專題930正方形（直通中考）（提升練）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（蘇科版）

專題9.30正方形（直通中考）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2019·湖南婁底·中考真題）順次連接一個菱形的各邊中點所得四邊形的形狀是（）A．平行四邊形B．矩形 C．菱形 D．正方形2．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為6的正方形中，M為對角線上的一點，連接并延長交于點P．若，則的長為（）

A． B． C． D．3．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，O為正方形對角線的中點，為等邊三角形．若，則的長度為（

）A． B． C． D．4．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）下列圖形是黃金矩形的折疊過程：第一步，如圖（1），在一張矩形紙片一端折出一個正方形，然后把紙片展平；第二步，如圖（2），把正方形折成兩個相等的矩形再把紙片展平；第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把AB折到圖（3）中所示的AD處；第四步，如圖（4），展平紙片，折出矩形BCDE就是黃金矩形．則下列線段的比中：①，②，③，④，比值為的是（

） A．①② B．①③ C．②④ D．②③5．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形中，，點E，F(xiàn)分別在邊上，，AF與相交于點O，連接，若，則與之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（

）A．B．C． D．6．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為2的等邊三角形的外側(cè)作正方形，過點作，垂足為，則的長為（

）A． B． C． D．7．（2022·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板ABCD中，BD為對角線，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，分別交BD，EF于O，P兩點，M，N分別為BO，DC的中點，連接AP，NF，沿圖中實線剪開即可得到一副七巧板，則在剪開之前，關(guān)于該圖形，下列說法：①圖中的三角形都是等腰直角三角形；②四邊形MPEB是菱形；③四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的．正確的有（

）A．只有① B．①② C．①③ D．②③8．（2022·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）正方形的對角線相交于點O（如圖1），如果繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，其兩邊分別與邊相交于點E、F（如圖2），連接EF，那么在點E由B到A的過程中，線段EF的中點G經(jīng)過的路線是（

）A．線段 B．圓弧 C．折線 D．波浪線9．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形的邊長為3，點是對角線上的一點，于點，于點，連接，當(dāng)時，則（

）

A． B．2 C． D．10．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，O為對角線的中點，E為正方形內(nèi)一點，連接，，連接并延長，與的平分線交于點F，連接，若，則的長度為（

）

A．2 B． C．1 D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）如圖在正方形中，點E在上，連接，，F(xiàn)為的中點連接．若，則的長為．

12．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，分別以點為圓心，以的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接，則．13．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為2的正方形中，E，F(xiàn)分別是上的動點，M，N分別是的中點，則的最大值為．

14．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，對角線與相交于點O，E為上一點，，F(xiàn)為的中點，若的周長為32，則的長為．

15．（2021·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為8，M在上，且，N是上的一動點，則的最小值為．

16．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，以的三邊為邊在上方分別作等邊、、．且點A在內(nèi)部．給出以下結(jié)論：①四邊形是平行四邊形；②當(dāng)時，四邊形是矩形；③當(dāng)時，四邊形是菱形；④當(dāng)，且時，四邊形是正方形．其中正確結(jié)論有（填上所有正確結(jié)論的序號）．17．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）在長為2，寬為x（）的矩形紙片上，從它的一側(cè)，剪去一個以矩形紙片寬為邊長的正方形（第一次操作）；從剩下的矩形紙片一側(cè)再剪去一個以寬為邊長的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的紙片恰為正方形，則x的值為．18．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形中，，，點，分別在，上，若，則．【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形．已知，，，，道路，上分別有景點，，且，，若在，之間修一條直路，則路線的長比路線的長少（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖是的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．

（1）在圖1中作銳角，使點C在格點上；（2）在圖2中的線段上作點Q，使最短．20．（8分）（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形中，點，分別在，上，且，與相交于點．

（1）求證：≌；（2）求的大?。?1．（10分）（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，的對角線交于點，分別以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接．

（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）請說明當(dāng)?shù)膶蔷€滿足什么條件時，四邊形是正方形？22．（10分）（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，為上一點，連接，的垂直平分線交于點，交于點，垂足為，點在上，且．（1）求證：；（2）若，，求的長．23．（10分）（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，E是邊上一動點（不與點A，D重合）．邊關(guān)于對稱的線段為，連接．

（1）若，求證：是等邊三角形；（2）延長，交射線于點G；①能否為等腰三角形？如果能，求此時的度數(shù)；如果不能，請說明理由；②若，求面積的最大值，并求此時的長．24．（12分）（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖①，正方形的面積為1．

（1）如圖②，延長到，使，延長到，使，則四邊形的面積為______；（2）如圖③，延長到，使，延長到，使，則四邊形的面積為______；（3）延長到，使，延長到，使，則四邊形的面積為______．參考答案：1．B【分析】根據(jù)中位線定理及菱形的對角線互相垂直可得結(jié)論．解：順次連接菱形各邊中點所得四邊形必定是：矩形，理由如下：（如圖）根據(jù)中位線定理可得：且，且，，∴，，∴四邊形是平行四邊形．又∵四邊形是菱形，∴，則，∴四邊形是矩形．故選：B．【點撥】本題考查了中點四邊形，菱形的性質(zhì)，此題實際上是矩形的判定和三角形的中位線定理的應(yīng)用，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力，題目比較好，難度適中．2．C【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得．解：四邊形是邊長為6的正方形，，在和中，，，，，，，又，，設(shè)，則，，，解得，，，，故選：C．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．B【分析】利用勾股定理求出AC的長度，再利用等邊三角形的性質(zhì)即可解決問題．解：在正方形中：，∴，∵O為正方形對角線的中點，∴，∵為等邊三角形,O為的中點，∴，，∴,∴,故選：B．【點撥】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】設(shè)，則，求出，，分別求出比值，作出判斷．解：設(shè)，∴，在中，，由折疊可知，，∴，又∵，∴，，，，，∴比值為的是①③，故選：B．【點撥】本題考查四邊形綜合題，黃金矩形的定義、勾股定理、翻折變換、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．5．A【分析】過點O作OM⊥BC于點M，先證明四邊形ABFE是正方形，得出，再利用勾股定理得出，即可得出答案．解：過點O作OM⊥BC于點M，，四邊形ABCD是矩形，，∴∠AEF=180°∠BAD=90°，，∴四邊形ABFE是矩形，又∵AB=AE，四邊形ABFE是正方形，，EF=BF，，，，EF=2CF，由勾股定理得，，故選：A．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】過點A分別作AG⊥BC于點G，AH⊥DF于點H，可得四邊形AGFH是矩形，從而得到FH=AG，再由△ABC為等邊三角形，可得∠BAG=30°，BG=1，從而得到，再證得∠DAH=∠BAG=30°，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．解：如圖，過點A分別作AG⊥BC于點G，AH⊥DF于點H，∵DF⊥BC，∴∠GFH=∠AHF=∠AGF=90°，∴四邊形AGFH是矩形，∴FH=AG，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，BC=AB=2，∴∠BAG=30°，BG=1，∴，∴，在正方形ABED中，AD=AB=2，∠BAD=90°，∴∠DAH=∠BAG=30°，∴，∴．故選：D【點撥】本題主要考查了等邊三角形和正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形和正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)和中位線定理證明圖中所有三角形是等腰直角三角形，再證明四邊形MPEB是平行四邊形但不是菱形，最后再證明四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的即可．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABO＝∠ADB＝∠CBD＝∠BDC＝45°，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴△ABD、△BCD是等腰直角三角形，∵，∴∠APF＝∠APE＝90°，∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，∴EF是△BCD的中位線，CE＝BC，CF＝CD，∴CE＝CF，∵∠C＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，

∴EFBD，EF＝BD，∴∠APE＝∠AOB＝90°，∠APF＝∠AOD＝90°，∴△ABO、△ADO是等腰直角三角形，∴AO＝BO，AO＝DO，∴BO＝DO，∵M(jìn)，N分別為BO，DO的中點，∴OM＝BM＝BO，ON＝ND＝DO，∴OM＝BM＝ON＝ND，∵∠BAO＝∠DAO＝45°，∴由正方形是軸對稱圖形，則A、P、C三點共線，PE＝PF＝EF＝ON＝BM＝OM，連接PC，如圖，∴NF是△CDO的中位線，∴NFAC，NF＝OC＝OD＝ON＝ND，∴∠ONF＝180°－∠COD＝90°，∴∠NOP＝∠OPF＝∠ONF＝90°，∴四邊形FNOP是矩形，∴四邊形FNOP是正方形，∴NF＝ON＝ND，∴△DNF是等腰直角三角形，∴圖中的三角形都是等腰直角三角形；故①正確，∵PEBM，PE＝BM，∴四邊形MPEB是平行四邊形，∵BE＝BC，BM＝OB，在Rt△OBC中，BC＞OB，∴BE≠BM，∴四邊形MPEB不是菱形；故②錯誤，∵PC＝PO＝PF＝OM，∠MOP＝∠CPF＝90°，∴△MOP≌△CPF（SAS），∴，故③正確，故選：C【點撥】此題考查了七巧板，正方形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理、三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】連接，根據(jù)題意可知則線段EF的中點G經(jīng)過的路線是的線段垂直平分線的一段，即線段解：連接，根據(jù)題意可知，，∴點G在線段OB的垂直平分線上．則線段EF的中點G經(jīng)過的路線是的線段垂直平分線的一段，即線段．故選：A．【點撥】本題考查了線段垂直平分線的判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，正方形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】先證四邊形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，可求，的長，由勾股定理可求的長，由“”可證，可得．解：如圖：

連接，四邊形是正方形，，，，，，四邊形是矩形，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，故選：．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．10．D【分析】連接，根據(jù)正方形得到，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，求得，再證明，求得，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中點等于斜邊的一半，即可求出的長度．解：如圖，連接，

四邊形是正方形，，，，，，，平分，，，在與,，，，，O為對角線的中點，，故選：D．【點撥】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形特征，作出正確的輔助線，求得是解題的關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，設(shè)，根據(jù)勾股定理求出的值，再根據(jù)勾股定理即可求出的長．解：正方形，F(xiàn)為的中點，設(shè)，在中，即解得故，在中解得（負(fù)值舍去）故答案為：．【點撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．12．15【分析】證明是等邊三角形可得，再求出，利用等腰三角形的性質(zhì)可求出，進(jìn)而可求出．解：連接，由作圖方法可知，，∴是等邊三角形，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴．故答案為：15．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．13．【分析】首先證明出是的中位線，得到，然后由正方形的性質(zhì)和勾股定理得到，證明出當(dāng)最大時，最大，此時最大，進(jìn)而得到當(dāng)點E和點C重合時，最大，即的長度，最后代入求解即可．解：如圖所示，連接，

∵M(jìn)，N分別是的中點，∴是的中位線，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴當(dāng)最大時，最大，此時最大，∵點E是上的動點，∴當(dāng)點E和點C重合時，最大，即的長度，∴此時，∴，∴的最大值為．故答案為：．【點撥】此題考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．14．【分析】利用斜邊上的中線等于斜邊的一半和的周長，求出的長，進(jìn)而求出的長，勾股定理求出的長，進(jìn)而求出的長，利用三角形的中位線定理，即可得解．解：的周長為32，．為DE的中點，．，，，，．四邊形是正方形，，O為BD的中點，是的中位線，．故答案為：．【點撥】本題考查正方形的性質(zhì)，斜邊上的中線，三角形的中位線定理．熟練掌握斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．15．10【分析】要求的最小值，，不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化，的值，確定最小值為的長度，再由勾股定理計算即可．解：如圖所示，∵正方形是軸對稱圖形，點B與點D是關(guān)于直線為對稱軸的對稱點，∴連接，，則直線即為的垂直平分線，

∴，∴，連接交于點P，∵點N為上的動點，∴由三角形兩邊之和大于第三邊，知當(dāng)點N運動到點P時，，的最小值為的長度．∵四邊形為正方形，∴，，，，即的最小值為10.故答案為：10【點撥】本考查正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用，解題的難點在于確定滿足條件的點N的位置：利用軸對稱的方法．然后熟練運用勾股定理．16．①②③④【分析】對于結(jié)論①，由等邊三角形的性質(zhì)可得，，則；同理，由，得，由，即可得出四邊形是平行四邊形；對于結(jié)論②，當(dāng)時，，結(jié)合結(jié)論①，可知結(jié)論②正確；對于結(jié)論③，當(dāng)時，，結(jié)合結(jié)論①，可知結(jié)論③正確；對于結(jié)論④，綜合②③的結(jié)論知：當(dāng)，且時，四邊形既是菱形，又是矩形，故結(jié)論④正確．解：解析：①、是等邊三角形，，，，，，，同理由，得，由，即可得出四邊形是平行四邊形，故結(jié)論①正確；②當(dāng)時，，由①知四邊形是平行四邊形，平行四邊形是矩形，故結(jié)論②正確；③由①知，，四邊形是平行四邊形，當(dāng)時，，平行四邊形是菱形，故結(jié)論③正確；④綜合②③的結(jié)論知：當(dāng)，且時，四邊形既是菱形，又是矩形，四邊形是正方形，故結(jié)論④正確．故答案為：①②③④．【點撥】本題主要考查了平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定方法，熟練掌握以上圖形的判定方法是解題的關(guān)鍵．17．或【分析】分析題意，根據(jù)x的取值范圍不同，對剩下矩形的長寬進(jìn)行討論，求出滿足題意的x值即可．解：第一次操作后剩下的矩形兩邊長為和，，又，，，則第一次操作后，剩下矩形的寬為，所以可得第二次操作后，剩下矩形一邊為，另一邊為：，∵第三次操作后，剩下的紙片恰為正方形，∴第二次操作后剩下矩形的長是寬的2倍，分以下兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)，即時，第三次操作后剩下的矩形的寬為，長是，則由題意可知：，解得：；②當(dāng)，即時，第三次操作后剩下的矩形的寬為，長是，由題意得：，解得：，或者．故答案為：或．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，熟練掌握矩形，正方形性質(zhì)以及分類討論的方法是解題的關(guān)鍵．18．370【分析】延長交于點，根據(jù)已知條件求得,進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得，，從而求得的長，根據(jù)材料可得，即可求解．解：如圖，延長交于點，連接，，，，，，是等邊三角形，,,在中，，，，，，中，，，，，，中，是等腰直角三角形由閱讀材料可得，路線的長比路線的長少．故答案為：370．【點撥】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，理解題意是解題的關(guān)鍵．19．（1）作圖見分析；（2）作圖見分析【分析】（1）如圖，取格點，使，在的左上方的格點滿足條件，再畫三角形即可；（2）利用小正方形的性質(zhì)取格點，連接交于，從而可得答案．（1）解：如圖，即為所求作的三角形；

（2）如圖，即為所求作的點；

【點撥】本題考查的是復(fù)雜作圖，同時考查了三角形的外角的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，垂線段最短，熟記基本幾何圖形的性質(zhì)再靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．20．（1）見分析；（2）【分析】（1）直接利用證明全等即可；（2）根據(jù)全等的性質(zhì)，得出，再由，從而求出．解：（1）證明：四邊形是正方形，，，，，即，在和中，≌；（2）解：由（1）知≌，，，．【點撥】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)和判定．21．（1）平行四邊形，見分析；（2）且【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定即可．（2）根據(jù)對角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形判定即可．解：（1）四邊形是平行四邊形．理由如下：∵的對角線交于點，∴，∵以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點，∴∴四邊形是平行四邊形．（2）∵對角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形，∴且時，四邊形是正方形．【點撥】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（1）見詳解；（2）【分析】（1）先證明四邊形ADFM是矩形，得到AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，再利用MN⊥BE證得∠MBO=∠OMF，結(jié)合∠A=90°=∠NFM即可證明；（2）利用勾股定理求得BE=10=MN，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BO=OE=5，BM=ME，即有AM=ABBM=8ME，在Rt△AME中，，可得，解得：，即有，再在Rt△BMO中利用勾股定理即可求出MO，則NO可求．解：（1）在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，，，∵，∠A=∠D=90°，，∴四邊形ADFM是矩形，∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，∵M(jìn)N是BE的垂直平分線，∴MN⊥BE，∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，∴∠MBO=∠OMF，∵，∴△ABE≌△FMN；（2）連接ME，如圖，∵AB=8，AE=6，∴在Rt△ABE中，，∴根據(jù)（1）中全等的結(jié)論可知MN=BE=10，∵M(jìn)N是BE的垂直平分線，∴BO=OE==5，BM=ME，∴AM=ABBM=8ME，∴在Rt△AME中，，∴，解得：，∴，∴在Rt△BMO中，，∴，∴ON=MNMO=．即NO的長為：．【點撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．23．（1）見分析；（2）①能為等腰三角形，；②【分析】（1）由軸對稱的性質(zhì)得到，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，根據(jù)等邊三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，得到，推出點B不可能是等腰三角形的頂點，若點F是等腰三角形的頂點，則有，此時E與