人教版九下數(shù)學新課標教學課件27.2.3兩角相等判定（課件）

27.2.3兩角相等判定九年級下人教版學習目標新課引入新知學習課堂小結12341.探索兩角分別相等的兩個三角形相似的判定定理.2.掌握利用兩角來判定兩個三角形相似的方法，并能進行相關計算.3.掌握判定兩個直角三角形相似的方法，并能進行相關計算.重點難點

學習目標探究一

兩角分別相等的兩個三角形相似CABA'B'C'

與同伴合作，一人畫△ABC，另一人畫△A′B′C′，使∠A=∠A′=40°，∠B=∠B′=55°，探究下列問題：新知學習

上節(jié)課我們學習了有哪些判定三角形相似的方法？

三邊成比例的兩個三角形相似．

兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．新課引入問題一

度量AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的長，并計算出它們的比值.你有什么發(fā)現(xiàn)？這兩個三角形是相似的.CABA'B'C'又∵

A′D=AB，∠A=∠A′，∴△A′DE≌

△ABC，∴△ABC∽△A′B′C′.問題二

試證明△ABC∽△A′B′C′.CAA'BB'C'DE證明：在△A′B′C′的邊A′B′（或A′B′的延長線）上，截取A′D=AB，過點D作DE//B′C′，交A′C′于點E，則有

△A′DE∽△A′B′C′，∠A′DE=∠B′.∵∠B=∠B′，∴∠A′DE=∠B.歸納由此得到利用兩組角判定兩個三角形相似的定理：兩角分別相等的兩個三角形相似.∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.符號語言：CABA'B'C'∴解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.又∠C=90°，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC.例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一點，AE=5，ED⊥AB，垂足為

D.求

AD的長.DABCE∴由此得到一個判定直角三角形相似的方法：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似.兩組直角邊成比例的兩個直角三角形相似.1．如圖(1)，(2)中各有兩個三角形，其邊長和角的度數(shù)已標注，則對圖(1)，(2)中的兩個三角形，下列說法正確的是(

)針對訓練A．都相似

B．都不相似C．只有(1)相似

D．只有(2)相似A證明：∵在

△

ABC中，∠A=40°，∠B=80°，∴∠C=180°－∠A－∠B=60°.∵

在

△DEF中，∠E=80°，∠F=60°.∴∠B=∠E，∠C=∠F.∴△ABC∽△DEF.2.如圖，在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°．求證：△ABC∽△DEF.

ACBFED3．如圖，點E、F分別在矩形ABCD的邊DC、BC上，∠AEF=90°，∠AFB=2∠DAE=72°，則圖中甲、乙、丙三個三角形中相似的是（

）．A．只有甲與乙 B．只有乙與丙C．只有甲與丙

D．甲與乙與丙D解：∵∠

AFB=72°∴∠BAF=18°，∠EAF=90°-∠BAF-∠

DAE=36°∴∠DAE=∠EAF=∠CEF∵∠ADE=∠AEF=∠ECF∴△DAE∽△EAF∽△CEF，故選D證明：∵CD為Rt△ABC斜邊上的中線∴CD=AD，∠ACD=∠A∵DE//AC∴∠

ACD=∠CDE，∠A=∠CDE∵∠ACB=90°，CE⊥CD∴∠ACB=∠DCE∴△ABC∽△

DEC4.如圖，已知CD為Rt△ABC斜邊上的中線，過點D作AC的平行線，過點C作CD的垂線，兩線相交于點E．求證：△ABC∽△DEC．5．如圖，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，則AC的長為（

）.A． B．

C．

D．6A解：在△ADC和△

ACB中∵∠ACD=∠

B，∠A=∠A∴△ADC∽△ACB，AC:AB=AD:AC∴∵AD=2，AB=AD+BD=2+3=5∴AC2=5×2=10∴AC=思考對于兩個直角三角形，我們還可以用“HL”判定它們?nèi)?那么，滿足斜邊和一直角邊成比例的兩個直角三角形相似嗎？二

判定兩個直角三角形相似例2

如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°，求證：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.CAA'BB'C'分析：要證Rt△ABC∽Rt△A′B′C′

，可設法證若設則只需證∴∴

CAA'BB'C'∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.證明：設=k

，則

AB=kA′B′，AC=kA′C′.由勾股定理，得由此得到另一個判定直角三角形相似的方法：斜邊和一直角邊成比例的兩個直角三角形相似.1.如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊

AB上的高.求證：(1)△ACD∽

△ABC；證明：(1)∵CD是斜邊

AB上的高，∴∠ADC=90°.又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB.ABCD∟針對訓練證明：(2)∵CD是斜邊

AB上的高，∴∠CDB=90°.求證：(2)△CBD∽

△ABC.又∵∠B=∠B，∴△CBD∽△ABC.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CDB=∠ACB.ABCD∟2.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D.若AB=6，AD=2，則BD=

，AC=

，BC=

.18DBCA∟證明：∵

△ABC的高AD、BE交于點F，∴∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE

=∠BFD(對頂角相等).∴△FEA

∽△

FDB，∴3.如圖，△ABC

的高AD，BE交于點F．求證：

DCABEF判定兩三角形相似的思路：(1)平行于三角形一邊的直線，找兩個三角形；(2)已知一角對應相等，找另一角對應相等，或夾這個角的兩邊成比例；(3)已知兩邊對應成比例，找夾角相等，或與第三邊成比例；(4)已知等腰三角形，找頂角相等，或底角相等，或底、腰對應成比例．(5)已知直角三角形，找一組銳角相等，或兩直角邊對應成比例，或斜邊、一直角邊對應成比例．歸納1.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是邊BC上的一點QP⊥AP交DC于點Q，設BP=x，△ADQ的面積為y.(1)求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；解：(1)∵四邊形ABCD是正方形∴∠B=∠C=90°，∠BAP+∠APB=90°.∵QP⊥AP∴∠QPC+∠APB=90°，

∠BAP=∠QPC，∴△ABP∽△PCQ∴

，即

，∴

(0<x<4)隨堂練習(2)點P在何位置時，△ADQ的面積最??？最小面積是多少？解：(2)∵∴當x=2時，y最小，且最小值為6即當點P是BC的中點時△ADQ的面積最小，最小面積為62.如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F(xiàn)是AM的中點，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N．證明：

∵四邊形ABCD是正方形∴AB=AD，∠B=90°，AD//BC∴∠

AMB=∠

EAF∵EF⊥AM∴∠AFE=90°，∠B=∠AFE∴△ABM∽△EFA(1)求證：△ABM∽△EFA(2)若AB=12，BM=5，求DE的長．解：

∵∠B=90°，AB=12，BM=5∴AM=

，AD=12∵F是AM的中點∴∵△ABM∽△EFA∴

，即

，AE=16.9∴DE=AE-AD=4.93.(武漢中考節(jié)選)已知AB是⊙O的直徑，AM和BN是⊙O的兩條切線，DC與⊙O相切于點E，分別交AM，BN于D，C兩點，如圖.求證：AB2=4AD·BC.證明：如圖,連接OC,OD∵AM和BN是⊙O的兩條切線∴AM⊥AB,BN⊥AB,

AM//BN,∠ADE+∠BCE=180°∵DC切⊙O于點E∴∠DOC=90°，∠AOD+∠COB=90°∵∠AOD+∠A