理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考幫試題第8章第5講空間角與距離空間向量及應(yīng)用（考題幫數(shù)學(xué)理）

第五講空間角與距離、空間向量及應(yīng)用題組1空間直角坐標(biāo)系1.[2014北京,7,5分][理]在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2).若S1,S2,S3分別是三棱錐DABC在xOy,yOz,zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積,則()A.S1=S2=S3 B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2 D.S3=S2且S3≠S12.[2013新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,9,5分]一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí),以zOx平面為投影面,則得到的正視圖可以為()ABCD題組2空間角與距離3.[2017浙江,9,5分]如圖851,已知正四面體DABC(所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐),P,Q,R分別為AB,BC,CA上的點(diǎn),AP=PB,BQQC=CRRA=2.分別記二面角DPRQ,DPQR,DQRP的平面角為α,β,γ,則(圖851A.γ<α<β B.α<γ<βC.α<β<γ D.β<γ<α4.[2014四川,8,5分][理]如圖852,在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上,直線OP與平面A1BD所成的角為α,則sinα的取值范圍是()圖852A.[33,1] B.[63,1]C.[63,2235.[2017全國(guó)卷Ⅱ,19,12分][理]如圖853,四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中點(diǎn)圖853(1)證明:直線CE∥平面PAB;(2)點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角MABD的余弦值.6.[2017江蘇,22,10分][理]如圖854,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=120°.圖854(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值;(2)求二面角BA1DA的正弦值.7.[2015新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,19,12分][理]如圖855,長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.過(guò)點(diǎn)E,F的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.圖855(Ⅰ)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫法和理由);(Ⅱ)求直線AF與平面α所成角的正弦值.8.[2014新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,18,12分]如圖856,四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).圖856(Ⅰ)證明:PB∥平面AEC;(Ⅱ)設(shè)AP=1,AD=3,三棱錐PABD的體積V=34,求A到平面PBC的距離題組3向量法在立體幾何中的應(yīng)用9.[2017天津,17,13分][理]如圖857,在三棱錐PABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.圖857(Ⅰ)求證:MN∥平面BDE;(Ⅱ)求二面角CEMN的正弦值;(Ⅲ)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為721,求線段AH的長(zhǎng)10.[2016北京,17,14分][理]如圖858,在四棱錐PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.圖858(Ⅰ)求證:PD⊥平面PAB;(Ⅱ)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;(Ⅲ)在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得BM∥平面PCD?若存在,求AMAP的值;若不存在,說(shuō)明理由A組基礎(chǔ)題1.[2018南昌市高三調(diào)考,10]已知三棱錐PABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,△ABC滿足AB=22,∠ACB=90°,PA為球O的直徑且PA=4,則點(diǎn)P到底面ABC的距離為()A.2 B.22 C.3 D.232.[2017長(zhǎng)沙市五月模擬,12]平面α過(guò)正方體ABCDA1B1C1D1的面對(duì)角線AB1,且平面α⊥平面C1BD,平面α∩平面ADD1A1=AS,則∠A1AS的正切值為()A.32 B.55 C.333.[2018長(zhǎng)春市第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè),19]如圖859,四棱錐PABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).圖859(1)證明:PB∥平面ACE;(2)設(shè)PA=1,∠ABC=60°,三棱錐EACD的體積為38,求二面角DAEC的余弦值4.[2017沈陽(yáng)市三模,19]如圖8510,將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折疊,使得平面ABD⊥平面CBD,若AM⊥平面ABD,且AM=2.圖8510(1)求證:DM⊥平面ABC;(2)求二面角CBMD的大小.B組提升題5.[2017陜西省六校第三次適應(yīng)性訓(xùn)練,11]已知在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為BB1,CD的中點(diǎn),則直線AF與平面A1D1F所成角的正弦值為()A.15 B.25 C.35 6.[2018廣東七校聯(lián)考,18]如圖8511,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是菱形,且∠ABC=120°.點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn),平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.圖8511(1)求證:AB∥EF;(2)若PA=PD=AD=2,且平面PAD⊥平面ABCD,求平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值.7.[2018遼寧五校聯(lián)考,19]如圖8512所示,等腰梯形ABCD的底角∠BAD等于60°.直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,∠EDA=90°,且ED=AD=2AF=2AB=2.圖8512(1)證明:平面ABE⊥平面EBD;(2)點(diǎn)M在線段EF上,試確定點(diǎn)M的位置,使平面MAB與平面ECD所成角的余弦值為348.[2017太原市三模,19]如圖8513,在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC,∠A1AC=60°,AC=2AA1=4,點(diǎn)D,E分別是AA1,BC的中點(diǎn).圖8513(1)證明:DE∥平面A1B1C;(2)若AB=2,∠BAC=60°,求直線DE與平面ABB1A1所成角的正弦值.答案1.D根據(jù)題目條件,在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中作出該三棱錐DABC,如圖D8511,顯然S1=S△ABC=12×2×2=2,S2=S3=12×2×2=2.圖D85112.A作出空間直角坐標(biāo)系,在坐標(biāo)系中標(biāo)出各點(diǎn)的位置,然后進(jìn)行投影,分析其正視圖形狀,易知選A.3.B如圖D8512,設(shè)O是點(diǎn)D在底面ABC內(nèi)的射影,過(guò)O作OE⊥PR,OF⊥PQ,OG⊥RQ,垂足分別為E,F,G,連接ED,FD,GD,易得ED⊥PR,∴∠OED就是二面角DPRQ的平面角,∴α=∠OED,tanα=ODOE,同理tanβ=ODOF,tanγ=圖D8512圖D8513底面的平面圖如圖D8513所示,以P為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)AB=2,則A(1,0),B(1,0),C(0,3),O(0,33),∵AP=PB,BQQC=CRRA=2,∴Q(13,233),R(23,33),則直線RP的方程為y=32x,直線PQ的方程為y=23x,直線RQ的方程為y=33x+539,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,知OE=22121,OF=3939,OG=13,∴OE>OG>OF,∴tan4.B易證AC1⊥平面A1BD,當(dāng)點(diǎn)P在線段CC1上從C運(yùn)動(dòng)到C1時(shí),直線OP與平面A1BD所成的角α的變化情況:∠AOA1→π2→∠C1OA1(點(diǎn)P為線段CC1的中點(diǎn)時(shí),α=πsin∠AOA1=63,sin∠C1OA1=223>63,sinπ2=1,所以sin5.(1)取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF,如圖D8514所示.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),所以EF∥AD,EF=12AD.由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,又BC=12AD,所以EFBC,四邊形BCEF是平行四邊形,CE∥BF,又BF?平面PAB,CE?平面PAB,故CE∥(2)由已知得BA⊥AD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB的方向?yàn)閤軸正方向,|AB|為單位長(zhǎng),建立如圖D8514所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),PC=(1,0,3),AB=(1,0,0).圖D8514設(shè)M(x,y,z)(0<x<1),則BM=(x1,y,z),PM=(x,y1,z3).因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°,而n=(0,0,1)是底面ABCD的一個(gè)法向量,所以|cos<BM,n>|=sin45°,即|z|(x-1)2+y2+z2=又M在棱PC上,設(shè)PM=λPC,則x=λ,y=1,z=33λ②.由①②解得x=1+2所以M(122,1,62),從而AM=(122,1,設(shè)m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,則m·AM所以可取m=(0,6,2).于是cos<m,n>=m·n|因此二面角MABD的余弦值為1056.在平面ABCD內(nèi),過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD,交BC于點(diǎn)E.因?yàn)锳A1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AE,AA1⊥AD.如圖D8515,以{AE,AD,AA1}為正交基底,建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)锳B=AD=2,AA1=3,∠BAD=120°,則A(0,0,0),B(3,1,0),D(0,2,0),E(3,0,0),A1(0,0,3),C1(3,1,3).圖D8515(1)A1B=(3,1,3),AC1=(3,1,3).則cos<A1B,AC又異面直線所成角的范圍為(0,π2所以異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為17(2)平面A1DA的一個(gè)法向量為AE=(3,0,0).設(shè)m=(x,y,z)為平面BA1D的法向量,又A1B=(3,1,3),BD=(則m·A不妨取x=3,則y=3,z=2,所以m=(3,3,2)為平面BA1D的一個(gè)法向量,從而cos<AE,m>=AE·m|AE||設(shè)二面角BA1DA的大小為θ,則|cosθ|=34因?yàn)棣取蔥0,π],所以sinθ=1-cos因此二面角BA1DA的正弦值為747.(Ⅰ)交線圍成的正方形EHGF如圖D8516所示.圖D8516(Ⅱ)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EM=AA1=8.因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立如圖D8516所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE=(10,0,0),HE=(0,設(shè)n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,則n·FE所以可取n=(0,4,3).又AF=(10,4,8),故|cos<n,AF>|=|n·AF所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為458.(Ⅰ)設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O,連接EO,如圖D8517所示.圖D8517因?yàn)锳BCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點(diǎn).又E為PD的中點(diǎn),所以EO∥PB.又EO?平面AEC,PB?平面AEC,所以PB∥平面AEC.(Ⅱ)V=16PA·AB·AD=36AB.由V=34,可得作AH⊥PB交PB于H.由題設(shè)知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH,故AH⊥平面PBC.又AH=PA·ABPB所以A到平面PBC的距離為313圖D85189.如圖D8518,以A為原點(diǎn),分別以AB,AC,AP的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.依題意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(Ⅰ)DE=(0,2,0),DB=(2,0,2).設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則n·DE不妨設(shè)z=1,可得n=(1,0,1).又MN=(1,2,1),可得MN·n=0.因?yàn)镸N?平面BDE,所以MN∥平面BDE.(Ⅱ)易知n1=(1,0,0)為平面CEM的一個(gè)法向量.設(shè)n2=(x1,y1,z1)為平面EMN的法向量,則n因?yàn)镋M=(0,2,1),MN=(1,2,1),所以-不妨設(shè)y1=1,可得n2=(4,1,2).因此有cos<n1,n2>=n1·n2|n1||n2|所以二面角CEMN的正弦值為10521(Ⅲ)依題意,設(shè)AH=h(0≤h≤4),則H(0,0,h),進(jìn)而可得NH=(1,2,h),BE=(2,2,2).由已知,得|cos<NH,BE>|=|NH·BE||整理得10h221h+8=0,解得h=85或h=1所以線段AH的長(zhǎng)為85或110.(Ⅰ)因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD.又PA⊥PD,AB∩PA=A,所以PD⊥平面PAB.(Ⅱ)取AD的中點(diǎn)O,連接PO,CO,如圖D8519.圖D8519因?yàn)镻A=PD,所以PO⊥AD.因?yàn)镻O?平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.因?yàn)镃O?平面ABCD,所以PO⊥CO.因?yàn)锳C=CD,所以CO⊥AD.如圖D8519建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),PD=(0,1,1),PC=(2,0,1).設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則n·PD令z=2,則x=1,y=2.所以n=(1,2,2).又PB=(1,1,1),所以cos<n,PB>=n·PB所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為33(Ⅲ)設(shè)M是棱PA上一點(diǎn),則存在λ∈[0,1],使得AM=λAP.因此點(diǎn)M(0,1λ,λ),BM=(1,λ,λ).因?yàn)锽M?平面PCD,所以要使BM∥平面PCD,則BM·n=0,即(1,λ,λ)·(1,2,2)=0,解得λ=14所以在棱PA上存在點(diǎn)M,使得BM∥平面PCD,此時(shí)AMAP=1A組基礎(chǔ)題1.B取AB的中點(diǎn)O1,連接OO1,如圖D8520,在△ABC中,AB=22,∠ACB=90°,所以△ABC所在小圓O1是以AB為直徑的圓,所以O(shè)1A=2,且OO1⊥AO1,又球O的直徑PA=4,所以O(shè)A=2,所以O(shè)O1=OA2-O1A2=2,且OO1⊥底面ABC,所以點(diǎn)P到平面ABC圖D85202.D如圖D8521,連接AC,A1C,正方體ABCDA1B1C1D1中,BD⊥AC,BD⊥AA1,∵AC∩AA1=A,∴BD⊥平面AA1C,∴A1C⊥BD,同理,得A1C⊥BC1,∵BD∩BC1=B,∴A1C⊥平面C1BD,圖D8521如圖D8521,以AA1為側(cè)棱補(bǔ)作一個(gè)正方體AEFGA1PQR,使得側(cè)面AGRA1與平面ADD1A1共面,連接AQ,則AQ∥CA1,連接QB1,交A1R于S,則平面AQB1就是平面α,∵AQ∥CA1,∴AQ⊥平面C1BD,∵AQ?平面α,∴平面α⊥平面C1BD,∴tan∠A1AS=A1SAA3.(1)連接BD交AC于點(diǎn)O,連接OE.在△PBD中,PE=DE,BO=DO,所以PB∥OE.又OE?平面ACE,PB?平面ACE,所以PB∥平面ACE.(2)由題,易知VPABCD=2VPACD=4VEACD=32,設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a(a>則VPABCD=13S?ABCD·PA=13×(2×34a2)×1=32取BC的中點(diǎn)為M,連接AM,則AM⊥AD.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AM,AD,AP的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向,建立如圖D8522所示的空間直角坐標(biāo)系,圖D8522則A(0,0,0),E(0,32,12),C(32,32,0),AE=(0,32,12),AC設(shè)n1=(x,y,z)為平面AEC的法向量,則n1·取x=1,則n1=(1,3,3)為平面AEC的一個(gè)法向量.由題,易知平面AED的一個(gè)法向量為n2=(1,0,0),所以cos<n1,n2>=n1·n2|由圖易知二面角DAEC為銳二面角,所以二面角DAEC的余弦值為13134.(1)設(shè)BD的中點(diǎn)為N,連接AN,CN,則AN⊥BD,CN⊥BD,∵平面ABD⊥平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,CN?平面CBD,CN⊥BD,∴CN⊥平面ABD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AM所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖D8523所示的空間直角坐標(biāo)系,圖D8523則A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,2),D(0,2,0),M(0,0,2),AB=(2,0,0),AC=(1,1,2),DM=(0,2,2),∴DM·AB=0,DM·AC=2+2=0,∴DM⊥AB,DM⊥AC,又AB∩AC=A,∴DM⊥平面ABC.(2)由(1)得,BM=(2,0,2),BC=(1,1,2),BD=(2,2,0),設(shè)平面CBM的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n即-2x1+2z1=0,-x1+y1+2z1=0,令x1=設(shè)平面DBM的法向量為n2=(x2,y2,z2),則n即-2x2+2z2=0,-2x2+2y2=0,令x2=1,得z∴cos<n1,n2>=n1·n2|設(shè)二面角CBMD的大小為θ,由圖可知θ為銳角,∴cosθ=12,θ=π3,即二面角CBMD的大小為B組提升題5.B解法一如圖D8524所示,取AB的中點(diǎn)G,連接GF,A1G,AE,A1G∩AE=H,連接HF,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,因?yàn)镚,F分別為AB,DC的中點(diǎn),所以GF∥A1D1,圖D8524所以平面A1D1F與平面A1D1FG共面.在Rt△A1AG與Rt△ABE中,因?yàn)锳1A=AB,AG=BE,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,所以∠GA1A=∠EAG,因?yàn)椤螱A1A+∠A1GA=90°,所以∠EAG+∠A1GA=90°,即AE⊥A1G,又GF⊥AE,A1G∩GF=G,所以AE⊥平面A1D1F,所以∠HFA是直線AF與平面A1D1F所成的角.在Rt△A1AG中,AG=a2,A1A=a,所以AH=55a,又AF=52a,所以sin∠HFA=解法二如圖D8524,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則A(2,0,0),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),E(2,2,1),AE=(0,2,1),AF=(2,1,0),D1A1=(2,0,0),D1F=(0,1,2),所以AE·D1A1=0+0+0=0,AE·D1F=0+22=0,所以AE⊥A1D1,D1F⊥AE,即AE為平面A1D1F的一個(gè)法向量.設(shè)直線AF與平面A1D1F所成的角為α,則sinα=|cos6.(1)∵底面ABCD是菱形,∴AB∥CD,又AB?平面PCD,CD?平面PCD,∴AB∥平面PCD,∵A,B,E,F四點(diǎn)共面,且平面ABEF∩平面PCD=EF,∴AB∥EF.(2)如圖D8525,取AD的中點(diǎn)G,連接PG,GB,∵PA=PD,∴PG⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PG⊥平面ABCD,∴PG⊥GB.在菱形ABCD中,∵AB=AD,∠DAB=60°,G是AD的中點(diǎn),∴AD⊥GB.圖D8525以G為坐標(biāo)原點(diǎn),GA,GB,GP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz,∵PA=PD=AD=2,∴G(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),C(2,3,0),D(1,0,0),P(0,0,3),∵AB∥EF,點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn),∴點(diǎn)F是棱PD的中點(diǎn),∴E(1,32,32),F(12,0,32),AF=(32,0,32),EF=設(shè)平面AFE的法向量為n=(x,y,z),則n·AF=0不妨令x=3,則n=(3,3,33)為平面AFE的一個(gè)法向量.易知BG⊥平面PAD,∴GB=(0,3,0)是平面PAF的一個(gè)法向量.∵cos<n,GB>=n·GB|n|·|∴平面PAF與平面AFE所成的銳二面角的余弦值為13137.(1)∵平面ABCD⊥平面ADEF,平面ABCD∩平面ADEF=AD,ED⊥AD,ED?平面ADEF,∴ED⊥平面ABCD,∵AB?平面ABCD,∴ED⊥AB,∵AB=1,AD=2,∠BAD=60°,∴BD=1+4-2×1×2×cos60°∴AB2+BD2=AD2,即AB⊥BD,又BD?平面EBD,ED?平面EBD,BD∩ED=D,∴AB⊥平面EBD,又AB?平面ABE,∴平面ABE⊥平面EBD.(2