一模）若函數(shù)fx=logaax?x3(a>0且A．3,+∞ B．1,3 C．0,13【解題思路】令μ=gx=ax?x3，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)gx【解答過(guò)程】令μ=gx=ax?x當(dāng)x>a3或x<?a3時(shí)，g′所以gx在a3,+∞和當(dāng)a>1時(shí)，y=logaμ為增函數(shù)，且函數(shù)f所以a>1?a3此時(shí)gx在0,1上遞增，則g當(dāng)0<a<1時(shí)，y=logaμ為減函數(shù)，且函數(shù)f所以a3綜上所述，a的取值范圍是3,+∞故選：A.【變式3-3】（23-24高三上·河北·期末）設(shè)函數(shù)fx=ax?alnx(a>0且a≠1)A．e,+∞ B．e2,+∞ 【解題思路】根據(jù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得f′x=【解答過(guò)程】依題意，f′x=記gx=f′xf′x在1,+∞上單調(diào)遞增，所以只需a故選：A．【題型4\t"/gzsx/zj166005/_blank"\o"函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系"函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系】【例4】（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=16x3+A．

B．

C．

D．

【解題思路】根據(jù)函數(shù)解析式求導(dǎo)函數(shù),再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)得出導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【解答過(guò)程】令函數(shù)mx=f∵mx=m?x又∵m0=1，且當(dāng)x>0時(shí)，m′x=則tx∴函數(shù)mx在0,+故選：C.【變式4-1】（2024·四川成都·一模）函數(shù)fx=2ax

A．b<c<a B．b<a<c C．a(chǎn)<b<c D．a(chǎn)<c<b【解題思路】利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性結(jié)合圖象判定大小即可.【解答過(guò)程】令u=gx=ax由g′(x)=3ax因?yàn)閥=2u定義域上單調(diào)遞增，結(jié)合圖象知函數(shù)u=gx在?2,0所以?2b3a>2且a>0又fx=2所以?8a+4b+c=0，即c=8a?4b>8a>a，所以b<a<c故選：B.【變式4-2】（2023·云南曲靖·三模）已知函數(shù)fx與gx的部分圖象如圖所示，則（

A．g′?1<0<fC．g′3<f【解題思路】根據(jù)題意，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分析4個(gè)結(jié)論是否正確，即可得答案．【解答過(guò)程】由圖可知，fx與gx在區(qū)間?1,3上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間?1,3上，gx的圖象比f(wàn)x的圖象更陡峭，所以故選：D.【變式4-3】（2024·北京海淀·一模）函數(shù)f(x)是定義在(?4,4)上的偶函數(shù)，其圖象如圖所示，f(3)=0.設(shè)f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則關(guān)于x的不等式f(x+1)?fA．[0,2] B．[?3,0]∪[3,4) C．(?5,0]∪[2,4) D．(?4,0]∪[2,3)【解題思路】借助函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系計(jì)算即可得.【解答過(guò)程】由f(3)=0，且f(x)為偶函數(shù)，故f(?3)=0，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合圖象可得當(dāng)x∈?4,0時(shí)，f當(dāng)x∈0,4時(shí)，f′x>0，當(dāng)則由f(x+1)?f′(x)≥0，有?4<x+1<4亦可得fx+1>0f′x>0，或由fx+1>0f′x>0可得由fx+1<0f′x由fx+1=0，可得x+1=±3，即x=2或由f′x=0綜上所述，關(guān)于x的不等式f(x+1)?f′(x)≥0故選：D.【題型5函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——比較大小】【例5】（2024·江西宜春·三模）已知a=12e，b=ln222A．b<a<c B．b<c<a C．a(chǎn)<b<c D．c<b<a【解題思路】首先將a,b,c化成統(tǒng)一形式，構(gòu)造函數(shù)fx=ln【解答過(guò)程】由題意得a=12e=ln設(shè)fx=ln當(dāng)0<x<e時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)所以f(2)<f(e)<f(2)，即故選：A.【變式5-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知a=ln65,b=A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．c>b>a D．c>a>b【解題思路】比較a，b大小，構(gòu)造fx=ln【解答過(guò)程】令fx=lnx?x+10<x<1又f1=0，所以fx所以ln56<?16，所以?設(shè)?x=1?xex?x<?0=1，即ex<1所以a>b>c，故選：A.【變式5-2】（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=2x+2?x+cosA．c<b<a B．b<c<a C．c<a<b D．b<a<c【解題思路】先利用導(dǎo)數(shù)判斷f(x)的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnxx【解答過(guò)程】因?yàn)閒(x)=2所以f′令?x=2x?sin所以當(dāng)x>0時(shí)，?x>?0又y=2x?2?x所以f′(x)>0在0,+∞上恒成立，則f(x)構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnxx令g′(x)>0，得0<x<e，令g所以g(x)在0,e上單調(diào)遞增，在e所以gπ即lnππ>ln44>所以lnπ4>所以5lnπ4即5所以，f5即b<a<c.故選：D.【變式5-3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知a=9798,b=A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．c>b>a【解題思路】構(gòu)造函數(shù)fx=cosx?1?【解答過(guò)程】令fx=cosx?1?令φx=x?sinx,x∈0,π2，則φ′x=1?cosx>0,φx令gx=ex?x+1,(x>0)，則g′x=ex?1>0故選：B.【題型6函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——解不等式】【例6】（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)?1A．(?∞,?2] B．C．[?2,43]【解題思路】判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，再求解即可.【解答過(guò)程】f(x)=log44x+1對(duì)函數(shù)y=2x+2?x，x∈(0,+因?yàn)閤∈(0,+∞)，所以2x>1，2?x<1，所以所以函數(shù)y=2x+2?x在(0,+所以f(a?1)≤f(2a+1)?a?1≤所以a2?2a+1≤4a2+4a+1?3故選：B.【變式6-1】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知函數(shù)fx=x?13+A．0,+∞ B．1,+∞ C．2,+∞【解題思路】由題意可得fx+1=10?f1?x，可將f2x+1+f1?x≥10轉(zhuǎn)化為f【解答過(guò)程】由題可得fx+1所以f?x+1即有fx+1?5+f?x+1故不等式f2x+1+f1?x又f′當(dāng)x∈1?π2,1+π當(dāng)x∈?3x?12≥3×π2即f′x≥0恒成立，故f故由f2x+1≥fx+1可得2x+1≥x+1故選：A.【變式6-2】（2024·山東聊城·三模）設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，導(dǎo)數(shù)為f′x，若當(dāng)x≥0時(shí)，f′x>2x?1，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)A．?∞,1 B．13,1 C．【解題思路】設(shè)gx=fx?x2+x，根據(jù)題意，可證g(x)為R上的偶函數(shù)，且g(x)在0,+∞上單調(diào)遞增，在【解答過(guò)程】因?yàn)閒?x設(shè)gx則g?x即g(x)為R上的偶函數(shù)，又當(dāng)x≥0時(shí)，f′則g′x=f′x?2x+1>0因?yàn)閒2x?1所以f2x?1即g2x?1<gx，所以2x?1解得13故選：B.【變式6-3】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，gx=f′x?2exA．?∞,?1∪C．?1,3 D．?3,1【解題思路】根據(jù)gx為奇函數(shù)及f′x為偶函數(shù)可求gx，利用導(dǎo)數(shù)可判斷【解答過(guò)程】因?yàn)間x=f故f′因?yàn)閒x是定義在R上的奇函數(shù)，故f故f′x?f′此時(shí)g'x=?ex而g1?x2即1?x2<?2x?2即x2故選：A.【題型7導(dǎo)數(shù)關(guān)系構(gòu)造函數(shù)解不等式】【例7】（2024·山東濰坊·三模）已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f′x，且f1=e，當(dāng)x>0時(shí)，A．0,1 B．0,+∞ C．1,+∞ 【解題思路】由不等式化簡(jiǎn)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性，即可求解原不等式.【解答過(guò)程】不等式fx?lnxe構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)?ex+因?yàn)閤>0時(shí)，f′x<1x所以g(x)在(0,+∞又因?yàn)間(1)=f(1)?e所以不等式f(x)?ex+lnx>0即fx?ln故選：A.【變式7-1】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)定義域?yàn)镽的偶函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)為y=f′x，若f′x+A．?∞,?1∪C．?3,1 D．?1,3【解題思路】先令g(x)=f′(x)+【解答過(guò)程】因?yàn)閥=f(x)為偶函數(shù)，所以f(?x)=f(x)，所以?f令g(x)=f因?yàn)閒′則g(?x)=g(x)，即f′即?f所以f′當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)=?2x<0，即f(x)在0,+∞上單調(diào)遞減，則f(x)由f(2a+4)>f(a2+1)所以2a+4<a2+1，即?a即實(shí)數(shù)a的取值范圍是?∞故選：A．【變式7-2】（2024·吉林·二模）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)?∞,0，其導(dǎo)函數(shù)f′x滿足xA．?2025,?2024 B．?2024,0C．?∞,?2024 【解題思路】令gx=fxx2，求導(dǎo)可得gx【解答過(guò)程】由題意知，當(dāng)x∈?∞,0令gx=f所以gx在?不等式fx+2024?(x+2024)即為gx+2024<g?1，所以x+2024>?1故選：A.【變式7-3】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足f′x?fxA．0,+∞ B．1,+∞ C．?∞【解題思路】構(gòu)造函數(shù)gx=fxx?lnx，根據(jù)題意得gx【解答過(guò)程】設(shè)gx=f因?yàn)閒′x?所以g′x>0，所以g不等式fex?又gex=即gex>g1，所以即不等式fex?故選：A．一、單選題1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=12xA．?1,1 B．?1,1 C．1,+∞ D．【解題思路】先得出函數(shù)的定義域，再令f′【解答過(guò)程】函數(shù)fx的定義域?yàn)?,+∞，f′x=x?多取一個(gè)端點(diǎn)不影響單調(diào)性，所以fx在0,1故選：D.2．（2024·上?！と＃┰趨^(qū)間I上，f′x>0是函數(shù)y=fA．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【解題思路】y=fx在該區(qū)間嚴(yán)格增?【解答過(guò)程】y=fx在該區(qū)間嚴(yán)格增?f′比如fx=x故f′x>0故選：A.3．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）已知a=ln75，b=cos25，A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b【解題思路】利用切線放縮公式：ln1+x≤x比較a,c，再由三角函數(shù)y=cos【解答過(guò)程】由ln1+x≤x，當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，知a<c，∵0<25<故選：B.4．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=xα(x>0)，α為實(shí)數(shù)，f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，在同一直角坐標(biāo)系中，f(x)A． B．C． D．【解題思路】先通過(guò)特值代入易得A項(xiàng)符合，對(duì)于B,C,D項(xiàng)，通過(guò)圖象觀察分析可得α>1，結(jié)合兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的位置舍去C項(xiàng).【解答過(guò)程】由f(x)=xα對(duì)于A，當(dāng)α=?1時(shí)，在第一象限上f(x)=x?1遞減，對(duì)應(yīng)對(duì)于B,C,D,在第一象限上fx與f′(x)的圖象在又由fx=f′x可得x=α>1故選：C.5．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=12sin2x?acosA．?∞,?1 B．?1,+∞ C．?【解題思路】先求出函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，利用換元法將題目條件轉(zhuǎn)化為a≥2t?1t在0,【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)fx=1所以f′x=cos2x+asinx≥0令t=sinx,x∈則t∈0,所以a≥2t?1t在又因?yàn)閥=2t?1t在所以當(dāng)t=1時(shí)ymax故a≥1.故選：D.6．（2024·江西南昌·三模）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f2=?1，對(duì)任意x∈R，f(x)+xfA．?∞,1 B．?∞,2 C．【解題思路】設(shè)gx=xfx，由g′(x)=f(x)+xf′(x)<0恒成立，【解答過(guò)程】設(shè)gx=xfx∵對(duì)任意x∈R，f(x)+xf′(x)<0，∴g′由x+1fx+1>?2可得g(x+1)>g(2故選：A.7．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知函數(shù)fx=x2?cosx，則fA．f?ln5C．f?ln5【解題思路】先判斷函數(shù)fx=x2?cosx的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f【解答過(guò)程】∵fx∴f?x=?xf′當(dāng)0<x<1時(shí)，f′x>0，故函數(shù)f令gx=ln即函數(shù)gx在3,+∞上單調(diào)遞減，故即可1>ln33所以fln∴f?故選：C．8．（2024·寧夏銀川·三模）已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，3f(x)+xf′(x)>0，且f(2)=2A．(1,+∞) C．(?∞,1) 【解題思路】根據(jù)(x+1)3fx+1>16構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)利用已知條件可知恒為正數(shù)，所以可知gx【解答過(guò)程】令gx=x因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，3fx+xf′x又fx為奇函數(shù)，且圖象連續(xù)不斷，所以g由x+13fx+1>23故選：D.二、多選題9．（2024·廣東茂名·一模）若fx=?13x3+A．?4 B．?3 C．3 D．4【解題思路】求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)性，再由已知建立關(guān)于m的不等式組，解出即可．【解答過(guò)程】由題意，f′令f′x>0，解得?1<x<2，令f′x所以fx在(?1,2)上單調(diào)遞減，在?∞,?1若函數(shù)fx=?1則m+4≤?1或m?1≥2或m?1≥?1m+4≤2，解得m≤?5或m≥3或m∈?即m≤?5或m≥3.故選：CD.10．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知fx為(0,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，且x+1A．3f4<4f3 B．4f4>5f3【解題思路】先構(gòu)造函數(shù)?x【解答過(guò)程】設(shè)?x=f則?′因?yàn)閤+1f′x則函數(shù)?x=f所以?4>?3，即f?3>?2，即f故選：BD.11．（2024·浙江臺(tái)州·一模）已知gx是定義域?yàn)镽的函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，f0=1，f1=0，A．fB．f3>1e（C．存在x0∈D．若x0∈【解題思路】由原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱性判斷A；令?x【解答過(guò)程】因?yàn)間x是定義域?yàn)镽的函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，所以fx因?yàn)間x+g2?x=0，所以所以fx=f2?x+C，而所以fx的圖像關(guān)于x=1因?yàn)閒x+gxx?1>0所以fx+f故x>1時(shí)，?′x=ex同理?x在?對(duì)于A，因?yàn)閒x=f2?x對(duì)于B，?3=e對(duì)于C，當(dāng)x>1時(shí)，?x當(dāng)x<1時(shí)，?x>?1=0，而故?x對(duì)于D，當(dāng)0<x<1時(shí)，?x?0=e0f故0<x<1時(shí)，exfx∈0,1故選：ABD.三、填空題12．（2024·河北邢臺(tái)·二模）若a=13，b=tanπ9，c=ln54，則a，【解題思路】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)fx【解答過(guò)程】令函數(shù)fx=tanx?x，即函數(shù)fx在0,1上單調(diào)遞增，fx>f即b=tan令函數(shù)gx=ln即即函數(shù)gx在0,1上單調(diào)遞減，gx<f即c=所以a，b，c的大小關(guān)系是c<a<b故答案為：c<a<b.13．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x2+x?2ex?2x+5【解題思路】根據(jù)題意可知y=f'x在區(qū)間3m?1,m+2【解答過(guò)程】由題意知f'x因?yàn)閒x在區(qū)間3m?1,m+2上不單調(diào)，即y=f'x在區(qū)間3m?1,m+2有變號(hào)零點(diǎn)，又ex+2>0，所以f'x所以x=1在區(qū)間3m?1,m+2內(nèi)，所以3m?1<1m+2>1，解得?1<m<23，即m故答案為：?1,214．（2024·新疆·三模）設(shè)函數(shù)fx在R上存在導(dǎo)數(shù)f′x，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，有fx?f?x+2x=0，當(dāng)x∈?∞,0時(shí)，【解題思路】構(gòu)造函數(shù)gx=fx?x2+x，根據(jù)題意和導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)gx在?∞,0上單調(diào)遞減，再由g?x【解答過(guò)程】令函數(shù)gx因?yàn)閤∈?∞,0，時(shí)f所以函數(shù)gx在x∈又因?yàn)間x所以函數(shù)g?x=gx根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性，可得gx在(0,+若f則g2+m整理得g2+m≤g?m兩邊平方可得m2+4m+4≤m2，解得m≤?1，即實(shí)數(shù)故答案為：(?∞四、解答題15．（2024·重慶·三模）已知函數(shù)f(1)當(dāng)a=1時(shí)，求fx在點(diǎn)0,f(2)若fx在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)【解題思路】（1）由a=1得到fx（2）求導(dǎo)f′x=exx+a?1(x+a)【解答過(guò)程】（1）解：當(dāng)a=1時(shí)，fxf′則f0=1，所以當(dāng)a=1時(shí)，fx在點(diǎn)0,f0（2）f′因?yàn)閒x在區(qū)間0,+所以f′x=即x+a?1≥0在區(qū)間0,+∞所以a≥1?x在區(qū)間0,+∞因?yàn)楫?dāng)x∈0,+∞時(shí)，所以a≥1，即a的取值范圍是1,+16．（23-24高三上·北京·階段練習(xí)）已知R上可導(dǎo)函數(shù)fx的圖象如圖所示，解不等式x

【解題思路】分析圖像出函數(shù)的單調(diào)性，化簡(jiǎn)不等式，即可解出不等式的解集.【解答過(guò)程】由題意及圖得，在fx