112與三角形有關(guān)的角(講練)-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊重要考點(diǎn)(人教版)（原卷版）

11.2與三角形有關(guān)的角三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．注意：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；②已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；③求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系．題型1：三角形的內(nèi)角和定理1.△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，則∠C的度數(shù)為（）A．80° B．40° C．60° D．50°【變式11】已知一個(gè)等腰三角形的頂角為40°，則它的一個(gè)底角等于（）A．30° B．70° C．140° D．125°【變式12】如圖，將△ABC的BC邊對(duì)折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，DE為折痕，若∠A=65°，∠ACD=25°，則∠B=（）.A．45° B．60° C．35° D．40°三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.注意：(1)外角的特征：①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的延長線．（2）三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角．所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說三角形有三個(gè)外角．（3）因?yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180°，可推出三角形的三個(gè)外角和是360°題型2：三角形的外角性質(zhì)和外角和2.如圖，在△DEF中，點(diǎn)C在DF的延長線上，點(diǎn)B在EF上，且AB∥CD，∠EBA＝60°，則∠E+∠D的度數(shù)為（）A．60° B．30° C．90° D．80°【變式21】如圖，∠A、∠1、∠2的大小關(guān)系是（）A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1【變式22】如圖，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，求∠BDC的度數(shù)．題型3：三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用方程3.在△ABC中，∠A?∠B=∠B?∠C=15°，求∠A、∠B、∠C的度數(shù).【變式31】在△ABC中，∠A=∠B+10°，∠C=∠B－40°，求△ABC的各個(gè)內(nèi)角的度數(shù).【變式32】求出下列圖形中的x的值：題型4：三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用三角板4.小明在數(shù)學(xué)課上，將文具盒中的直角三角板與一直尺放置如圖，若測得∠AEF＝50°，那么∠BDA＝（）A．20° B．40° C．50° D．60°【變式41】如圖，一副三角板疊在一起，最小銳角的頂點(diǎn)D恰好放在等腰直角三角板的斜邊AB上，BC與DE交于點(diǎn)M，若∠ADF＝95°，則∠BMD為（）A．80° B．85° C．90° D．100°【變式42】將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠a的大小為．題型5：三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用高、角平分線5.如圖，AF，AD分別是△ABC的高和角平分線，且∠B=34°，∠C=76°，求∠DAF的度數(shù).【變式51】如圖，在△ABC中，∠B=32°，∠C=54°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，DF⊥AE于F，求∠ADF．【變式52】（8字模型）如圖，已知AB，CD是兩條相交線段，連結(jié)AD，CB，分別作∠DAB和∠BCD的平分線相交于點(diǎn)P，若∠D=50°，∠B=40°，則∠P的度數(shù)為()A．50° B．45° C．40° D．30°題型6：三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用平行線6.已知：如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在AC上.求證：∠A=∠CED+∠D.【變式61】已知：如圖在△ABC中，BD是角平分線，DE//BC，∠A=60°，∠C=80°，求∠BDE的度數(shù).【變式62】如圖△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D在AC邊上，DE∥BC，若∠ADE=155°，求∠B的度數(shù).題型7：三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用多角和7.如圖，五角星的頂點(diǎn)為A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為（）A．90° B．180° C．270° D．360°【變式71】如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù).【變式72】如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（）度.A．180 B．270 C．360 D．540題型8：三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用數(shù)量關(guān)系8.（雙外角模型）如圖所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A=40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于點(diǎn)E．（1）求∠E的度數(shù)．（2）請猜想∠A與∠E之間的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．【變式81】定義：線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.試解答下列問題：（1）在圖1中，∠A、∠B、∠C、∠D之間的關(guān)系為.（2）如圖2，在（1）的結(jié)論下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于點(diǎn)M、N.①仔細(xì)觀察，在圖2中有個(gè)以線段AD為邊的“8字形”；②若∠D＝40°，∠B＝36°，試求∠P的度數(shù)（請說明理由）；③∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試直接寫出∠P與∠D、∠B之間的數(shù)量關(guān)系，不需說明理由.題型9：三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用新定義9.定義：等腰三角形的一個(gè)底角與其頂角的度數(shù)的比值k(k>1)稱為這個(gè)等腰三角形的“優(yōu)美比”．若在等腰三角形ABC中，∠A=36°,則它的優(yōu)美比k為（）A．32 B．2 C．52 【變式91】定義：當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”如果一個(gè)“特征三角形”的一個(gè)內(nèi)角為48°，那么這個(gè)“特征角”α的度數(shù)為．【變式92】三角形中，如果有一個(gè)內(nèi)角是另外一個(gè)內(nèi)角的3倍，我們把這個(gè)三角形叫做“三倍角三角形”．在一個(gè)“三倍角三角形”中有一個(gè)內(nèi)角為60°，則另外兩個(gè)角分別為．直角三角形：如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形有兩個(gè)角互余.反過來，有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.注意：如果直角三角形中有一個(gè)銳角為45°，那么這個(gè)直角三角形的另一個(gè)銳角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.題型10：直角三角形的性質(zhì)10.若三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為2：3：7，則這個(gè)三角形一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【變式101】一副直角三角板，按如圖方式疊放在一起，其中∠A=45°，∠D=30°，若DF//BC，則∠AGE等于度.【變式102】兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB與DF交于點(diǎn)M，BC∥EF，求∠BMD的度數(shù)．【變式103】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度數(shù).題型11：直角三角形的判定11.在下列條件：①∠A?∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=2：3：5；③∠A?90°=∠B；④2∠A=2∠B=∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式111】在下列條件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式112】如圖，AB、ED分別垂直于BD，點(diǎn)B、D是垂足，且∠ACB＝∠CED．求證△ACE是直角三角形．一、單選題1．如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)E，若∠A=40°，∠C=35°，則∠BED=（）A．70° B．75° C．80° D．85°2．在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝2:3:4，則∠B等于（）A．45° B．60° C．75° D．80°3．如圖，將一副三角板按如圖方式疊放，則∠α等于（）

A．30° B．45° C．60° D．75°4．在ΔABC中，若∠B,∠C都是銳角，則ΔABC是（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．以上都有可能5．將一副三角板按如圖的方式擺放，且AB∥CD，則∠1的度數(shù)為()A．80° B．60° C．105° D．75°6．如圖，AB=AC，AF∥BC，∠FAC=75°，E為BC延長線上一點(diǎn)，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D，則∠D的度數(shù)為（）A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°7．三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是（x+y）°，（xy）°，x°，且x＞y＞0，則該三角形有一個(gè)內(nèi)角為（）A．30° B．45° C．90° D．60°二、填空題8．在△ABC中，∠A=60°，∠C=2∠B，則∠C=9．如圖，△ABC中，∠A=50°，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，則∠1+∠2+∠3+∠4=10．如圖，l∥m，∠1＝120°，∠A＝55°，則∠ACB的大小是．11．如圖，在ΔABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、BC上，且DE//AC，∠A=80o，∠BED=5512．如圖，在△ABC中，∠A=α，∠ABC與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點(diǎn)A2，得A2；?；三、解答題13．如圖，△ABC與△DBE中，AC∥DE，點(diǎn)B、C、E在同一直線上，AC，BD相交于點(diǎn)F，若∠BDE=85°，∠BAC=55°，∠ABD：∠DBE=3：4，求∠DBE的度數(shù)．14．如圖，B村在A