12.1-12.2 三角形 三角形的性質(zhì) 同步練習(xí)

第十二章三角形一三角形及其性質(zhì)12.1三角形12.2三角形的性質(zhì)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1三角形及其相關(guān)概念1.(2022北京昌平東方紅中學(xué)月考)在如圖所示的圖形中，三角形有()A.4個(gè) B.5個(gè) C.6個(gè) D.7個(gè)2.如圖，在△ABC中，D，E分別是BC，AC上的點(diǎn)，連接BE，AD，BE與AD相交于點(diǎn)F.(1)圖中有幾個(gè)三角形?請(qǐng)表示出來(lái)；(2)寫(xiě)出△BDF的三個(gè)頂點(diǎn)和三條邊；(3)AB是哪些三角形的邊?(4)點(diǎn)F是哪些三角形的頂點(diǎn)?知識(shí)點(diǎn)2三角形的穩(wěn)定性3.(2022廣東中考)下列圖形中有穩(wěn)定性的是()A.三角形 B.平行四邊形 C.長(zhǎng)方形 D.正方形4.從能隱身的“三角翼”飛行器、高高的塔吊、小小的三腳架到北京奧運(yùn)會(huì)主運(yùn)動(dòng)場(chǎng)鳥(niǎo)巢的外觀設(shè)計(jì)中都包含了相同的結(jié)構(gòu)——三角形，這主要是利用了.

知識(shí)點(diǎn)3三角形邊的性質(zhì)5.(2022江蘇南通中考)用一根小木棒與兩根長(zhǎng)分別為3cm，6cm的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長(zhǎng)度可以為()A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm[變式1](2021江蘇淮安中考)一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是1和4，若第三邊的長(zhǎng)為偶數(shù)，則第三邊的長(zhǎng)是.

[變式2]有長(zhǎng)為4cm，9cm，acm的三根木棒恰好拼成一個(gè)等腰三角形(木棒接頭和粗細(xì)忽略不計(jì))，它的周長(zhǎng)為cm.

[變式3](2023北京一七一中月考)已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，滿足|a-7|+(b-2)2=0，c為奇數(shù)，則△ABC的周長(zhǎng)為.

6.一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm，其一邊長(zhǎng)為6cm，求其他兩邊的長(zhǎng).7.如圖所示，D是△ABC的邊AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接BD，請(qǐng)判斷AB+BC+AC與2BD的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.知識(shí)點(diǎn)4三角形角的性質(zhì)8.(2021廣西梧州中考)在△ABC中，∠A=20°，∠B=4∠C，則∠C等于()A.32° B.36° C.40° D.128°9.(2021廣西河池中考)如圖，∠A=40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD=120°，則∠C的度數(shù)為()A.90° B.80° C.60° D.40°10.(2022北京海淀外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中)求出下列圖形中x的值. （2） （3）11.(2022北京中考)下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.已知：如圖，△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°.方法一證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作DE∥BC.方法二證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB.12.在△ABC中，∠C=80°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.(1)如圖1，若∠α=50°，則∠1+∠2=；

(2)如圖2，猜想∠α、∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并證明. 圖1 圖2知識(shí)點(diǎn)5三角形按角分類13.“瞎子摸象”比喻對(duì)事物一知半解，不對(duì)全局作判斷.如圖給出的四個(gè)三角形都有一部分被遮擋，聰明的你把握全局按角的大小分類，不能判斷三角形類型的是()A B C D14.(2023北京東城景山學(xué)校期末)若一個(gè)三角形的一個(gè)角等于其他兩個(gè)角的差，則這個(gè)三角形一定是()A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.以上都有可能能力提升全練15.(2023北京大學(xué)附中期中)下列圖形中不具備穩(wěn)定性的是()A B C D16.(2022西藏中考)如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是三角形兩邊的長(zhǎng)，則該三角形第三邊長(zhǎng)可能是()A.-5 B.4 C.7 D.817.(2023北京通州期末改編)如圖所示的是一路燈的平面示意圖，∠MAC=50°，∠ACB=20°，則∠CBA的度數(shù)為()A.15° B.20° C.30° D.50°18.(2021江蘇鹽城中考)將一副三角板按如圖所示的方式重疊擺放，則∠1的度數(shù)為()A.45° B.60° C.75° D.105°19.(2023北京日壇中學(xué)期中)如圖，把△ABC沿平行于BC的直線DE折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)F處，若∠B=50°，則∠BDF的度數(shù)為()A.40° B.50° C.80° D.100°20.(2019江蘇揚(yáng)州中考)已知n是正整數(shù)，若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是n+2、n+8、3n，則滿足條件的n的值有()A.4個(gè) B.5個(gè) C.6個(gè) D.7個(gè)21.(2021江蘇常州中考)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，∠B=40°，∠C=60°，若DE∥AB，則∠AED=°.

22.(2022北京通州期末)如圖，線段AF⊥AE，垂足為點(diǎn)A，線段GD分別交AF、AE于點(diǎn)C、B，連接GF，ED，則∠D+∠G+∠F+∠E的度數(shù)為.

23.(2022北京陳經(jīng)綸中學(xué)月考改編，20，)如圖，點(diǎn)D為△ABC的邊BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，∠DFB=90°，交AC于點(diǎn)E，∠A=35°，∠D=40°，求∠ACD的度數(shù).24.(2022北京海淀外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中)若三邊均不相等的三角形三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且滿足a-b>b-c(a為最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)，c為最短邊的長(zhǎng))，則稱這個(gè)三角形為“不均衡三角形”.例如，一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為7，5，4，因?yàn)?-5>5-4，所以這個(gè)三角形為“不均衡三角形”.(1)有以下4組長(zhǎng)度的線段，其中能組成“不均衡三角形”的為(填序號(hào)).

①4cm，2cm，1cm；②13cm，18cm，9cm；③19cm，20cm，19cm；④9cm，8cm，6cm.(2)已知“不均衡三角形”的三邊長(zhǎng)分別為2x+2，16，2x-6，求整數(shù)x的值.素養(yǎng)探究全練25.(2023北京房山期中)△ABC中，∠C=45°，點(diǎn)D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，PE，設(shè)∠DPE=α.(1)如圖1，若點(diǎn)P在線段BA上，且α=30°，則∠PEB+∠PDA=°；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示∠PEB與∠PDA的數(shù)量關(guān)系(用含α的式子表示)，并證明；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接用等式表示∠PEB與∠PDA的數(shù)量關(guān)系(用含α的式子表示).

第十二章三角形一三角形及其性質(zhì)12.1三角形12.2三角形的性質(zhì)答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.B三角形有△ABD、△ABC、△BCD、△BCE、△DCE，共5個(gè).故選B.2.解析(1)題圖中共有8個(gè)三角形，分別是△BDF，△BEC，△BDA，△BFA，△AEF，△AEB，△ADC，△ABC.(2)△BDF的三個(gè)頂點(diǎn)分別是B，D，F(xiàn)，三條邊分別是BD，DF，BF.(3)AB是△ABF，△ABD，△ABE，△ABC的邊.(4)點(diǎn)F是△BDF，△ABF，△AEF的頂點(diǎn).3.A三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性.故選A.4.答案三角形的穩(wěn)定性5.D設(shè)第三根小木棒長(zhǎng)xcm，由三角形三邊關(guān)系得6-3<x<6+3，所以x的取值范圍是3<x<9，觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)D符合題意.故選D.[變式1]答案4解析設(shè)第三邊的長(zhǎng)為a，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知，4-1<a<4+1，即3<a<5，∵第三邊的長(zhǎng)是偶數(shù)，∴a=4.[變式2]答案22解析若底邊長(zhǎng)為4cm，則a=9，它的周長(zhǎng)為4+9+9=22(cm)；若底邊長(zhǎng)為9cm，則a=4，而4+4<9，不能構(gòu)成三角形.所以它的周長(zhǎng)為22cm.[變式3]答案16解析∵|a-7|+(b-2)2=0，∴a-7=0，b-2=0，解得a=7，b=2，由三角形的三邊關(guān)系得7-2<c<7+2，即5<c<9，又∵c為奇數(shù)，∴c=7，∴△ABC的周長(zhǎng)為7+2+7=16.6.解析分兩種情況討論：(1)當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為6cm時(shí)，腰長(zhǎng)為(20-6)÷2=7(cm)，此時(shí)三邊長(zhǎng)分別為6cm，7cm，7cm，可以構(gòu)成三角形.(2)當(dāng)腰長(zhǎng)為6cm時(shí)，底邊長(zhǎng)為20-6×2=8(cm)，此時(shí)三邊長(zhǎng)分別為6cm，6cm，8cm，可以構(gòu)成三角形.綜上，其他兩邊的長(zhǎng)分別為7cm，7cm或6cm，8cm.7.解析AB+BC+AC>2BD.理由：在△ABD中，AB+AD>BD，在△BCD中，BC+CD>BD，∴AB+AD+BC+CD>2BD，∴AB+BC+AC>2BD.8.A∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∠A=20°，∠B=4∠C，∴20°+4∠C+∠C=180°，∴5∠C=160°，∴∠C=32°.故選A.9.B∠C=∠CBD-∠A=120°-40°=80°.故選B.10.解析(1)x=180-90-50=40.(2)∵x+x+40=180，∴x=70.(3)∵x+70=x+x+10，∴x=60.11.證明選擇方法一：∵DE∥BC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°.選擇方法二：∵CD∥AB，∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，∴∠B+∠ACB+∠A=180°.12.解析(1)如圖，連接CP，∵∠1是△CDP的外角，∴∠1=∠DCP+∠DPC，同理可得，∠2=∠ECP+∠EPC，∴∠1+∠2=∠ACB+∠DPE=80°+50°=130°.(2)∠1+∠2=80°+∠α.證明：如圖，連接CP，∵∠1是△CDP的外角，∴∠1=∠DCP+∠DPC，同理可得，∠2=∠ECP+∠EPC，∴∠1+∠2=∠ACB+∠DPE=80°+∠α.13.CA.露出直角，判斷該三角形為直角三角形；B.根據(jù)露出的兩個(gè)角，判斷該三角形為銳角三角形；C.露出一個(gè)銳角，無(wú)法判斷另外兩個(gè)角的大小，故無(wú)法判斷該三角形類型；D.露出的角是鈍角，判斷該三角形為鈍角三角形.故選C.14.B設(shè)△ABC中，∠A=∠C-∠B，則∠C=∠A+∠B，∴∠C=180°-∠C，∴∠C=90°，∴這個(gè)三角形是直角三角形.故選B.能力提升全練15.C選項(xiàng)A、B、D中的圖形均由三角形構(gòu)成，具有穩(wěn)定性，選項(xiàng)C中的圖形下方的四邊形不具有穩(wěn)定性.故選C.16.B由題意知，該三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4.設(shè)第三邊長(zhǎng)為a，則4-3<a<4+3，即1<a<7.觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)B符合題意.故選B.17.C∵∠MAC=50°，∠ACB=20°，∠MAC是△ABC的外角，∴∠CBA=∠MAC-∠ACB=30°.故選C.18.C如圖，∵∠DBC=30°，∠ACB=45°，∴∠1=30°+45°=75°.故選C.19.C∵BC∥DE，∠B=50°，∴∠ADE=50°，由折疊得∠ADE=∠EDF=50°，∴∠BDF=180°-50°-50°=80°.故選C.20.D分情況討論：①當(dāng)n+8>3n，即n<4時(shí)，(n+2)+3n>n+8，解得n>2，∴2<n<4，故滿足條件的n的值為3，有1個(gè).②當(dāng)n+8≤3n，即n≥4時(shí)，(n+2)+(n+8)>3n，解得n<10，∴4≤n<10，故滿足條件的n的值為4，5，6，7，8，9，共6個(gè).綜上所述，滿足條件的n的值有7個(gè).故選D.21.答案100解析在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°，∵DE∥AB，∴∠A+∠AED=180°，∴∠AED=180°-80°=100°.22.答案270°解析∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∵∠GCF=∠ACB，∠DBE=∠ABC，∴∠GCF+∠DBE=90°，∵∠G+∠F+∠GCF=∠D+∠E+∠DBE=180°，∴∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠E+∠DBE=360°，∴∠D+∠G+∠F+∠E=270°.23.解析∵∠DFB=90°，∴∠AFD=90°.∵∠AFD=∠B+∠D，∴∠B=∠AFD-∠D=90°-40°=50°.∴∠ACD=∠B+∠A=50°+35°=85°.24.解析(1)①∵1+2<4，∴4cm，2cm，1cm長(zhǎng)的線段不能組成“不均衡三角形”.②∵18-13>13-9，∴13cm，18cm，9cm長(zhǎng)的線段能組成“不均衡三角形”.③∵19=19，∴19cm，20cm，19cm長(zhǎng)的線段不能組成“不均衡三角形”.④∵9-8<8-6，∴9cm，8cm，6cm長(zhǎng)的線段不能組成“不均衡三角形”.故答案為②.(2)由題可知，2x+2，16，2x-6都為正數(shù)，且互不相等，其中最大數(shù)可能為2x+2，也可能為16，分情況進(jìn)行討論：①當(dāng)16>2x+2，即x<7時(shí)，16-(2x+2)>2x+2-(2x-6)，解得x<3，此時(shí)2x-6<0，不合題意，舍去.②當(dāng)2x+2>16，即x>7時(shí)，若16>2x-6，則x<11，2x+2-16>16-(2x-6)，解得x>9，∴9<x<11，∵x為整數(shù)，∴x=10，當(dāng)x=10時(shí)，三邊長(zhǎng)分別為22，16，14，可構(gòu)成三角形，符合題意；若2x-6>16，則x>11，2x+2-(2x-6)>2x-6-16，解得x<15，∴11<x<15，∵x為整數(shù)，∴x=12，13，14，當(dāng)x=12時(shí)，三邊長(zhǎng)分別為26，16，18，可構(gòu)成三角形；當(dāng)x=13時(shí)，三邊長(zhǎng)分別為28，16，20，可構(gòu)成三角形；當(dāng)x=14時(shí)，三邊長(zhǎng)分別為30，16，22，可構(gòu)成三角形，故x=12，13，14符合題意.綜上所述，整數(shù)x的值為10，12，13，14.素養(yǎng)探究全練25.解析(1)∠PEB+∠PDA=75°.理由如下：連接PC，如圖1所示.∵