河北省衡水市第七中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）

2024-2025學(xué)年河北省衡水七中八年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．分式化簡(jiǎn)得，則x應(yīng)滿(mǎn)足的條件是（）A． B． C．且 D．2．已知，則的值是（）A． B． C． D．3．口袋中有若干個(gè)形狀大小完全相同的白球，為估計(jì)袋中白球的個(gè)數(shù)，現(xiàn)往口袋中放入10個(gè)形狀大小與白球相同的紅球．混勻后從口袋中隨機(jī)摸出50個(gè)球，發(fā)現(xiàn)其中有6個(gè)紅球．設(shè)袋中有白球x個(gè)，則可用于估計(jì)袋中白球個(gè)數(shù)的方程是（）A． B． C． D．4．計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．5．下列各式計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．6．甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)進(jìn)行污水管道整修，已知乙比甲每天多修3km，甲整修6km的工作時(shí)間與乙整修8km的工作時(shí)間相等，求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天分別整修污水管道多少km？設(shè)甲每天整修xkm，則可列方程為（）A． B． C． D．7．利用尺規(guī)作，根據(jù)下列條件作出的不唯一的是（）A． B．C． D．8．下列等式中，正確的有（）①；②；③；④；⑤A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．已知下列命題：①若，則；②若，則；③三角形是由三條線(xiàn)段組成的圖形；④全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．其中原命題與逆命題均為真命題的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．下列條件能判定的是（）A．B．C．D．11．能作為證明依據(jù)的是（）A．已知條件 B．定義及基本事實(shí) C．定理及推論 D．以上三項(xiàng)都對(duì)12．《千里江山圖》是宋代王希孟的作品，如圖，它的局部畫(huà)面裝裱前是一個(gè)長(zhǎng)為2.4米，寬為1.4米的矩形，裝裱后，整幅圖畫(huà)寬與長(zhǎng)的比是8：13，且四周邊襯的寬度相等，則邊襯的寬度應(yīng)是多少米？設(shè)邊襯的寬度為x米，根據(jù)題意可列方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分．13．若，則______．14．如圖所示，點(diǎn)A、B、C、D均在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，則______．15．已知，的三邊長(zhǎng)分別為4、m、n，的三邊長(zhǎng)分別為5、p、q．若的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，則的最大值為_(kāi)___________．16．整體思想就是通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式從面對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體處理的解題方法．如，此題設(shè)“”，得方程，解得利用整體思想解決問(wèn)題：采采家準(zhǔn)備裝修一廚房，若甲，乙兩個(gè)裝修公司，合做需6周完成，甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來(lái)做，還需9周才能完成，設(shè)甲公司單獨(dú)完成需x周，乙公司單獨(dú)完成需y周，則得到方程______，利用整體思想，解得______．三、解答題：本題共8小題，共72分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．（本小題12分）計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）18．（本小題8分）解方程：（1）；（2）19．（本小題10分）已知（a，b都是正數(shù)）（1）計(jì)算：；（2）若，說(shuō)明的理由；（3）設(shè)，且M為正整數(shù)，試用等式表示a，b之間的關(guān)系．20．（本小題6分）某校因物理實(shí)驗(yàn)室需更新升級(jí)，現(xiàn)決定購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種型號(hào)的滑動(dòng)變阻器．若購(gòu)買(mǎi)甲種滑動(dòng)變阻器用了1650元，購(gòu)買(mǎi)乙種用了1000元，購(gòu)買(mǎi)的甲種滑動(dòng)變阻器的數(shù)量是乙種的1.5倍，甲種滑動(dòng)變阻器單價(jià)比乙種單價(jià)貴5元．（1）求甲、乙兩種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)分別為多少元．（2）該校擬計(jì)劃再訂購(gòu)這兩種滑動(dòng)變阻器共100個(gè)，總費(fèi)用不超過(guò)5200元，那么該校最多可以購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)甲種滑動(dòng)變阻器？21．（本小題6分）如圖，已知AM是的中線(xiàn)，交AM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．求證：．22．（本小題9分）近年來(lái)，新能源汽車(chē)特別是純電動(dòng)汽車(chē)受到越來(lái)越多消費(fèi)者的關(guān)注，下面是價(jià)格相同的燃油車(chē)與純電動(dòng)汽車(chē)的部分相關(guān)信息對(duì)比：燃油車(chē)油箱容積：40升油價(jià)：7.5元/升續(xù)航里程：m千米每千米行駛費(fèi)用：元純電動(dòng)汽車(chē)電池容量：80千瓦時(shí)電價(jià)：0.55元/千瓦時(shí)續(xù)航里程：m千米每千米行駛費(fèi)用：______元（1）用含m的代數(shù)式表示純電動(dòng)汽車(chē)的每千米行駛費(fèi)用；（2）若純電動(dòng)汽車(chē)每千米行駛費(fèi)用比燃油車(chē)少0.64元，①分別求出這兩款車(chē)的每千米行駛費(fèi)用；②若燃油車(chē)和純電動(dòng)汽車(chē)每年的其它費(fèi)用分別為3600元和6800元．小明家要購(gòu)置新車(chē)，他們家每年行駛里程大于6000千米，則他們購(gòu)買(mǎi)哪一款汽車(chē)的年費(fèi)用更低？（年費(fèi)用=年行駛費(fèi)用+年其它費(fèi)用）23．（本小題9分）某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使，請(qǐng)補(bǔ)充完整證明“”的推理過(guò)程，↓（1）求證：證明：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使在和中（________________________）（2）由（1）的結(jié)論，根據(jù)AD與AE之間的關(guān)系，探究得出AD的取值范圍是______；（3）【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線(xiàn)”等字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】如圖2，中，，AD是的中線(xiàn)，，且，求AE的長(zhǎng)．圖1圖224．（本小題12分）閱讀理解材料1：小學(xué)時(shí)常常會(huì)遇到將一個(gè)假分?jǐn)?shù)寫(xiě)成帶分?jǐn)?shù)的問(wèn)題，在這個(gè)過(guò)程中，先計(jì)算分子中包含幾個(gè)分母，求出整數(shù)部分，再把剩余的部分寫(xiě)成一個(gè)真分?jǐn)?shù)．例如：．類(lèi)似的，我們可以將分式寫(xiě)成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)新分式的和．例如：．材料2：為了研究字母x和分式得變化關(guān)系，小明制作了如下表格：x…01234……無(wú)意義21…從表格可以看出，當(dāng)x的取值大于0時(shí)，隨著x的增大，的取值減小，當(dāng)x的取值小于0時(shí)，隨著x的減小，的取值增大．請(qǐng)根據(jù)上述材料完成下列問(wèn)題：（1）把下列分式寫(xiě)成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)新分式的和的形式；______，______．（2）隨著x值的變化，分式的值是如何變化的？（3）當(dāng)x大于2時(shí)，隨著x的增大，分式的值無(wú)限趨近于一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是______．

答案和解析1．【答案】C【解析】解：當(dāng)，即和時(shí)，，故選：C根據(jù)分式有意義的條件、分式的約分法則解答即可．本題考查的是分式的約分、分式有意義的條件，掌握分式的分母不為零是解題的關(guān)鍵．2．【答案】C【解析】解：由得，，．故選：C由得，，代入所求的式子化簡(jiǎn)即可．解答此類(lèi)題一定要熟練掌握分式的基本性質(zhì)．利用分式的性質(zhì)變形時(shí)必須注意所乘的或所除的整式不為零．3．【答案】D【解析】解：設(shè)袋中有白球x個(gè)，由題意得，．故選：D混勻后從口袋中隨機(jī)摸出50個(gè)球，發(fā)現(xiàn)其中有6個(gè)紅球，即紅球所占的比例是，則放入的10個(gè)球占總球數(shù)的，列方程即可求解．本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程以及利用樣本估計(jì)總體，正確理解題目中的相等關(guān)系是關(guān)鍵．4．【答案】B【解析】解：原式故選：B利用分式的性質(zhì)進(jìn)行約分、乘除運(yùn)算即可．本題考查了分式的乘除運(yùn)算，做題關(guān)鍵要掌握分式的性質(zhì)，能正確的進(jìn)行約分化簡(jiǎn)．5．【答案】D【解析】解：A、原式不能合并，錯(cuò)誤；B、，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，本選項(xiàng)正確，故選：DA、原式不能約分，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、原式兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷；C、原式分子分母分別平方得到結(jié)果，即可做出判斷；D、原式分母提取變形得到結(jié)果，即可做出判斷．此題考查了分式的混合運(yùn)算，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式．6．【答案】B【解析】【分析】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程有關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵描述語(yǔ)為：“甲整修6km的工作時(shí)間與乙整修8km的工作時(shí)間相等”；等量關(guān)系為：甲整修6km的工作時(shí)間=乙整修8km的工作時(shí)間，根據(jù)等量關(guān)系寫(xiě)出分式方程．【解答】解：設(shè)甲每天整修xkm，則乙每天修整，則可列方程為：故選B7．【答案】C【解析】解：A、根據(jù)SAS可以唯一確定三角形，本選項(xiàng)不符合題意．B、根據(jù)ASA可以唯一確定三角形，本選項(xiàng)不符合題意．C、根據(jù)SSA不可以唯一確定三角形，本選項(xiàng)符合題意．D、根據(jù)SSS可以唯一確定三角形，本選項(xiàng)不符合題意．故選：C根據(jù)SSS，ASA，AAS，SAS可以唯一確定三角形判斷即可．本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．8．【答案】A【解析】解：①，①不正確；②，②正確；③當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，或，③不正確；④當(dāng)，④不正確；⑤，⑤不正確，故正確的是②，只有1個(gè)，故選：A把①中的等式右邊的分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后判斷即可；②把等式左邊的分式的分子分解因式，然后約分，進(jìn)行判斷即可；③根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后約分，進(jìn)行判斷即可；④根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；⑤先把等式左邊的式子通分，然后進(jìn)行判斷即可．本題主要考查了絕對(duì)值和分式的通分和約分，解題關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)和分式的通分與約分．9．【答案】A【解析】解：①若，則，原命題是真命題；逆命題為：若，則，是假命題，如：，但；②若，則，原命題是真命題；逆命題：若，則，是假命題，如；③三角形是由三條線(xiàn)段組成的圖形，原命題是真命題；逆命題：由三條線(xiàn)段組成的圖形是三角形，是假命題；④全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，原命題是真命題；逆命題：三邊對(duì)應(yīng)相等的三角形全等，是真命題．其中原命題與逆命題均為真命題的有1個(gè)，故選：A先判斷原命題為真命題還是假命題，再將原命題的題設(shè)和結(jié)論調(diào)換位置，得到逆命題，然后判斷其真假即可．本題考查的是命題與定理、原命題和逆命題等知識(shí)，正確寫(xiě)出逆命題，并能判斷真假是解題的關(guān)鍵．10．【答案】D【解析】解：A、符合ASA，不能判定兩三角形全等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，不能判定兩三角形全等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，不能判定兩三角形全等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，利用ASA能判定兩三角形全等，故選項(xiàng)正確．故選：D判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，結(jié)合選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)．此題主要考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無(wú)法證明三角形全等，本題是一道較為簡(jiǎn)單的題目．11．【答案】D【解析】解：在證明過(guò)程中，定義及基本事實(shí)、定理及推論、已知條件都可以作為證明依據(jù)．故選：D結(jié)合做證明題目的經(jīng)驗(yàn)，邏輯推理的依據(jù)往往在“因?yàn)椤焙竺娉霈F(xiàn)，那么什么可以作為邏輯推理的依據(jù)呢？經(jīng)過(guò)推理論證的真命題稱(chēng)為定理；復(fù)習(xí)課本知識(shí)和做題經(jīng)驗(yàn)可知，定義、基本事實(shí)、定理、已知條件都可以作為邏輯推理的依據(jù)，據(jù)此即可得到答案．本題考查了命題與定理的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握證明中采用的邏輯推理的依據(jù)．12．【答案】D【解析】解：由題意可得，，故選：D根據(jù)題意可知，裝裱后的長(zhǎng)為米，寬為米，再根據(jù)整幅圖畫(huà)寬與長(zhǎng)的比是8：13，即可得到相應(yīng)的方程．本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程．13．【答案】【解析】解：，，即故答案為：原式通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，再利用完全平方公式變形，把已知等式代入計(jì)算即可求出值．本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．14．【答案】【解析】解：如圖所示，在和中，，，，故答案為：首先證明出，得到，進(jìn)而求解即可．此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等全等三角形的判定定理：SSS，SAS，AAS，ASA，HL15．【答案】25【解析】解：，、n中有一邊為5，p、q中有一邊為4，m、n與p、q中剩余兩邊相等，，兩三角形剩余兩邊最大為8，的最大值為：故答案為：25根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得m、n中有一邊為5，p、q有一邊為4，剩下的兩邊相等，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊求出最長(zhǎng)的邊，然后相加即可．本題考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．【答案】【解析】解：設(shè)甲公司單獨(dú)完成需x周，乙公司單獨(dú)完成需y周，依題意得：，設(shè)，原方程化為：，解得：，，故答案為：設(shè)甲公司單獨(dú)完成需x周，乙公司單獨(dú)完成需y周，依題意得分式方程組，換元后得關(guān)于a和b的二元一次方程組，解得a和b，再根據(jù)倒數(shù)關(guān)系可得x和y的值，從而問(wèn)題得解．本題考查了換元法解分式方程組在工程問(wèn)題中的應(yīng)用，要注意整體思想在該類(lèi)型習(xí)題中的應(yīng)用，本題難度中等，屬于中檔題．17．【答案】解：（1）；（2）（3）（4）．【解析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方、零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則正確計(jì)算，即可解題；（2）利用平方差公式和完全平方公式去括號(hào)，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可；（3）根據(jù)分式的乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（4）根據(jù)分式的四則混合運(yùn)算法則和運(yùn)算順序計(jì)算即可．本題考查有理數(shù)的乘方、零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，平方差公式，完全平方公式，整式的混合運(yùn)算，分式的乘除混合運(yùn)算，分式的四則混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則．18．【答案】解：（1），去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類(lèi)項(xiàng)得：，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，是原方程的增根，原方程無(wú)解；（2），去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類(lèi)項(xiàng)得：，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，原方程的解為【解析】（1）先把原方程去分母化為整式方程，再解方程，然后檢驗(yàn)即可得到答案；（2）先把原方程去分母化為整式方程，再解方程，然后檢驗(yàn)即可得到答案．本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程是關(guān)鍵．19．【答案】解：（1）（2），，，，，．（3），是正整數(shù)，a，b都是正數(shù)，或或，或【解析】本題考查分式的混合運(yùn)算，掌握分式加減法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)分式減法計(jì)算即可．（2）根據(jù)得到a，b的關(guān)系式．（3）根據(jù)M與x，y的關(guān)系求解．20．【答案】解：（1）設(shè)乙種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)是x元，根據(jù)題意得：解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根，且符合題意．（元），答：甲種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)是55元，乙種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)是50元；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種滑動(dòng)變阻器m個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)乙種滑動(dòng)變阻器個(gè)．根據(jù)題意得：解得：答：該校最多可以購(gòu)買(mǎi)40個(gè)甲種滑動(dòng)變阻器．【解析】（1）設(shè)乙種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)是x元，則甲種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)是元，乙種書(shū)的單價(jià)是y元，根據(jù)“購(gòu)買(mǎi)甲種滑動(dòng)變阻器用了1650元，購(gòu)買(mǎi)乙種用了1000元，購(gòu)買(mǎi)的甲種滑動(dòng)變阻器的數(shù)量是乙種的1.5倍”，可得出關(guān)于x的分式方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種滑動(dòng)變阻器m個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)乙種滑動(dòng)變阻器個(gè)，利用總價(jià)=單價(jià)數(shù)量，結(jié)合總費(fèi)用不超過(guò)5200元，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．本題考查了分式方程的以及一元一次不等式的應(yīng)用，正確根據(jù)題意列出方程和不等式是解題關(guān)鍵．21．【答案】證明：是的中線(xiàn)，，，，在和中，，，．【解析】利用AAS證明，即可得出結(jié)論．本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定方法有AAS，SAS，ASA，SSS，HL（只適合直角三角形）熟記判定方法是解題的關(guān)鍵．22．【答案】【解析】解：（1）新能源車(chē)的每千米行駛費(fèi)用為：（元）；故答案為：（2）①，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，（元），（元）答：燃油車(chē)的每千米行駛費(fèi)用為0.75元，新能源車(chē)的每千米行駛費(fèi)用為0.11元；②設(shè)每年行駛里程為xkm，，解得，，當(dāng)每年行駛里程大于6000km時(shí)，買(mǎi)新能源汽車(chē)費(fèi)用更低．（1）根據(jù)表中的信息，可以表