甘肅省徽縣三中2025屆數(shù)學高二上期末經(jīng)典試題含解析

甘肅省徽縣三中2025屆數(shù)學高二上期末經(jīng)典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知命題：，；命題：，.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.2．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且當時，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.3．已知直線，，若，則實數(shù)（）A. B.C.1 D.24．在空間直角坐標系中，，，若∥，則x的值為（）A.3 B.6C.5 D.45．過拋物線的焦點的直線交拋物線于不同的兩點，則的值為A.2 B.1C. D.46．已知直線l與拋物線交于不同的兩點A，B，O為坐標原點，若直線的斜率之積為，則直線l恒過定點（）A. B.C. D.7．已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，線段的垂直平分線過，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（）A. B.3C.6 D.8．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.9．下列函數(shù)求導錯誤的是（）A.B.C.D.10．已知等差數(shù)列為其前項和，且，且，則（）A.36 B.117C. D.1311．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.且12．若數(shù)列滿足，則的值為（）A.2 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓錐的側(cè)面積為，若其過軸的截面為正三角形，則該圓錐的母線的長為___________.14．已知橢圓：的右焦點為，且經(jīng)過點（1）求橢圓的方程以及離心率；（2）若直線與橢圓相切于點，與直線相交于點．在軸是否存在定點，使？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由15．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，第1，2項與第10，11項的和為68，則數(shù)列的通項公式是________.16．已知p：“”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的長軸在軸上，長軸長為4，離心率為，（1）求橢圓的標準方程，并指出它的短軸長和焦距.（2）直線與橢圓交于兩點，求兩點的距離.18．（12分）已知橢圓：的一個焦點坐標為，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標原點，橢圓與直線相交于兩個不同的點A、B，線段AB的中點為M.若直線OM的斜率為-1，求線段AB的長；（3）如圖，設(shè)橢圓上一點R的橫坐標為1（R在第一象限），過R作兩條不重合直線分別與橢圓交于P、Q兩點、若直線PR與QR的傾斜角互補，求直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.19．（12分）在對某老舊小區(qū)污水分流改造時，需要給該小區(qū)重新建造一座底面為矩形且容積為324立方米的三級污水處理池（平面圖如圖所示）.已知池的深度為2米，如果池四周圍墻的建造單價為400元/平方米，中間兩道隔墻的建造單價為248元/平方米，池底的建造單價為80元/平方米，池蓋的建造單價為100元/平方米，建造此污水處理池相關(guān)人員的勞務(wù)費以及其他費用是9000元.（水池所有墻的厚度以及池底池蓋的厚度按相關(guān)規(guī)定執(zhí)行，計算時忽略不計）（1）現(xiàn)有財政撥款9萬元，如果將污水處理池的寬建成9米，那么9萬元的撥款是否夠用？（2）能否通過合理的設(shè)計污水處理池的長和寬，使總費用最低？最低費用為多少萬元？20．（12分）已知函數(shù)的兩個極值點之差的絕對值為.（1）求的值；（2）若過原點的直線與曲線在點處相切，求點的坐標.21．（12分）如圖甲是由正方形，等邊和等邊組成的一個平面圖形，其中，將其沿，，折起得三棱錐，如圖乙.（1）求證：平面平面；（2）過棱作平面交棱于點，且三棱錐和的體積比為，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知圓.（1）求過點M（2，1）的圓的切線方程；（2）直線過點且被圓截得的弦長為2，求直線的方程；（3）已知圓的圓心在直線y=1上，與y軸相切，且與圓相外切，求圓的標準方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用基本不等式判斷命題的真假，由不等式性質(zhì)判斷命題的真假，進而確定它們所構(gòu)成的復合命題的真假即可.【詳解】由，當且僅當時等號成立，故不存在使，所以命題為假命題，而命題為真命題，則為真，為假，故為假，為假，為真，為假.故選：C2、B【解析】由可得，利用導數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，由此比較函數(shù)值的大小確定正確選項.【詳解】∵∴，當時，，∴，故∴在內(nèi)單調(diào)遞增，又，∴，所以故選：B3、D【解析】根據(jù)兩條直線的斜率相等可得結(jié)果.【詳解】因為直線，，且，所以，故選：D.4、D【解析】依題意可得，即可得到方程組，解得即可；【詳解】解：依題意，即，所以，解得故選：D5、D【解析】本題首先可以通過直線交拋物線于不同的兩點確定直線的斜率存在，然后設(shè)出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立，求出以及的值，然后通過拋物線的定義將化簡，最后得出結(jié)果【詳解】因為直線交拋物線于不同的兩點，所以直線的斜率存在，設(shè)過拋物線的焦點的直線方程為，由可得，，因為拋物線的準線方程為，所以根據(jù)拋物線的定義可知，，所以，綜上所述，故選D【點睛】本題考查了拋物線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了拋物線的定義、過拋物線焦點的直線與拋物線相交的相關(guān)性質(zhì)，考查了計算能力，是中檔題6、A【解析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到，進而得到的值，將直線的斜率之積為，用A,B點坐標表示出來，結(jié)合的值即可求得答案.【詳解】設(shè)直線方程為，聯(lián)立，整理得：，需滿足，即，則，由，得：，所以，即，故，所以直線l為：，當時，，即直線l恒過定點，故選：A.7、C【解析】利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長軸長表示，再利用均值不等式得到答案【詳解】設(shè)橢圓長軸，雙曲線實軸，由題意可知：，又，，兩式相減，可得：，，.，，當且僅當時取等號，的最小值為6，故選：C【點睛】本題考查了橢圓雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長軸長表示是解題的關(guān)鍵，意在考查學生的計算能力8、A【解析】先求定義域，再由導數(shù)小于零即可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由得，所以函數(shù)的定義域為，又，因為，所以由得，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.9、C【解析】每一個選項根據(jù)求導公式及法則來運算即可判斷.【詳解】對于A，，正確；對于B，，正確；對于C，，不正確；對于D，，正確.故選：C10、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列下標的性質(zhì)，，進而根據(jù)條件求出，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和下標性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數(shù)列，所以，又，又，聯(lián)立方程組解得：.于是，.故選：B.11、A【解析】根據(jù)雙曲線定義，且焦點在y軸上，則可直接列出相關(guān)不等式.【詳解】若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則必有：，且解得：故選：12、C【解析】通過列舉得到數(shù)列具有周期性，，所以.詳解】，同理可得：，可得，則.故選:C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用圓錐的結(jié)構(gòu)特征及側(cè)面積公式即得.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線為l,又圓錐過軸的截面為正三角形，圓錐的側(cè)面積為，∴，∴.故答案為：.14、（1），；（2）存在定點，為【解析】（1）利用，，求解方程（2）設(shè)直線方程為，與橢圓聯(lián)立利用判別式等于0得，并求得切點坐標及，假設(shè)存在點，利用化簡求值【詳解】（1）由已知得，，，，橢圓的方程為，離心率為；（2）在軸存在定點，為使，證明：設(shè)直線方程為代入得，化簡得由，得，，設(shè)，則，，則，設(shè)，則，則假設(shè)存在點解得所以在軸存在定點使【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查切線的應用，利用判別式等于0得坐標是解決問題的關(guān)鍵,考查計算能力,是中檔題15、【解析】利用基本量結(jié)合已知列方程組求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為由題可知即因為，所以解得：所以.故答案為：16、【解析】根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化不等式在上有解，則，由此求解出的取值范圍.【詳解】因為“”為真命題，所以不等式在上有解，所以，所以，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），短軸長為，焦距為；（2）.【解析】（1）由長軸得，再由離心率求得，從而可得后可得橢圓方程；（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組求得交點坐標后可得距離【詳解】（1）由已知：，，故，，則橢圓的方程為：，所以橢圓的短軸長為，焦距為.（2）聯(lián)立，解得，，所以，，故18、（1）；（2）；（3）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長半軸長a即可計算得解.(2)將代入橢圓的方程，再結(jié)合給定條件求出k值即可計算出AB的長.(3)設(shè)出直線PR的方程，再與橢圓的方程聯(lián)立求出點P坐標，同理可得點Q坐標，計算PQ的斜率即可作答.【小問1詳解】依題意，橢圓的半焦距c=1，而，解得，則，所以橢圓的方程是：.【小問2詳解】由消去y并整理得：，解得，，于是得線段AB的中點，直線OM斜率為，解得，因此，，所以線段AB的長為.【小問3詳解】由(1)知，點，依題意，設(shè)直線PR的斜率為，直線PR方程為：，由消去y并整理得，，設(shè)點，則有，顯然直線QR的斜率為-t，設(shè)點，同理有，于是得直線PQ的斜率，所以直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.【點睛】方法點睛：求橢圓的標準方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定，的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程②待定系數(shù)法：若焦點位置明確，則可設(shè)出橢圓的標準方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點位置不明確，則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論.19、（1）不夠；（2）將污水處理池建成長為16.2米，寬為10米時，建造總費用最低，最低費用為90000元.【解析】（1）根據(jù)題意結(jié)合單價直接計算即可得出；（2）設(shè)污水處理池的寬為米，表示出總費用，利用基本不等式可求.【小問1詳解】如果將污水處理池的寬建成9米，則長為（米），建造總費用為：（元）因為，所以如果污水處理池的寬建成9米，那么9萬元的撥款是不夠用的.【小問2詳解】設(shè)污水處理池的寬為米，建造總費用為元，則污水處理池的長為米.則因為，等號僅當，即時成立，所以時建造總費用取最小值90000，所以將污水處理池建成長為16.2米，寬為10米時，建造總費用最低，最低費用為90000元.20、（1）；（2）.【解析】（1）求，設(shè)的兩根分別為，，由韋達定理可得：，，由題意知，進而可得的值；再檢驗所求的的值是否符合題意即可；（2）設(shè)，則，由列關(guān)于的方程，即可求得的值，進而可得的值，即可得點的坐標.【詳解】由可得：設(shè)的兩根分別為，，則，，由題意可知：，即，所以解得：，當時，，由可得或，由可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以為極大值點，為極小值點，滿足兩個極值點之差的絕對值為，符合題意，所以.（2）由（1）知，，設(shè)，則，由題意可得：，即，整理可得：，解得：或，因為即為坐標原點，不符合題意，所以，則，所以.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點為，連接，，證明，，即證平面，即證得面面垂直；（2）建立如圖空間直角坐標系，寫出對應點的坐標和向量的坐標，再計算平面法向量，利用所求角的正弦為即得結(jié)果.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點為，連接，.∵，∴.∵，，∴，同理.又，∴，∴.∵，，平面，∴平面.又平面，∴平面平面；（2）解：如圖建立空間直角坐標系，根據(jù)邊長關(guān)系可知，，，，，∴，.∵三棱錐和的體積比為，∴，∴，∴.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.設(shè)直線與平面所成角為，則.∴直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】方法點睛：求空間中直線與平面所成角的常見方法為：（1）定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；（2）等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點到面的距離，距離與斜線長的比值即線面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對值，即是線面成角的正弦值.22、（1）y=1；（2）x+y-2=0；（3）.【解析】(1)將圓的一般方程化為圓的標準方程，結(jié)合圖形即可求出結(jié)果；(2)根據(jù)題意可知直線過圓心，利用直