人教版新課標(biāo)九上數(shù)學(xué)24.1.2垂直于弦的直徑課件

九年級(jí)上

人教版24.1.2垂直于弦的直徑學(xué)習(xí)目標(biāo)新課引入新知學(xué)習(xí)課堂小結(jié)12341.理解圓的對(duì)稱性．2.探索并證明垂徑定理的性質(zhì)和推論.3.靈活運(yùn)用垂徑定理解決相關(guān)的計(jì)算與應(yīng)用．學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)新課引入圓的定義是什么？·旋轉(zhuǎn)定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．集合定義：圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合什么叫做弦？連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.弦直徑什么叫做?。窟B圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧.弧我們學(xué)習(xí)完圓的定義后，這節(jié)課來(lái)學(xué)習(xí)一下圓的性質(zhì)探究問題1：剪一個(gè)圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)做幾次，

你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么？

圓是軸對(duì)稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸.新知學(xué)習(xí)溫馨提示：因?yàn)閷?duì)稱軸是直線，而直徑是線段，所以不能說(shuō)圓的直徑是圓的對(duì)稱軸.問題2：你能證明上述結(jié)論嗎？如圖，設(shè)CD是⊙O的任意一條直徑，A為⊙O上點(diǎn)C，D以外的任意一點(diǎn).該怎么證明前面的結(jié)論呢？OA＇DMA·C證明：過點(diǎn)A，作AA′⊥CD,交⊙O于點(diǎn)A′,垂足為M，連接OA,OA′.在△OAA′中，OA=OA′,所以△OAA′是等腰三角形.又∵AA′⊥CD，∴AM=MA′.即CD是AA′的垂直平分線對(duì)于圓上任意一點(diǎn)A，在圓上都有關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，因此⊙O關(guān)于直線CD對(duì)稱.即圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸.如圖，AB是⊙O的一條弦，直徑

CD⊥AB，

垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧?·ODEABC

二、垂徑定理及其推論線段：AE=BE弧：

CD是⊙O直徑CD⊥ABAE=BE((AD=BD((AC=BC你能證明嗎？

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.歸納∵CD

是⊙O

的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，∴

AE=BE，

數(shù)學(xué)語(yǔ)言：·ODEABC

文字語(yǔ)言：一條直線若滿足:①過圓心②垂直于弦

則③平分弦

④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧⑤平分弦所對(duì)的劣弧

過圓心例1下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明為什么？是不是，因?yàn)闆]有垂直是不是，因?yàn)镃D沒有過圓心OABCABDCOEABOECABOCDE①過圓心

②垂直于弦例2

如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm，點(diǎn)O到直線AB的距離為

6cm，則AB=

cm.·OABE解析：連接

OA，作OE垂直AB

∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16(cm).16∴(cm).做輔助線的方法：①連半徑②作弦心距

例3

如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑

CE⊥AB于

D，DC＝2cm，求半徑OC的長(zhǎng).·OABECD解：連接

OA.∵

CE⊥AB于

D，∴設(shè)

OC=OA=xcm，則

OD=x-2，根據(jù)勾股定理，得解得x=5.即半徑

OC的長(zhǎng)為5cm.x2=42+(x-2)2，做輔助線的方法：連半徑

例4如圖a、b，一弓形弦長(zhǎng)為cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為____________.C圖bDCBOADOAB圖a2cm或12cm指弧中點(diǎn)到弦的距離試一試上面我們學(xué)習(xí)了垂徑定理的文字語(yǔ)言描述如下：

·ODEABC

一條直線若滿足:①過圓心②垂直于弦則③平分弦④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧⑤平分弦所對(duì)的劣弧

已知①②

可推出③④⑤猜想：已知①③

？②④⑤猜想1：如果有一條直徑平分一條弦，那么它就能垂直于這條弦，也能評(píng)分這條弦，也能平分這條弦所對(duì)的兩條弧

·ODEA圖示：·ODABC

C

B·ODEABC

·ODEABC

被平分的弦是直徑被平分的弦不是直徑猜想1：如果有一條直徑平分一條弦，那么它就能垂直于這條弦，也能評(píng)分這條弦，也能平分這條弦所對(duì)的兩條弧

圖示：·ODABC

被平分的弦是直徑反例：·ODABC

直徑雖然平分弦但不垂直于弦所以猜想1有問題，我們不妨要求被平分的弦不能是直徑，提出猜想2再來(lái)研究一下是否成立猜想2：如果有一條直徑平分一條不是直徑的弦，那么它就能垂直于這條弦，也能評(píng)分這條弦，也能平分這條弦所對(duì)的兩條弧

已知：如圖，CD

是⊙O

的直徑，CD平分弦AB于點(diǎn)E.求證：CD

⊥AB于點(diǎn)E

，=

，=·ODEABC

證明：

連接

AO、BO，則

AO=BO.在△OAB中，∵OA=OB∴△OAB是等腰三角形.∵CD平分弦AB于點(diǎn)E，∴OE⊥AB于點(diǎn)E，即CD⊥AB與點(diǎn)E.∴=

，=

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.∵CD

是⊙O

的直徑，CD平分AB于點(diǎn)E，∴

CD⊥AB于點(diǎn)E，

數(shù)學(xué)語(yǔ)言：·ODEAC

B試一試：更換條件你還能證明嗎？探究①過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧⑤平分弦所對(duì)的劣弧

猜想3：已知①⑤

？②③④猜想3：平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.·ODEAC

B正確已知結(jié)論

命題①②③④⑤垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?、佗邰冖堍萜椒窒遥ú皇侵睆剑┑闹睆酱怪庇谙遥⑶移椒窒宜鶎?duì)的兩條?、佗堍冖邰萜椒窒宜鶎?duì)的一條弧的直徑，垂直平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧①⑤②③④②③①④⑤弦的垂直平分線過圓心，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧②④①③⑤垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線過圓心，并且平分弦和所對(duì)的另一條弧②⑤①③④③④①②⑤平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心，垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?、邰茛佗冖堍堍茛佗冖燮椒窒宜鶎?duì)的兩條弧的直線經(jīng)過圓心，并且垂直平分弦歸納例5趙州橋（如圖）是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.分析：解決此問題的關(guān)鍵是根據(jù)趙州橋的實(shí)物圖畫出幾何圖形.解：如圖，用

表示主橋拱，設(shè)

所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與

相交于點(diǎn)C，連接OA，根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點(diǎn)，C是

的中點(diǎn)，CD就是拱高.由題設(shè)可知

AB=37，CD=7.23，所以AD=AB=×37=18.5，

OD=OC-CD=R-7.23.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2.解得R≈27.3.因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.1.在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為

5cm，油面寬

AB為

6cm，如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?/p>

8cm，則油面

AB上升了（）cm．A．1 B．3 C．3或4 D．1或7D思路點(diǎn)撥：上升的過程中油面寬度為8cm不止是一個(gè)時(shí)刻。注意圓中的多種情況隨堂練習(xí)2.如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，若AB=10，CD=8，則圖中陰影部分的面積為

.

203.如圖，⊙P與y軸交于點(diǎn)M（0，﹣4），N（0，﹣10），圓心P的橫坐標(biāo)為﹣4．則⊙P的半徑為（）A．3B．4C．5

D．6C思路點(diǎn)撥：將點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度4.工人師傅為檢測(cè)該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖(1)所示的工件槽，其兩個(gè)底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有圖(1)所示的A、B、E三個(gè)接觸點(diǎn)，該球的大小就符合要求．圖(2)是過球心及A、B、E三點(diǎn)的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點(diǎn)E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，則這種鐵球的直徑為()A.10cm B.15cm C.20cm D.24cmC1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧2、垂徑定理推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.【知二推三】課堂小結(jié)3、常見輔助線：①連半徑；②做弦的垂線構(gòu)造直角三角形，有如下關(guān)系：已知結(jié)論

命題①②③④⑤垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?、佗邰冖堍萜椒窒?/p>