查補(bǔ)重難點(diǎn)03 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用（解析版）

查補(bǔ)重難點(diǎn)03反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用考點(diǎn)一：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合反比例函數(shù)與一次函數(shù)進(jìn)行綜合考查的題型是江蘇歷年中考數(shù)學(xué)對(duì)于函數(shù)考查的重點(diǎn)內(nèi)容，那么關(guān)于反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合專題當(dāng)中，我們主要涉及到函數(shù)共存問(wèn)題，交點(diǎn)和不等式（比大?。﹩?wèn)題、最值問(wèn)題以及與幾何綜合壓軸類的題型。無(wú)論是哪一類型的題型，在綜合的考察過(guò)程當(dāng)中都是對(duì)于反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)有充分的了解，借助數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、化歸思想等。通過(guò)函數(shù)的圖像來(lái)得到我們所需要的求解問(wèn)題。在這過(guò)程當(dāng)中，如果對(duì)于這兩類函數(shù)沒(méi)有全面的了解，那么在解題過(guò)程當(dāng)中就要花費(fèi)大家很多的時(shí)間而導(dǎo)致其解題效率的降低，那么在解決這三大類型的提醒過(guò)程當(dāng)中，該如何利用這些函數(shù)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行解題，該專題可供大家在備考階段能夠進(jìn)行專項(xiàng)的突破。題型1.反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖像共存問(wèn)題函數(shù)圖象共存問(wèn)題是一次函數(shù)和反比例函數(shù)當(dāng)中含有共同的參數(shù)，根據(jù)分類討論的形式，由函數(shù)的圖像特點(diǎn)來(lái)判定符合兩個(gè)函數(shù)參數(shù)的圖形。解決這類型的題不僅是反比例函數(shù)和一次函數(shù)進(jìn)行綜合考查，連同二次函數(shù)在內(nèi)的題型進(jìn)行考查也是比較常見(jiàn)的，所以解決這類型的問(wèn)題時(shí)，我們先要根據(jù)一次函數(shù)或反比例函數(shù)中參數(shù)的共性，通過(guò)分別進(jìn)行討論的形式逐一進(jìn)行排除，最終確定滿足要求的函數(shù)圖像。例1．（2023年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)真題）一次函數(shù)與反比例函數(shù)（a，b為常數(shù)且均不等于0）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（

）A．B．

C．

D．

【答案】D【分析】先根據(jù)一次函數(shù)圖象確定a、b的符號(hào)，進(jìn)而求出的符號(hào)，由此可以確定反比例函數(shù)圖象所在的象限，看是否一致即可．【詳解】解：A、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，∴，∴，∴反比例函數(shù)的圖象見(jiàn)過(guò)第一、三象限，這與圖形不符合，故A不符合題意；B、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，∴，∴，∴反比例函數(shù)的圖象見(jiàn)過(guò)第二、四象限，這與圖形不符合，故B不符合題意；C、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，∴，∴，∴反比例函數(shù)的圖象見(jiàn)過(guò)第二、四象限，這與圖形不符合，故C不符合題意；D、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，∴，∴，∴反比例函數(shù)的圖象見(jiàn)過(guò)第二、四象限，這與圖形符合，故D符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與函數(shù)圖象的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．變式1.（2023年湖北省襄陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，可排除B；當(dāng)時(shí)，排除C、D．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)過(guò)一三象限，一次函數(shù)與y軸正半軸有交點(diǎn)，過(guò)一二三象限，故A正確，排除B；當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)過(guò)二四象限，一次函數(shù)與y軸負(fù)半軸有交點(diǎn)，過(guò)二三四象限，排除C、D；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)綜合問(wèn)題，掌握數(shù)形結(jié)合的思想是關(guān)鍵．變式2.（2022·廣西·中考真題）已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】先由反比例函數(shù)圖象得出b>0，再分當(dāng)a>0，a<0時(shí)分別判定二次函數(shù)圖象符合的選項(xiàng)，在符合的選項(xiàng)中，再判定一次函數(shù)圖象符合的即可得出答案．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象在第一和第三象限內(nèi)，∴b>0，若a<0，則->0，所以二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，故A、B、C、D選項(xiàng)全不符合；當(dāng)a>0，則-<0時(shí)，所以二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，故只有C、D兩選項(xiàng)可能符合題意，由C、D兩選圖象知，c<0，又∵a>0，則-a<0，當(dāng)c<0,a>0時(shí)，一次函數(shù)y=cx-a圖象經(jīng)過(guò)第二、第三、第四象限，故只有D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握反比例函數(shù)圖象、一次函數(shù)圖象、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型2.反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題一次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)相關(guān)問(wèn)題，牽扯到的知識(shí)點(diǎn)比較多，如求它們的函數(shù)解析式，或是通過(guò)兩者的圖像相交，需要考生結(jié)合兩個(gè)函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成一元二次方程，從而求得交點(diǎn)坐標(biāo)等。例1.（2023·江蘇·九年級(jí)校考期中）已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A和B兩點(diǎn)，其中有一個(gè)交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是3．(1)求k的值(2)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，【分析】本題考查了用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，以及反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用：（1）首先把A的橫坐標(biāo)為3代入兩個(gè)函數(shù)的解析式中，然后就可以確定k的值；（2）利用兩個(gè)函數(shù)的解析式組成方程組，解方程組就可以得到A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；【詳解】（1）解：由已知，，解得；（2）解：當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)為，反比例函數(shù)為，由，解得，∴故，；變式1．（2024·福建三明·一模）若正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，則另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)正、反比例函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)找出另一交點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．由正比例和反比例函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為∴另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：A．變式2．（2023·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求與的值；(2)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作直線，使，且與反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)；（要求：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，使用鉛筆作圖）；(3)求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)k的值為，m的值為12；(2)見(jiàn)解析(3)【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，平行線的尺規(guī)作圖，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）將點(diǎn)代入可求出，進(jìn)而求出的坐標(biāo)，將的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)中，可求出；（2）根據(jù)平行線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；；（3）根據(jù)題意可得：直線的函數(shù)關(guān)系式為，然后聯(lián)立方程組即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入得，，解得：，一次函數(shù)關(guān)系式為，將點(diǎn)代入，得，解得：，，將代入，得，的值為，的值為；（2）如圖所示：（3）一次函數(shù)關(guān)系式為，，直線的函數(shù)關(guān)系式為，可聯(lián)立方程組，得，解得：，(舍去)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．題型3.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的大小比較或不等式問(wèn)題大小比較問(wèn)題的呈現(xiàn)方式主要以不等式的解集的求解來(lái)進(jìn)行呈現(xiàn)，而滿足條件的不等式的左右兩邊為一次函數(shù)或反比例函數(shù)的形式來(lái)存在，所以我們可以通過(guò)這類型不等式的左右兩邊的函數(shù)圖像來(lái)進(jìn)行判定是大于小于的情況，從而通過(guò)其函數(shù)的交點(diǎn)來(lái)確定圖像的位置，滿足的解集。例1．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，直線與雙曲線交于點(diǎn)和點(diǎn)，則不等式的解集是（

）A．B．C．或D．或【答案】B【分析】利用數(shù)形相結(jié)合，借助圖象求出不等式的解集即可．【詳解】解：∵把，直線與雙曲線交于點(diǎn)和點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，直線在雙曲線的下方且直線在x軸的上方，∴不等式的解集是：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用數(shù)形相結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．變式1．（2023·山東日照·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與y軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)、．則時(shí)x的取值范圍是（

）

A．或 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖像找到一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)上方部分，結(jié)合交點(diǎn)即可得到答案.【詳解】解：由圖像可得，在B點(diǎn)右側(cè)一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像上方，且函數(shù)值大于0，∵，∴時(shí)，故選D；【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖像解不等式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，找到符合條件的圖像．變式2．（2023·浙江湖州·中考真題）已知在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)中，有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)和點(diǎn)在函數(shù)的圖象上(且)，點(diǎn)和點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．當(dāng)與的積為負(fù)數(shù)時(shí)，t的取值范圍是(

)A．或B．或C．或D．或【答案】D【分析】將交點(diǎn)的橫坐標(biāo)1代入兩個(gè)函數(shù)，令二者函數(shù)值相等，得．令，代入兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式，并分別將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)和點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入對(duì)應(yīng)函數(shù)，進(jìn)而分別求出與的表達(dá)式，代入解不等式并求出t的取值范圍即可．【詳解】解：∵的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)中，有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∴．令，則，．將點(diǎn)和點(diǎn)代入，得；將點(diǎn)和點(diǎn)代入，得．∴，，∴，∴．∵，∴，∴．①當(dāng)時(shí)，，∴不符合要求，應(yīng)舍去；②當(dāng)時(shí)，，∴符合要求；③當(dāng)時(shí)，，∴不符合要求，應(yīng)舍去；④當(dāng)時(shí)，，∴符合要求；⑤當(dāng)時(shí)，，∴不符合要求，應(yīng)舍去．綜上，t的取值范圍是或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，解不等式是本題的關(guān)鍵．題型4.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的面積問(wèn)題1.三角形的面積型：當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時(shí)，可通過(guò)面積作和或作差的形式來(lái)求解．1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，，C為AB延長(zhǎng)線與x軸的交點(diǎn)，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．例1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于點(diǎn)、，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，連接．已知點(diǎn)，的面積是2．(1)求、的值；(2)求的面積．【答案】(1)4；6(2)6【分析】（1）由點(diǎn)B（0，4）在一次函數(shù)y=2x+b的圖象上，代入求得b=4，由△BOC的面積是2得出C的橫坐標(biāo)為1，代入直線關(guān)系式即可求出C的坐標(biāo)，從而求出k的值；（2）根據(jù)一次函數(shù)的解析式求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積公式代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖象軸交于點(diǎn)，∴，OB=4，∴一次函數(shù)解析式為，設(shè)點(diǎn)C（m，n），∵的面積是2．∴，解得：m=1，∵點(diǎn)C在一次函數(shù)圖象上，∴，∴點(diǎn)C（1，6），把點(diǎn)C（1，6）代入得：k=6；（2）當(dāng)y=0時(shí)，，解得：x=-2，∴點(diǎn)A（-2，0），∴OA=2，∴．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，求出C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇無(wú)錫·中考真題）一次函數(shù)y=mx+n的圖像與反比例函數(shù)y=的圖像交于點(diǎn)A、B，其中點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A（-，-2m）、B（m，1），則△OAB的面積（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可確定反比例函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式；求出直線AB與y軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)，確定OD的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵A（-，-2m）在反比例函數(shù)y=的圖像上，∴m=(-)?(-2m)=2，∴反比例函數(shù)的解析式為y=，∴B（2，1），A（-，-4），．把B（2，1）代入y=2x+n得1=2×2+n，∴n=-3，∴直線AB的解析式為y=2x-3，直線AB與y軸的交點(diǎn)D（0，-3），∴OD=3，∴S△AOB=S△BOD+S△AOD=×3×2+×3×=．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式是解決問(wèn)題常用的方法．變式2．（23-24九年級(jí)·廣東深圳·階段練習(xí)）將反比例函數(shù)y＝的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到如圖的新曲線A（﹣3，3），B（，）的直線相交于點(diǎn)C、D，則△OCD的面積為（）A．3 B．8 C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可求出OA、OB的長(zhǎng)，以及OA、OB與x軸的夾角，進(jìn)而可得到旋轉(zhuǎn)前各個(gè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，以及原直線的關(guān)系式，進(jìn)而求出旋轉(zhuǎn)前C′、D′的坐標(biāo)，畫(huà)出相應(yīng)圖形，結(jié)合反比例函數(shù)的圖象，可求出面積【詳解】解：連接OA、OB，過(guò)點(diǎn)A、B，分別作AM⊥x軸，BN⊥x軸，垂足為M、N，∵點(diǎn)A（－3，3），B（，），∵OM＝3，AM＝3，BN＝，ON＝，∴OA＝＝6，OB＝＝3，∵tan∠AOM＝＝，∴∠AOM＝60°，同理，∠BON＝30°，因此，旋轉(zhuǎn)前點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A′（0，6），點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B′（3，0），設(shè)直線A′B′的關(guān)系式為y＝kx＋b，故有，，解得，k＝－2，b＝6，∴直線A′B′的關(guān)系式為y＝－2x＋6，由題意得，，解得，，因此，點(diǎn)C、D在旋轉(zhuǎn)前對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為C′（1，4），D′（2，2），如圖2所示，過(guò)點(diǎn)C′、D′，分別作C′P⊥x軸，D′Q⊥x軸，垂足為P、Q，則，C′P＝4，OP＝1，D′Q＝2，OQ＝2，∴S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′＝（2＋4）×（2－1）＝3，故選：A．【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求出直線AB在旋轉(zhuǎn)前對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．變式3．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)在直線上，的頂點(diǎn)D在x軸上，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C．(1)求a、k的值和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求的面積．【答案】(1)，，(2)8【分析】（1）把點(diǎn)代入直線即可求出a，再把點(diǎn)B坐標(biāo)代入即可求出k，然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)D在x軸上，得到點(diǎn)A與點(diǎn)D點(diǎn)縱坐標(biāo)相差4個(gè)單位長(zhǎng)度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，則點(diǎn)B與點(diǎn)C縱坐標(biāo)相差4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，再代入反比例函數(shù)的解析式即可求出橫坐標(biāo)，可得點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，然后求出點(diǎn)M、A、E的坐標(biāo)，根據(jù)平移的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)求解即可．【詳解】（1）解：∵在直線上，∴，解得；∵點(diǎn)在上，∴；直線與y軸交于點(diǎn)A，當(dāng)時(shí)，，，∵點(diǎn)D在x軸上，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為0，即點(diǎn)A與點(diǎn)D點(diǎn)縱坐標(biāo)相差個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)B與點(diǎn)C縱坐標(biāo)相差4個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)在上，∴，∴；（2）解：設(shè)直線的解析式為，把和代入，得，解得，∴直線的解析式為，設(shè)交x軸于點(diǎn)M，當(dāng)時(shí)，，解得，∴，對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，，∴點(diǎn)B到C的平移方式是先向右平移2個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，∴點(diǎn)A到D的平移方式也是先向右平移2個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、平移的性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)以及利用割補(bǔ)法求圖形的面積等知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型5.反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合題型（新定義）根據(jù)新定義和相關(guān)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（重點(diǎn)考查單調(diào)性和最值、對(duì)稱性、零點(diǎn)等）解答即可。例1.（2023·江蘇宿遷·中考真題）規(guī)定：若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”，其公共點(diǎn)稱為“兄弟點(diǎn)”．(1)下列三個(gè)函數(shù)①；②；③，其中與二次函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”的是________（填寫(xiě)序號(hào)）；(2)若函數(shù)與互為“兄弟函數(shù)”，是其中一個(gè)“兄弟點(diǎn)”的橫坐標(biāo)．①求實(shí)數(shù)a的值；②直接寫(xiě)出另外兩個(gè)“兄弟點(diǎn)”的橫坐標(biāo)是________、________；(3)若函數(shù)（m為常數(shù)）與互為“兄弟函數(shù)”，三個(gè)“兄弟點(diǎn)”的橫坐標(biāo)分別為、、，且，求的取值范圍．【答案】(1)②(2)；、(3)【分析】（1）在平面直角坐標(biāo)系中作出；；；圖像，結(jié)合“兄弟函數(shù)”定義即可得到答案；（2）①根據(jù)“兄弟函數(shù)”定義，當(dāng)時(shí)，求出值，列方程求解即可得到答案；②聯(lián)立方程組求解即可得到答案；（3）根據(jù)“兄弟函數(shù)”定義，聯(lián)立方程組，分類討論，由，按照討論結(jié)果求解，即可得到答案．【詳解】（1）解：作出；；；圖像，如圖所示：

與圖像有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，根據(jù)“兄弟函數(shù)”定義，與二次函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”的是②，故答案為：②；（2）解：①函數(shù)與互為“兄弟函數(shù)”，是其中一個(gè)“兄弟點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，，則，解得；②聯(lián)立，即，是其中一個(gè)解，因式分解得，則，解得，另外兩個(gè)“兄弟點(diǎn)”的橫坐標(biāo)是、；（3）解：在平面直角坐標(biāo)系中作出（m為常數(shù)）與圖像，如圖所示：

聯(lián)立，即，①當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，即，由①中，則，；由圖可知，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)只能在第二象限，從而，再根據(jù)三個(gè)“兄弟點(diǎn)”的橫坐標(biāo)分別為、、，且，，，，，由得到，即．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)綜合，涉及新定義函數(shù)，搞懂題意，按照“兄弟函數(shù)”、“兄弟點(diǎn)”定義數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．變式1．（2021·江蘇南通·中考真題）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”．（1）分別判斷函數(shù)的圖象上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由；（2）設(shè)函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為C．當(dāng)?shù)拿娣e為3時(shí)，求b的值；（3）若函數(shù)的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為．當(dāng)兩部分組成的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，直接寫(xiě)出m取值范圍．【答案】（1）函數(shù)y=x+2沒(méi)有“等值點(diǎn)”；函數(shù)的“等值點(diǎn)”為(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．【分析】（1）根據(jù)定義分別求解即可求得答案；（2）根據(jù)定義分別求A(，)，B(，)，利用三角形面積公式列出方程求解即可；（3）由記函數(shù)y=x2-2（x≥m）的圖象為W1，將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2，可得W1與W2的圖象關(guān)于x=m對(duì)稱，然后根據(jù)定義分類討論即可求得答案．【詳解】解：（1）∵函數(shù)y=x+2，令y=x，則x+2=x，無(wú)解，∴函數(shù)y=x+2沒(méi)有“等值點(diǎn)”；∵函數(shù)，令y=x，則，即，解得：，∴函數(shù)的“等值點(diǎn)”為(0，0)，(2，2)；（2）∵函數(shù)，令y=x，則，解得：(負(fù)值已舍)，∴函數(shù)的“等值點(diǎn)”為A(，)；∵函數(shù)，令y=x，則，解得：，∴函數(shù)的“等值點(diǎn)”為B(，)；的面積為，即，解得：或；（3）將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2．∴W1與W2兩部分組成的函數(shù)W的圖象關(guān)于對(duì)稱，∴函數(shù)W的解析式為，令y=x，則，即，解得：，∴函數(shù)的“等值點(diǎn)”為(-1，-1)，(2，2)；令y=x，則，即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)W的圖象不存在恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”的情況；當(dāng)時(shí)，觀察圖象，恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”；當(dāng)時(shí)，∵W1的圖象上恰有2個(gè)“等值點(diǎn)”(-1，-1)，(2，2)，∴函數(shù)W2沒(méi)有“等值點(diǎn)”，∴，整理得：，解得：．綜上，m的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的對(duì)稱性．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．考點(diǎn)二：反比例函數(shù)與幾何綜合壓軸反比例函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題，是是歷年來(lái)江蘇中考的熱點(diǎn)，常見(jiàn)于中考試卷的壓軸題中，其融合了幾何最值、特殊平行四邊形、特殊三角形的性質(zhì)、（全等）相似三角形的判定及性質(zhì)、等角（倍角）的應(yīng)用等數(shù)學(xué)核心知識(shí)，考查了學(xué)生的分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想、綜合分析和應(yīng)用知識(shí)的能力。題型1.反比例函數(shù)與最值問(wèn)題反比例函數(shù)中的最值主要分兩類：（1）面積類最值：常將幾何圖形的面積轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，利用函數(shù)求出代數(shù)式的最值即可；（2）長(zhǎng)度類最值：①多線段和差類：常用將軍飲馬模型、費(fèi)馬點(diǎn)模型、阿氏圓模型、胡不歸模型解答，②單線段最值：常用瓜豆原理（模型）、隱圓模型解答；例1．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)與坐標(biāo)軸分別交于，兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于，兩點(diǎn)，連接，的面積為．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式．(2)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出的取值范圍．(3)若為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求的面積．【答案】(1)(2)或，(3)【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，（1）先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線解析式，再根據(jù)的面積為和直線解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求出反比例函數(shù)解析式；（2）聯(lián)立方程組并求解可得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象可得出的取值范圍；（3）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交x軸于點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接，則的值最小，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)求解即可．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)與坐標(biāo)軸分別交于，兩點(diǎn)，∴把，代入得，，解得，，∴一次函數(shù)解析式為過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵∴又∴∴∴，∴∴∵在雙曲線上，∴∴（2）解：聯(lián)立方程組得，解得，，∴根據(jù)函數(shù)圖象可得，反比例函數(shù)圖象在直線上方時(shí)，有或，∴當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍為或，（3）解：作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交x軸于點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)M，則，OM=1，連接，則的值最小，設(shè)直線的解析式為把代入得，解得，∴直線的解析式為當(dāng)時(shí)，，解得，，∴∴∴，，∴．變式1.（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，一次函數(shù)的圖像與軸相交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)圖像相交于點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，過(guò)點(diǎn)作軸平行線，交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)，連接．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大，這個(gè)最大值是多少？【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，最大值【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題．（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)三角形面積公式列出關(guān)于a的代數(shù)式，利用二次函數(shù)的最值求法求出最大面積即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，∴，解得，∴，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，∴，∴反比例函數(shù)解析式為：；（2）解：∵點(diǎn)C在一次函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為a，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為，∴，∴，∴，∵，∴有最大值，當(dāng)時(shí)，最大值．變式2．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，頂點(diǎn)A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．

(1)分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使周長(zhǎng)的值最?。舸嬖?，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)在x軸上存在一點(diǎn)，使周長(zhǎng)的值最小,最小值是．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，證明，則，由得到點(diǎn)A的坐標(biāo)是，由A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上得到，解得，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，進(jìn)一步用待定系數(shù)法即可得到答案；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接交x軸于點(diǎn)P，連接，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，，則，由知是定值，此時(shí)的周長(zhǎng)為最小，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出周長(zhǎng)最小值即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，則，

∵點(diǎn)，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，∵A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．∴，解得，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，∴，∴反比例函數(shù)的解析式是，設(shè)直線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為，把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得，，解得,∴直線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為，（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接交x軸于點(diǎn)P，連接，∴點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，∴，，∵，∴的最小值是的長(zhǎng)度，∵，即是定值，∴此時(shí)的周長(zhǎng)為最小，設(shè)直線的解析式是，則，解得，∴直線的解析式是，當(dāng)時(shí)，，解得，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是，此時(shí)，綜上可知，在x軸上存在一點(diǎn)，使周長(zhǎng)的值最小，最小值是．【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、用到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理求兩點(diǎn)間距離、軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．題型2.反比例函數(shù)與圖形變換（軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)）反比例函數(shù)與圖形變換主要運(yùn)用反比例函數(shù)自身的性質(zhì)及K的幾何意義和軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)的相關(guān)性質(zhì)解題即可。例1．（2023·江蘇常州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)，已知，．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)表達(dá)式；(2)將線段沿直線向下平移得到線段，使得平移后的的中點(diǎn)恰好落在雙曲線上，求線段平移的距離．

【答案】(1)一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為(2)線段平移的距離為【分析】（1）根據(jù)可求出的長(zhǎng)度，確定的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；（2）先算線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，再算出線段的長(zhǎng)度比，設(shè)線段沿直線方向平移個(gè)單位得到，即項(xiàng)右平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再結(jié)合點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，由此即可求解．【詳解】（1）解：∵在中，，，即，∴設(shè)，∴，即，解得，（負(fù)值舍去），∴，∴，，，把點(diǎn)，代入一次函數(shù)得，，解得，，∴一次函數(shù)解析式為：，把點(diǎn)代入反比例函數(shù)得，，解得，，∴反比例函數(shù)解析式為：；（2）解：已知，，∴線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴，∴，設(shè)線段沿直線方向平移個(gè)單位得到，即項(xiàng)右平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，解得，，（舍去），∴，∴線段平移的距離為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)，反比例函數(shù)，角的正切值的計(jì)算，圖形的平移，掌握待定系數(shù)法求解析式，正切值的計(jì)算，平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇南京·二模）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)的圖象的“等值點(diǎn)”．(1)分別判斷函數(shù)，的圖象上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由；(2)設(shè)函數(shù)，的圖象的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為．當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求的值；(3)若函數(shù)的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為，當(dāng)，兩部分組成的圖象上恰有個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”或；(2)或；(3)當(dāng)，兩部分組成的圖象上恰有個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，或．【分析】（）根據(jù)定義分別求解即可求得答案；（）根據(jù)定義分別求，，利用三角形面積公式列出方程求解即可；（3）由記函數(shù)的圖象為，將沿翻折后得到的函數(shù)圖象記為，可得與的圖象關(guān)于對(duì)稱，然后根據(jù)定義分類討論即可求得答案．【詳解】（1）在中，令，得不成立，∴函數(shù)的圖象上不存在“等值點(diǎn)”；在中，令，解得：，，∴函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”或；（2）在函數(shù)中，令，解得：，∴，在函數(shù)中，令，解得：，∴，∵軸，∴，∴，∵的面積為，∴，當(dāng)時(shí)，，解得:，當(dāng)時(shí)，，∵，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，，解得：或，綜上所述，的值為或；（3）令，解得：，，∴函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”或，當(dāng)時(shí)，，兩部分組成的圖象上必有個(gè)“等值點(diǎn)”或，：，：，令，整理得：，∵的圖象上不存在“等值點(diǎn)”，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，有個(gè)“等值點(diǎn)”，，，當(dāng)時(shí)，，兩部分組成的圖象上恰有個(gè)“等值點(diǎn)”，當(dāng)時(shí)，，兩部分組成的圖象上恰有個(gè)“等值點(diǎn)”，當(dāng)時(shí)，，兩部分組成的圖象上沒(méi)有“等值點(diǎn)”，綜上所述，當(dāng)，兩部分組成的圖象上恰有個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，或．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的對(duì)稱性，掌握計(jì)算方法，結(jié)合一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·四川成都·三模）直線：與y軸交于點(diǎn)C，反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)、B．(1)求a的值及B的坐標(biāo)；(2)在x軸上存在點(diǎn)D，使，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖2，將反比例函數(shù)的圖象沿直線：翻折得到一個(gè)封閉圖形（圖中陰影部分），若直線：與此封閉圖形有交點(diǎn)，求出滿足條件的k的取值范圍．

【答案】(1)；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或(3)【分析】（1）先將點(diǎn)A坐標(biāo)代入一次函數(shù)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，求得的值，再列方程求得點(diǎn)B的坐標(biāo)即可解答；（2）求出和的長(zhǎng)，再利用三角函數(shù)求得點(diǎn)到的距離，利用三角形面積公式即可列方程，解答；（3）求出直線：與反比例函數(shù)，只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的值和交點(diǎn)坐標(biāo)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，求得該交點(diǎn)坐標(biāo)在翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，則直線：經(jīng)過(guò)該對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，與反比例函數(shù)翻折后的解析式也只有一個(gè)交點(diǎn)，求出此時(shí)的值，即可得到k的取值范圍．【詳解】（1）解：代入，可得，解得，，將代入，可得，解得，反比例函數(shù)的解析式為，列方程，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，，是方程的解，當(dāng)時(shí)，，；（2）解：如圖，畫(huà)出圖形，過(guò)點(diǎn)作的垂線段交于點(diǎn)E，

當(dāng)時(shí)，得，解得，當(dāng)時(shí)，得，，，，設(shè)，故，，，，可得方程，解得，，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）解：列方程，整理得，當(dāng)和，只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，只有一個(gè)解，此時(shí)，即，解得，當(dāng)時(shí)，方程為，解得，和的交點(diǎn)為，如圖，設(shè)和的交點(diǎn)為，設(shè)與反比例函數(shù)的圖象沿直線：翻折后的函數(shù)的交點(diǎn)為F，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，連接，故，，，當(dāng)時(shí)，可得，解得，，，，，，，，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，可得，，，將代入，可得，解得，滿足條件的k的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，根據(jù)一元二次方程根的情況求系數(shù)，軸對(duì)稱，解直角三角形，正確求出反比例函數(shù)，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．題型3.反比例函數(shù)與相似（位似）、全等反比例函數(shù)與相似（位似）、全等問(wèn)題，一般字母未對(duì)齊，故存在分類討論的情形，縱然這類題型，放在以函數(shù)為背景的題型中，與反比例函數(shù)結(jié)合，相似三角形分類討論的解題技巧，仍沒(méi)有發(fā)生變化，故掌握了解題方法或解題技巧，受益的不只是一道題，而是一類型題的解決。例1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，．(1)______，______，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____．(2)點(diǎn)P在x軸上，若以B，O，P為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】(1)，，(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【分析】（1）點(diǎn)B是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出m，k的值；根據(jù)“A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）根據(jù)點(diǎn)P在x軸上，結(jié)合圖形，排除點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上的情形，當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上時(shí)，兩個(gè)三角形中已有一對(duì)角相等，而夾角的兩邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，故分類討論：①；②．分別求出兩種情況下的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）（1）將代入，得，∴．將代入，得，∴．如圖，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)D，則．

∵點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．故答案為：，，；（2）由（1）可知，，．當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，，∴．又∵，∴與不可能相似．當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸上時(shí)，．①若，則，∵，∴，∴；②若，則，又∵，，∴，∴．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、相似三角形的性質(zhì)．熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，并能利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想分析是解答本題的關(guān)鍵．變式1．（2024·四川成都·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，將直線向下平移b個(gè)單位后雙曲線交于點(diǎn)C、點(diǎn)D，M是第二象限內(nèi)一點(diǎn)，連接、，若以M為位似中心的與位似，位似比為，則b的值為．

【答案】9【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理．由題意可得，設(shè)直線的解析式為，點(diǎn)，，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得，整理得，進(jìn)而得到，由點(diǎn)恰好都落在反比例函數(shù)圖象上得到，即，由根和系數(shù)的關(guān)系得，求出的值，據(jù)此即可求解．【詳解】解：聯(lián)立，解得或，∴點(diǎn)，，∴，∵與位似，相似比為，∴，∴，∵將直線向下平移b個(gè)單位，∴設(shè)直線的解析式為，點(diǎn)，，∴，整理得，，∴，

∵點(diǎn)恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，∴與反比例函數(shù)的交點(diǎn)方程為，即，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，解得或(不合，舍去)，令，則，∴直線和與的交點(diǎn)分別為和，∴，故答案為：9．變式2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)_________，_________；(2)連接并延長(zhǎng)，與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)4，2(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為、【分析】對(duì)于（1），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入兩個(gè)關(guān)系式，即可得出答案；對(duì)于（2），先求出AO，BO，CO，再確定點(diǎn)D的位置，然后分兩種情況和，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出答案即可．【詳解】（1）將點(diǎn)A（1，4）代入一次函數(shù)y=2x+b，得，解得，一次函數(shù)的關(guān)系式為；將點(diǎn)A（1，4）代入反比例函數(shù)，得，反比例函數(shù)的關(guān)系式為．故答案為：4，2；（2）點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-1，-4）．當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴點(diǎn)B（0，2），∴OB=2．根據(jù)勾股定理可知．當(dāng)點(diǎn)落在軸的正半軸上，則，∴與不可能相似．當(dāng)點(diǎn)落在軸的負(fù)半軸上，若，則.∵，∴，∴；若，則．∵，，∴，∴．綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為、．【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求關(guān)系式，相似三角形的性質(zhì)和判定等．題型4.反比例函數(shù)與特殊圖形（三角形、四邊形）解反比例函數(shù)與特殊圖形（三角形、四邊形）的綜合題，一般先設(shè)出幾何圖形中的未知數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)的圖像用含未知數(shù)的式子表示出幾何圖形與圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)解析式及幾何圖形的性質(zhì)寫(xiě)出含未知數(shù)及待求字母系數(shù)的當(dāng)成（組），解方程（組）即可得所求幾何圖形的未知量或函數(shù)解析式中待定字母的值。特殊幾何圖形的存在性問(wèn)題解題思想：（1）找點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形、直角三角形、（特殊）平行四邊形等問(wèn)題；（2）找點(diǎn)構(gòu)成三角形全等、相似問(wèn)題；（3）求點(diǎn)的坐標(biāo)。例1．（2023·江蘇連云港·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于，兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C．(1)求m和n的值；(2)若點(diǎn)在該反比例函數(shù)的圖像上，且它到y(tǒng)軸的距離小于3，則f的取值范圍是；（直接寫(xiě)出答案）(3)以為邊在右側(cè)作菱形．使點(diǎn)D在x軸正半軸上，點(diǎn)E在第一象限，雙曲線交于點(diǎn)F，連接，則的面積為．（直接寫(xiě)出答案）

【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法由條件可知，函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，將所給坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中，求出m,n的值；（2）點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，可得，所以有兩種情況,，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)，再根據(jù)e的取值得出f的取值范圍；（3）畫(huà)出圖形，由條件算出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用勾股定理求出菱形的邊長(zhǎng)，根據(jù)菱形面積公式等于底×高，再通過(guò)，即可計(jì)算出．【詳解】（1）解：∵函數(shù)（）的圖像過(guò)，∴，解得m＝12．又∵也在反比例函數(shù)圖像上，∴，解得：；（2）解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，∴，當(dāng)時(shí)，，∵，故每個(gè)分支y隨x增大而減小，故當(dāng)時(shí)，或；（3）解：把，代入得：，解得：，即直線的解析式為，令，則，∴，根據(jù)題意畫(huà)圖形如下：由題意得：，

，過(guò)A點(diǎn)作，∵，，∴，，∴在中，，由勾股定理得：，∵四邊形為菱形，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合問(wèn)題，涉及到勾股定理、菱形的性質(zhì)等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，直線、與雙曲線分別相交于點(diǎn)．若四邊形的面積為4，則的值是（

）

A． B． C． D．1【答案】A【分析】連接四邊形的對(duì)角線，過(guò)作軸，過(guò)作軸，直線與軸交于點(diǎn)，如圖所示，根據(jù)函數(shù)圖像交點(diǎn)的對(duì)稱性判斷四邊形是平行四邊形，由平行四邊形性質(zhì)及平面直角坐標(biāo)系中三角形面積求法，確定，再求出直線與軸交于點(diǎn)，通過(guò)聯(lián)立求出縱坐標(biāo)，代入方程求解即可得到答案．【詳解】解：連接四邊形的對(duì)角線，過(guò)作軸，過(guò)作軸，直線與軸交于點(diǎn)，如圖所示：

根據(jù)直線、與雙曲線交點(diǎn)的對(duì)稱性可得四邊形是平行四邊形，，直線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即，與雙曲線分別相交于點(diǎn)，聯(lián)立，即，則，由，解得，，即，解得，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，涉及平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平面直角坐標(biāo)系中三角形面積求法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．變式2．（2023·山東泰安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)且交于、兩點(diǎn)，與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，連接、若；，點(diǎn)的坐標(biāo)為(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)連接，若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或【分析】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的定義，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的求解函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵；（1）利用三角函數(shù)先求解的坐標(biāo)可得反比例函數(shù)的解析式，再求解的坐標(biāo)，可得一次函數(shù)的解析式，從而可得答案；（2）先利用勾股定理求解的長(zhǎng)，再分兩種情況建立方程求解即可．【詳解】（1）解：過(guò)作軸于點(diǎn)，如圖，，，，即，解得，，，反比例函數(shù)且過(guò)點(diǎn)，，反比例函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，解得，，一次函數(shù)過(guò)、兩點(diǎn)，，解得，一次函數(shù)解析式為；（2），，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，是以為腰的等腰三角形，或，當(dāng)時(shí)，則有，解得，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，則有，解得或舍去，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，綜上可知滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．題型5.反比例函數(shù)與角度問(wèn)題（等角、倍角、特殊角）

1）特殊角問(wèn)題：（1）利用特殊角的三角函數(shù)值找到線段之間的數(shù)量關(guān)系；（2）

遇到特殊角可以構(gòu)造特殊三角形，如遇到45°構(gòu)造等腰直角三角形，遇到30°、60°構(gòu)造等邊三角形，遇到90°構(gòu)造直角三角形。2）角的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題（1）等角問(wèn)題：基于動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造某個(gè)角使其與特定已知角相等，主要借助特殊圖形的性質(zhì)、全等和相似的性質(zhì)或構(gòu)造圓，利用圓周角的性質(zhì)來(lái)解決；（2）倍角問(wèn)題：基于動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造某個(gè)角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、對(duì)稱、輔助圓等知識(shí)來(lái)解答；例1．（2019·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，點(diǎn)和點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接．已知與的面積滿足．（1）＝_____，＝_____；（2）已知點(diǎn)在線段上，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）3，8；（2）.【分析】（1）由一次函數(shù)解析式求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，易得OB的長(zhǎng)度，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)和三角形面積公式求得S△OAB=3，所以S△ODE=4，由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求得m的值；（2）利用待定系數(shù)法確定直線AC函數(shù)關(guān)系式，易得點(diǎn)C的坐標(biāo)；利用∠PDE=∠CBO，∠COB=∠PED=90°判定△CBO∽△PDE，根據(jù)該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得PE、DE的長(zhǎng)度，易得點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】（1）由一次函數(shù)知，．又點(diǎn)A的坐標(biāo)是，．．．∵點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，，則．（2）由（1）知，反比例函數(shù)解析式是．，即．故，將其代入得到：．解得．∴直線的解析式是：．令，則，，．．由（1）知，．設(shè)，則，．，，，，即①，又②．聯(lián)立①②，得（舍去）或．故．【點(diǎn)睛】考查了反比例函數(shù)綜合題，需要掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形的面積公式，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，但是難度不是很大．變式1．（2023·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．(1)直接寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含有a的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)時(shí)，在雙曲線位于直線下方的圖象上找一點(diǎn)D，使得，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)C在y軸上，坐標(biāo)為，且直線過(guò)一定點(diǎn)，試判斷的值是否會(huì)發(fā)生變化．若不變化，請(qǐng)求出該值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，；(2)或；(3)不變，．【分析】（1）令，可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，令，可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）分點(diǎn)D在第一象限和第三象限討論即可；（3）由可得出此直線過(guò)定點(diǎn)，可得，作C點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)向作垂線，垂足設(shè)為D，利用求出，在中，求出，在中，利用可得結(jié)果．【詳解】（1）解：對(duì)于，令得，令得，∴，；（2）解：當(dāng)，，，∴雙曲線為：，直線為：，①當(dāng)D點(diǎn)在第一象限時(shí)，設(shè)，的方程為：，與y軸交于，此時(shí)，解得：，∴，令得：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴（舍去），，此時(shí)），將代入直線得：，∴D1在直線下方，符合題意；②當(dāng)D在第三象限時(shí)，設(shè)，根據(jù)，求得方程為：（方法同求的方程），令得：，∴，∵，∴，整理得：，解得（舍），此時(shí)，將代入直線得：，∴在下方，符合題意，綜上，D點(diǎn)坐標(biāo)或；（3）不變，理由：∵，∴令可得，∴此直線過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)題意，該直線過(guò)點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，該直線與x軸平行，∴，這與題中矛盾，從而，∴），作C點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)，由對(duì)稱可知，∴，∴，過(guò)向作垂線，垂足設(shè)為D，∵，，，，∴=5a，∴，∵，∴，∴，在中，，，∴=，在中，，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握一次函數(shù)及反比例函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交反比例函數(shù)圖象于另一點(diǎn)B，點(diǎn)C是反比例函數(shù)位于第一象限的圖象上的任意一點(diǎn)，與點(diǎn)A不重合，過(guò)點(diǎn)A作軸，過(guò)點(diǎn)C作軸，點(diǎn)E為垂足，相交于點(diǎn)D，連接．(1)______；(2)求證：：(3)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)6(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再由對(duì)稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，接著利用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可證明結(jié)論；（3）設(shè)與交于點(diǎn)F，由對(duì)稱性可知，，證明，即點(diǎn)F為的中點(diǎn)，再證明，得到；進(jìn)一步證明，得到，則，利用勾股定理得到，則．【詳解】（1）解：把代入中得：，解得，故答案為：6；（2）解：由（1）得反比例函數(shù)解析式為，由反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)，則，設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，同理可得直線解析式為，∴直線與直線平行，∴；（3）解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)F，由對(duì)稱性可知，，由（2）知，∴∴，即點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∵軸，軸，∴CD⊥AD，∴，∴，∴，∵軸，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，平行線分線段成比例定理等等，熟知反比例函數(shù)的對(duì)稱性以及一次函數(shù)中一次項(xiàng)系數(shù)相同時(shí)的兩條直線平行是解題的關(guān)鍵．題型6.反比例函數(shù)與新定義幾何圖形例1．（2023·四川成都·一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)．與坐標(biāo)軸交于C、D兩點(diǎn)，連接、，已知，的面積為1．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)P是線段的中點(diǎn)，直線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，將的面積分成兩部分，求b的值；(3)我們把只有一組鄰邊相等，且只有一組對(duì)角為直角的四邊形，叫作“直角等補(bǔ)形”；設(shè)M為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，N為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形是直角等補(bǔ)形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為；反比例函數(shù)的解析式為(2)(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或【分析】本題考查了反比例函數(shù)綜合，一次函數(shù)的應(yīng)用，反比例函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，勾股定理等，熟練掌握新定義“直角等補(bǔ)形”是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角函數(shù)定義即可求得，設(shè)，根據(jù)三角形面積可得，再利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)解析式．（2）聯(lián)立方程組可得，，進(jìn)而可得，直線的解析式為，將直線向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度后得到直線，交y軸于F，交于H，交于G，過(guò)點(diǎn)A作交y軸于E，則，再由相似三角形性質(zhì)即可求得答案．（3）運(yùn)用新定義“直角等補(bǔ)形”，分兩種情況：當(dāng)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵直線與坐標(biāo)軸交于C、D兩點(diǎn)，∴，，∴，，∵，∴，即，∴，∴一次函數(shù)的解析式為，設(shè)，∵，∴，解得：，∴，∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴反比例函數(shù)的解析式為．（2）聯(lián)立方程組，解得：，，∴，，∵P是線段的中點(diǎn)，∴，∴直線的解析式為，將直線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到直線，交y軸于F，交于H，交于G，如圖，過(guò)點(diǎn)A作交y軸于E，則，∵點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，∴，∵直線向上平移個(gè)單位將的面積分成兩部分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，代入，得．（3）根據(jù)“四邊形是直角等補(bǔ)形”可知：四邊形中只有一組鄰邊相等，且只有一組對(duì)角為直角，當(dāng)，時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)A、B分別作y軸，x軸的平行線交于點(diǎn)K，交y軸于L，則，∵，，∴，，，∵，∴，∴，∴即，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)B作軸于L，則，，，∴，∴，∴．綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．變式1．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)時(shí)，根據(jù)圖象直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；(3)我們把對(duì)角線與一邊垂直的平行四邊形叫做“鉛垂平行四邊形”．設(shè)C是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)在x軸上方，當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形是“鉛垂平行四邊形”時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式為；一次函數(shù)的表達(dá)式為(2)或(3)當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形是“鉛垂平行四邊形”時(shí)，，或或【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合（1）依據(jù)題意，先將代入反比例函數(shù)解析式求得,再將代入反比例函數(shù)解析式求得,最后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，即可得解；（2）依據(jù)題意，由可知，當(dāng)時(shí)，即為一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的下方時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍，結(jié)合圖象可以得解；（3）設(shè)，分兩種情況進(jìn)行討論即可，當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)；當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)；總共存在三種答案.【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為.∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴，解得，∴.將點(diǎn)代入得解得∴一次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：或；當(dāng)時(shí)，，即一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，觀察圖象可知，此時(shí)x的取值范圍是或.（3）解：設(shè)①如圖①，當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，由題意知，∴∴，整理得，∴或（舍），∴∵四邊形為平行四邊形，∴即解得∴；②如圖①，當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，同①可得.∵四邊形ABDC為平行四邊形，∴即解得∴③如圖②，當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，由題意得.聯(lián)立解得或∴.∵四邊形為平行四邊形，∴即解得∴.綜上所述，當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形是“鉛垂平行四邊形”時(shí)，，或或課后訓(xùn)練1．（2023年安徽中考數(shù)學(xué)真題）已知反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象與一次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】設(shè)，則，，將點(diǎn)，代入，得出，代入二次函數(shù)，可得當(dāng)時(shí)，，則，得出對(duì)稱軸為直線，拋物線對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，且過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)，則，根據(jù)圖象可得，

將點(diǎn)代入，∴，∴，∵，∴，∴，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴拋物線對(duì)稱軸在的右側(cè)，且過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，得出是解題關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)．若點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值是（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，可得，進(jìn)而根據(jù)已知條件的，求得直線的解析式，將代入，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則∴∴

∵,∴∴解得：∵點(diǎn)在上，∴解得：∴直線的解析式為當(dāng)時(shí)，即又反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)∴,故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·廣西南寧·一模）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在以為圓心，1為半徑的圓上，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，且長(zhǎng)的最大值為1.5，則k的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定長(zhǎng)的最大時(shí)點(diǎn)P的位置，當(dāng)所在的直線過(guò)圓心C，且圓心C在線段上時(shí)，最長(zhǎng)，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理計(jì)算t的值，可得k的值．【詳解】解：連接，由對(duì)稱性得：，∵Q是的中點(diǎn)，∴，∵長(zhǎng)的最大值為，∴長(zhǎng)的最大值為，如圖，當(dāng)所在的直線過(guò)圓心C，且圓心C在線段上時(shí)，最長(zhǎng)，過(guò)B作軸于D，∵，∴，∵B在直線上，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，∴，解得（舍）或，∴，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，∴；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、圓的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用中位線的性質(zhì)和圓的性質(zhì)確定出點(diǎn)P的位置．4．（2023·山東日照·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，P是雙曲線上的一點(diǎn)，點(diǎn)P繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上則代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由題意可得出，，．易證，即得出，，即可求出，進(jìn)而得出，最后將所求式子通分變形為，再整體代入求值即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∵，且在直線上，∴，，，∴．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，∴．又∵，∴．∵，∴，∴，，∴．∵P是雙曲線上的一點(diǎn)，∴，即．∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題，考查函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形全等的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，代數(shù)式求值．畫(huà)出大致圖象并正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．5．（2024·河北石家莊·一模）如圖，直線及反比例函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸之間的陰影部分（不包括邊界）有5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)），則的取值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】若直線及反比例函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸之間的陰影部分（不位括邊界）有5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)），則取，此時(shí)反比例函數(shù)過(guò)整點(diǎn)，，，則這5個(gè)整點(diǎn)是，，，，，從而得到當(dāng)?shù)闹凳?，滿足題意，即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：直線一定過(guò)點(diǎn)，，把代入得，，此時(shí)反比例函數(shù)過(guò)整點(diǎn)，，，陰影部分（不位括邊界）有，，，，，5個(gè)整點(diǎn)，的取值可能是4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用圖象確定的值是解題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇南通·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限．設(shè)為雙曲線上一點(diǎn)，直線，分別交y軸于C，D兩點(diǎn)，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限求得，，再根據(jù)為雙曲線上一點(diǎn)求得；根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)M的坐標(biāo)求得直線AM解析式為，進(jìn)而求得，根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)M的坐標(biāo)求得直線BM解析式為，進(jìn)而求得，最后計(jì)算即可．【詳解】解：∵直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，∴聯(lián)立可得：解得：或∵點(diǎn)A在第一象限，∴，．∵為雙曲線上一點(diǎn)，∴．解得：．∴．設(shè)直線AM的解析式為，將點(diǎn)與點(diǎn)代入解析式可得：解得：∴直線AM的解析式為．∵直線AM與y軸交于C點(diǎn)，∴．∴．∴．∵，∴．設(shè)直線BM的解析式為，將點(diǎn)與點(diǎn)代入解析式可得：解得：∴直線BM的解析式為．∵直線BM與y軸交于D點(diǎn)，∴．∴．∴．∵，∴．∴=4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程組的求解，正確求出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線解析式是解題關(guān)鍵．7．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)．一次函數(shù)與交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則的值為．

【答案】4【分析】根據(jù)題意可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，把代入一次函數(shù)解析式中求出m的值進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出k的值即可．【詳解】解：∵軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)，∴點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)相同，∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵為的中點(diǎn)，∴，∵在直線上，∴，∴，∴，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，正確求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．8．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，和y＝x的圖像，若一個(gè)數(shù)x大于它的倒數(shù)，可知x的取值范圍是．【答案】或【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．求得函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)的圖象即可求得的取值范圍．【詳解】解：令，解得，函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為和1，由圖象可知當(dāng)或時(shí)，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的上方，根據(jù)圖象可知x的取值范圍是或．故答案為：或．9．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線與直線恰有1個(gè)交點(diǎn)，則的值是．【答案】/【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，聯(lián)立方程，轉(zhuǎn)化成一元二次方程利用根的判別式推出、的關(guān)系即可．【詳解】解：∵雙曲線與直線恰有1個(gè)交點(diǎn)，∴只有一個(gè)解，整理方程得：，，∴，∴，∴，故答案為：．10．（2023·江蘇常州·一模）定義：函數(shù)圖像上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖像的“n階好點(diǎn)”．例如點(diǎn)是函數(shù)圖像的“1階好點(diǎn)”；點(diǎn)是函數(shù)圖像的“2階好點(diǎn)”，若y關(guān)于x的二次函數(shù)圖像的“3階好點(diǎn)”一定存在，則a的取值范圍為．【答案】【分析】由二次函數(shù)解析式可知其頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線上移動(dòng)，作出簡(jiǎn)圖，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)時(shí)為臨界情況，求出此時(shí)a的值，由圖象可得a的取值范圍．【詳解】∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線上移動(dòng)，∵y關(guān)于x的二次函數(shù)圖象的“3階好點(diǎn)”一定存在，∴二次函數(shù)的圖象與以頂點(diǎn)坐標(biāo)為，的正方形有交點(diǎn)，如圖，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，將代入得：，解得：或（舍去），當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，則，由圖可知，若y關(guān)于x的二次函數(shù)圖象的“3階好點(diǎn)”一定存在，a的取值范圍為：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確理解“n階好點(diǎn)”的幾何意義，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．11．（2023·四川成都·一模）如圖，反比例函數(shù)的圖形過(guò)點(diǎn)A，反比例函數(shù)的圖象與直線交于點(diǎn)B，C，已知，則；過(guò)點(diǎn)A分別作y軸和x軸的平行線，分別交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)D和E，連接交y軸于G，連接交x軸于點(diǎn)F，當(dāng)?shù)拿娣e為1時(shí)，．

【答案】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的幾何綜合，求一次函數(shù)解析式，三角形面積的計(jì)算，相似三角形的判定與性質(zhì)，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)M，證明，得出，求出，設(shè)點(diǎn)且，則，，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出直線的解析式，得出，求出直線的解析式，得出，根據(jù)面積列式求解即可得到答案；【詳解】解：延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)M，如圖所示，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)點(diǎn)且，則，，∵，∴，∴，∴點(diǎn)坐標(biāo)為∵、兩點(diǎn)是正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，∴與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，，解得：，∴的解析式為：，把代入得，，∴，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，，解得：，∴直線的解析式為，把代入得，，解得：，∴，∵的面積為1，∴，即：，解得：，∴，∴，故答案為：，．12．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）定義新運(yùn)算：，即的取值為，，的中位數(shù)，例如：，，已知函數(shù)與直線有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則的取值范圍為．【答案】或【分析】本題考查中位數(shù)，函數(shù)的圖像等知識(shí)，解題的關(guān)鍵畫(huà)出函數(shù)的圖像，觀察圖像，利用圖像法解決問(wèn)題即可．也考查了函數(shù)圖像之間的交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：由題意：函數(shù)的圖像如圖所示（圖中實(shí)線）．由，解得：或，∴，，由，解得：或，∴，，由，解得：，∴，由，當(dāng)時(shí)，得，即函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，∵函數(shù)與直線有個(gè)交點(diǎn)，且，觀察圖像可知：符合條件的的取值范圍是：或．故答案為：或．13.（2023·江蘇·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)、．C是y軸上的一點(diǎn)，連接、．(1)求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)若的面積是6，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）先把點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出一次函數(shù)解析式即可；（2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)E是一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)，求出，則，再由，得到，問(wèn)題隨之得解．【詳解】（1）解：點(diǎn)在比例函數(shù)上，∴，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)上，∴，∴，∴，∵點(diǎn)，點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，∴，解得：，∴一次函數(shù)解析式為．（2）解：如圖，所示：根據(jù)題意：設(shè)點(diǎn)，

∵點(diǎn)E是一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)，∴點(diǎn)，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴或，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，正確求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．14．（2023·四川成都·三模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖像交于，兩點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式：(2)點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像在第一象限上的點(diǎn)，且，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)反比例函數(shù)具有對(duì)稱性，適當(dāng)平移就可發(fā)現(xiàn)許多神奇的現(xiàn)象．將該雙曲線在第一象限的一支沿射線方向平移，使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)，再將雙曲線在第三象限的一支沿射線方向平移，使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平移后的兩條曲線相交于，兩點(diǎn)，如圖2，此時(shí)平移后的兩條曲線圍成了一只美麗的“眸”，為這只“眸”的“眸徑”，請(qǐng)求出“眸徑”的長(zhǎng)．

【答案】(1)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式分別為和(2)或(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法分別求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）由，點(diǎn)滿足在與直線距離為的直線上，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，作作與點(diǎn)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，，根據(jù)在直線上方和下方分情況求解，確定過(guò)原點(diǎn)且與平行，得到點(diǎn)在，再利用平移得到點(diǎn)在上，列方程組求出交點(diǎn)，即可求出點(diǎn)；（3）由平移方式確定平移后的解析式，將反比例函數(shù)平移后組成方程組求出交點(diǎn)，再求出長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，把代入中，得，，一次函數(shù)的表達(dá)式為，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，把代入中，得，，把代入反比例函數(shù)中，得，，反比例函數(shù)的表達(dá)式為，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式分別為和；（2），，，，，點(diǎn)滿足在與直線距離為的直線上，如圖，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，作作與點(diǎn)，令，則，，

①當(dāng)該直線位于直線的下方時(shí)，即，過(guò)原點(diǎn)且與平行時(shí)，上任意一點(diǎn)到的距離都是，即：，②當(dāng)該直線位于直線的上方時(shí)即，與關(guān)于對(duì)稱，則上任意一點(diǎn)到的距離都是，向下平移兩個(gè)單位得到：，可知向上平移兩個(gè)單位得到：，點(diǎn)在或上，由，解得：，，是反比例函數(shù)圖像在第一象限上的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，解得：，，是反比例函數(shù)圖像在第一象限上的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)為，，由，解得：，，，，在第一象限的雙曲線向左平移個(gè)單位，向下平移了個(gè)單位，在第三象限的雙曲線向右平移個(gè)單位，向上平移了個(gè)單位，平移后的曲線為和，由，解得：，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)及反比例函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，待定系數(shù)法的應(yīng)用及交點(diǎn)的求法，勾股定理，兩點(diǎn)間距離，解答本題的關(guān)鍵是確定平移后的解析式．15．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)．(1)點(diǎn)是否在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)連接、，若四邊形為正方形．①求、的值；②若點(diǎn)在軸上，當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】(1)點(diǎn)在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上，理由見(jiàn)解析(2)①，；②點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，平分，如圖，連接交于，得到，再結(jié)合等腰三角形三線合一得到為邊上的中線，即，求出，進(jìn)而求得，于是得到點(diǎn)在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上；（2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，垂直平分，求得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，得到（負(fù)值舍去），求得，，把，代入得，解方程組即可得到結(jié)論；②延長(zhǎng)交軸于，根據(jù)已知條件得到點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，求得，則點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)，求得直線的解析式為，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：點(diǎn)在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上．理由如下：一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，，平分，連接交于，如圖所示：

，軸于，軸，，，，，在Rt中，，，為邊上的中線，即，，，，點(diǎn)在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上；（2）解：①四邊形為正方形，，垂直平分，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，（負(fù)值舍去），，，把，代入得，；②延長(zhǎng)交軸于，如圖所示：，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，則點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)，由①知，，，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，即，故當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2023·江蘇宿遷·三模）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．(1)求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（不與，重合），過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與該反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，連接，，，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，在（）的前提下，將沿射線方向平移一定的距離后，得到，若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在該反比例函數(shù)圖象上，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)(3)．【分析】（）利用待定系數(shù)法解答即可求解；（）設(shè)，則有，過(guò)作于點(diǎn)，則，，根據(jù)可得，解方程即可求解；（）如圖，連接，由平移可得，根據(jù)平移可得直線的解析式為，聯(lián)立函數(shù)式，解方程組即可求解；此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，平移的性質(zhì)，三角函數(shù)等，掌握一次函數(shù)及反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在直線上，∴，解得，

∴一次函數(shù)解析式為，∵在的圖象上，∴，解得，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）解：設(shè)，則有，如圖，過(guò)作于點(diǎn)，則，，∵，∴，即，∴，解得，，∵，∴，∴；（3）解：如圖，連接，由平移可得，∴直線的解析式為，聯(lián)立函數(shù)式得，，解得或(不合題意，舍去)，∴．17．（2021·江蘇鹽