專(zhuān)題勾股定理與全等三角形的綜合運(yùn)用（基礎(chǔ)題＆提升題＆壓軸題）（原卷版）

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十七章勾股定理》專(zhuān)題勾股定理與全等三角形的綜合運(yùn)用（基礎(chǔ)題＆提升題＆壓軸題）基礎(chǔ)題基礎(chǔ)題1．（2021秋?岱岳區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．（1）求證：△ADC≌△ADE．（2）若CD＝3，BD＝5，求BE的長(zhǎng)．2．如圖，在△ABC和△DCE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝BC，DB＝BE，A，D，E三點(diǎn)在同一直線上．（1）求證：AD＝CE；（2）若DB＝22，AD＝5．求AC的長(zhǎng)．3．（2022春?定遠(yuǎn)縣期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，作等腰Rt△DCE，且∠DCE＝90°，連接AE．（1）求證：△CEA≌△CDB；（2）求證：AE2+AD2＝DE2．4．如圖，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE，AE＝3，∠CAE＝45°．（1）求證△ACD≌△BCE；（2）求AD的長(zhǎng)．5．（2022秋?通川區(qū)校級(jí)期末）已知，如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，以斜邊AC為底邊作等腰三角形ACD，腰AD剛好滿足AD∥BC，并作腰上的高AE．（1）求證：AB＝AE；（2）求等腰三角形的腰長(zhǎng)CD．6．（2021秋?門(mén)頭溝區(qū)期末）已知，如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，過(guò)D作DE∥AC交AB于E．（1）求證：AE＝DE；（2）如果AC＝3，AD=23，求AE7．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，AC＝DC，∠ACD＝90°，連接BD．求BD的長(zhǎng)．8．（2022春?雨花區(qū)校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，點(diǎn)D在邊AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，連CE，求：（1）線段BE的長(zhǎng)；（2）線段CE的長(zhǎng)．9．如圖，直線l過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)B，點(diǎn)A，C到直線l的距離分別為1cm和2cm．（1）求證：∠ABA′＝∠BCC′；（2）求BC′的長(zhǎng)；（3）求正方形ABCD的邊長(zhǎng)和面積．10．（2022春?蚌山區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC與△DBE都是等邊三角形，DA、DB、DC三邊長(zhǎng)是一組勾股數(shù)，且DC邊最長(zhǎng)．（1）求證：DE2+CE2＝CD2；（2）求∠ADB的度數(shù)．11．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D為AC邊上的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥DF，交AB于E，交BC為F，（1）求證：BE＝CF；（2）若AE＝4，F(xiàn)C＝3，求EF的長(zhǎng)．12．（2021秋?徐匯區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，CB＝2，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)E、D、F一條直線上，且ED＝FD．（1）求證：FB⊥CB；（2）聯(lián)結(jié)CD，若CD⊥EF，求CE的長(zhǎng)．提升題提升題1．（2021秋?宛城區(qū)期末）如圖，E、F是等腰Rt△ABC的斜邊BC上的兩動(dòng)點(diǎn)，∠EAF＝45°，CD⊥BC且CD＝BE．求證：（1）AE＝AD；（2）EF2＝BE2+CF2．2．（2022春?欽州期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥CP，垂足為C，令CD＝CP，連接DP，BD，求∠BPC的度數(shù)．3．如圖，△AOB和△COD都為等腰直角三角形，且∠AOB＝∠COD＝90°．（1）如圖①，當(dāng)△COD的頂點(diǎn)D恰好在AB邊上時(shí)，求證：2OD2＝AD2+BD2；（2）將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，連接AD，BC交于點(diǎn)F，連接FO，求證：FO平分∠AFC．4．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期末）已知，如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P為AD上一點(diǎn)，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于O，且OE＝OD，求AP的長(zhǎng)．5．（2022秋?南海區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝210，AD⊥BC，垂足為D．（1）求證：∠B＝2∠CAD．（2）求BD的長(zhǎng)度；（3）點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到邊AB和AC的距離相等，求點(diǎn)P到邊AB距離．6．如圖，在△ABC中，∠BAC為鈍角，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E．（1）若BD2+CE2＝DE2，則∠BAC＝°．（2）若∠ABC的平分線BF和邊AC的垂直平分線EF相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG垂直于BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．求證：BC﹣AB＝2AG．7．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），連接AD，以AD始邊作∠DAE＝α（0°＜α＜180°）．（1）如圖1，當(dāng)α＝90°，且AE＝AD時(shí)，試說(shuō)明CE和BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)α＝45°，且點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，求證：BD2+CE2＝DE2．8．（2021秋?通州區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，在Rt△ABD中，∠D＝90°，AD與BC交于點(diǎn)E，且∠DBE＝∠DAB．求證：（1）∠CAE＝∠DBC；（2）AC2+CE2＝4BD2．9．（2022?雙臺(tái)子區(qū)校級(jí)一模）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥CD于點(diǎn)D，連接AD，在CD上截取CE，使CE＝BD，連接AE．（1）直接判斷AE與AD的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，延長(zhǎng)AD，CB交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG∥AF交BC于點(diǎn)G，試判斷FG與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；10．如圖，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，D是斜邊BC上的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF（1）若AB＝AC，BE＝12，CF＝5，求△DEF的面積．（2）求證：BE2+CF2＝EF2．壓軸題壓軸題1．（1）在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，陳老師給出了一道題．如圖1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度數(shù)．小強(qiáng)在解決此題時(shí)，是將△APC繞C旋轉(zhuǎn)到△CBE的位置（即過(guò)C作CE⊥CP，且使CE＝CP，連接EP、EB）．你知道小強(qiáng)是怎么解決的嗎？（2）請(qǐng)根據(jù)（1）的思想解決以下問(wèn)題：如圖2所示，設(shè)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．2．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接DE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交AC于點(diǎn)F．①求證：CE＝AF；②試探究線段AF，DE，BE之間滿足的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在△BDC內(nèi)部時(shí)，連接AE，CE，若DB＝5，DE＝32，∠AED＝45°，求線段CE的長(zhǎng)．3．（2021秋?海曙區(qū)校級(jí)期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延長(zhǎng)線于N．（1）證明：BM＝CN．（2）當(dāng)∠BAC＝70°時(shí)，求∠DCB的度數(shù)；（3）若AB＝8，AC＝4，DE＝3，則4DN2﹣BC2的值為．4．已知，在等腰Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB，點(diǎn)A，B在第四象限．（1）如圖1，若A（1，﹣3），則①OA＝；②求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖2，AD⊥y軸于點(diǎn)D，M為OB的中點(diǎn)，求證：DO+DA=2DM5．請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1，在等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA＝2，PB=3，PC＝1，求∠BPC李明同學(xué)的思路是：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP′A（如圖2），連接P′P．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△BP′P是三角形；P′A＝PC＝1，∠BP′P＝，P′P＝PB=3；在△AP′P中，∵P′P2+P′A2＝（3）2+12＝4＝PA2∴△AP′P是三角形；∴∠AP′P＝°；∴∠BPC＝∠BP′A＝∠BP′P+∠AP′P＝．問(wèn)題得到解決．（1）將李明的思路補(bǔ)充完整；（2）請(qǐng)你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：如圖3，等腰直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝1，PB＝3，PC=7，求∠CPA6．如圖①，在凸四邊形中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC．（1）如圖②，若連接AC，則△ADC的形狀是三角形．你是根據(jù)哪個(gè)判定定理？答：．（請(qǐng)寫(xiě)出定理的具體內(nèi)容）（2）如圖③，若在四邊形ABCD的外部以BC為一邊作等邊△BCE，并連接AE，請(qǐng)問(wèn)：BD與AE相等嗎？若相等，請(qǐng)加以證明；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在第（2）題的前提下，請(qǐng)你說(shuō)明BD2＝AB2+BC2成立的理由．7．（2021秋?虎林市校級(jí)期末）已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB邊的中點(diǎn)，且DF＝EF，∠DFE＝90°，D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．如圖1，當(dāng)D與C重合時(shí)，易證：CD2+DB2＝2DF2；（1）當(dāng)D不與C、B重合時(shí)，如圖2，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．（2）當(dāng)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明．8．（2022秋?唐河縣期末）（1）感知：如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，連結(jié)AD，BE，則可證△CBE≌△CAD，依據(jù)；進(jìn)而得到線段BE＝AD，依據(jù)．（2）探究：如圖2，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于點(diǎn)M，連接CM．①線段BE與AD之間是否仍存在（1）中的結(jié)論？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系；②∠AMB的度數(shù)＝．（用含α的式子表示）（3）應(yīng)用：AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，當(dāng)α＝90°時(shí)，如圖3，取AD，BE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，連接CP，CQ，PQ，如果PC=2，直接寫(xiě)出PQ9．問(wèn)題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC．求證：△ABD≌△ACE；探索：如圖2，在Rt△ABC與Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC邊上，試探索BD2、CD2、DE2之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝6，CD＝2，求AD的長(zhǎng)．10．（2022秋?錫山區(qū)期中）【問(wèn)題探究】（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD