《函數(shù)的最大（?。┲蹬c導數(shù)》教學設(shè)計

1/13.3.3函數(shù)的最大（?。┲蹬c導數(shù)（周雪敏）一、教學目標1．核心素養(yǎng)通過學習函數(shù)的最大（?。┲蹬c導數(shù)，形成基本的邏輯推理和數(shù)學運算能力，能圍繞討論問題的主題，觀點明確，論述有理有據(jù)，并依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題．2．學習目標（1）借助函數(shù)圖像，直觀地理解函數(shù)的最大值和最小值的概念。（2）弄清函數(shù)最大值、最小值與極大值、極小值的區(qū)別與聯(lián)系，理解和熟悉必有最大值和最小值的充分條件。（3）掌握求在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)的最大值和最小值的思想方法和步驟。3．學習重點利用導數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法．

4．學習難點 函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系．二、教學設(shè)計（一）課前設(shè)計1．預(yù)習任務(wù) 任務(wù)1 結(jié)合函數(shù)在上的圖像，想一想：函數(shù)在上的極小值是多少？函數(shù)在上的最大值、最小值分別是多少？任務(wù)2 預(yù)習教材P96—P98，完成P98相應(yīng)練習題，并找出疑惑之處.2．預(yù)習自測1．下列說法正確的是()A．函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值B．函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值C．函數(shù)的最值一定是極值D．在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值解：D最值是極值與閉區(qū)間端點處的函數(shù)值比較之后得到的．2．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是M，最小值是m，若M=m，則()A．等于0B．大于0C．小于0D．以上都有可能解：A由題意知函數(shù)在閉區(qū)間上所有函數(shù)值相等,故其導數(shù)為0．3．函數(shù)在上的最小值為．解：，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當時，函數(shù)有最小值為．4．設(shè)在區(qū)間上的最大值為3，最小值為，且，求，的值．解：[-1,0)0(0,2]+0–↗極大值↘，令，得或，則函數(shù)在上的單調(diào)性及極值情況如下表所示：∴，又∵，，∴，∴．（二）課堂設(shè)計1．知識回顧 ⑴常見函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的四則運算法則.⑵求函數(shù)極值的方法和求解步驟.2．問題探究問題探究一函數(shù)最大（?。┲蹬c導數(shù)★▲活動一觀察與思考：極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)，但是我們往往更關(guān)心函數(shù)在某個區(qū)間上哪個值最大，哪個值最小，觀察圖中一個定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象，你能找出函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值嗎？一般地，在閉區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)在上必有最大值與最小值．說明：⑴如果在某一區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則稱函數(shù)在這個區(qū)間上連續(xù)．⑵給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間，在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；⑶在閉區(qū)間上的每一點必須連續(xù)，即函數(shù)圖像沒有間斷，⑷函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．●活動二想一想：函數(shù)的極值與最值有怎樣的關(guān)系？函數(shù)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系：⑴最值”是整體概念，是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對性；而“極值”是個局部概念，是比較極值點附近函數(shù)值得出的，具有相對性．⑵從個數(shù)上看，一個函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一．⑶函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個⑷極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值．（5）對于在閉區(qū)間上圖像連續(xù)不斷的函數(shù)，函數(shù)的最大（?。┲当卦跇O大（?。┲迭c或區(qū)間端點處取得．問題探究二函數(shù)的最大值與最小值的求解★ ●活動一閱讀教材P97的例5，根據(jù)例5及最值與極值的關(guān)系歸納出求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的步驟．利用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟:一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：⑴求在內(nèi)的極值；⑵將的各極值與端點處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，得出函數(shù)在上的最值． ●活動二初步運用求函數(shù)的最值例1已知函數(shù)，⑴求曲線在點處的切線方程；⑵若，求函數(shù)的最大值與最小值．【知識點：導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的最值；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】詳解：⑴，所以曲線在點處的切線的斜率，故曲線在點處的切線方程為．⑵令得或，列表如下：＋0－0＋↗↘↗，，又，，∴在的最大值是，最小值是．點撥：⑴求函數(shù)最值時，若函數(shù)的定義域是閉區(qū)間，則需比較極值點處函數(shù)值與端點函數(shù)值的大小才能確定函數(shù)的最值．⑵若的定義域是開區(qū)間且只有一個極值點，則該極值點就是最值點．⑶若為單調(diào)函數(shù)，則端點就是最值點．●活動三對比提升由函數(shù)的最值求參數(shù)例2已知函數(shù)，當（e為自然常數(shù)）,函數(shù)的最小值為3，求實數(shù)的值．【知識點：根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)值；數(shù)學思想：分類討論】詳解：由得,因為，所以當時，在是減函數(shù)，最小值為，不滿足題意；當時，在是減函數(shù)，是增函數(shù)，所以最小值為，∴實數(shù)的值為.問題探究三利用最值解不等式恒成立問題▲ 函數(shù)恒成立問題是高中數(shù)學里非常具有探討價值的問題，下列是一些常見結(jié)論：（1）不等式在定義域內(nèi)恒成立；（2）不等式在定義域內(nèi)恒成立；（3）不等式，恒成立，恒成立．●活動一初步運用例3已知函數(shù)．⑴求的最小值；⑵若對所有都有，求實數(shù)的取值范圍．【知識點：求函數(shù)的最小值、不等式恒成立；數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化與化歸】詳解：⑴的定義域為，，令，解得；令，解得，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當時，取得最小值．⑵依題意，得在上恒成立，即不等式對于恒成立．令，則，當時，，故在上是增函數(shù)，∴，∴實數(shù)的取值范圍是．●活動二對比提升例4已知函數(shù)．（1）當時，求在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）若對恒成立，求的取值范圍．【知識點：求函數(shù)最值、不等式恒成立；數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論】詳解：（1）函數(shù)的定義域為，當時，，；當時，有；當時，有，∴在區(qū)間[，1]上是增函數(shù)，在[1，e]上為減函數(shù)，又，，∴，.（2），則的定義域為..①若，令，得極值點，，當，即時，在上有，在上有，在上有，此時在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有不合題意；當，即時，同理可知，在區(qū)間上，有也不合題意；②若，則有，此時在區(qū)間上恒有，從而在區(qū)間上是減函數(shù)；要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，由此求得的范圍是.綜合①②可知，當時，對，恒成立.點撥：恒成立問題總是要化為求函數(shù)的最值問題來解決，常用分類討論（求最值）法或分離參數(shù)法.在不等式或方程中，參數(shù)只出現(xiàn)一次，或在幾個項中出現(xiàn)的參數(shù)只是一次的形式，可以對不等式或方程進行變形，把參數(shù)分離到一邊去，而另一邊則是的表達式.3．課堂總結(jié)【知識梳理】數(shù)學知識：⑴最值的存在性定理．⑵最值的求解步驟．一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：①求在內(nèi)的極值；②將的各極值與端點處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，得出函數(shù)在上的最值．⑶恒成立問題．常見結(jié)論：（1）不等式在定義域內(nèi)恒成立；（2）不等式在定義域內(nèi)恒成立；（3）不等式，恒成立，恒成立．數(shù)學思想：分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等思想．【重難點突破】求函數(shù)最值的注意點（1）我們討論的函數(shù)是在閉區(qū)間上圖像連續(xù)不斷，在開區(qū)間上可導的函數(shù)．在閉區(qū)間上圖像連續(xù)不斷，保證函數(shù)有最大值和最小值；在開區(qū)間上可導，才能用導數(shù)求解．（2）求函數(shù)的最大值和最小值需要先確定函數(shù)的極大值和極小值．因此，函數(shù)的極大值和極小值的判定是關(guān)鍵．（3）如果僅僅是求最值，可以將上面的方法簡化，因為函數(shù)在內(nèi)的全部極值，只能在的導數(shù)為零的點或?qū)?shù)不存在的點處取得（以下稱這兩種點為可疑點），所以只要將這些可疑點求出來，然后將函數(shù)在可疑點處的函數(shù)值與區(qū)間端點處的函數(shù)值進行比較，就能得到函數(shù)的最大值和最小值．（4）當圖像連續(xù)不斷的函數(shù)在內(nèi)只有一個可疑點時，若在這一點處函數(shù)有極大（?。┲担瑒t可以判定函數(shù)在該點處取到最大（?。┲?，這里也可以是無窮區(qū)間．（5）當圖像連續(xù)不斷的函數(shù)在上單調(diào)時，其最大值和最小值分別在兩個端點處取得．4．隨堂檢測1．函數(shù)在上（）A．極大值一定比極小值大B．極大值一定是最大值C．最大值一定是極大值D．最大值一定大于極小值【知識點：極值與最值的關(guān)系】解：D2．函數(shù)在上（）A．無最值B．有極值C．有最大值D．有最小值【知識點：單調(diào)函數(shù)的最值】解：A3．函數(shù)在上的最大值是（）A．1B．C．0D．【知識點：函數(shù)的最大值】解：A4．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（）A．B．C．0D．【知識點：函數(shù)的最小值】解：D5．設(shè)，當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．【知識點：不等式恒成立問題】解：（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍是()A．[0,1)B．(0,1)C．(－1,1)D．【知識點：函數(shù)最值與極值的關(guān)系；數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：B∵(x)＝3x2－3a，令(x)＝0，可得a＝x2，又∵x∈(0,1)，∴0<a<1，故選B．2．函數(shù)的最大值為()A．B．eC．e2D．【知識點：函數(shù)最大值】解：A令＝0(x＞0)．解得x＝e．當x>e時，y′<0；當0＜x<e時，y′>0．y極大值＝f(e)＝，在定義域內(nèi)只有一個極值，所以ymax＝．3．函數(shù)在定義域內(nèi)()A．有最大值2，無最小值B．無最大值，有最小值－2C．有最大值2，最小值－2D．無最值【知識點：函數(shù)的最值；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：C令＝0，得x＝±1．x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)y′－0＋0－y極小值極大值由上表可知x＝－1時，y取極小值也是最小值－2；x＝1時，y取極大值也是最大值2．4．已知函數(shù)f(x)＝ex－2x＋a有零點，則a的取值范圍是________．【知識點：函數(shù)最值與零點關(guān)系；數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：(－∞，2ln2－2]函數(shù)f(x)＝ex－2x＋a有零點，即方程ex－2x＋a＝0有實根，即函數(shù)g(x)＝2x－ex，y＝a有交點，而(x)＝2－ex，易知函數(shù)g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上遞增，在(ln2，＋∞)上遞減，因而g(x)＝2x－ex的值域為(－∞，2ln2－2]，所以要使函數(shù)g(x)＝2x－ex，y＝a有交點，只需a≤2ln2－2即可．5．函數(shù)y＝x＋2cosx在區(qū)間上的最大值是________．【知識點：函數(shù)最大值】解：y′＝1－2sinx＝0，x＝，比較0，，處的函數(shù)值，得ymax＝．6．已知函數(shù)f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．【知識點：函數(shù)的最值；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：a＝3；f(x)的最大值為3．(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令(x)＝0，得x＝0或x＝2，當x變化時，(x)，f(x)的變化情況如下表：x－2(－2,0)0(0,2)2(x)＋0－0f(x)－40＋a極大值a－8＋a∴當x＝－2時，f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3．∴當x＝0時，f(x)的最大值為3．能力型師生共研7.若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【知識點：函數(shù)的最值；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：C由于函數(shù)在開區(qū)間有最小值，則函數(shù)的極小值點在內(nèi)，且在內(nèi)的單調(diào)性是先減再增.,當時，，當，，所以得最小值為.∴只需，得到，故選C.8.設(shè)，函數(shù)，若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是．【知識點：不等式恒成立、函數(shù)的最值；數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：，當，且時，，∴在上是增函數(shù)，，又，∴在上是增函數(shù)，．由條件知只需．即．∴．即．9.已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在區(qū)間[－1,0]上的最大值．【知識點：函數(shù)的最大值；數(shù)學思想：分類討論】解：解析：令(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a，①當a≥0，即a≥0時，f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞增，從而f(x)max＝f(0)＝0；②當a≤－1，即a≤－時，f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減，從而f(x)max＝f(－1)＝－1－a；③當－1<a<0，即－<a<0時，f(x)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，則f(x)max＝．綜上所述：10.設(shè)函數(shù)(x∈R，t＞0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)＜－2t＋m對t∈(0,2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【知識點：不等式恒成立、函數(shù)的最值；數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合】解：(1)h(t)＝－＋t－1；(2)(1，＋∞)．解析：(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－＋t－1(x∈R，t＞0)，∴當x＝－t時，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－＋t－1．(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－＋3t－1－m，由(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合題意，舍去)．當t變化時(t)、g(t)的變化情況如下表：t(0,1)1(1,2)(t)＋0－g(t)遞增1－m遞減∴對t∈(0,2)，當t＝1時，g(t)max＝1－m，h(t)<－2t－m對t∈(0,2)恒成立，也就是g(t)<0，對t∈(0,2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故實數(shù)m的取值范圍是(1，＋∞)．探究型多維突破11.已知函數(shù).(Ⅰ)若不等式有解，求實數(shù)的取值范圍；(Ⅱ)研究函數(shù)的極值點個數(shù)情況.【知識點：不等式有解與函數(shù)的最值的關(guān)系、函數(shù)的極值；數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論】解：（Ⅰ）；(Ⅱ)時，有0個極值點；時，有0個極值點；時，有兩個極值點；時，有一個極值點解析：（Ⅰ）有解等價于有解，即，設(shè)，則，當時，；當時，，所以當時，，即.(2)令得到，得到，,當時，；當時，，又，所以時，無解，有0個極值點；時，有一解，但不是極值點；時，有二解，有兩個極值點；時，有一解，有一個極值點.12.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極小值；（2）設(shè)，證明：.【知識點：函數(shù)的極值、不等式的證明、函數(shù)的最值；數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：（1）；（2）證明見解析.解析：（1），所以，觀察得，而在上單調(diào)遞增，所以當時，當時；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故有極小值．證明：（2）因為，所以，令，則，易知在單調(diào)遞增，，，所以設(shè)，則；當時，，當時，；所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，又因為，故，所以，所以當且僅當，即時等號成立，而，所以，即，所以，即．（四）自助餐1.函數(shù)在區(qū)間（為自然對數(shù)的底）上的最大值為（）A.B.C.D.【知識點：函數(shù)的最大值】解：A得，所以增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以函數(shù)最大值為．2．函數(shù)f(x)＝x3－3x(|x|<1)()A．有最大值，但無最小值 B．有最大值，也有最小值C．無最大值，但有最小值 D．既無最大值，也無最小值【知識點：函數(shù)的最值】解：D＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，當x∈(－1,1)時，<0，所以f(x)在(－1,1)上是單調(diào)遞減函數(shù)，無最大值和最小值，故選D．3．函數(shù)y＝x－sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))的最大值是()A．π－1B．eq\f(π,2)－1C．π D．π＋1【知識點：函數(shù)的最大值】解：C因為y′＝1－cosx，當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時，y′>0，則函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上為增函數(shù)，所以y的最大值為ymax＝π－sinπ＝π，故選C．4．已知函數(shù)在處取得極值，若，則的最小值是（）A．B．C．10D．15【知識點：函數(shù)的極值、最小值】解：A求導得，由函數(shù)在處取得極值知，即，∴．由此可得，，已知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當時，．又的圖像開口向下，且對稱軸為，∴當時，，故的最小值是．故選A．5．已知函數(shù)，均為上連續(xù)且，則的最大值為（）A．B．C．D．【知識點：單調(diào)函數(shù)的最大值】解：A，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴的最大值為．6．當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【知識點：不等式恒成立；數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：C當時，得，令，則，令，，則，顯然在上，，單調(diào)遞減，∴，因此；同理，當時，的，當時對任意實數(shù)不等式也成立，故實數(shù)的取值范圍是．7．在平面直角坐標系中，若曲線（為常數(shù)）過點，，則函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值的和為________．【知識點：函數(shù)的最值】解：64曲線過點，，∴，∴，∴，，令得，當時，；當時，；當時，，∴最大值與最小值的和為64．8．函數(shù)在時的最大、最小值分別是．【知識點：函數(shù)的最值】解：，．，即，．而，當＜x＜時，，當＜x＜時，，∴是極小值．又=，，∴．∴函數(shù)的最大值為，最小值為．9．函數(shù)在[0，2]上的最大值為．【知識點：函數(shù)的最值】解：．函數(shù)，∈[0，2]．，當∈[0，1）時，＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當∈（1，2]時，＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減．∴當=1時，函數(shù)取得最大值，．10．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．(1)若函數(shù)f(x)在x＝－1和x＝3處取得極值，試求a，b的值；(2)在(1)的條件下，當x∈[－2,6]時，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范圍．【知識點：函數(shù)的極值、不等式恒成立；數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：(1)；(2)(－∞，－18)∪(54，＋∞)．解析：(1)(x)＝3x2－2ax＋b，∵函數(shù)f(x)在x＝－1和x＝3處取得極值，∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的兩根．∴，∴．(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，(x)＝3x2－6x－9.當x變化時，(x)，f(x)隨x的變化