2019高三數(shù)學(xué)（人教A版理）一輪單元評(píng)估檢測(cè)4　第4章　平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

單元評(píng)估檢測(cè)(四)第4章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入(120分鐘150分)(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第301頁(yè))一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(1＋2i,2－i)(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為()A．－1 B．0C．1 D．i[答案]C2．若z＝4＋3i，則eq\f(\x\to(z),|z|)＝()A．1 B．－1C.eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i D．eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i[答案]D3．若復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2，則z的虛部為()A．－1 B．－iC．i D．1[答案]A4．復(fù)數(shù)z＝eq\f(－3＋i,2＋i)的共扼復(fù)數(shù)是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97190419】A．2＋i B．2－iC．－1＋i D．－1－i[答案]D5．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，則2a＋b＝()A．(5,7) B．(5,9)C．(3,7) D．(3,9)[答案]D6．復(fù)數(shù)z1＝3＋i，z2＝1－i，則z＝z1·z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]D7．設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b＝()A．1 B．2C．3 D．5[答案]A8．設(shè)復(fù)數(shù)z1＝2sinθ＋icosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＜θ＜\f(π,2)))在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，將eq\o(OZ1,\s\up6(→))按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)eq\f(3,4)π后得到向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2＝x＋yi(x，y∈R)，則eq\f(y,x)＝()A.eq\f(2tanθ＋1,2tanθ－1) B．eq\f(2tanθ－1,2tanθ＋1)C.eq\f(1,2tanθ＋1) D．eq\f(1,2tanθ－1)[答案]A9．與向量a＝(3,4)同方向的單位向量為b，又向量c＝(－5,5)，則b·c＝()A．(－3,4) B．(3，－4)C．1 D．－1[答案]C10．如圖4-1，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，N是線段OD的中點(diǎn)，AN的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)E，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()圖4-1A.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(5,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))[答案]D11．復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，且z1＝3＋2i，則z2＝()A．3－2i B．2－3iC．－3－2i D．2＋3i[答案]D12．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m＝()A．－8 B．－6C．6 D．8[答案]D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝________.[答案]214．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝________.[答案]215．已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，則t＝________.[答案]216．對(duì)于復(fù)數(shù)z1，z2，若(z1－i)z2＝1，則稱z1是z2的“錯(cuò)位共軛”復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i的“錯(cuò)位共軛”復(fù)數(shù)為_(kāi)_______.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97190420】[答案]eq\f(\r(3),2)＋eq\f(3,2)i三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝5，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(10).(1)求D點(diǎn)坐標(biāo)．(2)若D點(diǎn)在第二象限，用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))表示eq\o(AC,\s\up6(→)).(3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝(m,2)，若3eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(AE,\s\up6(→))垂直，求eq\o(AE,\s\up6(→))的坐標(biāo)．[解](1)D(2,1)或D(－2,3)(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))(3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－14,2)18．(本小題滿分12分)如圖4-2，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上兩個(gè)三等分點(diǎn)，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，求eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97190421】圖4-2[解]eq\f(7,8)19．(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z＝1＋i，ω＝eq\f(z2－3z＋6,z＋1).(1)求復(fù)數(shù)ω.(2)設(shè)復(fù)數(shù)ω在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為eq\o(OA,\s\up6(→))，把向量(0,1)按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ到向量eq\o(OA,\s\up6(→))的位置，求θ的最小值．[解](1)1－i(2)eq\f(5,4)π20．(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f(A,2)，sin\f(A,2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(A,2)，－2sin\f(A,2)))，m·n＝－1.(1)求cosA的值．(2)若a＝2eq\r(3)，b＝2，求c的值．[解](1)－eq\f(1,2)(2)221．(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知向量m＝(cosA，cosB)，n＝(a,2c－b)，且m∥n.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97190422】(1)求角A的大小．(2)若a＝4，求△ABC面積的最大值．[解](1)因?yàn)閙∥n，所以acosB－(2c－b)cosA＝0，由正弦定理得sinAcosB－(2sinC－sinB)cosA＝0，所以sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，所以sin(A＋B)＝2sinCcosA，因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinCcosA，因?yàn)?＜C＜π，所以sinC＞0，所以cosA＝eq\f(1,2)，因?yàn)?＜A＜π，所以A＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以16＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，因此bc≤16，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝4時(shí)，等號(hào)成立；因此△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA≤4eq\r(3)，因此△ABC面積的最大值為4eq\r(3).22．(本小題滿分12分)已知平面上的兩個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))滿足|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝a，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝b，且eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，a2＋b2＝4.向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，且a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝1.(1)如果點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，求證：eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\o(OB,\s\up6(→)).(2)求|eq\o(OP,\s\up6(→))|的最大值，并求出此時(shí)四邊形OAPB面積的最大值．[解](1)因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，所以eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．所以eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\o(OB,\s\up6(→)).(2)設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，則由eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，知|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(MO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1.又由(1)及a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝1，得|eq\o(MP,\s\up6(→))|2＝|eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)eq\o(OA,\s\up6(→))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)eq\o(OB,\s\up6(→))2＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝1.所以|eq\o(MP,\s\up6(→))|＝|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\