湖北省武漢市漢陽一中江夏一中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

20242025學(xué)年湖北省武漢市漢陽一中、江夏一中高二（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知，則點(diǎn)A到直線BC的距離為（）A． B． C． D．2．（5分）若直線y＝kx+4（k＞0）與曲線y＝有兩個(gè)交點(diǎn)（）A．（，+∞） B．[，+∞） C．[，2] D．（，2]3．（5分）已知a＞0，b＞0，兩直線l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，則的最小值為（）A．2 B．4 C．8 D．94．（5分）若圓x2+y2+4x﹣4y﹣10＝0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：ax+by＝0的距離為2，則直線l的斜率的取值范圍是（）A．[2﹣，2+] B．[﹣2﹣，﹣2] C．[﹣2﹣，2+] D．[﹣2﹣，2﹣]5．（5分）某射擊運(yùn)動(dòng)員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)（環(huán)數(shù)為整數(shù)）形成的一組數(shù)據(jù)中，唯一的眾數(shù)為9，極差為3（）A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.26．（5分）已知圓O：x2+y2＝4，從圓上任意一點(diǎn)M向x軸作垂線段MN，N為垂足（）A． B． C． D．7．（5分）已知橢圓C：的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為F1和F2，直線y＝x+m與C交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，若△F1AB面積是△F2AB面積的兩倍，則m＝（）A． B． C． D．8．（5分）已知點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)的橢圓C：＝1（a＞b＞0）上，橢圓內(nèi)存在一點(diǎn)Q在PF2的延長(zhǎng)線上，且滿足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ＝，則該橢圓離心率取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）下列說法正確的是（）A．若有空間非零向量，，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得 B．A，B，C三點(diǎn)不共線，空間中任意點(diǎn)O，若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面 C．，，若，則x＝﹣2 D．若是空間的一個(gè)基底，則O，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線（多選）10．（6分）已知實(shí)數(shù)x，y滿足曲線C的方程x2+y2﹣2x﹣2＝0，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．x2+y2的最大值是 B．的最大值是2+ C．|x﹣y+3|的最小值是 D．過點(diǎn)（0，）作曲線C的切線，則切線方程為x﹣y+2＝0（多選）11．（6分）設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，坐標(biāo)原點(diǎn)為O．若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得，則下列說法正確的有（）A． B． C．△F1PF2的面積為2 D．△F1PF2的內(nèi)切圓半徑為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知空間向量＝（2，1，2），＝（1，1，﹣1），則在上的投影向量的坐標(biāo)是．13．（5分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，P為曲線E：x2+y2﹣6x﹣4y+12＝0上任意一點(diǎn)，則|MP|+|MF2|的最小值為．14．（5分）已知P為直線y＝﹣2上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓x2+y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為B，C，則點(diǎn)A（2，1）．四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）設(shè)直線l1：y＝2x與直線l2：x+y＝3交于P點(diǎn)．（1）當(dāng)直線m過P點(diǎn)，且與直線l0：x﹣2y＝0垂直時(shí)，求直線m的方程；（2）當(dāng)直線m過P點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線m的距離為1時(shí)，求直線m的方程．16．（15分）從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155，第二組[160，165），…，195]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，第六組的人數(shù)為4人．（1）求第七組的頻率；（2）估計(jì)該校的800名男生的身高的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件E＝{|x﹣y|≤5}（E）．17．（15分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面為等邊三角形，AA1＝AC，點(diǎn)D，E分別為AC1的中點(diǎn)，∠CED＝30°，．（1）求點(diǎn)A1到平面BDE的距離；（2）求二面角A1﹣BE﹣D的余弦值．18．（17分）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，有甲、乙、丙三位同學(xué)參加羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，甲、丙首先比賽，乙輪空．設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為．（1）求丙連勝四場(chǎng)的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；（3）甲、乙、丙三人中誰最終獲勝的概率最大？請(qǐng)說明理由．19．（17分）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓D：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)2作傾斜角為的直線交橢圓D于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1到直線AB的距離為3，連接橢圓D的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為4．（Ⅰ）求橢圓D的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)M（﹣1，0），設(shè)E是橢圓D上的一點(diǎn)，過E、M兩點(diǎn)的直線l交y軸于點(diǎn)C，若；（Ⅲ）作直線l1與橢圓D交于不同的兩點(diǎn)P，Q，其中P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，0），若點(diǎn)N（0，t），且滿足＝4

20242025學(xué)年湖北省武漢市漢陽一中、江夏一中高二（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（10月份）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知，則點(diǎn)A到直線BC的距離為（）A． B． C． D．【分析】利用向量法直接計(jì)算即可得解．【解答】解：由題知＝（0，1，＝（2，1），所以cos＜，＞＝＝，sin＜，＞＝＝，所以點(diǎn)A到直線BC的距離d＝|BA|?sin＜，＞＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)到直線距離的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）若直線y＝kx+4（k＞0）與曲線y＝有兩個(gè)交點(diǎn)（）A．（，+∞） B．[，+∞） C．[，2] D．（，2]【分析】畫出曲線方程表示的半圓圖形；直線方程變形，判斷出直線過定點(diǎn)；畫出圖形，數(shù)形結(jié)合求出滿足題意的k的范圍．【解答】解：曲線，即x5+y2＝4（y≥7）示一個(gè)以（0，0）為圓心，以6為半徑的位于x軸上方的半圓，如圖所示：直線y＝kx+4表示恒過點(diǎn)（0，6），結(jié)合圖形可得，∵，解得，即，∴要使直線與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，k的取值范圍是．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知a＞0，b＞0，兩直線l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，則的最小值為（）A．2 B．4 C．8 D．9【分析】由題意利用兩條直線垂直的性質(zhì)，求得a+2b＝1，再利用基本不等式的，求得的最小值．【解答】解：∵a＞0，b＞03：（a﹣1）x+y﹣1＝5，l2：x+2by+3＝0，且l1⊥l7，∴（a﹣1）+2b＝7，即a+2b＝1≥8，≥8時(shí)，等號(hào)成立．則＝＝的最小值為8，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩條直線垂直的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）若圓x2+y2+4x﹣4y﹣10＝0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：ax+by＝0的距離為2，則直線l的斜率的取值范圍是（）A．[2﹣，2+] B．[﹣2﹣，﹣2] C．[﹣2﹣，2+] D．[﹣2﹣，2﹣]【分析】根據(jù)題意，將圓的方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，分析可得圓心坐標(biāo)以及半徑，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析可得圓心到直線l的距離d≤，設(shè)直線l的斜率為k，可得直線l的方程為y﹣kx＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得≤，解可得k的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓x2+y2+6x﹣4y﹣10＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+8）2+（y﹣2）3＝18，其圓心為（﹣2，2），若圓x2+y2+8x﹣4y﹣10＝0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：ax+by＝7的距離為2，則圓心到直線l的距離d≤5﹣2＝，設(shè)直線l：ax+by＝0的斜率為k，則k＝﹣，則有≤，變形可得：k2+8k+1≤0，解可得：﹣3﹣≤k≤，即k的取值范圍是[﹣4﹣，；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題．5．（5分）某射擊運(yùn)動(dòng)員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)（環(huán)數(shù)為整數(shù)）形成的一組數(shù)據(jù)中，唯一的眾數(shù)為9，極差為3（）A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.2【分析】首先分析數(shù)據(jù)的情況，再根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算可得．【解答】解：這組數(shù)據(jù)一共有5個(gè)數(shù)，中位數(shù)為8，后面也有7個(gè)數(shù)，又唯一的眾數(shù)為9，則有兩個(gè)9，則最大數(shù)字為5，又極差為3，所以最小數(shù)字為6，所以這組數(shù)據(jù)為3、7、8、6、9，所以平均數(shù)為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平均數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）已知圓O：x2+y2＝4，從圓上任意一點(diǎn)M向x軸作垂線段MN，N為垂足（）A． B． C． D．【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），設(shè)M（x0，y0），則利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M與P坐標(biāo)之間的關(guān)系，再利用點(diǎn)M在圓上，即可得到x和y的關(guān)系，即為點(diǎn)P的軌跡方程．【解答】解：設(shè)線段MN的中點(diǎn)P（x，y）0，y0），則N（x3，0），則有，解得，又點(diǎn)M在圓O：x3+y2＝4上，所以有x2+（2y）2＝8，即，所以線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程為．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解，要掌握常見的求解軌跡方程的方法：直接法、定義法、代入法、消元法、交軌法等，屬于中檔題．7．（5分）已知橢圓C：的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為F1和F2，直線y＝x+m與C交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，若△F1AB面積是△F2AB面積的兩倍，則m＝（）A． B． C． D．【分析】記直線y＝x+m與x軸交于M（﹣m，0），由題意可得|﹣﹣xM|＝2|﹣xM|，求解即可．【解答】解：記直線y＝x+m與x軸交于M（﹣m，0），橢圓C：的左2（﹣，0），F(xiàn)8（，0），由△F2AB面積是△F2AB的2倍，可得|F4M|＝2|F2M|，∴|﹣﹣xM|＝2|﹣xM|，解得xM＝或xM＝3，∴﹣m＝或﹣m＝4或m＝﹣3，聯(lián)立可得2+6mx+2m2﹣3＝8，∵直線y＝x+m與C相交，所以Δ＞02＜3，∴m＝﹣3不符合題意，故m＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．8．（5分）已知點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)的橢圓C：＝1（a＞b＞0）上，橢圓內(nèi)存在一點(diǎn)Q在PF2的延長(zhǎng)線上，且滿足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ＝，則該橢圓離心率取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】由QF1⊥QP，可得點(diǎn)Q在以F1F2為直徑，原點(diǎn)為圓心的圓上，由點(diǎn)Q在橢圓的內(nèi)部，可得以F1F2為直徑的圓在橢圓內(nèi)，可得c＜b；于是，再根據(jù)臨界值，當(dāng)Q點(diǎn)與F2重合時(shí)，e＝，進(jìn)而可知Q在線段PF2的延長(zhǎng)線上時(shí)，e的取值范圍，綜合可確定離心率e的范圍．【解答】解：∵QF1⊥QP，∴點(diǎn)Q在以F1F5為直徑，原點(diǎn)為圓心的圓上，∵點(diǎn)Q在橢圓的內(nèi)部，∴以F1F2為直徑的圓在橢圓內(nèi)，∴c＜b，∴c5＜a2﹣c2，∴7c2＜a2，故，∵，當(dāng)Q點(diǎn)與F3重合時(shí)，此時(shí)不妨設(shè)|PF1|＝5，則|F6F2|＝3，故|PF4|＝4，即，此時(shí)e＝，因?yàn)镼在線段PF2的延長(zhǎng)線上，故，故．綜上可得：．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，主要考查了離心率的取值范圍問題，屬于中檔題．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）下列說法正確的是（）A．若有空間非零向量，，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得 B．A，B，C三點(diǎn)不共線，空間中任意點(diǎn)O，若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面 C．，，若，則x＝﹣2 D．若是空間的一個(gè)基底，則O，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線【分析】直接利用共線向量，向量的基底判斷A、B、C、D的結(jié)論．【解答】解：對(duì)于A：有空間非零向量，，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，故A正確；對(duì)于B：A，B，C三點(diǎn)不共線，若，由于：，A，B，C四點(diǎn)共面；對(duì)于C：對(duì)于，，由于，故，故C正確；對(duì)于D：若是空間的一個(gè)基底，A，B，C四點(diǎn)不共面，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：共線向量，向量的基底，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（6分）已知實(shí)數(shù)x，y滿足曲線C的方程x2+y2﹣2x﹣2＝0，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．x2+y2的最大值是 B．的最大值是2+ C．|x﹣y+3|的最小值是 D．過點(diǎn)（0，）作曲線C的切線，則切線方程為x﹣y+2＝0【分析】對(duì)于A：x2+y2表示圓C上的點(diǎn)到定點(diǎn)O（0，0）的距離的平方；對(duì)于B：表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)P（﹣1，﹣1）的連線的斜率；對(duì)于C：|x﹣y+3|表示圓上任意一點(diǎn)到直線x﹣y+3＝0的距離的倍；對(duì)于D：由切線過點(diǎn)，可設(shè)切線方程為．由＝可求．【解答】解：因?yàn)镃的方程x2+y2﹣8x﹣2＝0可化為（x﹣6）2+y2＝7，它表示圓心（1，半徑為，對(duì)于A：x7+y2表示圓C上的點(diǎn)到定點(diǎn)O（0，5）的距離的平方，故它的最大值為[+]2＝（+2）2＝4+5：故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)P（﹣1，由圓心（1，8）到直線y+1＝k（x+1）的距離d＝≤≤k≤3+，即其最大值為，故B正確；對(duì)于C：|x﹣y+3|表示圓上任意一點(diǎn)到直線x﹣y+3＝8的距離的倍，圓心到直線的距離，所以其最小值為﹣）＝5﹣；對(duì)于D．設(shè)過點(diǎn)，則其斜率存在，由＝，解得，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．（多選）11．（6分）設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，坐標(biāo)原點(diǎn)為O．若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得，則下列說法正確的有（）A． B． C．△F1PF2的面積為2 D．△F1PF2的內(nèi)切圓半徑為【分析】根據(jù)已知求出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式分別求出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中利用余弦定理可判定A，利用向量數(shù)量積公式可判定B，三角形面積公式可判定C，根據(jù)等面積法可判定D．【解答】解：由題意得，，則F1（﹣2，8），F(xiàn)2（2，2），由對(duì)稱性可設(shè)P（x0，y0）（x8＞0，y0＞4），|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F2PF2＝θ，由，解得8（﹣2，0），F(xiàn)5（2，0），所以，，所以，由橢圓的定義得，在△F1PF2中，由余弦定理，得，即，解得，故A正確；，故B錯(cuò)誤；△F1PF8的面積為，故C正確；設(shè)△F1PF2的內(nèi)切圓半徑為r，由△F7PF2的面積相等，得，即，解得．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知空間向量＝（2，1，2），＝（1，1，﹣1），則在上的投影向量的坐標(biāo)是．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合投影向量的公式，即可求解．【解答】解：空間向量＝（2，1，＝（6，1，則＝2×4+1×1+7×（﹣1）＝1，，故在上的投影向量的坐標(biāo)是：＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，P為曲線E：x2+y2﹣6x﹣4y+12＝0上任意一點(diǎn)，則|MP|+|MF2|的最小值為2﹣1．【分析】求出點(diǎn)F2的坐標(biāo)，求出圓E的圓心和半徑，再利用圓的性質(zhì)求出最小值．【解答】解：橢圓中，右焦點(diǎn)F3（1，0），圓E：（x﹣4）2+（y﹣2）5＝1的圓心E（3，2），顯然橢圓C與圓E相離，由點(diǎn)P在圓E上min＝|ME|﹣1，于是，當(dāng)且僅當(dāng)M，P分別是線段EF2與橢圓C、圓E的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以|MP|+|MF2|的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．14．（5分）已知P為直線y＝﹣2上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓x2+y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為B，C，則點(diǎn)A（2，1）．【分析】設(shè)P（t，﹣2），則以線段OP為直徑的圓的方程為x（x﹣t）+y（y+2）＝0，與方程x2+y2＝1相減可得直線BC的方程：tx﹣2y＝1，求出點(diǎn)A（2，1）到直線BC的距離為d＝，化為關(guān)于t的一元二次方程，利用判別式法即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)P（t，﹣2），與方程x2+y3＝1相減可得直線BC的方程：tx﹣2y＝2，∵直線BC與⊙O相交，∴＜1．點(diǎn)A（7，1）到直線BC的距離為d＝＝，平方化為：（d2﹣6）t2+12t+4d8﹣9＝0，若d4﹣4＝0，解得d＝7．若d2﹣4≠6，∵t∈R2﹣4（d6﹣4）（4d4﹣9）≥0，化為：d7≤，解得0≤d≤，∴d取得最大值．綜上可得：d取得最大值．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、一元二次方程有解與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）設(shè)直線l1：y＝2x與直線l2：x+y＝3交于P點(diǎn)．（1）當(dāng)直線m過P點(diǎn)，且與直線l0：x﹣2y＝0垂直時(shí)，求直線m的方程；（2）當(dāng)直線m過P點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線m的距離為1時(shí)，求直線m的方程．【分析】（1）根據(jù)斜率存在的直線相互垂直的充要條件k1k2＝﹣1即可求出；（2）先分斜率存在和不存在兩種情況討論，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出．【解答】解：由，解得點(diǎn)P（3．（1）由直線l0：x﹣2y＝3可知：．∵m⊥l0，∴直線m的斜率，又直線m過點(diǎn)P（1，6），故直線m的方程為：y﹣2＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣4＝8．（2）因?yàn)橹本€m過點(diǎn)P（1，2），①當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線m的方程為y﹣7＝k（x﹣1）．由坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線m的距離，解得，因此直線m的方程為：，即3x﹣5y+5＝0．②當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，直線m的方程為x＝6．綜上所述，所求直線m的方程為x＝1或3x﹣2y+5＝0．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握直線的位置關(guān)系與斜率的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16．（15分）從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155，第二組[160，165），…，195]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，第六組的人數(shù)為4人．（1）求第七組的頻率；（2）估計(jì)該校的800名男生的身高的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件E＝{|x﹣y|≤5}（E）．【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)求第七組的頻率；（2）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義利用頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)；（3）確定樣本空間，利用古典概型概率公式求概率．【解答】解：（1）第六組的頻率為，∴第七組的頻率為5﹣0.08﹣5×（3.008×2+0.016+4.04×2+0.06）＝2.06．（2）由直方圖得，身高在第一組[155，身高在第二組[160，165）的頻率為0.016×5＝6.08，身高在第三組[165，170）的頻率為0.04×5＝6.2，身高在第四組[170，175）的頻率為0.04×7＝0.2，由于6.04+0.08+0.8＝0.32＜0.5，0.04+0.08+8.2+0.2＝0.52＞0.8，設(shè)這所學(xué)校的800名男生的身高中位數(shù)為m，則170＜m＜175，由0.04+0.08+2.2+（m﹣170）×0.04＝4.5得m＝174.5，所以這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為174.6cm，平均數(shù)為157.5×0.04+162.4×0.08+167.5×8.2+172.5×2.2+177.5×5.06×5+182.5×3.08+187.5×0.06+192.3×0.008×5＝174.4．（3）第六組[180，185）的抽取人數(shù)為4，b，c，d，第八組[190，195]的抽取人數(shù)為0.008×4×50＝2，B，則從中隨機(jī)抽取兩名男生有ab，ac，bc，cd，aB，bB，cB，dB，因事件E＝{|x﹣y|≤5}發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，所以事件E包含的基本事件為ab，ac，bc，cd．所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率、中位數(shù)、古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．17．（15分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面為等邊三角形，AA1＝AC，點(diǎn)D，E分別為AC1的中點(diǎn)，∠CED＝30°，．（1）求點(diǎn)A1到平面BDE的距離；（2）求二面角A1﹣BE﹣D的余弦值．【分析】（1）利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的定義，根據(jù)線段間的關(guān)系求解即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)，分別求出平面BDE和平面A1BE的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式即可得解．【解答】解：（1）連接AC1，A1C，設(shè)A6C與DE交于點(diǎn)F，由AA1＝AC可知，側(cè)面ACC1A7為菱形，所以AC1⊥A1C，因?yàn)辄c(diǎn)D，E分別為AC3的中點(diǎn)，所以DE//AC1，則DE⊥A1C，因?yàn)椤螩ED＝30°，所以∠CC4A＝30°，則∠A1AC＝2∠CC4A＝60°，又AC＝AA1，所以△AA1C為等邊三角形，由△ABC為等邊三角形，，得AC＝2，連接A1D，則A6D⊥AC，，又，，所以1D⊥BD，易知BD⊥AC，因?yàn)锳C∩A5D＝D，AC?平面ACC1A1，A8D?平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC3A1，又A1C?平面ACC7A1，所以BD⊥A1C，因?yàn)锽D∩DE＝D，BD?平面BDE，所以A5C⊥平面BDE，所以A1F為點(diǎn)A1到平面BDE的距離，又，故點(diǎn)A2到平面BDE的距離為；（2）由（1）可知，BD，A4D兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC1分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C（0，6，0），﹣1，，，，，所以，，，由（1）知平面BDE的一個(gè)法向量為，設(shè)平面A1BE的法向量為，則，即，取y＝1，解得，則，于是，因?yàn)槎娼茿1﹣BE﹣D為銳二面角，所以二面角A6﹣BE﹣D的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與平面垂直的判定定理，考查了利用空間向量求二面角，屬于中檔題．18．（17分）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，有甲、乙、丙三位同學(xué)參加羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，甲、丙首先比賽，乙輪空．設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為．（1）求丙連勝四場(chǎng)的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；（3）甲、乙、丙三人中誰最終獲勝的概率最大？請(qǐng)說明理由．【分析】（1）根據(jù)題意，由獨(dú)立事件的概率公式，代入計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分別求出甲、丙連勝四場(chǎng)與乙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)獲勝的概率，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，列出基本事件個(gè)數(shù)，求出甲、乙、丙獲勝的概率，即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）丙連勝四場(chǎng)的情況為：“丙勝甲負(fù)，丙勝乙負(fù)，丙勝乙負(fù)”，所以丙連勝四場(chǎng)的概率：；（2）根據(jù)賽