特殊三角形（精講精練）（解析版）-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點資料歸納

第15講特殊三角形（精講）

理解線段垂直平分線的概念

2.探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端

的距離相等；反之，到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上

3.了解等腰三角形的概念

4.探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等；底邊上的高

線、中線及頂角平分線重合

5.探索并證明等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形

6.探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60°

7.探索等邊三角形的判定定理：三個角都相等的三角形（或有一個角是60°的

等腰三角形）是等邊三角形

8.了解直角三角形的概念

9.探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個銳角互余

10.探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半

11.探索勾股定理、勾股定理的逆定理

12.能運用勾股定理及其逆定理解決一些簡單的實際問題

13.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理

14.了解三角形重心的概念

國考支“I

第15講特殊三角形(精講)...........................................................1

考點1:等腰三角形及其計算.......................................................2

考點2:等邊三角形及其計算......................................................14

考點3：角平分線與垂直平分線....................................................23

考點4：直角三角形及其計算......................................................35

課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖..............................................................50

分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固..........................................................51

昌M鍵極值

考點1:等腰三角形及其計算

(1)性質(zhì)

①等邊對等角：兩腰相等，底角相等，即N8=NC；

②三線合一：頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合;

③對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，直線力。是對稱軸.

（2）判定

①定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；

②等角對等邊：即若/8=NC,則△/BC是等腰三角形.

應(yīng)三班學(xué)病筆記

IBM-w

?二圓的敗林布

【例題精析1】｛等腰三角形的性質(zhì)★）如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操

作方法是：從電線桿上一點N往地面拉兩條長度相等的固定繩與ZC,當(dāng)固定

點8,C到桿腳E的距離相等，且8,E,C在同一直線上時，電線桿。E就垂直于BC,

工程人員這種操作方法的依據(jù)是（）

D

C.垂線段最短D.等腰三角形“三線合一”

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：???28=NC,BE=CE,;.AE1BC,故工程人員這種操作方法的依據(jù)是等腰

三角形“三線合一”，故選：D.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例題精析2】｛等腰三角形的性質(zhì)★｝如圖，在A4BC中，ED//BC,48C和乙1C3

的平分線分別交應(yīng)＞于點G、F,若尸G=3,9=6,則EB+OC的值為（）

【分析】由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得NEG8=NE8G,NDFC=NDCF,從而

EB=EG,DC=DF,從而解決問題.

【解答】解：vDE//BC,ZEGB=ZCBG,NDFC=NBCF,:NZ8C和NZC8的平分

線分別交即于點G、F,ZEBG=ZCBG,ADCF=NBCF,z.ZEGB=NEBG,

NDFC=ZDCF,

EB=EG,DC=DF,■：FG=3,ED=6,EB+DC=EG+DF=EG+GD+FG

=ED+FG=6+3=9,故選：C.

【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，

證明EB=EG,。/是解題的關(guān)鍵.

【例題精析3】｛等腰三角形的性質(zhì)如圖，在A/18C中，4。平分NA4C,DEHAC,

AB=1cm,BD=3cm,則ABDE的周長為（）

E

BDC

A.\3cmB.10cmC.4cmD.1cm

【分析】根據(jù)角平分線的定義得到NEAD=ZCAD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到乙IDE=ZCAD,

求得=于是得到結(jié)論.

【解答】解：???力。平分Z8ZC,:.NE4D=NCAD,-.-DE//AC,ZADE=ACAD,

^EAD=ZADE,AE=DE,\BDE=DE+BE+BD=AE+BE+BD=AB+BD,

AB=1cm,BD=3cm,；.A8DE的周長為7+3=10(cm),故選：B.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握

等腰三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【例題精析4】｛等腰三角形的性質(zhì)如圖，已知N8=3O。，ZC=45°,ZBDC=150°,

￡LBD=CD=5,則/8=_5&_.

【分析】延長C。交48于E,根據(jù)NBDC=15O?？傻肗8OE=30。，求得4、8、C、都

在以點。為圓心半徑為5的圓上，解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：延長CD交于￡,?.?N8OC=150。，.,.N8OE=30。，NCE/=60。，

=75°,ZA=-ZBDC,:.A,B、C都在以點。為圓心半徑為5的圓上，

2

過。作。尸1ZC于尸，則/尸=C〃=1/C,ADC尸是等腰直角三角形，

2

CF=—CD=—,/C=5應(yīng)故答案為：572.

【點評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，解直角三角形，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【例題精析5】｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝ZUBC中，AB=AC,且/C上的中線8。把

這個三角形的周長分成了12c加和6c，〃的兩部分，求這個三角形的腰長8cm.

【分析】設(shè)ZO=CO=x,AB=AC=2x,BC=y,再分Z8+=12和ZB+NO=6兩種

情況進(jìn)行討論.

2x+x=12

【解答】解：T§：AD=CD=X,AB=AC=2x,BC=y,當(dāng)/8+/。=12時,

x+y=6

解得[I；

lr=2

當(dāng)48+/。=6時，fx+X=6,解得卜2不合題意，舍去)..這個三角形的腰長是,

[x+y=[2[y=10

故答案為：8.

【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，在解答此題時要注意進(jìn)行分類討論.

【例題精析6】｛等腰三角形的性質(zhì)★★★｝如圖，在A/1BC中，N8=25。，ZJ=100°,

點P在A/I8C的三邊上運動，當(dāng)AP/C成為等腰三角形時，其頂角的度數(shù)是_100?；?/p>

55°或70°—

A

5^\

BC

【分析】作出圖形，然后分點P在上與8c上兩種情況討論求解.

【解答】解：①如圖1,點尸在N8上時，AP=AC,頂角為N/=100。，②?.?N8=25。，

ZJ=100°,ZC=180o-25°-100o=55°,如圖2,點尸在BC上時，若AC=PC,頂角

為NC=55。，如圖3,若4C=AP,則頂角為NC4尸=180。-2NC=180。-2x55。=70。，綜

上所述,頂角為100。或55。或70。.故答案為：100?；?5?；?0。.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定，難點在于要分情況討論求解，作出圖形更形象直觀.

【例題精析7】｛等腰三角形的性質(zhì)★★★｝在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，已

知點2(2,-1),在x軸上確定一點尸，使得MOP為等腰三角形，則符合條件的點尸有

4個.

【分析】使A4O尸為等腰三角形，只需分兩種情況考慮：。/當(dāng)?shù)走吇虍?dāng)腰.當(dāng)是底

邊時，則點尸即為。/的垂直平分線和x軸的交點；當(dāng)。/是腰時，則點P即為分別以。、A

為圓心，以。1為半徑的圓和X軸的交點（點。除外）.

【解答】解：（1）若40作為腰時，有兩種情況，當(dāng)/是頂角頂點時，P是以力為圓心，以

。力為半徑的圓與x軸的交點，共有1個；當(dāng)。是頂角頂點時，尸是以。為圓心，以。/為

半徑的圓與X軸的交點，有2個；

（2）若。是底邊時，尸是0/的中垂線與x軸的交點，有1個.

以上4個交點沒有重合的.故符合條件的點有4個.故答案為4.

【點評】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及等腰三角形的判定；對于底和腰不等的等腰三

角形,若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時,應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論.

分對上利珠

【對點精練11{等腰三角形的性質(zhì)★★}“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘

人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角.這個三等分角儀由兩根

有槽的棒04,。8組成，兩根棒在。點相連并可繞。轉(zhuǎn)動，C點固定，0C=CD=DE,

點。、E可在槽中滑動.若N8DE=75。，則N8E的度數(shù)是_80。_.

圖①圖②

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得NO=NC。。，2。(7￡：=/?！辏?。，由外角性質(zhì)可得/0=25。，

即可求解.

【解答】解：OC=CD=DE,ZO=ZCDO,ADCE=ZDEC,

ZDCE=N。+ZCDO=2ZO,

ZDEC=2ZO,ZBDE=NO+NDEC=3NO=75°,NO=25°，二NDCE=ZDEC=50°,

ZCDE=80°,故答案為：80°.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是

本題關(guān)鍵.

【對點精練2]｛等腰三角形的性質(zhì)★★★｝若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是

45°,則一個底角為_67.5?；?2.5。_.

【分析】先知三角形有兩種情況(1)(2),求出每種情況的頂角的度數(shù)，再利用等邊對等角

的性質(zhì)(兩底角相等)和三角形的內(nèi)角和定理，即可求出底角的度數(shù).

【解答】解：有兩種情況；(1)如圖當(dāng)A48C是銳角三角形時，BD上AC于D,

則2408=90。,已知N/8￡>=45°,A=90°-45°=45°,vAB=AC,

NABC=ZC=1x(180°-45°)=67.5°；

(2)如圖，當(dāng)AEFG是鈍角三角形時，F(xiàn)H1EG于H,則/F，E=90。，已知/印花=45。，

:.NHEF=90°-45°=45°,NFEG=180°-45°=135°,?:EF=EG,:.ZEFG=ZG,

=1X(180°-135°),=22.5。，.?.等腰三角形的底角是67.5。或22.5。.故答案為：67.5?；?2.5。.

【點評】本題考查了三角形有關(guān)高問題有兩種情況的理解和掌握，能否利用三角形的內(nèi)角和

定理和等腰三角形的性質(zhì)，知三角形的一個角能否求其它兩角.

【對點精練3】｛等腰三角形的性質(zhì)★★★｝在四4人8(3中，ZC=90°,BC=Scm,

AC=6cm,在射線8C上有一點。，若以/、D、8為頂點的三角形恰為等腰三角形,

25

則BD=_—或10或16.

【分析】當(dāng)ABC。為等腰三角形時應(yīng)分當(dāng)￡>是頂角頂點，當(dāng)8是頂角頂點，當(dāng)/是頂角的

頂點三種情況進(jìn)行討論，利用勾股定理求得5。的長，從而求解.

【解答】解:①如圖1,當(dāng)時，在RtAACD中，根據(jù)勾股定理得到：AD2=AC2+CD2,

即=(8-802+62,解得，BD=—(cm),則②如圖2,當(dāng)48=8。時.

4

在RtAABC中，根據(jù)勾股定理得到：AB=-jAC2+BC2=10,:.BD=\0；

③如圖3,當(dāng)時，BD=2BC=16,綜上所述，8。的值是：一或10或16；

4

故答案是：”或10或16.

4

【點評】本題考查了勾股定理，等腰三角形的判定.解題時.，注意要分類討論，以防漏解.另

外，解題過程中，采用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.

【對點精練4】｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點力,8分別

在y軸和x軸上，480=60。，在坐標(biāo)軸上找一點尸，使得AP/B是等腰三角形，則

符合條件的點尸共有6個.

r

BO\x

【分析】分類討論：［8=力。時，AB=BP^\,力尸=8P時.，根據(jù)兩邊相等的三角形是等腰

三角形，可得答案.

【解答】解：①當(dāng)48=40時，在y軸上有2點滿足條件的點尸，在x軸上有1點滿足條件

的點尸.

②當(dāng)48=8尸時，在y軸上有1點滿足條件的點P,在x軸上有2點滿足條件的點P,有1

點與4?=/尸時的x軸正半軸的點尸重合.③當(dāng)4尸=8P時，在x軸、y軸上各有一點滿足

條件的點尸，有1點與=時的x軸正半軸的點P重合.綜上所述：符合條件的點P共

有6個.故答案為：6.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，把所有可能的情況都找出來，不遺漏掉任何

一種情況是本題的關(guān)鍵.

【對點精練5】｛等腰三角形的性質(zhì)★★｝如圖，在A/I8C中，DEI/BC,48c和4c8

的平分線分別交?！暧邳c尸，G,若BE=5,DC=7,DE=9,則FG=3

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NEF8=NFBC,ZDGC=ZGC5，由角平分線的定義得到

ZFBC=NFBE,AGCB=ZGCD,于是得到BE=EF,CD=OG,代入數(shù)據(jù)即可得至U結(jié)論.

【解答】解：VED//BC,;"EFB=NFBC,NDGC=NGCB,;N/8C和4C8的平分

線分別交ED于點F、G,4FBC=ZFBE,NGCB=乙GCD,4EFB=ZEBF,

NDCG=NDGC,

：.BE=EF,CD=DG,?.?若8E=5,DC=1,DE=9,

EB+CD=EF+DG=EG+FG+FG+DF=ED+FG,即5+7=9+FG,FG=3,故答

案為：3.

【點評】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識，解題

的關(guān)鍵是等腰三角形的證明，屬于基礎(chǔ)題.

【對點精練6】｛等腰三角形的性質(zhì)如圖，以等邊A48c的邊4c為腰作等腰

\CAD,使=連接8。，若NC8O=40。，則N80C的度數(shù)為30。.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：YA48c是等邊三角形，.?.N/C8=60。，?.?/C=ZO,.?.4CZ)=N/Z)C,

設(shè)NRCO=N/Z)C=a,則NBC。=60°+a,vZ.DBC=40°,ZJ5D=60°-40°=20°,

vAB=AC=AD,ZADB=ZABD=20°,z.ZBDC=180°-40°-(60°+a)=a-20°,

.-.a=50°,:.ZACD=ZADC=50°,ZBDC=\S00-ZDBC-ZDCB=30°.故答案為：30.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【對點精練7】｛等腰三角形的性質(zhì)***2。2。秋?崇川區(qū)校級期中)已知：如圖，AABC

中，BD平分NABC,CD平分Z.ACB,過D作直線平行于BC,交AB、AC于E、F.求

證：

(1)ADFC是等腰三角形；(2)EF=BE+CF.

D

B"-----------------------

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，解出AC"）是等腰三角形；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，解出ME。是等腰三角形，通過等量代換即可

得出結(jié)論.

[解答】證明：（1）-：CD平分ZACB,:.AFCD=ZBCD,EFIIBC,ZFDC=/BCD,

ZFCD=ZFDC,DF=FC,ADFC是等腰三角形；（2）;8。平分ZABC,

NEBD=NCBD，:EFIIBC,NEDB=Z.CBD,NEBD=NEDB,DE=BE,由（1）

得，DF=FC,EF=DE+DF=BE+CF.

【點評】本題綜合考查等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)；一般是利用等腰（等邊）三角形

的性質(zhì)得出相等的邊，進(jìn)而得出結(jié)論.進(jìn)行等量代換是解答本題的關(guān)鍵.

【實戰(zhàn)經(jīng)典1]（2021?本溪）如圖，在A/I8C中，AB=BC,由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得

到的射線8。與ZC交于點E,點尸為8c的中點，連接EF,若BE=AC=2,貝必CEF

的周長為（）

C.75+1D.4

【分析】由題意得8E是乙48C的平分線，再由等腰三角形的性質(zhì)得,

AE=CE=-AC=[,由勾股定理得8。=褥，然后由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得

2

EF=-BC=BF=CF,求解即可.

2

【解答】解：由圖中的尺規(guī)作圖得：BE是448c的平分線，?：AB=BC,BE工AC,

AE=CE=-AC=\,

2

ZBEC=90°,BC7BE2+CE?=J22+產(chǎn)=?,?.?點尸為8c的中點，

:.EF=-BC=BF=CF,

2

ACE尸的周長=C1尸+EF+CE=CF+BF+CE=8C+CE=5/^+1,故選：C.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理、尺規(guī)作

圖等知識；熟練掌握尺規(guī)作圖和等腰三角形的性質(zhì)，證出E尸=18C=8/=C尸是解題的關(guān)

2

鍵.

【實戰(zhàn)經(jīng)典2】（2020?福建）如圖，是等腰三角形48c的頂角平分線，BD=5,則

CD等于（）

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：?.?4。是等腰三角形/3C的頂角平分線，BD=5,:.CD=5.故選：B.

【，點:評】考查了等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高

相互重合.

【實戰(zhàn)經(jīng)典3】（2020?自貢）如圖，在RtAABC中，乙4c8=90。，乙4=50。，以點B為

圓心，8c長為半徑畫弧，交AB于點、D,連接C。，則乙ICD的度數(shù)是（）

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：?.?在RtAABC中，ZACB=90°,ZJ=50°,ZB=40°,vBC=BD,

ZBCD=ZBDC=（180°-40°）=70°,N4C。=90。-70。=20。，故選：D.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確的理解題意是解題的關(guān)

鍵.

【實戰(zhàn)經(jīng)典4]（2021?牡丹江）過等腰三角形頂角頂點的一條直線，將該等腰三角形分

成的兩個三角形均為等腰三角形，則原等腰三角形的底角度數(shù)為_36。或45。_.

【分析】首先根據(jù)題意畫出符合題意的所有圖形，然后利用等腰三角形求解即可求得答案.

【解答】解：（1）如圖，A4BC中，AB=AC,BD=AD,AC=CD,求448c的度數(shù).

vAB=AC,BD=AD,AC=CD,:.NABC=NC=NBAD,NCDA=NCAD,

???NCDA=2ZABC,NC4B=32ABe,ABAC+N8+NC=180。，5ZABC=180°,

NABC=36°,

（2）如圖，A48c中，AB=AC,AD=BD=CD,求乙48c的度數(shù).

;AB=AC,AD=BD=CD,AB=AC=ADAC=ZDABABAC=2ZABC,

,.?ZR4C+Z8+NC=180。，..4N/BC=180°,ZABC=45°,故答案為：36°或45°.

【點評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運

用.注意分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.

【實戰(zhàn)經(jīng)典5】（2021?紹興）如圖，在A/48c中，AB=AC,ZB=70°,以點C為圓心,

C4長為半徑作弧，交直線8c于點尸，連結(jié)工尸，則/歷1尸的度數(shù)是_15?；?5。_.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到A/4BC各內(nèi)角的關(guān)系，然后根據(jù)題意，畫出圖形,

利用分類討論的方法求出NBAP的度數(shù)即可.

【解答】解：如右圖所示，

當(dāng)點P在點8的左側(cè)時，

VAB=AC,AABC=70°,NACB=NABC=僭，

ABAC=180°-NACB-NABC=180°-70°-70°=40°,-/CA=CP.,

ZCAP、=印=一丁"=180；70。=59

4BAP、=NC/[-ACAB=55°-40°=15°；

當(dāng)點尸在點。的右側(cè)時，

vAB=AC,AABC=70°,NACB=ZABC="。,

ABAC=180°-NACB-/ABC=180°-70°-70°=40°,

//70。

?/CA=CP2,ZCAP2=ZCP2A=—y-=—=35。，

ZBAP2=ZCAP2+ZCAB=35°+40°=75°；由上可得，尸的度數(shù)是15?；?5。，故答案

為：15°或75°.

【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是畫出合適的輔助線，利

用分類討論的方法解答.

囹國敘我值

考點2：等邊三角形及其計算

(1)性質(zhì)

①邊角關(guān)系：三邊相等，三角都相等且都等于60。.

即AB=BC=AC,NBAC=NB=ZC=60°；

②對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，三條高線(或角平分線或中線)所在的直線是對稱軸.

⑵判定

①定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形；

A

60?！?/p>

1

BDC

②三個角都相等（均為60。）的三角形是等邊三角形；

③任一內(nèi)角為60。的等腰三角形是等邊三角形.即若N8=ZC,且N8=60。，則△/8C是等

邊三角形.

匚應(yīng)例必幫新

【例題精析1】｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖，已知等邊三角形48c紙片，點E在4c邊

上，點尸在邊上，沿屏1折疊，使點/落在8c邊上的點。的位置，且￡Z>_L8C,

貝此￡尸￡>=_45。_.

【分析】由翻折的性質(zhì)可知N/FE=NE/*,在RtAEDC中，由三角形內(nèi)角和求解即可.

【解答】解：由翻折的性質(zhì)可知：NAFE=NEFD.MBC為等邊三角形,

.?"=60。，ZC=60°,=ZEDF=60°.?:ED1BC,

\EDC為直角三角形，ZFDB=30°,ZAFE+ZEFD=60°+30°=90°,

ZEFD=45°.故答案為：45°

【點評】本題主要考查是翻折的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)解答.

【例題精析2】｛等邊三角形的性質(zhì)★｝將一張等邊三角形紙片/8C和一塊直角三角板

（其中ND8C=45°）按如圖所示的位置擺放.若BD=?,則點N和點。之間

的距離為瓜1.

【分析】要求點力和點。之間的距離，所以想到連接力。，由于△ZBC與都是等

腰三角形，想到等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)，進(jìn)而延長/。交8c于點E,最后放

在兩個直角三角形中解決即可.

【解答】解：連接并延長力。交8c于點E,

是等邊三角形，：.AB=AC,ZABC=60°,:'NBDC=90°,NDBC=45°,

:.NDCB=90°-NDBC=45°,：.DB=DC,二/。是8c的垂直平分線，

BPAELBC,BE=EC,在RtABOE中，sin45°=些，cos45°=越，

BDBD

.?.￡>E=V5；in45°=1,8E=V^cos45°=1,在RtZX/BE中，tan60°=幽，

BE

：.AE=BEtan60°=百，:.AD=AE-DE=?-1,故答案為：我-1.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的“三線合一”的應(yīng)用是解題的關(guān)

鍵.

【例題精析3】｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖，在&48c中，AB=AC,BEVAC,\BDE

是等邊三角形，若4。=4,則線段8E的長為4.

c

ADB

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可以得到ND8E的度數(shù)和=再根據(jù)直角三角形

的性質(zhì)，可以得到AB和BE的關(guān)系，然后根據(jù)AD=4,即可求得AB的長，從而可以得到BE

的長.

【解答】解：???△8DE是等邊三角形，

BE=BD,AEBD=60°,-：BEVAC,ZAEB=90°,，4=30°,;.AB=2BE,

AB=2BD,

AD=BD,-：AD=4,BD=4,J5=8,:.BE=4,故答案為：4.

【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、30。角所對的直角邊與斜邊的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的

思想解答是解答本題的關(guān)鍵.

【例題精析4】｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖：等邊三角形48。中，BD=CE,AD與BE

相交于點P,則N/PE的度數(shù)是（）

【分析】根據(jù)題目已知條件可證=再利用全等三角形的性質(zhì)及三角形外角和

定理求解.

【解答】解：?.?等邊418C,

N4BD=NC,AB=BC,

AB=BC

在\ABD與\BCE中，-2ABD=ZC,

BD=CE

\ABD=ABCE(SAS),

NBAD=NCBE,

?;N4BE+NEBC=60°,

NABE+ABAD=60°,

NAPE=N4BE+NBAD=60°,

Z/1P￡=6O°.

故選：C.

【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用等邊三角形的性質(zhì)來為三角形全等的判定

創(chuàng)造條件，是中考的熱點.

【例題精析5】｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖，&48c是等邊三角形，AQ=PQ,PRVAB

于點尺，PS1/C于點S,PR=PS,則下列結(jié)論：①點P在N4的角平分線上；②

AS=AR；③QPUAR；@\BRP^\QSP.正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上可得/尸平分N84C,從而判斷出

①正確，然后證明出A4PA與AJPS全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得到②正確，然

后根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得=然后得至=然后根據(jù)內(nèi)錯角

相等兩直線平行可得。尸///8,從而判斷出③正確；④由A5PRWACPS,\BRP=\QSP,

即可得到④正確.

【解答】解：???A/18C是等邊三角形，PR1AB,PS1AC,且PR=PS,

在N/1的平分線上，故①正確；

PA=PA,PS=PR,

RtAAPR=RtAAPS(HL),

AS=AR,故②正確；

■：AQ=PQ,

APQC=2NPAC=60°=ABAC,

:.PQHAR,故③正確；

由③得，APQC是等邊三角形，

\PQS=\PCS,

又由②可知，?\BRP=^QSP,故④也正確，

?.?①②③④都正確，

故選：D.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確識圖并熟練掌握全等

三角形的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

分對量刑住

【對點精練1】｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖，在A48C中，AB=AC,點E是A45C內(nèi)

一點，點尸在8c上，ME尸是等邊三角形，作乙B4C的平分線交EF于點。，若

BE=6cm,DE=2cm,則BC=8。陽.

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到"=E/=8E=6cm,NEFB=60°,求得

DF=EF-DE=4cm,AB=AC,NG是NA4c的平分線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到

FG=-DF=2cm,于是得到答案.

2

【解答】解：ABEF是等邊三角形，，BF=EF=BE=6cm,ZEFB=60°，?:DE=2cm,

DF=EF-DE=4cm,AB=AC,/G是N8/C的平分線，/.BG=CG,AGLBC,即

Z.DGF=90°，

ZFDG=90°-ZEFB=90°-60°=30°,FG=-DF=2ctn,，BG=BF—FG=4cm,

2

BC=2BG=icm.故答案為:8.

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含30。直角三角形的性質(zhì)，

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證得ADFG是30。直角三角形是解決問題的關(guān)

鍵.

【對點精練2】｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖，已知。是等邊ZU8C內(nèi)一點，DB=DA,

BE=BA,NDBE=NDBC,則NBED=_30°

A

【分析】連接CD,證明ASCDMASE。和A4CZ)=&DC8,然后由乙4c8=60。，可得

NBED=NDCB=30°.

【解答】解：連接C。，

Az48c為等邊三角形，AB=BC=AC,NCBA=NBAC=NACB=60°,

?：BE=AB,BE=BC,又?；NCBD=ZDBE,BD=BD,

\BCD=ABED(SAS),ABED=ADCB,-：BD=AD,BC=AC,DC=DC,

\ACD=M)CB(SSS),ZACD=/LDCB,vZJCS=60°,ABED=ZDCB=30°.故答

案為：30°.

【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是通過添加輔助線，根據(jù)全等三角形的判定

及性質(zhì)求解.

【對點精練3】｛等邊三角形的性質(zhì)★｝如圖，&48C是等邊三角形，點。在8c的延長

線上，點￡是/C的中點，連接。E并延長交于點產(chǎn)，且CE=C￡>,若EF=2,則

的長為()

A.3B.4C.5D.6

【分析】由A48C是等邊三角形，點E是ZC的中點，得N48C=N/CB=60。，AABE=30°,

根據(jù)C￡=CL>,得ZD=30。，故Z8/*=90。，在RtABEF中，BF=26,在RtABFD中，

BD=2BF=4^3,DF=《BD2-BF?=6,即可得答案.

【解答】解：?.,A48C是等邊三角形，點￡是ZC的中點，.?.48C=NNC8=60。，48E=30。,

CE=CD,ZD=30°,.^.N5E。=180°-NN3C-N。=90°,在RtABEF中，BE=2EF=4,

BF=<BE?-EF"=26,在RtABFD中，BD=1BF=473,DF=yjBD2-BF2=6,故選：

D.

【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證明N8ED=90。，從而用勾股

定理解決問題.

【對點精練4】｛等邊三角形的性質(zhì)★★★)如圖，在四邊形N3C。中，AB=2,BC=BD,

ZADC=150°,ZDCB=60°,則/C的最大值是_+1

【分析】以“8為邊作等邊AJ8E,連結(jié)EC,根據(jù)題意得到AZJCB為等邊三角形，

ZADB=90°,進(jìn)而利用S/S證明=AE8C,得出N/O8=NEC8=90。，從而得出動

點C在以BE為直徑的0。上，連結(jié)4。并延長交0。于點U,得出/。是/C的最大值，

在等邊ZUBE中，根據(jù)三線合一的性質(zhì)求出幺。的長，進(jìn)而得到NC.

【解答】解：如圖，以Z8為邊作等邊A/18E,連結(jié)EC,

AB=BE=AE,ZABE=NEAB=NAEB=60°,

BC=BD,NDCB=60°,

AZ)C8為等邊三角形,

BD=BC=CD,ZDCB=ZCDB=NDCB=60°,

Z/4￡)C=150°,

NADB=NADC-ZCDB=150°-60°=90°,

在\ABD和\EBC中,

AB=EB

</ABD=ZEBC=60°-ZDBE,

BD=BC

??.MBD=\EBC（SAS），

NADB=4ECB=90°,

在中，EB=AB=2,Z￡CB=90°,

以BE為直徑作。O,則半徑為1BE=1,

2

動點C在以BE為直徑的。。上，連結(jié)4。并延長交。。于點C,

AC..AC'=AO+OC'-AO+\,

在等邊A48E中，AB=2,。為的中點，

AO=^AB--BO-=V22-l2=y/3,

:.AC'=y/3+\,

即4c的最大值為百+1,

故答案為：6+1*

【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形的性質(zhì)及確定4c是ZC的最大值

是解題的關(guān)鍵.

X住兵?疆

【實戰(zhàn)經(jīng)典1]（2020?銅仁市）已知等邊三角形一邊上的高為26，則它的邊長為（

）

A.2B.3C.4D.4G

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：三線合一，利用勾股定理求解即可.

【解答】解：根據(jù)等邊三角形：三線合一，設(shè)它的邊長為x,可得：x2=（j）2+（2V3）2,

解得：x=4,x=-4（舍去），故選：C.

【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，較為簡單，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理.

【實戰(zhàn)經(jīng)典2]（2018?福建）如圖，等邊三角形N8C中，ADVBC,垂足為。，點E在

線段/。上，NEBC=45°,則乙4CE等于（）

A

A.15°B.30°C.45°D.60°

【分析】先判斷出/。是8c的垂直平分線，進(jìn)而求出NEC8=45。，即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.?等邊三角形/8C中，AD1BC,:.BD=CD,即：是8C的垂直平分線,

?:點、E在AD上，：.BE=CE,;.NEBC=NECB,?:NEBC=45。，；.NECB=45。,,:\ABC

是等邊三角形，

ZACB=60°,ZACE=ZACB-ZECB=15°,故選：A.

【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì),

求出NECB是解本題的關(guān)鍵.

島知鑰粗理

考點3：角平分線與垂直平分線

①角平分線

(1)性質(zhì)：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.即若

Z1=N2,PA±OA,PBLOB,則以=P8.

(2)判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的角平

分線上.

4

②垂直平分線

(1)性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩端點距離相等.即若。尸垂直且平分

AB,則

(2)判定：到一條線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

n

學(xué)有筆記

匕向的融我?guī)?/p>

【例題精析1】｛垂直平分線的性質(zhì)★★｝如圖，在A48c中，的垂直平分線交5c于

D,/C的中垂線交2C于E,NB4c=124°,則ND4E的度數(shù)為()

C.66°D.56°

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N8+NC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到。/

得到=同理可得，NEqNC,結(jié)合圖形計算，得到答案.

【解答】解：N8+NC=18()o-Z8/C=56。，?.?28的垂直平分線交8c于。，DA=DB,

:.ZDAB=NB,T/C的中垂線交8c于E,EA=EC,:.NE4C=NC,

ZDAE=ABAC-(ZDAB+ZEAC)=124°-56°=68°,故選：A.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分

線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

【例題精析2】｛垂直平分線的性質(zhì)如圖，在A/J8C中，和4c的垂直平分線

分別交于點。，E,且點。在點E的左側(cè)，BC=6cm,則A4ZJE的周長是（）

A.3cmB.12cmC.9cmD.6cm

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EC,根據(jù)三角形的周長公式

計算即可.

【解答】解：???/B和/C的垂直平分線分別交8c于點。，E,

DA=DB,￡4=EC,的周長="+?！辏?￡/=。8+。￡：+￡^=3。=6?！?，故選：

D.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端

點的距離相等.

【例題精析3】｛垂直平分線的性質(zhì)★★｝如圖，在A48c中，/是三角形角平分線的交

點，。是三邊垂直平分線的交點，連接4,BI,AO,BO,若2/08=140。，則N//B

的大小為（）

【分析】連接CO,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NO48+NOB/,根據(jù)線段垂直平分線的性

質(zhì)得到O4=0C,OB=OC,進(jìn)而得至ljNOCZ=NOZC,NOCB=NOBC,求出

NCAB+NCB4,根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案.

【解答】解：連接CO,

???408=140°,

NOAB+AOBA=180°-140°=40°,

ZOCA+ZOAC+NOCB+NOBC=180°-40°=140°,

???。是三邊垂直平分線的交點，

OA=OC,OB=OC,

ZOCA=AOAC,NOCB=NOBC,

ZOCA+ZOCB=70°,

NCAB+ZCBA=180°-70o=110°,

平分N5/C,B/平分乙4BC,

NL4B=-NC4B,NIBA=-NCB4,

22

AIAB+AIBA=g(NG48+NCB4)=55°,

ZJ/B=180°-55°=125°,故選：D.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分

線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

船對魚利珠

【對點精練1】｛垂直平分線的性質(zhì)★★｝如圖，在AJ8C中，8c=10,N8的垂直平

分線交8C'于。，/C的垂直平分線交8C與E,則A40E的周長等于10.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得">=8。，AE=EC,進(jìn)而可得

AD+ED+AE=BD+DE+EC,從而可得答案.

【解答】解：???”的垂直平分線交BC于。，.?.40=皿，?.?/C的垂直平分線交BC與￡,

AE=CE,?：5C=10,BD+CE+DE=\0,AD+ED+AE=\Q,MDE的周長為

10,

故答案為：10.

【點評】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點，

到線段兩端點的距離相等.

【對點精練2】｛角平分線的性質(zhì)★★｝如圖，在A/18C中，ZC=90°,4D平分NBAC,

若8=2,AB=5,則A4BD的面積為5.

D

［分析］過點。作。E，43于E,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=CD,

再利用三角形的面積公式列式計算即可得解.

【解答】解：如圖，過點。作于E,???NC=90。，AD平分NBAC,DE=CD=2,

的面積=1/8.DE=1x5x2=5.故答案為：5.

22

【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)

并求出AB邊上的高是解題的關(guān)鍵.

【對點精練3】｛角平分線的性質(zhì)★★｝如圖所示，點。是A48c內(nèi)一點，B0平分NABC,

ODLBC于點D,連接04,若0。=5,AB=2