江蘇省無(wú)錫市第三高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次基礎(chǔ)測(cè)試（9月）數(shù)學(xué)試卷(含答案)

無(wú)錫市第三高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次基礎(chǔ)測(cè)試（9月）數(shù)學(xué)試卷學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、選擇題1．在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.2．已知為直線l的方向向量，，分別為平面，的法向量（，不重合），有下列說(shuō)法：①；②；③；④.其中正確的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)3．已知向量，，向量在向量上的投影向量為()A. B. C. D.4．，，是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為，那么直線與平面所成角的余弦值是()A. B. C. D.5．如圖，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為菱形，，則直線，所成角的余弦值為()A. B. C. D.6．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則的取值范圍()A. B.C. D.7．已知直線l和平面，且，l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，，則的最小值為()A.2 B.4 C. D.8．在三棱錐中,PA,PB,PC兩兩垂直,且.若M為該三棱錐外接球上的一點(diǎn),則的最大值為()A.2 B.4 C. D.二、多項(xiàng)選擇題9．如圖,四棱柱中,M為的中點(diǎn),Q為上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn),則()A. B.C. D.10．已知空間四點(diǎn)，，，，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是()A. B.C.點(diǎn)A到直線的距離為 D.點(diǎn)D到平面的距離為11．如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，M，N分別是線段，的中點(diǎn)，Q是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)D，C），則下列說(shuō)法正確的是()A.存在點(diǎn)Q，使得B.存在點(diǎn)Q，使得異面直線與所成的角為C.三棱錐體積的最大值是D.當(dāng)點(diǎn)Q自D向C處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成的角逐漸增大三、填空題12．已知向量，，且，則________.13．已知三點(diǎn),,在同一直線上,則實(shí)數(shù)a的值是________.四、雙空題14．定義：設(shè)是空間的一組基，若向量，則稱實(shí)數(shù)組為向量在基下的坐標(biāo).已知是空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交基，是空間向量的另一組基，若向量在基下的坐標(biāo)為，則向量在基下的坐標(biāo)是________，向量的模是________.五、解答題15．已知空間三點(diǎn),,.設(shè),.(1)求,;(2)求與的夾角;(3)若向量與互相垂直,求實(shí)數(shù)k的值.16．如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，且平面，.求：(1)求平面與平面夾角的余弦值；(2)點(diǎn)A到平面的距離.17．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)E在棱上移動(dòng).(1)當(dāng)點(diǎn)E在棱的中點(diǎn)時(shí)，求平面與平面所成的夾角的余弦值；(2)當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.18．在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架，的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在的平面互相垂直.活動(dòng)彈子M，N分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且和的長(zhǎng)度保持相等，記.（1）求的長(zhǎng)；（2）a為何值時(shí)，的長(zhǎng)最小？（3）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小時(shí)求平面與平面夾角的余弦值.19．圖①是直角梯形，，，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，并且，以為折痕將折起，使點(diǎn)C到達(dá)的位置，且.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案1．答案：A解析：在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：A.2．答案：B解析：因?yàn)?，不重合，?duì)①，平面，平行等價(jià)于平面，的法向量平行，故①正確；對(duì)②，平面，垂直等價(jià)于平面，的法向量垂直，故②正確；對(duì)③，若，故③錯(cuò)誤；對(duì)④，或，故④錯(cuò)誤.故選：B.3．答案：A解析：因?yàn)橄蛄浚?，所以，所以向量在向量上的投影向量為：，故選：A.4．答案：B解析：解法一：如圖，設(shè)直線在平面的射影為，作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，連接，易得，又，平面，則平面，又平面，則，有故.已知，，故為所求.解法二：如圖所示，把，，放在正方體中，，，的夾角均為.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，則令，則，，所以，所以.設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以.故選B.5．答案：D解析：取的中點(diǎn)O，連接，四邊形為菱形，，所以，由于平面平面，且兩平面交線為，，平面，故平面，又四邊形為正方形，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則，，，，故，，則，故直線，所成角的余弦值.故選：D.6．答案：A解析：由于點(diǎn)滿足關(guān)系式，且，可知在線段上移動(dòng)，且，設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以的取值范圍是，故選：A.7．答案：A解析：由得：，所以因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故選：A.8．答案：C解析：如圖,將三棱錐放置在正方體中,三棱錐的外接球就是正方體的外接球,球心為正方體對(duì)角線的交點(diǎn),,,,,,,設(shè)三棱錐外接球的半徑為R,,則,,,,,,,,,所以,當(dāng)時(shí),取得最大值.故選:C9．答案：BD解析：,即,故A錯(cuò)誤、B正確;,即,故C錯(cuò)誤,D正確.故選:BD.10．答案：ABD解析：對(duì)于選項(xiàng)A:結(jié)合題意可得，，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B:結(jié)合題意可得，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：結(jié)合題意可得取，，所以，，所以點(diǎn)A到直線的距離為故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：結(jié)合題意可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以點(diǎn)D到平面的距離為，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.11．答案：ACD解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，正方向?yàn)閤，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，；對(duì)于A，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，又，所以，解得，即點(diǎn)Q與D重合時(shí)，，A正確；對(duì)于B，假設(shè)存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為，因?yàn)?，，所以，方程無(wú)解；所以不存在點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接，，，設(shè)，因?yàn)?，所以?dāng)，即點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，取得最大值2；又點(diǎn)N到平面的距離，所以，C正確；對(duì)于D，由上分析知：，，若是面的法向量，則，令，則，因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成的角為，，所以，當(dāng)點(diǎn)Q自D向C處運(yùn)動(dòng)時(shí)，m的值由0到2變大，此時(shí)也逐漸增大，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，所以也逐漸增大，故D正確.故選：ACD12．答案：解析：向量，共線，則，解得，，所以.故答案為：.13．答案：3解析：三點(diǎn),,在同一直線上,,,解得.故答案為:3.14．答案：；解析：因?yàn)橄蛄吭诨?，下的坐?biāo)為，所以，所以向量在基下的坐標(biāo)是，又因?yàn)槭强臻g向量的標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以，且，所以，故答案為：，.15．答案：（1）;（2）（3）解析：（1）因?yàn)?,所以,所以;因?yàn)?,所以,所以;（2）由（1）可知,又,所以,即與的夾角為.（3）由（1）可知,,又向量與互相垂直,所以,所以,即,解得.16．答案：(1)；(2)解析：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，所以，，設(shè)平面法向量，則，令，則，，所以，取平面法向量為，所以，故面與面夾角的余弦值為；（2）因?yàn)?，平面法向量為，所以點(diǎn)A到平面的距離.17．答案：(1)(2)當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最小，最小值為解析：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)點(diǎn)E在棱的中點(diǎn)時(shí)，則，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成的夾角的余弦值為；（2）設(shè)，則，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，令，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.18．答案：（1）；（2）時(shí)，最小，最小值為；（3）解析：解析：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，.（1）；（2），當(dāng)時(shí)，最小，最小值為；（3）由（2）可知，當(dāng)M，N為中點(diǎn)時(shí)，最短，則，，取的中點(diǎn)G，連接，，則，，，，，是平面與平面的夾角或其補(bǔ)角.，，.平面與平面夾角的余弦值是.19．答案：(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)存在，直線與平面所成角的正弦值為.解析：（1）取的中點(diǎn)F，連接，，因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為2的菱形，并且，所以，均為等邊三角形，故，，且，因?yàn)?，所?/p>