《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第2課時）》教學(xué)設(shè)計

5/162.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第2課時）（名師:張遠(yuǎn)建）一、教學(xué)目標(biāo)1.核心素養(yǎng)發(fā)展直觀想象素養(yǎng)，培養(yǎng)解析法解題、數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化的能力，提高數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)2.學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）進(jìn)一步掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）會求與橢圓有關(guān)的點的軌跡和方程；（3）初步掌握利用橢圓定義及方程解決綜合問題的方法．3.學(xué)習(xí)重點橢圓的定義和與橢圓方程有關(guān)的綜合問題．4.學(xué)習(xí)難點與橢圓定義與方程有關(guān)的綜合問題．二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1．預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1默寫橢圓的定義和橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程及相應(yīng)的焦點坐標(biāo)．2.預(yù)習(xí)自測1.已知橢圓的焦點在x軸上，則m的取值范圍是()A．B．且C．或D．答案：B解析：考查橢圓定義2.已知橢圓的上下兩個焦點分別為，點為該橢圓上一點，若為方程的兩根，則_____________答案：解析：考查橢圓方程與定義3.已知是兩點，，(1)動點滿足，則點的軌跡是____________．(2)動點滿足，則點的軌跡是__________．答案：（1）以為焦點，焦距為8的橢圓，（2）線段解析：考查橢圓定義（二）課堂設(shè)計1.知識回顧（1）已知兩點，則其中點坐標(biāo)為（2）余弦定理：中，所對邊分別為，則（3）橢圓的定義：平面內(nèi)點到兩定點的距離和為常數(shù)，即當(dāng)時，點的軌跡是橢圓．（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為焦點在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為其中a，b，c的關(guān)系為2.問題探究問題探究一進(jìn)一步掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程例1．若方程為表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是_________.【知識點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】詳解：方程表示橢圓須滿足，，且，即，且．點拔：本題需注意橢圓標(biāo)準(zhǔn)形式的表示．問題探究二求與橢圓有關(guān)的點的軌跡和方程例2.已知圓A：，圓A內(nèi)一定點B（3，0），動圓P過B點，且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程．【知識點：橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】詳解：設(shè)，∵圓P與圓A內(nèi)切，圓的半徑為10，∴兩圓的圓心距，即：（大于）．∴點P的軌跡是以A、B兩點為焦點的橢圓．∴，，∴，，．即點P的軌跡方程為：．點拔：（1）本例的解決抓住兩圓內(nèi)切的特點，得出，所以點P的軌跡方程是以A、B為焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這就是用橢圓的定義求軌跡方程，把求點P的軌跡方程的問題轉(zhuǎn)化成了求的問題．（2）轉(zhuǎn)化題中的條件，利用定義判斷出點的軌跡，再根據(jù)軌跡方程特征（類似于公式）用待定系數(shù)求出常數(shù)，簡便快捷．在條件轉(zhuǎn)化過程中，要充分利用其幾何性質(zhì)．例3.已知點在橢圓上，垂直于橢圓兩焦點所在的直線，垂足為，且為線段的中點，求點的軌跡方程.【知識點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，用轉(zhuǎn)移法求軌跡方程】詳解：設(shè)點，點，則在橢圓上，則……①又，則，即點的軌跡方程為點拔：求未知動點的軌跡方程，利用已知點與未知動點的關(guān)系，代入已知點的軌跡方程求軌跡方程方法叫相關(guān)點代入法．問題探究三初步掌握利用橢圓定義及方程解決綜合問題的方法例4.如圖所示，已知點是橢圓上的點，是橢圓的左右焦點，，求的面積．【知識點：橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】詳解：在橢圓中，又∵點P在橢圓上，∴①由余弦定理知②由①平方可得③ ③－②得，.點拔：橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的，我們通常稱其為焦點三角形，在這個三角形中，既可運用到橢圓定義，又能用到正、余弦定理．上述解答過程中還運用了整體思想直接求出，沒有單獨求，以減少運算量.一般地，已知橢圓上一點為橢圓的焦點，若，求的面積．由橢圓的定義，有而在中，由余弦定理有，即3.課堂總結(jié)【知識梳理】（1）方程均不為零，且）只有同號，且時，表示橢圓.當(dāng)時，橢圓的焦點在軸上；當(dāng)時，橢圓的焦點在軸上（2）定義法、相關(guān)點代入法是求動點的軌跡常用方法.（3）橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的我們通常稱其為焦點三角形，在這個三角形中，既可運用到橢圓定義，還可以運用正、余弦定理解決綜合問題．一般地，已知橢圓上一點為橢圓的焦點，若，則的面積．【重難點突破】（1）橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總是a>b>0，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，哪個項的分母大焦點就在相應(yīng)的那個軸上；反過來，焦點在哪個軸上相應(yīng)的那個項的分母就大．（2）橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的焦點三角形中，要充分運用橢圓定義，或運用正、余弦定理及三角形內(nèi)相關(guān)結(jié)論．常常運用整體思想直接求出，不用單獨求，以減少運算量.（3）與橢圓有關(guān)的綜合問題，常常涉及平面幾何、函數(shù)、向量、不等式的相關(guān)內(nèi)容，一定注意條件的等價轉(zhuǎn)化，才能展開思路，減少運算量．4.隨堂檢測1.已知橢圓的焦距為4，則m等于()A．4B．8C．4或8D．以上都不對答案：C解析：【知識點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】方程表示橢圓時，分母都大于0，又未指出焦點在哪個軸上，故應(yīng)分類討論，依據(jù)焦距為4列方程求解．當(dāng)焦點在y軸上時，,∴∵焦距為4，∴，∴.同理，當(dāng)焦點在x軸上時，.2.已知，橢圓與直線交于點，則的周長為（）A．4B．8C．12D．16答案：B解析：【知識點：橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】3.已知圓，從這個圓上任意一點P向軸作垂線段，則線段的中點M的軌跡方程是（）A． B． C． D．答案：A解析：【知識點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自在突破1.若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（）

A.B.C.或D.或答案：D解析：【知識點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】2.已知A（0，－1）、B（0，1）兩點，△ABC的周長為6，則△ABC的頂點C的方程是（）

A．B．

C．D．答案：C解析：【知識點：橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】3.曲線與的關(guān)系是（）A.有相等的焦距，相同的焦點B.有相等的焦距，不同的焦點C.有不等的焦距，不同的焦點D.以上均不對答案：B解析：【知識點：橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】4.若關(guān)于的方程表示焦點在y軸上的橢圓，則銳角的取值范圍是（）A.B.C.D.答案：C解析：【知識點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，三角函數(shù)】5.橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1的兩個焦點為F1、F2，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則|PF1|是|PF2|的______倍．A.7B.6C.5D.4答案：A.解析：【知識點：橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，思想方法：數(shù)形結(jié)合】6.已知、是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，且，若的面積為9，則_______________答案：3解析：【知識點：橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，思想方法：數(shù)形結(jié)合】能力型師生共研7．已知橢圓的左、右焦點分別為、點P在橢圓上,若、是一個直角三角形的三個頂點,P為直角頂點,則點P到x軸的距離為()A. B.3 C. D.答案：C解析：【知識點：橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，思想方法：數(shù)形結(jié)合】由題意∴|.又（其中h為P到x軸的距離),∴.8.若AB為過橢圓中心的弦為橢圓的焦點,則△面積的最大值為()A.6B.12C.24D.48答案：B解析：【知識點：橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，思想方法：數(shù)形結(jié)合】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知a=5,b=4,∴.如圖所示,由于根據(jù)橢圓的對稱性可知,當(dāng)且僅當(dāng)△面積取最大值時,取最大值,這時B為短軸的端點,∴的最大值為4=6．∴△面積的最大值為12.9.已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的左、右焦點分別是F1、F2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使|PQ|＝|PF2|，那么動點Q的軌跡方程為________．答案：解析：【知識點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】10.已知是橢圓上的任意一點，是它的兩焦點，為坐標(biāo)原點，求動點的軌跡方程.答案：見解析解析：【知識點：平面向量，相關(guān)點代入法】設(shè)，由題意可知①又即則代入①中得即為點的軌跡方程.探究型多維突破11.已知A(－eq\f(1,2)，0)，B是圓F：(x－eq\f(1,2))2＋y2＝4(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為____________．答案：x2＋eq\f(4,3)y2＝1解析：【知識點：橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，思想方法：數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化】如圖所示由題意知，|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2，∴|PA|＋|PF|＝2，且|PA|＋|PF|>|AF|，即動點P的軌跡是以A、F為焦點的橢圓，a＝1，c＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(3,4).∴動點P的軌跡方程為x2＋eq\f(y2,\f(3,4))＝1，即x2＋eq\f(4,3)y2＝1.12.已知P是上的任意一點，是它的兩焦點（1）求的最大值.（2）求的最小值.（3）求的最大值.答案：見解析解析：【知識點：橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，重要不等式，余弦定理】（1）由知時，（2）當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立（3）∵，且，的最大值為（四）自助餐1.若方程表示焦點在軸上的橢圓，則（）A． B． C． D．答案：C解析：【知識點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】2.橢圓的左、右焦點分別為，一直線過交橢圓于A、B兩點，則的周長為()A．32B．16C．8D．4答案：B解析：【知識點：橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)】由題設(shè)條件知的周長為3.設(shè)定點，動點P滿足條件，則點P的軌跡是()A．橢圓B．線段C．不存在 D．橢圓或線段答案：D解析：【知識點：橢圓的定義，思想方法：數(shù)形結(jié)合】4.已知橢圓的焦點分別是，且.設(shè)點P在這個橢圓上，且，則的余弦值為（）A．B．C．D．答案：C解析：【知識點：橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】5.已知橢圓的一個焦點，點在橢圓上，如果線段的中點在軸上，那么點的縱坐標(biāo)是（）A．B．C．D．答案：A解析：【知識點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】6.已知圓，從這個圓上任意一點向軸作垂線段，垂足為，點線段上，且，則的軌跡是（）A．橢圓B．線段C．圓 D．直線答案：A解析：【知識點：橢圓的定義】7.已知動圓和定圓：內(nèi)切而和定圓：外切，設(shè)，則．答案：225解析：【知識點：橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，思想方法：數(shù)形結(jié)合】8.如圖所示，分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，是面積為eq\r(3)的正三角形，則的值是________．答案：見解析解析：【知識點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，思想方法：數(shù)形結(jié)合】由題意，則，即，代入橢圓方程，得，解得.9.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知頂點和，頂點在橢圓上，則_______________答案：解析：【知識點：橢圓的定義，正弦定理，思想方法：數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化】10.已知上一點為橢圓的左右焦點，且，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.答案：見解析解析：【知識