查補重難點01 整式相關(guān)運算與探索表達規(guī)律（解析版）

查補重難點01.整式相關(guān)運算與探索表達規(guī)律考點一：冪運算與乘法公式1.冪運算公式： 2.乘法公式：（1）平方差公式：（2）完全平方公式：題型1.冪運算與乘法公式基本運算1）符號處理不當：在冪的運算中，很多同學計算時符號容易出錯。計算時，可以先確定計算符號，負數(shù)進行運算時，看次方，負數(shù)的奇次冪結(jié)果為負，偶次冪結(jié)果為正。2）忽視指數(shù)為“1”的冪：在冪的運算中，有些同學會忽視指數(shù)為“1”的冪，從而導致計算的錯誤。指數(shù)為“1”時通常省略不寫，但是計算時不能漏加。3）忽視0指數(shù)冪、負指數(shù)冪成立的條件：在計算零指數(shù)冪或負指數(shù)冪時，要注意，底數(shù)不能等于0.4）運用完全平方公式時，①丟掉系數(shù)的平分；②丟掉中間乘積項或漏了系數(shù)的“2倍”；③不能正確區(qū)分中間項符號特征。5）運用平方差公式時，沒找準“a”與“b”。例1.（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）下列運算中，結(jié)果正確的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)合并同類項、同底數(shù)冪的乘法運算和除法運算、冪的乘方運算逐項分析，即可求解．【詳解】解：，故A選項錯誤；，故B選項錯誤；，故C選項正確；，故D選項錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了合并同類項、同底數(shù)冪的乘法運算和除法運算、冪的乘方運算，掌握以上運算法則是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學真題）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出個球放入丙袋，最后從丙袋中取出個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數(shù)相同，則的值等于（

）

A．128 B．64 C．32 D．16【答案】A【分析】先表示每個袋子中球的個數(shù)，再根據(jù)總數(shù)可知每個袋子中球的個數(shù)，進而求出，，最后逆用同底數(shù)冪相乘法則求出答案．【詳解】調(diào)整后，甲袋中有個球，，乙袋中有個球，，丙袋中有個球．∵一共有（個）球，且調(diào)整后三只袋中球的個數(shù)相同，∴調(diào)整后每只袋中有（個）球，∴，，∴，，

∴．故選：A．【點睛】本題考查了冪的混合運算，找準數(shù)量關(guān)系，合理利用整體思想是解答本題的關(guān)鍵．變式2．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）下列計算正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】分別根據(jù)積的乘方、合并同類項、乘法公式逐項求解判斷即可．【詳解】解：A、，故原計算錯誤，不符合題意；B、，故原計算錯誤，不符合題意；C、，故原計算正確，符合題意；D、，故原計算錯誤，不符合題意，故選：C．【點睛】本題考查積的乘方、合并同類項、乘法公式，熟記完全平方公式和平方差公式，正確判斷是解答的關(guān)鍵．題型2.完全平方公式變形求值（知二求二）乘法公式求值類的題目，關(guān)鍵在于恒等變形，反復利用平方差公式和完全平方公式，結(jié)合公式中各項的情況，做出相應(yīng)的變形。用可推導除一些變式（知二求二）：=1\*GB3①；=2\*GB3②；特殊結(jié)構(gòu)：；。例1.（2023·江蘇宿遷·中考真題）若實數(shù)m滿足，則．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式得，再代值計算即可．【詳解】解：故答案為：．【點睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，求代數(shù)式值，掌握完全平方公式及其變式是解題本題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）已知：，則________．【答案】【分析】將方程兩邊同時除以字母x，把整式方程化為分式方程，再結(jié)合完全平方公式及其變式即可求解．【詳解】解：將方程兩邊同時除以字母x得：，故答案為：．【點睛】本題考查完全平方公式及其變式，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．變式2.（2020·江蘇宿遷·中考真題）已知a+b＝3，a2+b2＝5，則ab的值是．【答案】2【分析】現(xiàn)將a+b進行平方，然后把a2+b2=5代入，即可求解．【詳解】∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即a2+2ab+b2＝9，∵a2+b2＝5，∴ab＝（9﹣5）÷2＝2．故答案為：2．【點睛】本題考查了完全平方公式，熟記公式的幾個變形公式對解題大有幫助．題型3.完全平分公式含參運用任意給一個二次三項式是完全平方式求解參數(shù)的值：先根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項即可確定參數(shù)的值，要注意的是第一項和第三項都是平方項，即第一項可寫成±a的平方，第三項可寫為±b的平方，那么參數(shù)的值也有兩個。例1.（2023年四川省涼山州數(shù)學中考真題）已知是完全平方式，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：∵是完全平方式，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了完全平方公式．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：．變式1．（2022·黑龍江·中考真題）已知代數(shù)式是一個完全平方式，則實數(shù)t的值為__．【答案】或【分析】直接利用完全平方公式求解．【詳解】解：∵代數(shù)式是一個完全平方式，∴，∴，解得或，故答案為：或【點睛】本題考查了完全平方公式的運用，熟記完全平方公式的特點是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·浙江·九年級期中）將16y2+1再加上一個整式，使它成為一個完全平方式，則加上的整式為______．【答案】8y，-8y，64y4【分析】因為a2±2ab+b2=（a±b）2，由16y2+1=（4y）2+1，①當a2=（4y）2，b2=1，則a=4y，b=1，即可得出±2ab的值，即可得出答案；②當2ab=16y2，b2=1，即可得出a的值，即可得出a2的值即可得出答案．【詳解】解：∵16y2+1=（4y）2+1，∴（4y）2+8y+1=（4y+1）2，∴（4y）2-8y+1=（4y-1）2，∴（8y2）2+16y2+1=64y4+16y2+1=（8y2+1）2，故答案為：8y，-8y，64y4．【點睛】本題考查了完全平方公式，熟練應(yīng)用完全平方公式進行求解是解決本題的關(guān)鍵．題型4.乘法公式的幾何驗證利用求面積的兩種方法（公式法與補割法），列式（公式法求面積=補割法求面積），化簡求解。例1.（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學真題）我們可以利用圖形中的面積關(guān)系來解釋很多代數(shù)恒等式．給出以下4組圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式：①

②

③

④

其中，圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】觀察各個圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式即可得到答案．【詳解】解：圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有①②③④，故選：．【點睛】本題考查用圖形面積解釋代數(shù)恒等式，解題的關(guān)鍵是用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積．變式1．（2023年湖北省隨州市中考數(shù)學真題）設(shè)有邊長分別為a和b()的A類和B類正方形紙片、長為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個邊長為的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個長為、寬為的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為(

)

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】計算出長為，寬為的大長方形的面積，再分別得出A、B、C卡片的面積，即可看出應(yīng)當需要各類卡片多少張．【詳解】解：長為，寬為的大長方形的面積為：；需要6張A卡片，2張B卡片和8張C卡片．故選：C．【點睛】本題主要考查多項式乘多項式與圖形面積，解題的關(guān)鍵是理解結(jié)果中項的系數(shù)即為需要C類卡片的張數(shù)．變式2．（2022·湖北隨州·中考真題）《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學發(fā)展史的一個里程碑．在該書的第2幕“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何給人以強烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中．(1)我們在學習許多代數(shù)公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式，（下面各圖形均滿足推導各公式的條件，只需填寫對應(yīng)公式的序號）公式①：公式②：公式③：公式④：圖1對應(yīng)公式______，圖2對應(yīng)公式______，圖3對應(yīng)公式______，圖4對應(yīng)公式______；(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式的方法，如圖5，請寫出證明過程；（已知圖中各四邊形均為矩形）(3)如圖6，在等腰直角三角形ABC中，，D為BC的中點，E為邊AC上任意一點（不與端點重合），過點E作于點G，作F點H過點B作BF//AC交EG的延長線于點F．記△BFG與△CEG的面積之和為，△ABD與△AEH的面積之和為．①若E為邊AC的中點，則的值為_______；②若E不為邊AC的中點時，試問①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．【答案】(1)①，②，④，③(2)證明見解析(3)①2②結(jié)論仍成立，理由見解析【分析】（1）觀察圖形，根據(jù)面積計算方法即可快速判斷；（2）根據(jù)面積關(guān)系：矩形AKHD面積=矩形AKLC面積+矩形CLHD面積=矩形DBFG面積+矩形CLHD面積=正方形BCEF面積－正方形LEGH面積，即可證明；（3）①由題意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是正方形，設(shè)BD=a，從而用含a的代數(shù)式表示出S1、S2進行計算即可；②由題意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是矩形，設(shè)BD=a，DG=b，從而用含a、b的代數(shù)式表示出S1、S2進行計算即可．(1)解：圖1對應(yīng)公式①，圖2對應(yīng)公式②，圖3對應(yīng)公式④，圖4對應(yīng)公式③；故答案為：①，②，④，③；(2)解：由圖可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b，∴，∵，∴，又∵，∴；(3)解：①由題意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是正方形，設(shè)，∴，，，，∴，，∴；故答案為：2；②成立，證明如下：由題意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是矩形，設(shè)，，∴，，，，∴，，∴仍成立．【點睛】本題主要考查了公式的幾何驗證方法，矩形和正方形的判定與性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想，觀察圖形，通過圖形面積解決問題是解題的關(guān)鍵．考點二：探究與表達規(guī)律探究與表達規(guī)律是中考數(shù)學中的?？紗栴}，往往以選擇題或者填空題中的壓軸題形式出現(xiàn)，主要命題方式有數(shù)式規(guī)律、圖形變化規(guī)律、點的坐標規(guī)律等。規(guī)律探索問題指的是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作、變化過程，要求通過觀察、思路點撥、推理，探究其中所蘊含的規(guī)律，進而歸納或猜想出一般性的結(jié)論。這類問題，因其獨特的規(guī)律性和探究性，對分析問題、解決問題的能力具有很高的要求，在近幾年全國各地的中考試題中，不僅頻頻出現(xiàn)規(guī)律探究題，而且“花樣百出”。題型1.數(shù)與式規(guī)律問題1）從簡單的情況入手﹕求出前三到四個結(jié)果，探究其規(guī)律，通過歸納猜想總結(jié)正確答案；新定義型問題一般與代數(shù)、坐標、函數(shù)知識結(jié)合較多，常見的命題背景有：楊輝三角、等差數(shù)列、連續(xù)n個數(shù)的立方和、連續(xù)n個數(shù)的平方和、階乘等。2）關(guān)注問題中的不變量和變量﹕在探究規(guī)律的問題中，一般都會存在變量和不變量（也就是常量），我們要多關(guān)注變量，看看這些變量是如何變化的，仔細觀察變量的變化與序號（一般為n）之間的關(guān)系，我們找到這個關(guān)系就找到了規(guī)律所在。3）掌握一些數(shù)學思想方法：規(guī)探索律型問題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學對象所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件，要求學生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律。它體現(xiàn)了“特殊到一般”的數(shù)學思想方法，考察了學生的分析、解決問題能力，觀察、聯(lián)想、歸納能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力。例1.（2023·江蘇鹽城·一模）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表（圖①），即楊輝三角．現(xiàn)在將所有的奇數(shù)記“1”，所有的偶數(shù)記為“0”，則前4行如圖②，前8行如圖③，求前32行“1”的個數(shù)為．【答案】/243【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律探究計算，根據(jù)給出的圖②和圖③找出出現(xiàn)“”規(guī)律是解題關(guān)鍵．先根據(jù)給出的圖②和圖③找出出現(xiàn)“”規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律即可得解．【詳解】解：觀察圖②和圖③可知，前行中包含個前行的圖形，中間三角形中的數(shù)字均為，前行中“”的個數(shù)是前行中“”的個數(shù)的倍，即前行中“”的個數(shù)為（個），同理可知前行中“”的個數(shù)是前行中“”的個數(shù)的倍，即前行中“”的個數(shù)為（個），前行中“”的個數(shù)是前行中“”的個數(shù)的倍，即前行中“”的個數(shù)為（個），故答案為：．變式1.（2023年湖北省恩施州中考數(shù)學真題）觀察下列兩行數(shù)，探究第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系：，4，，16，，64，……①0，7，，21，，71，……②根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成填空：第①行數(shù)的第10個數(shù)為；取每行數(shù)的第2023個數(shù)，則這兩個數(shù)的和為．【答案】1024【分析】通過觀察第一行數(shù)的規(guī)律為，第二行數(shù)的規(guī)律為，代入數(shù)據(jù)即可.【詳解】第一行數(shù)的規(guī)律為，∴第①行數(shù)的第10個數(shù)為；第二行數(shù)的規(guī)律為，∴第①行數(shù)的第2023個數(shù)為，第②行數(shù)的第2023個數(shù)為，∴，故答案為：1024；．【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化，找其中的規(guī)律，是今年考試中常見的題型.變式2．（2023年浙江省嘉興市中考數(shù)學真題）觀察下面的等式：，，，，…．(1)嘗試：___________．(2)歸納：___________（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）．(3)推理：運用所學知識，推理說明你歸納的結(jié)論是正確的．【答案】(1)6(2)n(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以直接得到結(jié)果；（2）根據(jù)題目中給出的式子,可以直接得到答案；（3）將（2）中等號左邊用平方差公式計算即可．【詳解】（1）解：∵，，，，∴，，故答案為：6；（2）由題意得：，故答案為：n；（3）．【點睛】此題考查了數(shù)字類的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運算，列代數(shù)式，平方差公式，正確理解題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點是解題的關(guān)鍵．題型2.圖形變化規(guī)律問題圖形變化規(guī)律題常見處理辦法：(1)利用特殊點、特殊圖形、特殊位置等進行歸納、概括，從特殊到一般找規(guī)律，進而得出解決問題的方法；(2)當問題的結(jié)論不能唯一確定時，則需要按可能出現(xiàn)的情況加以分類討論；(3)利用一個問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個類似的問題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴密論證。例1.（2021·江蘇揚州·中考真題）將黑色圓點按如圖所示的規(guī)律進行排列，圖中黑色圓點的個數(shù)依次為：1，3，6，10，……，將其中所有能被3整除的數(shù)按從小到大的順序重新排列成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)中的第33個數(shù)為．【答案】1275【分析】首先得到前n個圖形中每個圖形中的黑色圓點的個數(shù)，得到第n個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為，再判斷其中能被3整除的數(shù)，得到每3個數(shù)中，都有2個能被3整除，再計算出第33個能被3整除的數(shù)所在組，為原數(shù)列中第50個數(shù)，代入計算即可．【詳解】解：第①個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為：1，第②個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為：=3，第③個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為：=6，第④個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為：=10，...第n個圖形中的黑色圓點的個數(shù)為，則這列數(shù)為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3個數(shù)中，都有2個能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，則第33個被3整除的數(shù)為原數(shù)列中第50個數(shù)，即=1275，故答案為：1275．【點睛】此題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律．變式1.（2023年四川省綿陽市中考數(shù)學真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個數(shù)為，…，以此類推，那么的值為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)圖形中“●”的個數(shù)得出數(shù)字變化規(guī)律，進而求解即可．【詳解】解：，，，，…，；∴，故選∶C．【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．變式2.（2023年黑龍江省綏化市中考數(shù)學真題）在求的值時，發(fā)現(xiàn)：，，從而得到．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個三角形，記作；分別連接這個三角形三邊中點得到圖（2），有5個三角形，記作；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點得到圖（3），有9個三角形，記作；按此方法繼續(xù)下去，則．（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）

【答案】/【分析】根據(jù)題意得出，進而即可求解．【詳解】解：依題意，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．題型3.坐標變化規(guī)律問題探究點的坐標變化，先明確動點的運動方式，有時需要制作表格或者畫圖，來幫助尋找變化規(guī)律。在初中階段，探究點的規(guī)律通常用不完全歸納法來解決。通過一些點的特殊情況，作出一般性的歸納推理。這是一種很好的推理手段。但是在歸納坐標變化規(guī)律時，有時需要將坐標進行整理，按照一定方式呈現(xiàn)，如豎排、利用表格等，能將規(guī)律體現(xiàn)得明顯，有助于規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。坐標變化規(guī)律題常見處理辦法：①找出第一周期的幾個數(shù)，確定周期數(shù)；②算出題目中的總數(shù)和待求數(shù)；③用總數(shù)÷周期數(shù)=m……n（表示這列數(shù)中有m個整周期，最后余n個）；④最后余幾，待求數(shù)就和每周期的第幾個一樣。例1.（2023年山東省聊城市中考數(shù)學真題）如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣．從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個數(shù)字提取出來組成有序數(shù)對：；；；；…如果單把每個數(shù)對中的第一個或第二個數(shù)字按順序排列起來研究，就會發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．請寫出第n個數(shù)對：．

【答案】【分析】根據(jù)題意單另把每個數(shù)對中的第一個或第二個數(shù)字按順序排列起來研究，可發(fā)現(xiàn)第個數(shù)對的第一個數(shù)為：，第個數(shù)對的第二個位：，即可求解．【詳解】解：每個數(shù)對的第一個數(shù)分別為3，7，13，21，31，…即：，，，，，…則第個數(shù)對的第一個數(shù)為：，每個數(shù)對的第二個數(shù)分別為5，10，17，26，37，…即：；；；；…，則第個數(shù)對的第二個位：，∴第n個數(shù)對為：，故答案為：．【點睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的排列規(guī)律，利用拐彎出數(shù)字的差的規(guī)律解決問題．變式1.（2023·河南漯河·二模）圖，在平面直角坐標系中，，，，…都是等邊三角形，其邊長依次為2，4，6．…，其中點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為…，按此規(guī)律排下去，則點的坐標為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】觀察所給圖形，發(fā)現(xiàn)x軸上方的點是4的倍數(shù)，確定點在x軸上方，分別求出點的坐標為，點的坐標為，……，點的坐標為，即可求解．【詳解】解：觀察所給圖形，發(fā)現(xiàn)x軸上方的點是4的倍數(shù)，∵，∴點在x軸上方，∵，∴，∵，∴，∵，∴點的坐標為，同理可知，點的坐標為，∴點的坐標為，故選：C．【點睛】本題考查點的坐標的變化規(guī)律；能夠通過所給圖形，找到點的坐標規(guī)律是解題的關(guān)鍵．變式2.（2023·山東煙臺·二模）自然界中存在許多斐波那契螺旋線圖案．斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，13，……畫出米的螺旋曲線．在平面直角坐標系中，依次以這組數(shù)為半徑作的圓弧，得到一組螺旋線，連接，得到一組螺旋折線，如圖所示．已知點的坐標分別為，則點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖中點的位置，找出規(guī)律，利用平移的特點，依次求出各個點的坐標，即可得出答案．【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)：先向右平移1個單位，再向上平移1單位得到；先向右平移1個單位，再向下平移1單位得到；先向左平移2個單位，再向下平移2單位得到；先向左平移3個單位，再向上平移3單位得到；先向右平移5個單位，再向上平移5單位得到；先向右平移8個單位，再向下平移8單位得到，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了點的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖中給出的已知點的位置，找出平移規(guī)律．考點三：整式的化簡求值1）整式化簡是初中數(shù)學的一大要點，主要內(nèi)容包括整式的加減乘除、乘方運算，方差公式、完全平方公式的運用。一般運算順序為：先乘方、再乘除、最后加減。2）求代數(shù)式的值的一般方法是先用數(shù)值代替代數(shù)式中的每個字母，然后計算求得結(jié)果。3）對于特殊的代數(shù)式，也可以采用如下方法來解：（1）給出代數(shù)式中所有字母的值。該類題一般是先化簡代數(shù)式，再代入字母的值，然后進行計算。（2）給出代數(shù)式中所含幾個字母之間的關(guān)系，不直接給出字母的值，該類題一般是把所要求的代數(shù)式通過恒等變形，轉(zhuǎn)化為可以用已知關(guān)系表示的形式，再代入計算。題型1.先化簡，再代入求值化簡求值易錯點：①多項、漏項：主要是因為在計算的過程中，沒有注意運算順序；②符號錯誤：單項式乘多項式的運算過程中，搞錯了所得項的正負性；③公式用錯；④冪的運算錯誤：混淆冪的運算法則。例1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）先化簡，再求值：，其中，.【答案】，【分析】根據(jù)完全平方公式和平方差公式展開后化簡，最后代入求值即可．【詳解】當，時，原式．【點睛】本題考查整式混合運算的化簡求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)完全平方公式和平方差公式展開．變式1．（2023·江蘇·中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】；【分析】利用完全平方公式和整式加減的運算法則進行化簡，根據(jù)平方根的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】原式．當時，原式．【點睛】本題主要考查完全平方公式、整式的加減、平方根，牢記完全平方公式和整式加減的運算法則是解題的關(guān)鍵．變式2．（2024·江蘇徐州·模擬預測）先化簡，再求值：；其中．【答案】，【分析】本題考查整式的化簡求值，先計算完全平方公式和平方差公式，再合并同類項，化簡后，代值計算即可．【詳解】解：原式；當時，原式．題型2.整體代入求值整體代入法：①觀察已知代數(shù)式和所求代數(shù)式的關(guān)系；②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式將已知代數(shù)式和所求代數(shù)式進行變形，使它們成倍分關(guān)系；③把已知代數(shù)式看成一個整式代入所求代數(shù)式中計算求值。例1.（2023年江蘇省南通市中考數(shù)學真題）若，則的值為（

）A．24 B．20 C．18 D．16【答案】D【分析】根據(jù)得到，再將整體代入中求值．【詳解】解：，得，變形為，原式．故選：D．【點睛】本題考查代數(shù)式求值，將變形為是解題的關(guān)鍵．變式1．（2020·江蘇徐州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)與的圖像交于點，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把P(，)代入兩解析式得出和的值，整體代入即可求解C【詳解】∵函數(shù)與的圖像交于點P(，)，∴，，即，，∴．故選：C．【點睛】本題考查了代數(shù)式的求值以及反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標同時滿足兩個函數(shù)的解析式．變式2．（2021·江蘇蘇州·中考真題）若，則的值為．【答案】3【分析】根據(jù)，將式子進行變形，然后代入求出值即可．【詳解】∵，∴=3m(m+2n)+6n=3m+6n=3(m+2n)=3．故答案為：3．【點睛】本題考查了代數(shù)式的求值，解題的關(guān)鍵是利用已知代數(shù)式求值．題型3.利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡求值利用根與系數(shù)的關(guān)系求解：如果代數(shù)式可以看作某兩個“字母”的輪換對稱式，而這兩個“字母”又可能看作某個一元二次方程的根，可以先用根與系數(shù)的關(guān)系求得其和、積式，再整體代入求值。例1．（2023·江蘇鹽城·二模）若方程的兩根為，，則的值為．【答案】2023【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解的概念可得，，再代入進行計算即可得到答案．【詳解】解：方程的兩根為，，，，，故答案為：2023．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解的概念，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．變式1．（2023·江蘇南京·二模）若、為的兩根，則的值為．【答案】0【分析】由已知中α，β是方程的兩個實數(shù)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】解：α，β是方程的兩個實數(shù)根，可得，∴．∴的值為0．故答案為：0．【點睛】本題考查的知識點是一元二次方程根與關(guān)系，若α，β是一元二次方程的兩根時，，．變式2．（2023·四川成都·三模）若是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為．【答案】5【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系得出，，再將其代入整理后的代數(shù)式計算即可．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，，即：，∴，故答案為：5．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時，，．也考查了一元二次方程的解．題型4分式的化簡求值分式化簡的易錯點：（1）分式化簡與分式方程混淆，通分后去掉分母。（2）丟掉符號：分式化簡中最關(guān)鍵的步驟是通分，不僅要考慮最簡公分母，也要注意符號的變化。（3）求值時，代值錯誤：當所給值不唯一時，一定要注意選值時應(yīng)該使原分式和化簡過程中的分式都有意義，即保證分母不為0。例1．（2024·江蘇連云港·模擬預測）先化簡，再求值：，其中是方程的根．【答案】，4【分析】本題考查的是分式的化簡求值，解一元二次方程，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵．先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再根據(jù)x是方程的根求出x的值，把x的值代入進行計算即可．【詳解】解：∵x是方程的根，∴解得：，，∵x不能取，∴當時，原式．變式1．（2024·江蘇連云港·一模）先化簡，再求值：，其中．【答案】【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先把小括號內(nèi)的式子通分，再把兩個分式的分子分母進行分解因式，接著把除法變成乘法后約分化簡，最后代值計算即可．【詳解】解：，當時，原式．變式2．（2023·江蘇·九年級校考階段練習）先化簡，當時，取適當?shù)恼麛?shù)并求出代數(shù)式的值．【答案】；【分析】根據(jù)，先化除為乘，然后根據(jù)分式的運算法則化簡，再代入求值即可．【詳解】，∵，∴且，∵，∴，∴當，．【點睛】本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的運算法則．考點四：因式分解1.因式分解：把一個多項式化成幾個因式積的形式，叫因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運算.2.因式分解的基本方法：1）提取公因式法：；2）運用公式法：平方差與完全平方公式；3）十字相乘：；4）分組分解。3.分解因式的一般步驟：“一提，二套，三十字，四分組，五檢查”。題型1.因式分解因式分解易錯點：①概念錯誤：概念不清，發(fā)生了因式分解的結(jié)果不是整式的積的情形；②公式用錯型：平方差公式和完全平方公式的本質(zhì)形式?jīng)]有分清，搞懂；③分解不徹底。因式分解步驟：1）如果多項式各項有公因式，應(yīng)先提取公因式；2）如果各項沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項時，考慮平方差公式；為三項時，考慮完全平方公式或十字相乘；為四項時，考慮利用分組的方法進行分解；3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個多項式都不能再分解為止。例1.（2023·江蘇無錫·中考真題）分解因式：．【答案】【分析】直接利用完全平方公式即可求解．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查因式分解．熟練掌握完全平方公式法因式分解，是解題的關(guān)鍵．變式1．（2024·江蘇南京·一模）分解因式：．【答案】【分析】本題考查利用提公因式法分解因式，解題的關(guān)鍵是把把看成一個整體．【詳解】解：，故答案為：．變式2．（2024·江蘇宿遷·一模）因式分解：．【答案】【分析】本題考查了平方差公式分解因式．直接運用平方差公式進行因式分解．【詳解】解：．故答案為：．題型2.因式分解的應(yīng)用1）因式分解分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；2）因式分解必須是恒等變形；3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止；4）因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式。例1.（2022·江蘇蘇州·中考真題）已知，，則．【答案】24【分析】根據(jù)平方差公式計算即可．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：24．【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，先根據(jù)平方差公式進行因式分解再整體代入求值是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021·江蘇揚州·中考真題）計算：．【答案】4041【分析】利用平方差公式進行簡便運算即可．【詳解】解：===4041故答案為：4041．【點睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，解題時注意運算順序．變式2.（2023·河南汝州·八年級期末）邊長為a，b的長方形的周長為14，面積為10，則的值為___．【答案】490【分析】根據(jù)題意可得：，，再將代數(shù)式進行因式分解，代入即可求解．【詳解】解：∵邊長為a，b的長方形的周長為14，面積為10，∴，，∴．故答案為：490．【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，根據(jù)題意得到，是解題的關(guān)鍵．專項訓練1.（2023·江蘇揚州·中考真題）若，則括號內(nèi)應(yīng)填的單項式是(

)A．a(chǎn) B． C． D．【答案】A【分析】將已知條件中的乘法運算可以轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式進行計算即可解答．【詳解】解：∵，∴（

）．故選：A．【點睛】本題主要考查了整式除法的應(yīng)用，弄清被除式、除式和商之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023年湖南省常德市中考數(shù)學真題）若，則(

)A．5 B．1 C． D．0【答案】A【分析】把變形后整體代入求值即可．【詳解】∵，∴∴，故選：A．【點睛】本題考查代數(shù)式求值，利用整體思想是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）若，下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接用同底數(shù)冪的乘法運算法則以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、合并同類項法則分別化簡，進而得出答案．【詳解】解：A．，故此選項符合題意；B．，故此選項不合題意；C．，故此選項不合題意；D．與無法合并，故此選項不合題意．故選：A．【點睛】此題考查了同底數(shù)冪的乘法運算以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、合并同類項，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．4．（2023年湖南省常德市中考數(shù)學真題）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分數(shù)若排在第a行b列，則的值為(

)

……A．2003 B．2004 C．2022 D．2023【答案】C【分析】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分數(shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分數(shù)，分母與其所在行數(shù)一致．【詳解】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分數(shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分數(shù)，分母與其所在行數(shù)一致，故在第20列，即；向前遞推到第1列時，分數(shù)為，故分數(shù)與分數(shù)在同一行．即在第2042行，則．∴故選：C．【點睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索的知識點，解題的關(guān)鍵善于發(fā)現(xiàn)數(shù)字遞變的周期性和趨向性．5．（2024·湖南長沙·模擬預測）我國宋朝時期的數(shù)學家楊輝，曾將大小完全相同的圓彈珠逐層堆積，形成“三角垛”，頂層記為第1層，有1顆彈珠；第2層有3顆彈珠；第3層有6顆彈珠，往下依次是第4層，第5層，…；如圖中畫出了最上面的四層．若用表示第n層的彈珠數(shù)，其中n＝1，2，3，…，則＋…＋＝（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】確定每層彈珠數(shù)和層數(shù)的關(guān)系，即可求解．【詳解】解：觀察圖形的變化可知：第1層有1顆彈珠，即；第2層有3顆彈珠，即；第3層有6顆彈珠，即；第4層有10顆彈珠，即；…∴第層的彈珠數(shù)為：∴，∴＋…＋＝故選：B【點睛】本題以規(guī)律探索為背景，考查了分式的計算．根據(jù)圖形變化確定規(guī)律是解題關(guān)鍵．6．（2023·湖南常德·模擬預測）若是不為的有理數(shù)，則我們把稱為的差倒數(shù)，如的差倒數(shù)為，的差倒數(shù)為，已知：，是差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，，依次類推，的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)差倒數(shù)定義計算得出，，，，依次推導個數(shù)據(jù)為一組，，．【詳解】解：根據(jù)差倒數(shù)的定義知，，，，以、、這個數(shù)為一組，∵，∴第個數(shù)為第組數(shù)的第個數(shù)據(jù)，則，那么．故選：A．【點睛】本題考查了有理數(shù)運算，解決本題的關(guān)鍵是得出數(shù)據(jù)的規(guī)律．7．（2023·河南周口·二模）如圖，在四邊形中，頂點，分別在軸，軸上，，，，，軸，交軸于點將四邊形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求得的長度，即可求出點的坐標，再探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．【詳解】解：，，，，軸，，，，將四邊形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標為，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標為，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標為，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標為，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)次一個循環(huán)，，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標為．故選：D．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化旋轉(zhuǎn)、規(guī)律型，點的坐標，勾股定理，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．（2023·江蘇泰州·二模）、為正整數(shù)，，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先將變形為，再根據(jù)，，又、為正整數(shù)，求得或，代入即可求解．【詳解】解：∵；∴∵，，又、為正整數(shù)，∴，或，，∴或，∴，故選：B．【點睛】本題考查代數(shù)式求值，完全平方公式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是將已知式了變形為，根據(jù)偶次方的非負性與、為正整數(shù)，求出m、n的值．9．（2023·山東菏澤·三模）設(shè)m、n是方程的兩個實數(shù)根，則．【答案】2022【分析】利用根的定義即使得方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，根與系數(shù)關(guān)系計算即可．【詳解】∵m、n是方程的兩個實數(shù)根，∴，，∴，，∵，∴，故答案為：2022．【點睛】本題考查了一元二次方程的根，根與系數(shù)關(guān)系定理，正確理解根的意義，靈活掌握根與系數(shù)關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．10．（2024·江蘇常州·模擬預測）直線過點，則值為．【答案】2027【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，代數(shù)式求值．把點代入，得，即，再整理體代入所求代數(shù)式計算即可．【詳解】解：把點代入，得，即，∴故答案為：2027．11．（2022·江蘇揚州·中考真題）掌握地震知識，提升防震意識．根據(jù)里氏震級的定義，地震所釋放出的能量與震級的關(guān)系為（其中為大于0的常數(shù)），那么震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的倍．【答案】1000【分析】分別求出震級為８級和震級為6級所釋放的能量，然后根據(jù)同底數(shù)冪的除法即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)能量與震級的關(guān)系為（其中為大于0的常數(shù)）可得到，當震級為8級的地震所釋放的能量為：，當震級為6級的地震所釋放的能量為：，，震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的1000倍．故答案為：1000．【點睛】本題考查了利用同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減的知識，充分理解題意并轉(zhuǎn)化為所學數(shù)學知識是解題的關(guān)鍵．12．（2022·江蘇常州·中考真題）分解因式：．【答案】xy(x+y)【分析】利用提公因式法即可求解．【詳解】，故答案為：．【點睛】本題考查了用提公因式法分解因式的知識，掌握提公因式法是解答本題的關(guān)鍵．13．（2023下·湖北武