浙江省麗水、衢州、湖州三地市2025屆數學高二上期末綜合測試試題含解析

浙江省麗水、衢州、湖州三地市2025屆數學高二上期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在數列中，，，，則（）A.2 B.C. D.12．若函數既有極大值又有極小值，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知動點在直線上，過點作圓的切線，切點為，則線段的長度的最小值為（）A. B.4C. D.4．將一張坐標紙折疊一次，使點與重合，求折痕所在直線是（）A. B.C. D.5．已知、、、是直線，、是平面，、、是點（、不重合），下列敘述錯誤的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，則6．有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是6”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是5”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是偶數”，則下列判斷正確的是（）A.甲與丙是互斥事件 B.乙與丙是對立事件C.甲與丁是對立事件 D.丙與丁是互斥事件7．在流行病學中，基本傳染數是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數.一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．假設某種傳染病的基本傳染數，平均感染周期為4天，那么感染人數超過1000人大約需要（）（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，這個人每人再傳染個人為第二輪傳染）A.20天 B.24天C.28天 D.32天8．命題：“，”的否定形式為（）A.， B.，C.， D.，9．某市要對兩千多名出租車司機的年齡進行調查，現從中隨機抽出100名司機，已知抽到的司機年齡都在[20,45]歲之間，根據調查結果得出司機的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個殘缺的頻率分布直方圖估計該市出租車司機年齡的中位數大約是()A.31.6歲 B.32.6歲C.33.6歲 D.36.6歲10．已知點是雙曲線的左、右焦點，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若，則（）A.與雙曲線的實軸長相等B.的面積為C.雙曲線的離心率為D.直線是雙曲線的一條漸近線11．已知向量與平行，則（）A. B.C. D.12．已知是空間的一個基底，若，，若，則（）A. B.C.3 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．對于下面這個等式我們除了可以用等比數列的求和公式獲得，還可以用數學歸納法對其進行證明“”，那么在應用數學歸納法證明時，當驗證是否成立時，左邊的式子應該是_______14．已知正項等比數列的前項和為，且，則_______15．將集合且中所有的元素從小到大排列得到的數列記為，則___________（填數值）.16．小明同學發(fā)現家中墻壁上燈光邊界類似雙曲線的一支.如圖，P為雙曲線的頂點，經過測量發(fā)現，該雙曲線的漸近線相互垂直，AB⊥PC，AB=60cm，PC=20cm，雙曲線的焦點位于直線PC上，則該雙曲線的焦距為____cm.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓關于直線對稱，且圓心C在軸上.（1）求圓C的方程；（2）直線與圓C交于A、B兩點，若為等腰直角三角形，求直線的方程.18．（12分）如圖1是一張長方形鐵片，，，，分別是，中點，，分別在邊，上，且，將它卷成一個圓柱的側面圖2，使與重合，與重合.（1）求證：平面；（2）求幾何體的體積.19．（12分）某雙曲線型自然冷卻通風塔的外形是由圖1中的雙曲線的一部分繞其虛軸所在的直線旋轉一周所形成的曲面，如圖2所示.雙曲線的左、右頂點分別為、.已知該冷卻通風塔的最窄處是圓O，其半徑為1；上口為圓，其半徑為；下口為圓，其半徑為；高（即圓與所在平面間的距離）為.（1）求此雙曲線的方程；（2）以原平面直角坐標系的基礎上，保持原點和x軸、y軸不變，建立空間直角坐標系，如圖3所示.在上口圓上任取一點，在下口圓上任取一點.請給出、的值，并求出與的值；（3）在（2）的條件下，是否存在點P、Q，使得P、A、Q三點共線.若不存在，請說明理由；若存在，求出點P、Q的坐標，并證明此時線段PQ上任意一點都在曲面上.20．（12分）為了調查某蘋果園中蘋果的生長情況，在蘋果園中隨機采摘了個蘋果.經整理分析后發(fā)現，蘋果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知，.（1）若從蘋果園中隨機采摘個蘋果，求該蘋果的重量在內的概率；（2）從這個蘋果中隨機挑出個，這個蘋果的重量情況如下.重量范圍（單位：）個數為進一步了解蘋果的甜度，從這個蘋果中隨機選出個，記隨機選出的個蘋果中重量在內的個數為，求隨機變量的分布列和數學期望.21．（12分）某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）已知樣本中分數在[40，50）的學生有5人，試估計總體中分數小于40的人數；（2）試估計測評成績的75%分位數；（3）已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等．試估計總體中男生和女生人數的比例22．（10分）在公差為的等差數列中,已知，且成等比數列.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據題中條件，逐項計算，即可得出結果.【詳解】因為，，，所以，因此.故選：A.2、B【解析】函數既有極大值又有極小值轉化為導函數在定義域上有兩個不同的零點.【詳解】因為既有極大值又有極小值，且，所以有兩個不等的正實數解，所以，且，解得，且.故選:B.3、A【解析】求出的最小值，由切線長公式可結論【詳解】解：由，得最小時，最小，而，所以故選：A.4、D【解析】設，，則折痕所在直線是線段AB的垂直平分線，故求出AB中點坐標，折痕與直線AB垂直，進而求出斜率，用點斜式求出折痕所在直線方程.【詳解】，，所以與的中點坐標為，又，所以折痕所在直線的斜率為1，故折痕所在直線是，即.故選：D5、D【解析】由公理2可判斷A選項；由公理3可判斷B選項；利用平行線的傳遞性可判斷C選項；直接判斷線線位置關系，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由公理2可知，若，，，，則，A對；對于B選項，由公理3可知，若，，，則，B對；對于C選項，由空間中平行線的傳遞性可知，若，，則，C對；對于D選項，若，，則與平行、相交或異面，D錯.故選：D.6、D【解析】根據互斥事件和對立事件的定義判斷【詳解】當第一次取出1，第二次取出4時，甲丙同時發(fā)生，不互斥不對立；第二次取出的球的數字是6與兩次取出的球的數字之和是5不可能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，不對立，當第一次取出1，第二次取出3時，甲與丁同時發(fā)生，不互斥不對立，兩次取出的球的數字之和是5與兩次取出的球的數字之和是偶數不可以同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，因此是互斥不對立故選：D7、B【解析】根據題意列出方程，利用等比數列的求和公式計算n輪傳染后感染的總人數，得到指數方程，求得近似解，然后可得需要的天數.【詳解】感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數為，經過n輪傳染，總共感染人數為：即，解得，所以感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要24天，故選：B【點睛】等比數列基本量的求解是等比數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數列的前n項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程8、D【解析】根據含一個量詞的命題的否定方法直接得到結果.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題：“，”的否定形式為：，，故選：D.【點睛】本題考查全稱命題的否定，難度容易.含一個量詞的命題的否定方法：修改量詞，否定結論.9、C【解析】先根據頻率分布直方圖中頻率之和為計算出數據位于的頻率，再利用頻率分布直方圖中求中位數的原則求出中位數【詳解】在頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為，所以，數據位于的頻率為，前兩個矩形的面積之和為，前三個矩形的面積之和為，所以，中位數位于區(qū)間，設中位數為，則有，解得（歲），故選C【點睛】本題考查頻率分布直方圖的性質和頻率分布直方圖中中位數的計算，計算時要充分利用頻率分布直方圖中中位數的計算原理來計算，考查計算能力，屬于中等題10、B【解析】由題意及雙曲線的定義可得，的值，進而可得A不正確，計算可判斷B正確，再求出，的關系可得C不正確，求出，的關系，進而求出漸近線的方程，可得D不正確【詳解】因為，又由題意及雙曲線的定義可得：，則，，所以A不正確；因為在以為直徑的圓上，所以，所以，所以B正確；在△中，由勾股定理可得，即，所以離心率，所以C不正確；由C的分析可知：，故，所以漸近線的方程為，即，所以D不正確；故選：B11、D【解析】根據兩向量平行可求得、的值，即可得出合適的選項.【詳解】由已知，解得，，則.故選：D.12、C【解析】由，可得存在實數，使，然后將代入化簡可求得結果【詳解】，，因，所以存在實數，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據已知條件，結合數學歸納法的定義，即可求解.【詳解】當，，故此時式子左邊=.故答案為：.14、【解析】根據給定條件求出正項等比數列的公比即可計算作答.【詳解】設正項等比數列的公比為，依題意，，即，而，解得，所以.故答案為：15、992【解析】列舉數列的前幾項，觀察特征，可得出.詳解】由題意得觀察規(guī)律可得中，以為被減數的項共有個，因為，所以是中的第5項，所以.故答案為：992.16、【解析】建立直角坐標系，利用代入法、雙曲線的對稱性進行求解即可.【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，設雙曲線的標準方程為：，因為該雙曲線的漸近線相互垂直，所以，即，因為AB=60cm，PC=20cm，所以點的坐標為：，代入，得：，因此有，所以該雙曲線的焦距為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）根據題意得到等量關系，求出，，進而求出圓的方程；（2）結合第一問求出的圓心和半徑，及題干條件得到圓心到直線的距離為，列出方程，求出的值，進而得到直線方程【小問1詳解】由題意得：直線過圓心，即，且，解得：，，所以圓C的方程為；【小問2詳解】的圓心為，半徑為2，由題意得：，圓心到直線的距離為，即，解得：或，所以直線的方程為：或.18、（1）證明見解析.（2）.【解析】（1）根據線面垂直的性質和判定可得證；（2）作圓柱的母線，由平面幾何知識可得四邊形為平行四邊形，利用等體積法可求得，由幾何體的體積，可求得答案.【小問1詳解】證明：∵是直徑，∴，∵平面，平面，∴，∵平面，平面，，∴平面；【小問2詳解】如圖，作圓柱的母線，則，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，且①又依題知，，，為底面圓的四等分點，∴，且②由①②知四邊形為平行四邊形，得，且，∴，∵到面的距離為，∴，所以幾何體的體積.19、（1）；（2），，，；（3）存在，或，證明見解析.【解析】（1）設雙曲線的標準方程為，易知，設，，代入求解即可；（2）分析圓，圓的方程即可求解；（3）利用圓的參數方程，設，，利用，即可求解，再利用線段PQ上任意一點的特征證明點在曲面上；【小問1詳解】設雙曲線的標準方程為，由題意知，點，的橫坐標分別為，，則設點，的坐標為，，，，，解得，，又塔高米，，解得，故所求的雙曲線的方程為【小問2詳解】點在圓上，；點在圓上，；圓，其半徑為，；圓，其半徑為，【小問3詳解】存在點P、Q，使得P、A、Q三點共線.由點在半徑為的圓上，（為參數）；點在半徑為的圓上，（為參數）；由已知得，整理得兩式平方求和得，則或當時，，當時，證明：，則，利用，，其中又曲面上的每一點可以是圓與旋轉任意坐標系上的雙曲線的交點，旋轉直角坐標系，保持原點和y軸不變，點所在的軸為軸，此時，滿足，即即點是曲面上的點.20、（1）；（2）分布列答案見解析，數學期望為.【解析】（1）利用正態(tài)密度曲線的對稱性結合已知條件可求得的值；（2）分析可知，隨機變量的所有可能取值為、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進一步可求得的值.【小問1詳解】解：已知蘋果的重量（單位：）近似服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的對稱性可知，，所以從蘋果園中隨機采摘個蘋果，該蘋果的重量在內的概率為.【小問2詳解】解：由題意可知，隨機變量的所有可能取值為、、，，；，所以，隨機變