2025屆湖南省衡陽縣數學高二上期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2025屆湖南省衡陽縣數學高二上期末質量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結論正確的是()A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則2．我國的刺繡有著悠久的歷史，如圖，(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形個數越多刺繡越漂亮．現按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設第個圖形包含個小正方形，則的表達式為（）A. B.C. D.3．設集合，集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，則b等于（）A. B.C. D.5．已知數列{}滿足，且，若，則＝（）A.－8 B.－11C.8 D.116．已知函數的定義域為，若，則（）A. B.C. D.7．中共一大會址、江西井岡山、貴州遵義、陜西延安是中學生的幾個重要的研學旅行地.某中學在校學生人，學校團委為了了解本校學生到上述紅色基地研學旅行的情況，隨機調查了名學生，其中到過中共一大會址或井岡山研學旅行的共有人，到過井岡山研學旅行的人，到過中共一大會址并且到過井岡山研學旅行的恰有人，根據這項調查，估計該學校到過中共一大會址研學旅行的學生大約有（）人A. B.C. D.8．已知為偶函數，且當時，，其中為的導數，則不等式的解集為()A. B.C. D.9．已知向量，，若與共線，則實數值為（）A. B.C.1 D.210．（2017新課標全國卷Ⅲ文科）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A. B.C. D.11．已知斜三棱柱所有棱長均為2，，點、滿足，，則（）A. B.C.2 D.12．設是空間一定點，為空間內任一非零向量，滿足條件的點構成的圖形是（）A.圓 B.直線C.平面 D.線段二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓錐的側面積為，若其過軸的截面為正三角形，則該圓錐的母線的長為___________.14．若把英語單詞“”的字母順序寫錯了，則可能出現的錯誤有______種15．曲線的長度為____________.16．在平面直角坐標系中，直線與的交點為，以為圓心作圓，圓上的點到軸的最小距離為（Ⅰ）求圓的標準方程；（Ⅱ）過點作圓的切線，求切線的方程三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線，直線經過點且與直線平行，設直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點.（1）求點A和B的坐標；（2）若圓C經過點A和B，且圓心C在直線上，求圓C的方程.18．（12分）如圖，矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線在x軸上方的曲線上，求矩形面積最大時的邊長.19．（12分）進入11月份，大學強基計劃開始報名，某“五校聯盟”統(tǒng)一對五校高三學生進行綜合素質測試，在所有參加測試的學生中隨機抽取了部分學生的成績，得到如圖2所示的成績頻率分布直方圖：（1）估計五校學生綜合素質成績的平均值和中位數；(每組數據用該組的區(qū)間中點值表示)（2）某校決定從本校綜合素質成績排名前6名同學中，推薦3人參加強基計劃考試，若已知6名同學中有4名理科生，2名文科生，試求這3人中含文科生的概率.20．（12分）已知p：關于x的方程至多有一個實數解，.（1）若命題p為真命題，求實數a的取值范圍；（2）若p是q的充分不必要條件，求實數m的取值范圍.21．（12分）已知函數在時有極值0.（1）求函數的解析式；（2）記，若函數有三個零點，求實數的取值范圍.22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，是中點.（1）求點到平面的的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據空間里面直線與平面、平面與平面位置關系的相關定理逐項判斷即可.【詳解】A，若，則或異面，故該選項錯誤；B，若，則或相交，故該選項錯誤；C，若，則α，β不一定垂直，故該選項錯誤；D，若，則利用面面垂直的性質可得，故該選項正確.故選：D.2、D【解析】先分別觀察給出正方體的個數為：1，，，，總結一般性的規(guī)律，將一般性的數列轉化為特殊的數列再求解【詳解】解：根據前面四個發(fā)現規(guī)律：，，，，，累加得：，，故選：【點睛】本題主要考查了歸納推理，屬于中檔題3、A【解析】解不等式求集合，然后判斷兩個集合的關系【詳解】，解得，故，可化為或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要條件故選：A4、C【解析】先由cosA的值求出，進而求出，用正弦定理求出b的值.【詳解】因為cosA＝，所以，所以由正弦定理：，得：.故選：C5、C【解析】利用遞推關系，結合取值，求得即可.【詳解】因為，且，，故可得，解得（舍）,；同理求得，，.故選：C.6、D【解析】利用導數的定義可求得的值.【詳解】由導數的定義可得.故選：D.7、B【解析】作出韋恩圖，設調查的學生中去過中共一大會址研學旅行的學生人數為，根據題意求出的值，由此可得出該學校到過中共一大會址研學旅行的學生人數.【詳解】如下圖所示，設調查的學生中去過中共一大會址研學旅行的學生人數為，由題意可得，解的，因此，該學校到過中共一大會址研學旅行的學生的人數為.故選：B.【點睛】本題考查韋恩圖的應用，同時也考查了利用分層抽樣求樣本容量，考查計算能力，屬于基礎題.8、A【解析】根據已知不等式和要求解的不等式特征，構造函數，將問題轉化為解不等式.通過已知條件研究g(x)的奇偶性和單調性即可解該不等式.【詳解】令，則根據題意可知，，∴g(x)是奇函數，∵，∴當時，，單調遞減，∵g(x)是奇函數，g(0)＝0，∴g(x)在R上單調遞減，由不等式得，.故選：A.9、D【解析】根據空間向量共線有，，結合向量的坐標即可求的值.【詳解】由題設，有，，則，可得.故選：D10、A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標原點，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A.【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及取值范圍問題，其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.11、D【解析】以向量為基底向量，則，根據條件由向量的數量積的運算性質，兩邊平方可得答案.【詳解】以向量為基底向量，所以所以故選：D12、C【解析】根據法向量的定義可判斷出點所構成的圖形.【詳解】是空間一定點，為空間內任一非零向量，滿足條件，所以，構成的圖形是經過點，且以為法向量的平面.故選：C.【點睛】本題考查空間中動點的軌跡，考查了法向量定義的理解，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用圓錐的結構特征及側面積公式即得.【詳解】設圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線為l,又圓錐過軸的截面為正三角形，圓錐的側面積為，∴，∴.故答案為：.14、23【解析】先計算該單詞所有字母能夠組成的所有排列情況，然后減去正確的，即是可能出現錯誤的情況.【詳解】因為“”四個字母組成的全排列共有（種）結果，其中只有排列“”是正確的，其余全是錯誤的，故可能出現錯誤的共有（種）.故答案為：23.15、【解析】曲線的圖形是：以原點為圓心，以2為半徑的圓的左半圓，進而可求出結果.【詳解】解：由得，所以曲線（）的圖形是：以原點為圓心，以2為半徑的圓的左半圓，∴曲線（）的長度是，故答案為：.16、（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）求出點的坐標，設圓的半徑為，圓上的點到軸的最小距離為1求得的值，由此可得出圓的標準方程；（Ⅱ）對切線的斜率是否存在進行分類討論，當切線的斜率不存在時，可得切線方程為，驗證即可；當切線的斜率存在時，可設所求切線的方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑可求得的值，綜合可得出所求切線的方程.【詳解】（Ⅰ）聯立方程組，解得，即點設圓的半徑為，由于圓上的點到軸的最小距離為，則，所以，故圓的標準方程為；（Ⅱ）若切線的斜率不存在，則所求切線的方程為，圓心到直線的距離為，不合乎題意；若切線的斜率存在，可設切線的方程為，即，圓的圓心坐標為，半徑為，由題意可得，整理得，解得或故所求切線方程為或【點睛】本題考查圓的標準方程的求解，同時也考查了過圓外一點的圓的切線方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】（1）由直線平行及所過的點，應用點斜式寫出直線方程，進而求A、B坐標.（2）由（1）求出垂直平分線方程，并聯立直線求圓心坐標，即可求圓的半徑，進而寫出圓C的方程.【小問1詳解】由題設，的斜率為，又直線與直線平行且過，所以直線為，即，令，則；令，則.所以，.【小問2詳解】由（1）可得：垂直平分線為，即，聯立，可得，即，故圓的半徑為，所以圓C的方程為.18、當矩形面積最大時，矩形邊AB長，BC長【解析】先設出點坐標，進而表示出矩形的面積，通過求導可求出其最大面積.【詳解】設點，那么矩形面積，.令解得（負舍）.所以S在（0，）上單調遞增，在（，2）上單調遞；..所以當時，S有最大值.此時答：當矩形面積最大時，矩形邊AB長，BC長.19、（1）平均值為74.6分，中位數為75分；（2）.【解析】(1)利用頻率分布直方圖平均數和中位數算法直接計算即可；(2)將學生編號，用枚舉法求解即可.【小問1詳解】依題意可知：∴綜合素質成績的平均值為74.6分.由圖易知∵分數在50~60、60~70、70~80的頻率分別為0.12、0.18、0.40，∴中位數在70~80之間，設為，則，解得，∴綜合素質成績的中位數為75分.【小問2詳解】設這6名同學分別為，，，，1，2，其中設1，2為文科生，從6人中選出3人，所有的可能的結果為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20種，其中含有文科學生的有，，，，，，，，，，，，，，，，共16種，∴含文科生的概率為.20、（1）（2）【解析】（1）根據命題p為真命題，可得，解之即可得解；（2）若p是q的充分不必要條件，則，列出不等式組，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：命題p：關于x的方程至多有一個實數解，∴，解得，∴實數a的取值范圍是；【小問2詳解】解：命題，∵p是q的充分不必要條件，∴，∴，且兩式等號不能同時取得，解得，∴實數m的取值范圍是.21、（1）（2）【解析】（1）求出函數的導函數，由在時有極值0,則，兩式聯立可求常數a，b的值，從而得解析式；（2）利用導數研究函數的單調性、極值，根據函數圖象的大致形狀可求出參數的取值范圍.【小問1詳解】由可得，因為在時有極值0，所以，即，解得或，當時，，函數在R上單調遞增，不滿足在時有極值，故舍去.所以常數a，b的值分別為.所以.【小問2詳解】由（1）可知，，令，解得，當或時，當時，，的遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)