13截一個幾何體(備作業(yè))2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊（北師大版）

1.3截一個幾何體一、單選題1．用一個平面去截正方體，截面形狀不可能是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】正方體有六個面，用平面去截正方體時最多與六個面相交得六邊形，最少與三個面相交得三角形．據(jù)此選擇即可．解：正方體有六個面，用平面去截正方體時最多與六個面相交得六邊形，最少與三個面相交得三角形．因此不可能是八邊形．故選：B．【點睛】本題考查正方體的應(yīng)用，熟練掌握正方體的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．用一個平面分別截下列幾何體，不能得到三角形截面的幾何體是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】看所給選項的截面能否得到三角形即可．解：A、長方體的截面可能是三角形，或四邊形，或五邊形，或六邊形，不符合題意；B、圓錐的截面可能是圓，三角形，不符合題意；C、三棱柱的截面可能是三角形，長方形，不符合題意；D、圓柱的截面可能是圓，長方形，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查常見幾何體的截面的形狀，注意長方體的截面經(jīng)過幾個面就可得到幾邊形．3．用一個平面去截下列幾何體，截得的平面圖形可能是三角形的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【解析】根據(jù)三棱柱、圓錐、圓柱、長方體的形狀特點判斷即可．解：用一個平面截下列幾何體，截面的形狀可能是三角形的是三棱柱、圓錐和長方體．故選：D．【點睛】此題考查的知識點是截一個幾何體，關(guān)鍵明確截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)．對于這類題，最好是動手動腦相結(jié)合，親自動手做一做，從中學(xué)會分析和歸納的思想方法．4．用一平面去截下列幾何體，其截面可能是長方形的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】根據(jù)圓柱，長方體、圓錐、圓柱、四棱柱、圓臺的形狀判斷即可．【詳解】解：圓錐、圓臺不可能得到長方形截面，能得到長方形截面的幾何體有：圓柱、長方體、四棱柱一共有3個．故選：C．【點睛】本題考查幾何體的截面，關(guān)鍵要理解面與面相交得到線，注意：截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)．5．一個物體的外形是長方體（如圖（1）），其內(nèi)部構(gòu)造不祥．用平面橫向自上而下截這個物體時，得到了一組截面，截面形狀如圖（2）所示，這個長方體的內(nèi)部構(gòu)造是（）A．圓柱 B．球 C．圓錐 D．圓柱或球【答案】C【解析】觀察截面形狀可發(fā)現(xiàn)，長方體內(nèi)部的圓自上而下由大圓逐漸變成小圓、點，符合圓錐截面的性質(zhì)．【詳解】解：觀察截面形狀可知，這個長方體的內(nèi)部構(gòu)造是長方體中間有一圓錐狀空洞，故選：C．【點睛】本題考查了截一個幾何體，解答的關(guān)鍵是熟悉常見的幾何體的截面，由截面的形狀想象復(fù)雜幾何體的組成．6．用一個平面去截：①圓錐；②正方體；③圓柱；④五棱柱，能得到截面是三角形的幾何體是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】C【解析】根據(jù)題意及圓錐、正方體、圓柱、五棱柱可直接進(jìn)行排除選項．【詳解】①圓錐沿軸截面截掉可得截面是三角形，故能得到截面是三角形；②正方體裁掉一個角可得截面是三角形，故能得到截面是三角形；③圓柱的截面只能是圓、長方體、橢圓，不能得到三角形的截面；④五棱柱過頂點和兩個棱作截面為三角形，故能得到截面是三角形，綜上，能得到截面是三角形的幾何體為：①圓錐，②正方體，④五棱柱，故選：C．【點睛】本題主要考查幾何初步認(rèn)識，熟練掌握幾何體的平面展開圖是解題的關(guān)鍵．7．用平面截一個正方體，可能截出的邊數(shù)最多的多邊形是（）A．七邊形 B．六邊形 C．五邊形 D．四邊形【答案】B【解析】正方體的截面，最多可以經(jīng)過6個面，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】正方體有六個面，截面與其六個面相交最多為六邊形，即可能截出的邊數(shù)最多的多邊形是六邊形，故選B．【點睛】本題考查正方體的截面，分析截面的邊數(shù)時，主要是看截線可能經(jīng)過幾個面，即是幾邊形．8．如圖，將正方體沿面ABC截下，則截面的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【解析】根據(jù)正方體的6個面大小相等，形狀相同解答即可．【詳解】解：∵方體的6個面大小相等，形狀相同，∴，∴截面的形狀為等邊三角形．故選A．【點睛】本題考查了截一個幾何體：用一個平面去截一個幾何體，截出的面叫做截面．9．如圖①是圓柱被一個平面斜切后得到的幾何體，類比梯形面積公式的推導(dǎo)方法(如圖②)，推導(dǎo)圖①中的幾何體的體積為()A．60π B．63π C．72π D．84π【答案】B【解析】由圖形可知：上部分是一個半圓柱底面直徑是6，高為86=2，；下部分是一個高為6，底面直徑是6的圓柱，根據(jù)圓柱的體積公式：v=sh，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可.【詳解】解：π（）2×（86）×+π（）2×6，=9π+54π=63π．故選：B.【點睛】此題考查組合圖形的體積，首先分析圖形是由幾部分組成，然后根據(jù)相應(yīng)的體積公式解答即可.10．用一個平面去截正方體，所得截面是三角形，留下較大的幾何體一定有（）A．7個面 B．15條棱 C．7個頂點 D．10個頂點【答案】A【解析】【解析】用一個平面截正方體，若所得的截面是一個三角形，此時剩下的較大的幾何體一定比正方體多了一個面，如果過三個面截得的截面是三角形，那么就能多出3條棱和兩個頂點，如果過3個頂點截得的截面是三角形，那么就能多出0條棱和兩個頂點．【詳解】用一個平面截正方體，若所得的截面是一個三角形，此時剩下的較大的幾何體一定比正方體多了一個面，如果過三個面截得的截面是三角形，那么就能多出3條棱和兩個頂點，如果過3個頂點截得的截面是三角形，那么就能多出0條棱和兩個頂點.故選：A.【點睛】此題考查截一個幾何體，解題關(guān)鍵在于掌握立體圖形.11．下面說法，錯誤的是（）A．一個平面截一個球，得到的截面一定是圓B．一個平面截一個正方體，得到的截面可以是五邊形C．棱柱的截面不可能是圓D．甲、乙兩圖中，只有乙才能折成正方體【答案】D【解析】選項A,B,C均正確，D選項中，甲乙都可以折成正方體.所以選D.12．一個正方體鋸掉一個角后，頂點的個數(shù)是（）A．7個或8個 B．8個或9個C．7個或8個或9個 D．7個或8個或9個或10個【答案】D【解析】如下圖，一個正方體鋸掉一個角，存在以下四種不同的情形，新的幾何體的頂點個數(shù)分別為：7個、8個、9個或10個.故選D.二、填空題13．用一個平面去截一個幾何體，截面形狀為長方形，則這個幾何體可能為：①正方體；②三棱錐；③圓柱；④圓錐__________（寫出所有正確結(jié)果的序號）．【答案】①③【解析】估計正方體、三棱錐、圓柱、圓錐的幾何體形狀逐項分析解題．【詳解】解：①用一個平面去截正方體，截面形狀可能是長方形，故①符合題意；②用一個平面去截三棱錐，截面形狀不可能是長方形，故②不符合題意；③用一個平面去截圓柱，截面形狀可能是長方形，故③符合題意；④用一個平面去截圓錐，截面形狀不可能是長方形，故④不符合題意，故正確結(jié)果的序號為：①③，故答案為：①③．【點睛】本題考查用一個平面去截一個簡單幾何體所得到的平面圖形，是基礎(chǔ)考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．14．如圖所示，截去正方體的一角變成一個多面體，這個多面體有____條棱，有____個頂點．【答案】127【解析】截去正方體一角變成一個多面體，這個多面體多了一個面、棱不變，少了一個頂點．【詳解】仔細(xì)觀察圖形，正確地數(shù)出多面體的棱數(shù)及頂點數(shù)，它們分別是12，7，故填：12，7．【點睛】本題結(jié)合截面考查多面體的相關(guān)知識．對于一個多面體：頂點數(shù)＋面數(shù)?棱數(shù)＝2．15．如圖，所示的正方體豎直截取了一個“角”，被截取的那個“角”的體積是______．【答案】15cm3【解析】根據(jù)題意可知被截取的一部分為一個直三棱柱，然后確定出底面積為和高，然后求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知被截取的一部分為一個直三棱柱，

三棱柱的體積=×2×3×5=15（cm3）．【點睛】本題主要考查了直三棱柱體積的計算，判斷出被截取的幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．16．用平面去截正方體，截面最多是______邊形，去截n棱柱，截面最多是________邊形．【答案】六n+2【解析】長方體有六個面，用平面去截長方體時最多與六個面相交得六邊形，最少與三個面相交得三角形；n棱柱有n+2個面截面最多是n+2邊形．【詳解】解：正方體有六個面，用平面去截正方體時最多與六個面相交得六邊形；n棱柱有n+2個面，截面最多是n+2邊形．故答案為：六；n+2．【點睛】此題考查用平面截幾何體，截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)．17．下列幾何體的截面是____．【答案】長方形．【解析】根據(jù)截面的形狀，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意，截面的形狀是長方形，故答案是：長方形．【點睛】考察截一個幾何體截面的形狀，讀懂題意，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在一密閉的圓柱形玻璃杯中裝一半的水，水平放置時，水面的形狀是______．【答案】長方形【解析】根據(jù)垂直于圓柱底面的截面是長方形，可得答案．【詳解】解：由水平面與圓柱的底面垂直，得

水面的形狀是長方形．

故答案為：長方形．【點睛】本題考查了認(rèn)識立體圖形，垂直于圓柱底面的截面是長方形，平行圓柱底面的截面是圓形．19．對長方體如圖所示那樣截去一角后余下的幾何體有________個頂點、_______條棱、_______個面．【答案】7127【解析】根據(jù)截一個立體圖形的知識點判斷即可；【詳解】根據(jù)圖形可得截去一角后余下的幾何體有7個頂點、12條棱、7個面．故答案是：7，12，7．【點睛】本題主要考查了截一個立體圖形的知識點，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．20．一塊長方體的木塊，從左面和右面分別裁去長為2厘米和5厘米的長方體，成為一個正方體后，表面積減少了84平方厘米，那么原來長方體的體積為_______．【答案】90立方厘米【解析】設(shè)正方體棱長為厘米，根據(jù)題意列方程可求得x的值，進(jìn)而得到原長方體的長、寬、高的值，再計算體積即可.【詳解】設(shè)正方體棱長為厘米，依題意得，解得，則原長方體的寬為3厘米，高為3厘米，長為厘米，則立方厘米．【點睛】此題主要考查長方體的表面積公式、體積公式的靈活運用，解題的關(guān)鍵是熟記公式．三、解答題21．例：（1）寫出下列立體圖形的名稱．（）（）（）（）（）（2）把一個正方體用刀切去一部分，能否得到正方體、長方體、三棱錐、三棱柱、四棱柱、五棱柱？【答案】（1）球體，四棱錐，六棱柱，三棱柱，圓柱;（2）能得到長方體、三棱錐、三棱柱、四棱柱、五棱柱；得不到正方體【解析】試題分析：（1）第一個為球體；第二個有一個且底面是四邊形，側(cè)面均為三角形，所以是四棱錐；第三個有兩個底面是六邊形，是六棱柱；第四個有兩個底面是三角形，側(cè)面是平行四邊形，所以是三棱柱；最后一個是圓柱．（2）一個正方體用刀切去一部分是不能得到正方體的，可以得到三棱錐、三棱柱、四棱柱、五棱柱，長方體．如圖所示，22．把一個正方體用刀切去一塊，能否還得到正方體？長方體、三棱柱、三棱錐、四棱柱、五棱柱呢？【答案】正方體不能.其它都可能.【解析】試題分析：如圖所示：為幾種切法。分別可以得到四棱柱，三棱柱，三棱錐，五棱柱，長方體。解：不能得到正方體，當(dāng)截面平行正方體一面截取正方形時可以截得長方體，

把正方體按面對角線垂直截取正方體可以得到三棱柱，

經(jīng)過正方體三個相鄰的頂點截取可以得到三棱錐，

經(jīng)過兩個相對面棱上中點截取可以得到四棱柱，

經(jīng)過上下兩面棱的中截取可以得到五棱柱．23．(1)用一個平面去截一個幾何體，可以得到圓形的截面的幾何體有？(2)用一個平面去截一個幾何體，可以得到三角形的截面的幾何體有？【答案】（1）球，圓柱，圓錐；（2）三棱柱，三棱錐，正方體.【解析】（1）根據(jù)截面是圓，可得幾何體是旋轉(zhuǎn)體，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到的幾何體，可得答案；（2）根據(jù)截面與幾何體的三個面相交，可得截面是三角形．【詳解】(1)用一個平面去截一個幾何體，可以得到圓形的截面的幾何體有球，圓柱，圓錐；(2)用一個平面去截一個幾何體，可以得到三角形的截面的幾何體有三棱柱，三棱錐，正方體，故答案為：（1）球，圓柱，圓錐；（2）三棱柱，三棱錐，正方體.【點睛】此題考查截一個幾何體，解題關(guān)鍵在于掌握圖形的形狀結(jié)構(gòu).24．如圖所示是一個圓柱體，它的底面半徑為3cm，高為6cm．（1）請求出該圓柱體的表面積；（2）用一個平面去截該圓柱體，你能截出截面最大的長方形嗎？截得的長方形面積的最大值為多少？【答案】（1）；（2）能截出截面最大的長方形，長方形面積的最大值為：【解析】（1）用圓柱上下底面積加上側(cè)面積即可；（2）當(dāng)截得的面積最大時，長方形的長為底面直徑，寬為6，可得面積最大值.【詳解】解：（1）圓柱體的表面積為：；；（2）能截出截面最大的長方形．該長方形面積的最大值為：．【點睛】本題考查了圓柱表面積的求法和截幾何體，根據(jù)截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)，得出這個圓柱體的截面面積最大是長方形是本題的關(guān)鍵．25．用平面去截正方體.（1）截面形狀能是三角形嗎？如果能，請畫出一種截法.（2）截面形狀能是長方形嗎？如果能，請畫出一種截法.（3）截面形狀能是梯形嗎？如果能，請畫出一種截法.（4）截面形狀能是五邊形嗎？如果能，請畫出一種截法.（5）截面形狀能是六邊形嗎？如果能，請畫出一種截法.（6）截面形狀能是圓嗎？為什么？【答案】（1）能，見解析；（2）能，見解析；（3）能，見解析；（4）能，見解析；（5）能，見解析；（6）不能，見解析.【解析】畫出一個正方體，自己試著用平面去截，找出截面為三角形的情況，畫出即可，（2）（3）（4），參照（1）的解答，分別畫出對應(yīng)的幾何體【詳解】解：（1）能，如圖1所示.（2）能，如圖2所示.（3）能，如圖3所示.（4）能，如圖4所示.（5）能，如圖5所示.圖1圖2圖3圖4圖5（6）不能，因為正方體的各面都是平面，所以截正方體時，得到的交線都是直線，而圓是曲線圍成的，所以截面形狀不能是圓.【點睛】此題考查截一個幾何體，解題關(guān)鍵在于掌握截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān).26．如圖所示的是一個三棱柱，用一個平面先后三次截這個三棱柱．截得的截面能否是三個與該三棱柱的底面大小相同的三角形？若能，畫圖說明你的截法．截得的截面能否是三個長相等的長方形？若能，畫圖說明你的截法；截得的截面能否是梯形？若能．畫圖說明你的一種截法．【答案】（1）能，圖示見解析；（2）能，圖示見解析；（3）能，圖示見解析.【解析】【解析】（1）截面與地面平行時，截面的形狀與地面相同；

（2）用垂直于地面的平面截幾何體得到的截面可以是三個長相等的長方形；

（3）用一個斜面截掉棱柱的一條棱得到的平面是梯形．【詳解】能；如圖①所示；能；如圖②所示；能；如圖③所示．【點睛】考查截一得到的截面幾何體，解決本題的關(guān)鍵是理解截面經(jīng)過三棱柱的幾個面，得到的截面形狀就是幾邊形.27．如圖①是一個正方體，不考慮邊長的大小，它的平面展開圖為圖②，四邊形APQC是截正方體的一個截面．問截面的四條線段AC，CQ，QP，PA分別在展開圖的什么位置上？【答案】線段AC，CQ，QP，PA分別在展開圖的面ABCD，BCGF，EFGH，EFBA上.【解析】【解析】把立體圖形表面的線條畫在平面展開圖上，找到四邊形APQC四個頂點所在的位置這個關(guān)，再進(jìn)一步確定四邊形的四條邊所在的平面即可．【詳解】根據(jù)四邊形所在立體圖形上的位置，確定其頂點所在的點和棱，以及四條邊所在的平面：頂點：A?A，C?C，P在EF邊上，Q在GF邊上．邊AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上．如圖：【點睛】此題考查正方體的展開圖，解決此題的關(guān)鍵是抓住四邊形APQC四個頂點所在的位置，再進(jìn)一步確定四邊形的四條邊所在的平面就可容易地畫出．28．如圖，用一個平面去截一個正方體，如果截去的幾何體是一個三棱錐，請回答下列問題：(1)截面一定是什么圖形？(2)剩下的幾何體可能有幾個頂點？【答案】(1)三角形；(2)剩下的幾何體可能有7個頂點、或8個頂點、或9個頂點、或10個頂點.【解析】【解析】（1）如果截去的幾何體是一個三棱錐，那么截面一