必修二課后作業(yè)第一章　立體幾何初步121

平面的基本性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握平面的表示法，點(diǎn)、直線與平面的位置關(guān)系.2.掌握有關(guān)平面的三個(gè)公理及三個(gè)推論.3.會(huì)用符號(hào)表示圖形中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)一平面的概念思考幾何里的“平面”有邊界嗎？用什么圖形表示平面？答案沒有.水平放置的正方形的直觀圖梳理(1)平面的概念廣闊的草原、平靜的湖面都給我們以平面的形象.和點(diǎn)、直線一樣，平面也是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的幾何概念.(2)平面的畫法一般用水平放置的正方形的直觀圖作為平面的直觀圖一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)立體感，被遮擋部分用虛線畫出來.(3)平面的表示方法平面通常用希臘字母α，β，γ…表示，也可以用平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母表示，如圖中的平面α、平面AC等.知識(shí)點(diǎn)二點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系思考直線和平面都是由點(diǎn)組成的，聯(lián)系集合的觀點(diǎn)，點(diǎn)和直線，平面的位置關(guān)系，如何用符號(hào)來表示？直線和平面呢？答案點(diǎn)和直線，平面的位置關(guān)系可用數(shù)學(xué)符號(hào)“∈”或“?”表示，直線和平面的位置關(guān)系，可用數(shù)學(xué)符號(hào)“?”或“?”表示.梳理點(diǎn)、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及語言表達(dá)位置關(guān)系符號(hào)表示點(diǎn)P在直線AB上P∈AB點(diǎn)C不在直線AB上C?AB點(diǎn)M在平面AC上M∈平面AC點(diǎn)A1不在平面AC內(nèi)A1?平面AC直線AB與直線BC交于點(diǎn)BAB∩BC＝B直線AB在平面AC內(nèi)AB?平面AC直線AA1不在平面AC內(nèi)AA1?平面AC知識(shí)點(diǎn)三平面的基本性質(zhì)思考1直線l與平面α有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P.直線l是否在平面α內(nèi)？有兩個(gè)公共點(diǎn)呢？答案前者不在，后者在.思考2觀察下圖，你能得出什么結(jié)論？答案不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.思考3觀察正方體ABCD—A1B1C1D1(如圖所示)，平面ABCD與平面BCC1B1有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)B、C嗎？答案不是，平面ABCD與平面BCC1B1相交于直線BC.梳理公理(推論)文字語言圖形語言符號(hào)語言作用公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A∈α,B∈α))?AB?α(1)判定直線在平面內(nèi)；(2)證明點(diǎn)在平面內(nèi)公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(P∈α,P∈β))?α∩β＝l且P∈l(1)判斷兩個(gè)平面是否相交；(2)判定點(diǎn)是否在直線上；(3)證明點(diǎn)共線問題公理3經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C不共線?A，B，C確定一個(gè)平面α(1)確定一個(gè)平面的依據(jù).(2)證明平面重合；(3)證明點(diǎn)、線共面推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A?l?A和l確定一個(gè)平面α推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面a∩b＝A?a，b確定一個(gè)平面α推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面a∥b?a，b確定一個(gè)平面α類型一點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系的符號(hào)表示例1如圖，用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a?α，b?β，a∩l＝P，b∩l＝P.反思與感悟(1)用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號(hào)語言表示.(2)根據(jù)符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列符號(hào)表示的語句，說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.解(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)，如圖①.(2)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上，如圖②.(3)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC，如圖③.類型二點(diǎn)線共面例2如圖，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α.證明因?yàn)镻Q∥a，所以PQ與a確定一個(gè)平面β，所以直線a?β，點(diǎn)P∈β.因?yàn)镻∈b，b?α，所以P∈α.又因?yàn)閍?α，所以α與β重合，所以PQ?α.引申探究將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi).解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：a，b，c和l共面.證明：如圖，∵a∥b，∴a與b確定一個(gè)平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.∵b∥c，∴b與c確定一個(gè)平面β，同理l?β.∵平面α與β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理3的推論知：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面，∴平面α與平面β重合，∴a，b，c和l共面.反思與感悟證明多線共面的兩種方法(1)納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi).(2)重合法：先說明一些直線在一個(gè)平面內(nèi)，另一些直線在另一個(gè)平面內(nèi)，再證明兩個(gè)平面重合.跟蹤訓(xùn)練2已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C如圖所示.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).證明方法一(納入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).方法二(輔助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個(gè)平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)，∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).類型三點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題命題角度1點(diǎn)共線問題例3如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點(diǎn)Q，求證：B，Q，D1三點(diǎn)共線.證明如圖，連結(jié)A1B，CD1，顯然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1?平面A1BCD1.同理BD1?平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C?平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1與ABC1D1的交線上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三點(diǎn)共線.反思與感悟證明多點(diǎn)共線通常利用公理2，即兩相交平面交線的惟一性，通過證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在直線上.跟蹤訓(xùn)練3已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示.求證：P，Q，R三點(diǎn)共線.證明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理2可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上.同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上.∴P、Q、R三點(diǎn)共線.方法二∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三點(diǎn)共線.命題角度2線共點(diǎn)問題例4如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn).求證：CE、D1F，DA三線交于一點(diǎn).證明如圖，連結(jié)EF，D1C，A1B.∵E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，∴EF綊eq\f(1,2)A1B.又∵A1B綊D1C，∴EF綊eq\f(1,2)D1C，∴E，F(xiàn)，D1，C四點(diǎn)共面，∴D1F與CE相交，設(shè)交點(diǎn)為P.又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD，∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn).又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根據(jù)公理2，可得P∈DA，即CE、D1F、DA相交于一點(diǎn).反思與感悟證明三線共點(diǎn)問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線，然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上.此外還可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線共點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練4已知：平面α，β，γ兩兩相交于三條直線l1，l2，l3，且l1，l2不平行.求證：l1，l2，l3相交于一點(diǎn).證明如圖，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1?β，l2?β，且l1，l2不平行，∴l(xiāng)1與l2必相交.設(shè)l1∩l2＝P，則P∈l1?α，P∈l2?γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l(xiāng)1，l2，l3相交于一點(diǎn)P.1.用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上，l在平面α外”為______.答案A∈l，l?α解析∵點(diǎn)A在直線l上，∴A∈l，∵l在平面α外，∴l(xiāng)?α.2.平面α，β有公共點(diǎn)A，則α，β有________個(gè)公共點(diǎn).答案無數(shù)解析由公理2可得.3.下圖中圖形的畫法正確的是________.(填序號(hào))答案①③④⑤4.空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是______.答案1或3解析若三條直線兩兩相交，且不共點(diǎn)，則只能確定1個(gè)平面；若三條直線兩兩相交，且共點(diǎn)，則可以確定1個(gè)或3個(gè)平面.5.如圖，a∩b＝A，a∩c＝B，a∩d＝F，b∩c＝C，c∩d＝D，b∩d＝E，求證：a，b，c，d共面.證明因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以A，B，C三點(diǎn)確定一個(gè)平面，設(shè)為α.因?yàn)锳∈a，B∈a，所以a?α，因?yàn)锳∈b，C∈b，所以b?α，因?yàn)锽∈c，C∈c，所以c?α，所以a，b，c都在α內(nèi).因?yàn)镈∈c，E∈b，所以D∈α，E∈α.又因?yàn)镈∈d，E∈d，所以d?α，所以a，b，c，d共面.1.解決立體幾何問題首先應(yīng)過好三大語言關(guān)，即實(shí)現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號(hào)所表示的幾何圖形的實(shí)際意義，恰當(dāng)?shù)赜梅?hào)語言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言.文字語言和符號(hào)語言在轉(zhuǎn)換的時(shí)候，要注意符號(hào)語言所代表的含義，作直觀圖時(shí)，要注意線的實(shí)虛.2.在處理點(diǎn)線共面、三點(diǎn)共線及三線共點(diǎn)問題時(shí)初步體會(huì)三個(gè)公理的作用，突出先部分再整體的思想.課時(shí)作業(yè)一、填空題1.下列推理正確的是________.(填序號(hào))①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，則l?α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，則α∩β＝AB；③若A∈α，A∈l，則l?α；④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線，則α，β重合.答案①②④解析由公理1可知①正確；由公理2可知②正確；若A∈α，A∈l，則l?α或l與α相交，即l?α不一定成立，③錯(cuò)誤；由公理3可知④正確.2.下列說法中，正確的是________.(填序號(hào))①一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；②三角形一定是平面圖形；③空間中兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；④梯形一定是平面圖形.答案②④解析因?yàn)橐粭l直線和該直線上的一個(gè)點(diǎn)可確定無數(shù)個(gè)平面，所以①不正確；因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以②正確；因?yàn)殚L方體中經(jīng)過同一頂點(diǎn)的三條棱所在的直線可確定三個(gè)平面，所以③不正確；因?yàn)樘菪紊舷碌灼叫校鴥善叫芯€確定一個(gè)平面，所以④正確.3.如圖所示，用符號(hào)語言可表示為________.(填序號(hào))①α∩β＝m，n?α，m∩n＝A；②α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A；③α∩β＝m，n?α，A?m，A?n；④α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n.答案①解析很明顯，α與β交于m，n在α內(nèi)，m與n交于A，故選①.4.平面α∩平面β＝l，點(diǎn)M∈α，N∈α，點(diǎn)P∈β，且P?l，又MN∩l＝R，過M，N，P三點(diǎn)所確定的平面記為γ，則β∩γ＝________.答案PR解析如圖，MN?γ，R∈MN，∴R∈γ.∵R∈l，∴R∈β.∵P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.5.空間任意4點(diǎn)最多可以確定的平面?zhèn)€數(shù)為________.答案4解析可以想象三棱錐的4個(gè)頂點(diǎn)，它們總共確定4個(gè)平面.6.過四條兩兩平行的直線中的兩條最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)是________.答案6解析如四棱柱中四條側(cè)棱兩兩平行，過其中兩條可確定4個(gè)側(cè)面和2個(gè)對(duì)頂面，共確定6個(gè)平面.7.如圖，已知D，E是△ABC的邊AC，BC上的點(diǎn)，平面α經(jīng)過D，E兩點(diǎn)，若直線AB與平面α的交點(diǎn)是P，則點(diǎn)P與直線DE的位置關(guān)系是________.答案P∈直線DE解析因?yàn)镻∈AB，AB?平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直線DE.8.下列命題中正確的是________.(填序號(hào))①空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)必共面；②兩兩相交的三個(gè)平面所形成的三條交線必共點(diǎn)；③空間兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；④平面α和平面β可以只有一個(gè)交點(diǎn).答案①解析借助三棱柱，可知②錯(cuò)誤；借助正四面體，可知③錯(cuò)誤；由公理2，可知④錯(cuò)誤；由推論1，可知①正確.9.在底面是平行四邊形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為________.答案5解析如圖，底面是平行四邊形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中的每一個(gè)面都是平行四邊形，與AB，CC1都共面的棱為BC，D1C1，DC，AA1，BB1，共5條.10.如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為AA1，C1D1的中點(diǎn)，過D，M，N三點(diǎn)的平面與直線A1B1交于點(diǎn)P，則線段PB1的長為________.答案eq\f(3,4)a解析延長DM交D1A1的延長線于G點(diǎn)，連結(jié)GN交A1B1于點(diǎn)P.由M，N分別為AA1，C1D1的中點(diǎn)知，P在A1B1的eq\f(1,4)(靠近A1)處，故線段PB1的長為eq\f(3,4)a.11.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分別是AB，AD，B1C1的中點(diǎn)，那么正方體經(jīng)過P，Q，R的截面圖形是________.答案正六邊形解析如圖，連結(jié)B1D1，作RG∥B1D1交C1D1于G，連結(jié)QP并延長與CB的延長線交于M，連結(jié)MR交BB1于E，連結(jié)PE，PE為截面與正方體的交線.同理，延長PQ交CD的延長線于N，連結(jié)NG交DD1于F，連結(jié)QF.∴截面PQFGRE為正六邊形.二、解答題12.已知：A∈l，B∈l，C∈l，D?l，如圖所示.求證：直線AD，BD，CD共面.證明因?yàn)镈?l，所以l與D可以確定一個(gè)平面α，因?yàn)锳∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD?α.同理，BD?α，CD?α，所以AD，BD，CD在同一平面α內(nèi)，即直線AD，BD，CD共面.13.如圖，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一點(diǎn)，畫出平面SBD和平面SAC的交線