《向量在物理中的應(yīng)用舉例》教案、導(dǎo)學(xué)案、課后作業(yè)

《6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例》教案

【教材分析】

向量概念有明確的物理背景:力、速度、加速度等，可以說向量概念是從物理背景中抽

象而來的，正因?yàn)槿绱?，運(yùn)用向量可以解決一些物理問題，例如利用向量計(jì)算力沿某方向所

做的功.

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)

1.通過應(yīng)用舉例，讓學(xué)生會用平面向量知識研究物理中的相關(guān)問題的“四環(huán)節(jié)”和生

活中的實(shí)際問題；

2.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)向量在解決幾何和物理問題中的工具作用，增強(qiáng)學(xué)生的

積極主動的探究意識，培養(yǎng)創(chuàng)新精神.

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.邏輯推理：從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，得出結(jié)論；

2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：坐標(biāo)運(yùn)算解決物理問題；

3.數(shù)據(jù)分析：根據(jù)已知信息選取合適方法證明或求解；

4.數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，將物理問題向量化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理的緊密聯(lián)系.

【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】

重點(diǎn)：體會向量在解決平面物理問題中的作用；

難點(diǎn)：如何將物理等實(shí)際問題化歸為向量問題.

【教學(xué)過程】

一、情景導(dǎo)入

提問：兩個人提一個旅行包，夾角越大越費(fèi)力.為什么？

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本40-41頁，思考并完成以下問題

1、如何用向量方法解決物理問題？

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1.向量在物理中的應(yīng)用

(1)物理問題中常見的向量有力、速發(fā)、位移等.

(2)向量的加減法運(yùn)算體現(xiàn)在一些物理量的合成和分解中.

(3)動量加V是向量的數(shù)乘運(yùn)句.

(4)功是一力尸與位移s的數(shù)量積.

四、典例分析、舉一反三

題型向量在物理中的應(yīng)用

例1在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費(fèi)力；

在單杠上作引體向上運(yùn)動，兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？

【解析】不妨設(shè)出I二￡|,由向量加法的平行四邊形法則，理的平衡原理以及直角三

角形的指示，可以得到

通過上面的式子我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)。由0'~180°逐漸變大時，色由0°~90’逐漸變大，

2

cos'的值由大逐漸變小，因此，I川有小逐漸變大，即后、￡之間的夾角越大越費(fèi)力，夾

2

角越小越省力.

例2如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m,一艘船從A處出發(fā)到河對岸.已

知船的速度I為l=10km/h,水流的速度I引=2km/h,問行駛航程最短時，所用的時間是多少(精

確到0.Imin)?

【答案】見解析

【解析】l)l=Jl彳『一(km/h),

所以，Z=-=-=-T=X60?3.1(min).

|v|V96

答：行駛航程最短時，所用的時間是3.1min.

解題技巧(向量解決物理問題的步驟)

跟蹤訓(xùn)練

1、在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25km/h.渡

船要垂直地渡過長江，其航向應(yīng)如何確定？

【答案】見解析

—>—>—>

【解析】如圖，設(shè)AB表示水流的速度，AD表示渡船的速度，AC表示渡船實(shí)際垂直過江的

速度.

因?yàn)锳B+AD=AC,

所以四邊形ABCD為平行四邊形.

在RtZ\ACD中，ZACD=90°,

—*—

|DC|=|AB|=12.5,|AD|=25,

所以NCAD=30°,即渡船要垂直地渡過長江，

其航向應(yīng)為北偏西30°.

2、己知兩恒力￡=(3,4),E=(6,—5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)力(20,15)移動到點(diǎn)

8(7,0),求凡氏分別對質(zhì)點(diǎn)所做的功.

【答案】見解析

【解析】設(shè)物體在力產(chǎn)作用下的位移為s,則所做的功為G-Qs.

?：AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).

—>

???M=￡?AB=(3,4)?(-13,-15)=3X(—13)+4X(—15)=—99(焦)，

—?

斯=尺?48=(6,-5)?(-13,-15)=6X(—13)+(—5)X(—15)=—3(焦).

五、課堂小結(jié)

讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧

六、板書設(shè)計(jì)

6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例

1.向量在物理中的應(yīng)用例1例2

七、作業(yè)

課本41頁練習(xí)，52頁習(xí)題6,4的4-5題.

【教學(xué)反思】

本小節(jié)主要是例題教學(xué)，要讓學(xué)生體會思路的形成過程，體會數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。教

學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題方法，展示思路的形成過程，總結(jié)解題規(guī)律。

指導(dǎo)學(xué)生搞好解題后的反思，從而提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識分析和解決問題的能力.

《6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例》導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

知識目標(biāo)

1.通過應(yīng)用舉例，讓學(xué)生會用平面向量知識研究物理中的相關(guān)問題的'‘四環(huán)節(jié)"和生

活中的實(shí)際問題；

2.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)向量在解決幾何和物理問題中的工具作用，增強(qiáng)學(xué)生的

積極主動的探究意識，培養(yǎng)創(chuàng)新精神.

核心素養(yǎng)

1.邏輯推理：從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，得出結(jié)論；

2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：坐標(biāo)運(yùn)算解決物理問題；

3.數(shù)據(jù)分析：根據(jù)已知信息選取合適方法證明或求解；

4.數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，將物理問題向量化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理的緊密聯(lián)系.

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】：體會向量在解決平面物理問題中的作用；

【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】：如何將物理等實(shí)際問題化歸為向量問題.

【學(xué)習(xí)過程】

一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入

閱讀課本40-41頁，填寫。

1.向量在物理中的應(yīng)用

(1)物理問題中常見的向量有等.

(2)向量的加減法運(yùn)算體現(xiàn)在一些物理量的中.

(3)動量是向量的運(yùn)算.

(4)功是的數(shù)量積.

小試牛刀

----?a

1.若向量m=(2,2),(加=(一2,3)分別表示兩個力心內(nèi),則出+身為()

A.(0,5)B.(4,-1)C.2MI).5

2.某物體做斜拋運(yùn)動，初速度|%|=10m/s,與水平方向成60°角，不計(jì)空氣阻力，

則該物體在水平方向上的速度是m/s.

3.一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個力￡,A,四(單位：N)的作用而處于平衡狀態(tài)，己知E,

￡成60°角，且E,K的大小分別為2和4,則A的大小為.

【自主探究】

題型向量在物理中的應(yīng)用

例1在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費(fèi)力:

在單杠上作引體向上運(yùn)動，兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？

例2如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度4=500/〃，一艘船從A處出發(fā)到河對岸.已

知船的速度Ir,|=10km/h,水流的速度上|=2km/h,問行駛航程最短時，所用的時間是多少(精

確到0.Imin)?

跟蹤訓(xùn)練

1、在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25km/h.渡

船要垂直地渡過長江，其航向應(yīng)如何確定？

2、已知兩恒力￡=(3,4),Fr=(6,—5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)力(20,15)移動到點(diǎn)

6(7,0),求￡,￡分別對質(zhì)點(diǎn)所做的功.

【達(dá)標(biāo)檢測】

1.人騎自行車的速度是為，風(fēng)速為燈則逆風(fēng)行駛的速度為()

A.V\~ViB.力+上

C.|歷|一|%|D.子

V2

2.兩個大小相等的共點(diǎn)力后，R,當(dāng)它們夾角為90°時，合力大小為20N,則當(dāng)它們

的夾角為120°時，合力大小為()

A.40NB.l(h/2NC.2MND.l(h/3N

3.在水流速度為4#km/h的河水中，一艘船以12km/h的實(shí)際航行速度垂直于對岸

行駛，求這艘船的航行速度的大小與方向.

答案

小試牛刀

1.D.

2.5.

3.2巾.

自主探究

例1【答案】見解析

【解析】不妨設(shè)用1=￡|,由向量加法的平行四邊形法則，理的平衡原理以及直角三

角形的指示，可以得到

2cos—

2

通過上面的式子我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)夕由0780°逐漸變大時，一由0°?90。逐漸變大，

2

cos一的值由大逐漸變小，因此，|￡|有小逐漸變大，即￡、￡之間的夾角越大越費(fèi)力，夾

2

角越小越省力.

例2【答案】見解析

【解析】-l=Jl彳|2—|W|2=A(km/h),

所以，t=-=-=x60?3.1(min).

|v|V96

答：行駛航程最短時，所用的時間是3.1min.

跟蹤訓(xùn)練一

1、【答案】見解析

->—>—>

【解析】如圖，設(shè)AB表示水流的速度，AD表示渡船的速度，AC表示渡船實(shí)際垂直過江的

速度.

因?yàn)锳B+AD=AC,

所以四邊形ABCD為平行四邊形.

在RtZ\ACD中，ZACD=90°,

—?—?—?

|DC|=|AB|=12.5,|AD|=25,

所以NCAD=30°,即渡船要垂直地渡過長江，

其航向應(yīng)為北偏西30°.

2、【答案】見解析

【解析】設(shè)物體在力尸作用下的位移為s,則所做的功為"-Qs.

?：AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).

???格=￡?48=(3,4)?(-13,—15)=3X(—13)+4X(-15)=-99(焦)，

-A

%=尺?仍=(6,-5)?(-13,一15)=6X(—13)+(—5)X(—15)=—3(焦).

當(dāng)堂檢測

1-2.BB

3.【答案】見解析

【解析】如圖所示，設(shè)氐B表示水流速度，旗表示船垂直于對岸行駛的速度，以萬豆為

一邊，而'為一對角線作。力6微則，而就是船的航行速度.

V|AB|=4y3,|AC|=12,

A\AD\=\BC\=8j39

+4—m

tanNACB=-—0,

i/o

：.ZCAD=ZACB=30°,N朋D=120°.

即船的航行速度的大小為8skm/h,方向與水流方向的夾角為：20。.

《6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例》課后作業(yè)

基礎(chǔ)鞏固

1.一只鷹正以與水平方向成30°角的方向向下飛行，直撲獵物，太陽光從頭上直照下來,

鷹在地面上的影子的速度是40m/s,則鷹的飛行速度為()

、8040百,「80G/40

A.—m/sB.-----m/sC.-----m/sDr.—m/s

3333

2.已知作用在點(diǎn)4的三個力工=(3,4),&=(2,-5),6=(3,1),且4(1,1),則合力

7=工+力+￡的終點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)

3.兩個大小相等的共點(diǎn)力耳石，當(dāng)它們夾角為90°時，合力大小為20N,則當(dāng)它們的夾

角為120°時，合力大小為()

A.40NB.10&NC.20>/2N10石N

4.人騎自行車的速度是風(fēng)速為k，則逆風(fēng)行駛的速度為()

A._p2B.V)+1/2C.|vi|—jvzjD.■=-

5.點(diǎn)P在平面上作勻速直線運(yùn)動，速度v=(4,-3),設(shè)開始時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(TO,10),則

5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為(速度單位：n/s,長度單位：m)()

A.(-2,4)B.(-30,25)

C.(10,-5)D.(5,-10)

6.某人從點(diǎn)0向正東走30m到達(dá)點(diǎn)A,再向正北走30j5m到達(dá)點(diǎn)B,則此人的位移的大小是

m,方向是東偏北.

7.一個重20N的物體從傾斜角30。，斜面長1m的光滑斜面頂端下滑到底端，則重力做

的功是.

8.兩個力耳=7+1,豆=47-5］作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A(20,15)移動到點(diǎn)

3(7,0)(其中31分別是4軸正方向、軸正方向上的單位向量，力的單位：M位移的

單位：m).求：

(1)耳，石分別對該質(zhì)點(diǎn)做的功；

(2)耳，耳的合力R對該質(zhì)點(diǎn)做的功.

能力提升

9.一條河的寬度為d,一只船從4處出發(fā)到河的正對岸8處，船速為萬，水速為、，則

船行到8處時，行駛速度的大小為()

A.v?-vzB.同一向C.D.?！阂煌?/p>

10.如圖，兩根固定的光滑硬桿/，如成。角，在桿上分別套一小環(huán)只。(小環(huán)重力不計(jì))，

并用輕線相連.現(xiàn)用恒力/沿礪方向拉小環(huán)。，則當(dāng)兩環(huán)穩(wěn)定時，輕線上的拉力的大小為

A

/\B

°Q

11.如圖所示，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m,一艘船從A點(diǎn)出發(fā)航行到河對

岸，船航行速度的大小為|匕卜10km/h,水流速度的大小為M|=4km/h,設(shè)彳和g的

夾角夕

（1）當(dāng)cos。多大時，船能垂直到達(dá)對岸？

（2）當(dāng)船垂直到達(dá)對岸時，航行所需時間是否最短？為什么？

素養(yǎng)達(dá)成

12.某人在靜水中游泳，速度為45份千米/時，現(xiàn)在他在水流速度為4千米/時的河中游泳.

（1）若他沿垂直于岸邊的方向游向河對岸，則他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度大

小為多少？

（2）他必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂宜的方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度大小為多少？

《6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例》課后作業(yè)答案解析

基礎(chǔ)鞏固

1.一只鷹正以與水平方向成30°角的方向向下飛行，直撲獵物，太陽光從頭上直照下來,

鷹在地面上的影子的速度是40m/s,則鷹的飛行速度為（）

,80406/80G/40

A.—m/sB.-----m/sCr.-----m/sDr.—m/s

3333

【答案】C

【解析】如圖，I/|=聞=40,且NCA8=30°，則|荏|=%|=更皆.

故選:C

2.已知作用在點(diǎn)/的三個力工=(3,4),/2=(2,-5),人=(3,1),且則合力

/=/+力+力的終點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)

【答案】A

【解析】/"+&+/=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),

設(shè)終點(diǎn)為5(蒼y),則(％TyT)=(8,0),

1=8x=9

所以《所以

丁=1'

所以終點(diǎn)坐標(biāo)為(9,1).

3.兩個大小相等的共點(diǎn)力吊耳，當(dāng)它們夾角為90°時，合力大小為20N,則當(dāng)它們的夾

角為120°時，合力大小為()

A.40NB.105/2NC.20及ND.106N

【答案】B

【解析】設(shè)合力為國，

由平行四邊形法則可知，同=園二同cos450=10匹N,

當(dāng)月和耳的夾角為120,時，由平行四邊形法則，園二|同=|同=10&N,

故選:B.

A

4.人騎自行車的速度是良，風(fēng)速為k，則逆風(fēng)行駛的速度為()

A.V1—y2B.也+U2C.|vi|—|vz|D.

【答案】B

【解析】由題意，根據(jù)向量的加法法則，可得逆風(fēng)行駛的速度為匕+為，注意速度是有方

向和大小的,是一個向量.

故選：B.

5.點(diǎn)P在平面上作勻速直線運(yùn)動，速度v=(4,-3),設(shè)開始時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(TO,10),則

5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為(速度單位：m/s,長度單位：m)()

A.(-2,4)B.(-30,25)

C.(10,-5)I).(5,-10)

【答案】C

【解析】5秒后點(diǎn)〃的坐標(biāo)為：(一10,10)+5(4,-3)=(10,-5).

6.某人從點(diǎn)0向正東走30m到達(dá)點(diǎn)A,再向正北走30Gm到達(dá)點(diǎn)B,則此人的位移的大小是

m,方向是東偏北.

【答案】6060°

【解析】如圖所示，此人的位移是麗=麗+而，且蘇薪，

則|函二J|兩2十|研二翅⑺，tanZBOA=j^=V3,AZBOA=60\

故答案為：60,60°.

7.一個重20N的物體從傾斜角30°,斜面長1m的光滑斜面頂端下滑到底端，則重力做

的功是________.

【答案】10J

【解析】由力的正交分解知識可知沿斜面下滑的分力大小

.,1

㈤=-X20N=10N,

2

：.W=\F\?\s\=lQJ.

或由斜面高為!m,W-|G|?力=20x!j=10J.

22

答案為10J

8.兩個力耳=7+],月=4：一5,作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A（20,15）移動到點(diǎn)

3（7,0）（其中九]分別是1軸正方向、丁軸正方向上的單位向量，力的單位：N,位移的

單位：ni）.求：

（1）耳，耳分別對該質(zhì)點(diǎn)做的功；

（2）耳，耳的合力聲對該質(zhì)點(diǎn)做的功.

【答案】（1）耳做的功一28（J）,耳做的功23（J）.

（2）-5（J）

【解析】（1）耳=（1/），6=（4,一5）,AB=（-13,-15）.

己做的功叱=K,AB=（1,1）（T3,T5）=T3—15=—28（J）,

月做的功叱=耳.通=（4,一5）,（-13,T5）=—52+75=23（J）.

（2）R=耳+耳=（5,-4）,

所以戶做的功W=R?麗=（5,T）?（-13,T5）=-65+60=-5（J）.

能力提升

9.一條河的寬度為d,一只船從4處出發(fā)到河的正對岸3處，船速為B，水速為B，則

船行到8處時，行駛速度的大小為（）

A.V?-V2B.網(wǎng)一網(wǎng)C.guD.^|v,|-|v2

【答案】I）

【解析】如圖所示，由平行四邊形法則和解直角三角形的知識，

22

可得船行駛的速度大小為7|vj-|v2|.

故選：D.

10.如圖.兩根固定的光滑硬桿的.必成6角,在桿卜分別套一小環(huán)P.0（小環(huán)重力不計(jì)）.

并用輕線相連.現(xiàn)用恒力/沿礪方向拉小環(huán)0,則當(dāng)兩環(huán)穩(wěn)定時，輕線上的拉力的大小為

【答案】11.

sin0

【解析】以小環(huán)P為研究對象，日于受力平衡，故輕線與桿04垂直.

即輕線與桿08的夾角為三一夕

2

設(shè)小環(huán)。受輕線的拉力為彳，對其受力分析,

可得在水平方向上有了cos\^-e

|f|=M

故

11sin。

故答案為：J1.

sin。

11.如圖所示，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m,一艘船從A點(diǎn)出發(fā)航行到河對

岸，船航行速度的大小為卜iplOkm/h,水流速度的大小為卜-4km/h,設(shè)￡和西的

夾角。（0°<6<180）

（1）當(dāng)cos。多大時，船能垂直到達(dá)對岸？

（