查補(bǔ)重難點(diǎn)01 整式相關(guān)運(yùn)算與探索表達(dá)規(guī)律（解析版）

查補(bǔ)重難點(diǎn)01.整式相關(guān)運(yùn)算與探索表達(dá)規(guī)律考點(diǎn)一：冪運(yùn)算與乘法公式1.冪運(yùn)算公式： 2.乘法公式：（1）平方差公式：（2）完全平方公式：題型1.冪運(yùn)算與乘法公式基本運(yùn)算1）符號(hào)處理不當(dāng)：在冪的運(yùn)算中，很多同學(xué)計(jì)算時(shí)符號(hào)容易出錯(cuò)。計(jì)算時(shí)，可以先確定計(jì)算符號(hào)，負(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，看次方，負(fù)數(shù)的奇次冪結(jié)果為負(fù)，偶次冪結(jié)果為正。2）忽視指數(shù)為“1”的冪：在冪的運(yùn)算中，有些同學(xué)會(huì)忽視指數(shù)為“1”的冪，從而導(dǎo)致計(jì)算的錯(cuò)誤。指數(shù)為“1”時(shí)通常省略不寫，但是計(jì)算時(shí)不能漏加。3）忽視0指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪成立的條件：在計(jì)算零指數(shù)冪或負(fù)指數(shù)冪時(shí)，要注意，底數(shù)不能等于0.4）運(yùn)用完全平方公式時(shí)，①丟掉系數(shù)的平分；②丟掉中間乘積項(xiàng)或漏了系數(shù)的“2倍”；③不能正確區(qū)分中間項(xiàng)符號(hào)特征。5）運(yùn)用平方差公式時(shí)，沒找準(zhǔn)“a”與“b”。例1.（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）下列運(yùn)算中，結(jié)果正確的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算和除法運(yùn)算、冪的乘方運(yùn)算逐項(xiàng)分析，即可求解．【詳解】解：，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故C選項(xiàng)正確；，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算和除法運(yùn)算、冪的乘方運(yùn)算，掌握以上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個(gè)、29個(gè)、5個(gè)，先從甲袋中取出個(gè)球放入乙袋，再從乙袋中取出個(gè)球放入丙袋，最后從丙袋中取出個(gè)球放入甲袋，此時(shí)三只袋中球的個(gè)數(shù)相同，則的值等于（

）

A．128 B．64 C．32 D．16【答案】A【分析】先表示每個(gè)袋子中球的個(gè)數(shù)，再根據(jù)總數(shù)可知每個(gè)袋子中球的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求出，，最后逆用同底數(shù)冪相乘法則求出答案．【詳解】調(diào)整后，甲袋中有個(gè)球，，乙袋中有個(gè)球，，丙袋中有個(gè)球．∵一共有（個(gè)）球，且調(diào)整后三只袋中球的個(gè)數(shù)相同，∴調(diào)整后每只袋中有（個(gè)）球，∴，，∴，，

∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的混合運(yùn)算，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，合理利用整體思想是解答本題的關(guān)鍵．變式2．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）下列計(jì)算正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】分別根據(jù)積的乘方、合并同類項(xiàng)、乘法公式逐項(xiàng)求解判斷即可．【詳解】解：A、，故原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B、，故原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C、，故原計(jì)算正確，符合題意；D、，故原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方、合并同類項(xiàng)、乘法公式，熟記完全平方公式和平方差公式，正確判斷是解答的關(guān)鍵．題型2.完全平方公式變形求值（知二求二）乘法公式求值類的題目，關(guān)鍵在于恒等變形，反復(fù)利用平方差公式和完全平方公式，結(jié)合公式中各項(xiàng)的情況，做出相應(yīng)的變形。用可推導(dǎo)除一些變式（知二求二）：=1\*GB3①；=2\*GB3②；特殊結(jié)構(gòu)：；。例1.（2023·江蘇宿遷·中考真題）若實(shí)數(shù)m滿足，則．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式得，再代值計(jì)算即可．【詳解】解：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，求代數(shù)式值，掌握完全平方公式及其變式是解題本題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）已知：，則________．【答案】【分析】將方程兩邊同時(shí)除以字母x，把整式方程化為分式方程，再結(jié)合完全平方公式及其變式即可求解．【詳解】解：將方程兩邊同時(shí)除以字母x得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式及其變式，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．變式2.（2020·江蘇宿遷·中考真題）已知a+b＝3，a2+b2＝5，則ab的值是．【答案】2【分析】現(xiàn)將a+b進(jìn)行平方，然后把a(bǔ)2+b2=5代入，即可求解．【詳解】∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即a2+2ab+b2＝9，∵a2+b2＝5，∴ab＝（9﹣5）÷2＝2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟記公式的幾個(gè)變形公式對(duì)解題大有幫助．題型3.完全平分公式含參運(yùn)用任意給一個(gè)二次三項(xiàng)式是完全平方式求解參數(shù)的值：先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)即可確定參數(shù)的值，要注意的是第一項(xiàng)和第三項(xiàng)都是平方項(xiàng)，即第一項(xiàng)可寫成±a的平方，第三項(xiàng)可寫為±b的平方，那么參數(shù)的值也有兩個(gè)。例1.（2023年四川省涼山州數(shù)學(xué)中考真題）已知是完全平方式，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵是完全平方式，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：．變式1．（2022·黑龍江·中考真題）已知代數(shù)式是一個(gè)完全平方式，則實(shí)數(shù)t的值為__．【答案】或【分析】直接利用完全平方公式求解．【詳解】解：∵代數(shù)式是一個(gè)完全平方式，∴，∴，解得或，故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的運(yùn)用，熟記完全平方公式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·浙江·九年級(jí)期中）將16y2+1再加上一個(gè)整式，使它成為一個(gè)完全平方式，則加上的整式為______．【答案】8y，-8y，64y4【分析】因?yàn)閍2±2ab+b2=（a±b）2，由16y2+1=（4y）2+1，①當(dāng)a2=（4y）2，b2=1，則a=4y，b=1，即可得出±2ab的值，即可得出答案；②當(dāng)2ab=16y2，b2=1，即可得出a的值，即可得出a2的值即可得出答案．【詳解】解：∵16y2+1=（4y）2+1，∴（4y）2+8y+1=（4y+1）2，∴（4y）2-8y+1=（4y-1）2，∴（8y2）2+16y2+1=64y4+16y2+1=（8y2+1）2，故答案為：8y，-8y，64y4．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟練應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．題型4.乘法公式的幾何驗(yàn)證利用求面積的兩種方法（公式法與補(bǔ)割法），列式（公式法求面積=補(bǔ)割法求面積），化簡求解。例1.（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）我們可以利用圖形中的面積關(guān)系來解釋很多代數(shù)恒等式．給出以下4組圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式：①

②

③

④

其中，圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】觀察各個(gè)圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式即可得到答案．【詳解】解：圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有①②③④，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查用圖形面積解釋代數(shù)恒等式，解題的關(guān)鍵是用兩種不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積．變式1．（2023年湖北省隨州市中考數(shù)學(xué)真題）設(shè)有邊長分別為a和b()的A類和B類正方形紙片、長為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個(gè)邊長為的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個(gè)長為、寬為的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為(

)

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】計(jì)算出長為，寬為的大長方形的面積，再分別得出A、B、C卡片的面積，即可看出應(yīng)當(dāng)需要各類卡片多少張．【詳解】解：長為，寬為的大長方形的面積為：；需要6張A卡片，2張B卡片和8張C卡片．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積，解題的關(guān)鍵是理解結(jié)果中項(xiàng)的系數(shù)即為需要C類卡片的張數(shù)．變式2．（2022·湖北隨州·中考真題）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)發(fā)展史的一個(gè)里程碑．在該書的第2幕“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何給人以強(qiáng)烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中．(1)我們?cè)趯W(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時(shí)，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式，（下面各圖形均滿足推導(dǎo)各公式的條件，只需填寫對(duì)應(yīng)公式的序號(hào)）公式①：公式②：公式③：公式④：圖1對(duì)應(yīng)公式______，圖2對(duì)應(yīng)公式______，圖3對(duì)應(yīng)公式______，圖4對(duì)應(yīng)公式______；(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式的方法，如圖5，請(qǐng)寫出證明過程；（已知圖中各四邊形均為矩形）(3)如圖6，在等腰直角三角形ABC中，，D為BC的中點(diǎn)，E為邊AC上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，作F點(diǎn)H過點(diǎn)B作BF//AC交EG的延長線于點(diǎn)F．記△BFG與△CEG的面積之和為，△ABD與△AEH的面積之和為．①若E為邊AC的中點(diǎn)，則的值為_______；②若E不為邊AC的中點(diǎn)時(shí)，試問①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)①，②，④，③(2)證明見解析(3)①2②結(jié)論仍成立，理由見解析【分析】（1）觀察圖形，根據(jù)面積計(jì)算方法即可快速判斷；（2）根據(jù)面積關(guān)系：矩形AKHD面積=矩形AKLC面積+矩形CLHD面積=矩形DBFG面積+矩形CLHD面積=正方形BCEF面積－正方形LEGH面積，即可證明；（3）①由題意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是正方形，設(shè)BD=a，從而用含a的代數(shù)式表示出S1、S2進(jìn)行計(jì)算即可；②由題意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是矩形，設(shè)BD=a，DG=b，從而用含a、b的代數(shù)式表示出S1、S2進(jìn)行計(jì)算即可．(1)解：圖1對(duì)應(yīng)公式①，圖2對(duì)應(yīng)公式②，圖3對(duì)應(yīng)公式④，圖4對(duì)應(yīng)公式③；故答案為：①，②，④，③；(2)解：由圖可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b，∴，∵，∴，又∵，∴；(3)解：①由題意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是正方形，設(shè)，∴，，，，∴，，∴；故答案為：2；②成立，證明如下：由題意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是矩形，設(shè)，，∴，，，，∴，，∴仍成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查了公式的幾何驗(yàn)證方法，矩形和正方形的判定與性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想，觀察圖形，通過圖形面積解決問題是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二：探究與表達(dá)規(guī)律探究與表達(dá)規(guī)律是中考數(shù)學(xué)中的?？紗栴}，往往以選擇題或者填空題中的壓軸題形式出現(xiàn)，主要命題方式有數(shù)式規(guī)律、圖形變化規(guī)律、點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律等。規(guī)律探索問題指的是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作、變化過程，要求通過觀察、思路點(diǎn)撥、推理，探究其中所蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論。這類問題，因其獨(dú)特的規(guī)律性和探究性，對(duì)分析問題、解決問題的能力具有很高的要求，在近幾年全國各地的中考試題中，不僅頻頻出現(xiàn)規(guī)律探究題，而且“花樣百出”。題型1.數(shù)與式規(guī)律問題1）從簡單的情況入手﹕求出前三到四個(gè)結(jié)果，探究其規(guī)律，通過歸納猜想總結(jié)正確答案；新定義型問題一般與代數(shù)、坐標(biāo)、函數(shù)知識(shí)結(jié)合較多，常見的命題背景有：楊輝三角、等差數(shù)列、連續(xù)n個(gè)數(shù)的立方和、連續(xù)n個(gè)數(shù)的平方和、階乘等。2）關(guān)注問題中的不變量和變量﹕在探究規(guī)律的問題中，一般都會(huì)存在變量和不變量（也就是常量），我們要多關(guān)注變量，看看這些變量是如何變化的，仔細(xì)觀察變量的變化與序號(hào)（一般為n）之間的關(guān)系，我們找到這個(gè)關(guān)系就找到了規(guī)律所在。3）掌握一些數(shù)學(xué)思想方法：規(guī)探索律型問題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件，要求學(xué)生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律。它體現(xiàn)了“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，考察了學(xué)生的分析、解決問題能力，觀察、聯(lián)想、歸納能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力。例1.（2023·江蘇鹽城·一模）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表（圖①），即楊輝三角．現(xiàn)在將所有的奇數(shù)記“1”，所有的偶數(shù)記為“0”，則前4行如圖②，前8行如圖③，求前32行“1”的個(gè)數(shù)為．【答案】/243【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律探究計(jì)算，根據(jù)給出的圖②和圖③找出出現(xiàn)“”規(guī)律是解題關(guān)鍵．先根據(jù)給出的圖②和圖③找出出現(xiàn)“”規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律即可得解．【詳解】解：觀察圖②和圖③可知，前行中包含個(gè)前行的圖形，中間三角形中的數(shù)字均為，前行中“”的個(gè)數(shù)是前行中“”的個(gè)數(shù)的倍，即前行中“”的個(gè)數(shù)為（個(gè)），同理可知前行中“”的個(gè)數(shù)是前行中“”的個(gè)數(shù)的倍，即前行中“”的個(gè)數(shù)為（個(gè)），前行中“”的個(gè)數(shù)是前行中“”的個(gè)數(shù)的倍，即前行中“”的個(gè)數(shù)為（個(gè)），故答案為：．變式1.（2023年湖北省恩施州中考數(shù)學(xué)真題）觀察下列兩行數(shù)，探究第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系：，4，，16，，64，……①0，7，，21，，71，……②根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成填空：第①行數(shù)的第10個(gè)數(shù)為；取每行數(shù)的第2023個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和為．【答案】1024【分析】通過觀察第一行數(shù)的規(guī)律為，第二行數(shù)的規(guī)律為，代入數(shù)據(jù)即可.【詳解】第一行數(shù)的規(guī)律為，∴第①行數(shù)的第10個(gè)數(shù)為；第二行數(shù)的規(guī)律為，∴第①行數(shù)的第2023個(gè)數(shù)為，第②行數(shù)的第2023個(gè)數(shù)為，∴，故答案為：1024；．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化，找其中的規(guī)律，是今年考試中常見的題型.變式2．（2023年浙江省嘉興市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下面的等式：，，，，…．(1)嘗試：___________．(2)歸納：___________（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）．(3)推理：運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，推理說明你歸納的結(jié)論是正確的．【答案】(1)6(2)n(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以直接得到結(jié)果；（2）根據(jù)題目中給出的式子,可以直接得到答案；（3）將（2）中等號(hào)左邊用平方差公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，，，，∴，，故答案為：6；（2）由題意得：，故答案為：n；（3）．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字類的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，列代數(shù)式，平方差公式，正確理解題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．題型2.圖形變化規(guī)律問題圖形變化規(guī)律題常見處理辦法：(1)利用特殊點(diǎn)、特殊圖形、特殊位置等進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般找規(guī)律，進(jìn)而得出解決問題的方法；(2)當(dāng)問題的結(jié)論不能唯一確定時(shí)，則需要按可能出現(xiàn)的情況加以分類討論；(3)利用一個(gè)問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個(gè)類似的問題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴(yán)密論證。例1.（2021·江蘇揚(yáng)州·中考真題）將黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律進(jìn)行排列，圖中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為：1，3，6，10，……，將其中所有能被3整除的數(shù)按從小到大的順序重新排列成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)中的第33個(gè)數(shù)為．【答案】1275【分析】首先得到前n個(gè)圖形中每個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)，得到第n個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，再判斷其中能被3整除的數(shù)，得到每3個(gè)數(shù)中，都有2個(gè)能被3整除，再計(jì)算出第33個(gè)能被3整除的數(shù)所在組，為原數(shù)列中第50個(gè)數(shù)，代入計(jì)算即可．【詳解】解：第①個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1，第②個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：=3，第③個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：=6，第④個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：=10，...第n個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，則這列數(shù)為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3個(gè)數(shù)中，都有2個(gè)能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，則第33個(gè)被3整除的數(shù)為原數(shù)列中第50個(gè)數(shù)，即=1275，故答案為：1275．【點(diǎn)睛】此題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律．變式1.（2023年四川省綿陽市中考數(shù)學(xué)真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為，…，以此類推，那么的值為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)圖形中“●”的個(gè)數(shù)得出數(shù)字變化規(guī)律，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：，，，，…，；∴，故選∶C．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．變式2.（2023年黑龍江省綏化市中考數(shù)學(xué)真題）在求的值時(shí)，發(fā)現(xiàn)：，，從而得到．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個(gè)三角形，記作；分別連接這個(gè)三角形三邊中點(diǎn)得到圖（2），有5個(gè)三角形，記作；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點(diǎn)得到圖（3），有9個(gè)三角形，記作；按此方法繼續(xù)下去，則．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）

【答案】/【分析】根據(jù)題意得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：依題意，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．題型3.坐標(biāo)變化規(guī)律問題探究點(diǎn)的坐標(biāo)變化，先明確動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方式，有時(shí)需要制作表格或者畫圖，來幫助尋找變化規(guī)律。在初中階段，探究點(diǎn)的規(guī)律通常用不完全歸納法來解決。通過一些點(diǎn)的特殊情況，作出一般性的歸納推理。這是一種很好的推理手段。但是在歸納坐標(biāo)變化規(guī)律時(shí)，有時(shí)需要將坐標(biāo)進(jìn)行整理，按照一定方式呈現(xiàn)，如豎排、利用表格等，能將規(guī)律體現(xiàn)得明顯，有助于規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。坐標(biāo)變化規(guī)律題常見處理辦法：①找出第一周期的幾個(gè)數(shù)，確定周期數(shù)；②算出題目中的總數(shù)和待求數(shù)；③用總數(shù)÷周期數(shù)=m……n（表示這列數(shù)中有m個(gè)整周期，最后余n個(gè)）；④最后余幾，待求數(shù)就和每周期的第幾個(gè)一樣。例1.（2023年山東省聊城市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣．從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個(gè)數(shù)字提取出來組成有序數(shù)對(duì)：；；；；…如果單把每個(gè)數(shù)對(duì)中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來研究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．請(qǐng)寫出第n個(gè)數(shù)對(duì)：．

【答案】【分析】根據(jù)題意單另把每個(gè)數(shù)對(duì)中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來研究，可發(fā)現(xiàn)第個(gè)數(shù)對(duì)的第一個(gè)數(shù)為：，第個(gè)數(shù)對(duì)的第二個(gè)位：，即可求解．【詳解】解：每個(gè)數(shù)對(duì)的第一個(gè)數(shù)分別為3，7，13，21，31，…即：，，，，，…則第個(gè)數(shù)對(duì)的第一個(gè)數(shù)為：，每個(gè)數(shù)對(duì)的第二個(gè)數(shù)分別為5，10，17，26，37，…即：；；；；…，則第個(gè)數(shù)對(duì)的第二個(gè)位：，∴第n個(gè)數(shù)對(duì)為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的排列規(guī)律，利用拐彎出數(shù)字的差的規(guī)律解決問題．變式1.（2023·河南漯河·二模）圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，…都是等邊三角形，其邊長依次為2，4，6．…，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為…，按此規(guī)律排下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】觀察所給圖形，發(fā)現(xiàn)x軸上方的點(diǎn)是4的倍數(shù)，確定點(diǎn)在x軸上方，分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，……，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可求解．【詳解】解：觀察所給圖形，發(fā)現(xiàn)x軸上方的點(diǎn)是4的倍數(shù)，∵，∴點(diǎn)在x軸上方，∵，∴，∵，∴，∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律；能夠通過所給圖形，找到點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．變式2.（2023·山東煙臺(tái)·二模）自然界中存在許多斐波那契螺旋線圖案．斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，13，……畫出米的螺旋曲線．在平面直角坐標(biāo)系中，依次以這組數(shù)為半徑作的圓弧，得到一組螺旋線，連接，得到一組螺旋折線，如圖所示．已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖中點(diǎn)的位置，找出規(guī)律，利用平移的特點(diǎn)，依次求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出答案．【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)：先向右平移1個(gè)單位，再向上平移1單位得到；先向右平移1個(gè)單位，再向下平移1單位得到；先向左平移2個(gè)單位，再向下平移2單位得到；先向左平移3個(gè)單位，再向上平移3單位得到；先向右平移5個(gè)單位，再向上平移5單位得到；先向右平移8個(gè)單位，再向下平移8單位得到，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖中給出的已知點(diǎn)的位置，找出平移規(guī)律．考點(diǎn)三：整式的化簡求值1）整式化簡是初中數(shù)學(xué)的一大要點(diǎn)，主要內(nèi)容包括整式的加減乘除、乘方運(yùn)算，方差公式、完全平方公式的運(yùn)用。一般運(yùn)算順序?yàn)椋合瘸朔健⒃俪顺?、最后加減。2）求代數(shù)式的值的一般方法是先用數(shù)值代替代數(shù)式中的每個(gè)字母，然后計(jì)算求得結(jié)果。3）對(duì)于特殊的代數(shù)式，也可以采用如下方法來解：（1）給出代數(shù)式中所有字母的值。該類題一般是先化簡代數(shù)式，再代入字母的值，然后進(jìn)行計(jì)算。（2）給出代數(shù)式中所含幾個(gè)字母之間的關(guān)系，不直接給出字母的值，該類題一般是把所要求的代數(shù)式通過恒等變形，轉(zhuǎn)化為可以用已知關(guān)系表示的形式，再代入計(jì)算。題型1.先化簡，再代入求值化簡求值易錯(cuò)點(diǎn)：①多項(xiàng)、漏項(xiàng)：主要是因?yàn)樵谟?jì)算的過程中，沒有注意運(yùn)算順序；②符號(hào)錯(cuò)誤：單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算過程中，搞錯(cuò)了所得項(xiàng)的正負(fù)性；③公式用錯(cuò)；④冪的運(yùn)算錯(cuò)誤：混淆冪的運(yùn)算法則。例1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）先化簡，再求值：，其中，.【答案】，【分析】根據(jù)完全平方公式和平方差公式展開后化簡，最后代入求值即可．【詳解】當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查整式混合運(yùn)算的化簡求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)完全平方公式和平方差公式展開．變式1．（2023·江蘇·中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】；【分析】利用完全平方公式和整式加減的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，根據(jù)平方根的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】原式．當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式、整式的加減、平方根，牢記完全平方公式和整式加減的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．變式2．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）先化簡，再求值：；其中．【答案】，【分析】本題考查整式的化簡求值，先計(jì)算完全平方公式和平方差公式，再合并同類項(xiàng)，化簡后，代值計(jì)算即可．【詳解】解：原式；當(dāng)時(shí)，原式．題型2.整體代入求值整體代入法：①觀察已知代數(shù)式和所求代數(shù)式的關(guān)系；②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式將已知代數(shù)式和所求代數(shù)式進(jìn)行變形，使它們成倍分關(guān)系；③把已知代數(shù)式看成一個(gè)整式代入所求代數(shù)式中計(jì)算求值。例1.（2023年江蘇省南通市中考數(shù)學(xué)真題）若，則的值為（

）A．24 B．20 C．18 D．16【答案】D【分析】根據(jù)得到，再將整體代入中求值．【詳解】解：，得，變形為，原式．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，將變形為是解題的關(guān)鍵．變式1．（2020·江蘇徐州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖像交于點(diǎn)，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把P(，)代入兩解析式得出和的值，整體代入即可求解C【詳解】∵函數(shù)與的圖像交于點(diǎn)P(，)，∴，，即，，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的求值以及反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)的解析式．變式2．（2021·江蘇蘇州·中考真題）若，則的值為．【答案】3【分析】根據(jù)，將式子進(jìn)行變形，然后代入求出值即可．【詳解】∵，∴=3m(m+2n)+6n=3m+6n=3(m+2n)=3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的求值，解題的關(guān)鍵是利用已知代數(shù)式求值．題型3.利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡求值利用根與系數(shù)的關(guān)系求解：如果代數(shù)式可以看作某兩個(gè)“字母”的輪換對(duì)稱式，而這兩個(gè)“字母”又可能看作某個(gè)一元二次方程的根，可以先用根與系數(shù)的關(guān)系求得其和、積式，再整體代入求值。例1．（2023·江蘇鹽城·二模）若方程的兩根為，，則的值為．【答案】2023【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解的概念可得，，再代入進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：方程的兩根為，，，，，故答案為：2023．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解的概念，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．變式1．（2023·江蘇南京·二模）若、為的兩根，則的值為．【答案】0【分析】由已知中α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】解：α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，∴．∴的值為0．故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程根與關(guān)系，若α，β是一元二次方程的兩根時(shí)，，．變式2．（2023·四川成都·三模）若是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為．【答案】5【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系得出，，再將其代入整理后的代數(shù)式計(jì)算即可．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，即：，∴，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．也考查了一元二次方程的解．題型4分式的化簡求值分式化簡的易錯(cuò)點(diǎn)：（1）分式化簡與分式方程混淆，通分后去掉分母。（2）丟掉符號(hào)：分式化簡中最關(guān)鍵的步驟是通分，不僅要考慮最簡公分母，也要注意符號(hào)的變化。（3）求值時(shí)，代值錯(cuò)誤：當(dāng)所給值不唯一時(shí)，一定要注意選值時(shí)應(yīng)該使原分式和化簡過程中的分式都有意義，即保證分母不為0。例1．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）先化簡，再求值：，其中是方程的根．【答案】，4【分析】本題考查的是分式的化簡求值，解一元二次方程，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡，再根據(jù)x是方程的根求出x的值，把x的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵x是方程的根，∴解得：，，∵x不能取，∴當(dāng)時(shí)，原式．變式1．（2024·江蘇連云港·一模）先化簡，再求值：，其中．【答案】【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先把小括號(hào)內(nèi)的式子通分，再把兩個(gè)分式的分子分母進(jìn)行分解因式，接著把除法變成乘法后約分化簡，最后代值計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．變式2．（2023·江蘇·九年級(jí)校考階段練習(xí)）先化簡，當(dāng)時(shí)，取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)并求出代數(shù)式的值．【答案】；【分析】根據(jù)，先化除為乘，然后根據(jù)分式的運(yùn)算法則化簡，再代入求值即可．【詳解】，∵，∴且，∵，∴，∴當(dāng)，．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的運(yùn)算法則．考點(diǎn)四：因式分解1.因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式積的形式，叫因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算.2.因式分解的基本方法：1）提取公因式法：；2）運(yùn)用公式法：平方差與完全平方公式；3）十字相乘：；4）分組分解。3.分解因式的一般步驟：“一提，二套，三十字，四分組，五檢查”。題型1.因式分解因式分解易錯(cuò)點(diǎn)：①概念錯(cuò)誤：概念不清，發(fā)生了因式分解的結(jié)果不是整式的積的情形；②公式用錯(cuò)型：平方差公式和完全平方公式的本質(zhì)形式?jīng)]有分清，搞懂；③分解不徹底。因式分解步驟：1）如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提取公因式；2）如果各項(xiàng)沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項(xiàng)時(shí)，考慮平方差公式；為三項(xiàng)時(shí)，考慮完全平方公式或十字相乘；為四項(xiàng)時(shí)，考慮利用分組的方法進(jìn)行分解；3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止。例1.（2023·江蘇無錫·中考真題）分解因式：．【答案】【分析】直接利用完全平方公式即可求解．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解．熟練掌握完全平方公式法因式分解，是解題的關(guān)鍵．變式1．（2024·江蘇南京·一模）分解因式：．【答案】【分析】本題考查利用提公因式法分解因式，解題的關(guān)鍵是把把看成一個(gè)整體．【詳解】解：，故答案為：．變式2．（2024·江蘇宿遷·一模）因式分解：．【答案】【分析】本題考查了平方差公式分解因式．直接運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解．【詳解】解：．故答案為：．題型2.因式分解的應(yīng)用1）因式分解分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可；2）因式分解必須是恒等變形；3）因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止；4）因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式。例1.（2022·江蘇蘇州·中考真題）已知，，則．【答案】24【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，先根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解再整體代入求值是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021·江蘇揚(yáng)州·中考真題）計(jì)算：．【答案】4041【分析】利用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算即可．【詳解】解：===4041故答案為：4041．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，解題時(shí)注意運(yùn)算順序．變式2.（2023·河南汝州·八年級(jí)期末）邊長為a，b的長方形的周長為14，面積為10，則的值為___．【答案】490【分析】根據(jù)題意可得：，，再將代數(shù)式進(jìn)行因式分解，代入即可求解．【詳解】解：∵邊長為a，b的長方形的周長為14，面積為10，∴，，∴．故答案為：490．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式的因式分解，根據(jù)題意得到，是解題的關(guān)鍵．專項(xiàng)訓(xùn)練1.（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）若，則括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的單項(xiàng)式是(

)A．a(chǎn) B． C． D．【答案】A【分析】將已知條件中的乘法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵，∴（

）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式除法的應(yīng)用，弄清被除式、除式和商之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023年湖南省常德市中考數(shù)學(xué)真題）若，則(

)A．5 B．1 C． D．0【答案】A【分析】把變形后整體代入求值即可．【詳解】∵，∴∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，利用整體思想是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）若，下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、合并同類項(xiàng)法則分別化簡，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：A．，故此選項(xiàng)符合題意；B．，故此選項(xiàng)不合題意；C．，故此選項(xiàng)不合題意；D．與無法合并，故此選項(xiàng)不合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、合并同類項(xiàng)，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4．（2023年湖南省常德市中考數(shù)學(xué)真題）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分?jǐn)?shù)若排在第a行b列，則的值為(

)

……A．2003 B．2004 C．2022 D．2023【答案】C【分析】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分?jǐn)?shù)，分母與其所在行數(shù)一致．【詳解】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分?jǐn)?shù)，分母與其所在行數(shù)一致，故在第20列，即；向前遞推到第1列時(shí)，分?jǐn)?shù)為，故分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)在同一行．即在第2042行，則．∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索的知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵善于發(fā)現(xiàn)數(shù)字遞變的周期性和趨向性．5．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）我國宋朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家楊輝，曾將大小完全相同的圓彈珠逐層堆積，形成“三角垛”，頂層記為第1層，有1顆彈珠；第2層有3顆彈珠；第3層有6顆彈珠，往下依次是第4層，第5層，…；如圖中畫出了最上面的四層．若用表示第n層的彈珠數(shù)，其中n＝1，2，3，…，則＋…＋＝（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】確定每層彈珠數(shù)和層數(shù)的關(guān)系，即可求解．【詳解】解：觀察圖形的變化可知：第1層有1顆彈珠，即；第2層有3顆彈珠，即；第3層有6顆彈珠，即；第4層有10顆彈珠，即；…∴第層的彈珠數(shù)為：∴，∴＋…＋＝故選：B【點(diǎn)睛】本題以規(guī)律探索為背景，考查了分式的計(jì)算．根據(jù)圖形變化確定規(guī)律是解題關(guān)鍵．6．（2023·湖南常德·模擬預(yù)測）若是不為的有理數(shù)，則我們把稱為的差倒數(shù)，如的差倒數(shù)為，的差倒數(shù)為，已知：，是差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，，依次類推，的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)差倒數(shù)定義計(jì)算得出，，，，依次推導(dǎo)個(gè)數(shù)據(jù)為一組，，．【詳解】解：根據(jù)差倒數(shù)的定義知，，，，以、、這個(gè)數(shù)為一組，∵，∴第個(gè)數(shù)為第組數(shù)的第個(gè)數(shù)據(jù)，則，那么．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是得出數(shù)據(jù)的規(guī)律．7．（2023·河南周口·二模）如圖，在四邊形中，頂點(diǎn)，分別在軸，軸上，，，，，軸，交軸于點(diǎn)將四邊形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求得的長度，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．【詳解】解：，，，，軸，，，，將四邊形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)次一個(gè)循環(huán)，，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)、規(guī)律型，點(diǎn)的坐標(biāo)，勾股定理，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．（2023·江蘇泰州·二模）、為正整數(shù)，，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先將變形為，再根據(jù)，，又、為正整數(shù)，求得或，代入即可求解．【詳解】解：∵；∴∵，，又、為正整數(shù)，∴，或，，∴或，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，完全平方公式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是將已知式了變形為，根據(jù)偶次方的非負(fù)性與、為正整數(shù)，求出m、n的值．9．（2023·山東菏澤·三模）設(shè)m、n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．【答案】2022【分析】利用根的定義即使得方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，根與系數(shù)關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】∵m、n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，，∵，∴，故答案為：2022．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根，根與系數(shù)關(guān)系定理，正確理解根的意義，靈活掌握根與系數(shù)關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．10．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）直線過點(diǎn)，則值為．【答案】2027【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，代數(shù)式求值．把點(diǎn)代入，得，即，再整理體代入所求代數(shù)式計(jì)算即可．【詳解】解：把點(diǎn)代入，得，即，∴故答案為：2027．11．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）掌握地震知識(shí)，提升防震意識(shí)．根據(jù)里氏震級(jí)的定義，地震所釋放出的能量與震級(jí)的關(guān)系為（其中為大于0的常數(shù)），那么震級(jí)為8級(jí)的地震所釋放的能量是震級(jí)為6級(jí)的地震所釋放能量的倍．【答案】1000【分析】分別求出震級(jí)為８級(jí)和震級(jí)為6級(jí)所釋放的能量，然后根據(jù)同底數(shù)冪的除法即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)能量與震級(jí)的關(guān)系為（其中為大于0的常數(shù)）可得到，當(dāng)震級(jí)為8級(jí)的地震所釋放的能量為：，當(dāng)震級(jí)為6級(jí)的地震所釋放的能量為：，，震級(jí)為8級(jí)的地震所釋放的能量是震級(jí)為6級(jí)的地震所釋放能量的1000倍．故答案為：1000．【點(diǎn)睛】本題考查了利用同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減的知識(shí)，充分理解題意并轉(zhuǎn)化為所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．（2022·江蘇常州·中考真題）分解因式：．【答案】xy(x+y)【分析】利用提公因式法即可求解．【詳解】，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法分解因式的知識(shí)，掌握提公因式法是解答本題的關(guān)鍵．13．（2023下·湖北武