2024八年級數(shù)學(xué)上冊第15章軸對稱圖形和等腰三角形練素養(yǎng)2.最短路徑問題習(xí)題課件新版滬科版

滬科版八年級上第15章軸對稱圖形與等腰三角形集訓(xùn)課堂練素養(yǎng)2.最短路徑問題1.

最短路徑問題的類型：(1)“一點(diǎn)一線”型；(2)“兩點(diǎn)一

線”型；(3)“一點(diǎn)兩線”型；(4)“兩點(diǎn)兩線”型.2.

解決最短路徑問題的方法：借助軸對稱或平移的知識，化

折為直，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“垂線段最短”

來求線段和的最小值.類型1

“一點(diǎn)一線”型1.[情境題·生活應(yīng)用]如圖，

l

為河岸(視為直線)，要想

開一條水溝將河里的水從

A

處引到田地里去，則應(yīng)從

河岸

l

的何處開口才能使水溝最短？找出開口處的位

置并說明理由.

123456【解】過點(diǎn)

A

作

l

的垂線，垂足即為開口處的位置.理由：點(diǎn)到直線之間垂線段最短.類型2

“兩點(diǎn)一線”型2.

如圖，已知直線

l

外不重合的兩點(diǎn)

A

，

B

，在直線

l

上求

作一點(diǎn)

C

，使得

AC

＋

BC

的長度最短，作法如下：①作點(diǎn)

B

關(guān)于直線

l

的對稱點(diǎn)B'；②連接AB'，與直線

l

相交于點(diǎn)

C

，則點(diǎn)

C

為所求作的點(diǎn).123456在解決這個(gè)問題時(shí)沒有運(yùn)用到的知識或方法是(

D

)A.

轉(zhuǎn)化思想B.

三角形的兩邊之和大于第三邊C.

兩點(diǎn)之間，線段最短D.

三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角D解決這個(gè)問題時(shí)不考慮三角形的內(nèi)角和外角，因此沒

有用到“三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)

角”.【點(diǎn)撥】123456【點(diǎn)方法】利用軸對稱設(shè)計(jì)最短路徑時(shí)，主要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思

想，

將直線同側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)的兩點(diǎn)，利用“兩點(diǎn)

之間，線段最短”設(shè)計(jì)，

理由是三角形的兩邊之和大于

第三邊.【點(diǎn)方法】利用軸對稱設(shè)計(jì)最短路徑時(shí)，主要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思

想，

將直線同側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)的兩點(diǎn)，利用“兩點(diǎn)

之間，線段最短”設(shè)計(jì)，

理由是三角形的兩邊之和大于

第三邊.1234563.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝5，

BC

＝4，

AC

＝3.(1)用直尺和圓規(guī)作邊

AB

的垂直平分線

MN

；【解】邊

AB

的垂直平分線

MN

如圖所示.123456(2)在直線

MN

上找一點(diǎn)

D

，使△

ADC

的周長最小，并求

出△

ADC

的最小周長為

?.【點(diǎn)撥】如圖，點(diǎn)

D

為

MN

與

BC

的交點(diǎn).∵點(diǎn)

D

在

AB

的垂直平分線上，

AD

＝

BD

.

∴△

ADC

的最小周長為

AC

＋

CD

＋

DA

＝

AC

＋

CD

＋

DB

＝

AC

＋

BC

＝3＋4＝7.7

123456類型3

“一點(diǎn)兩線”型4.

如圖，點(diǎn)

P

是∠

AOB

內(nèi)任意一點(diǎn)，

OP

＝5

cm，點(diǎn)

M

和

點(diǎn)

N

分別是射線

OA

和射線

OB

上的動(dòng)點(diǎn)，△

PMN

的周長

的最小值是5

cm，∠

AOB

的度數(shù)為

?.30°

123456分別作點(diǎn)

P

關(guān)于射線

OB

，

OA

所在直線的對稱點(diǎn)

C

，

D

，連接

CD

，分別交

OA

，

OB

于點(diǎn)

M

，

N

，連接

OC

，

OD

，則此時(shí)△

PMN

的周長最小，如圖所示.【點(diǎn)撥】123456∵點(diǎn)

P

關(guān)于射線

OA

所在直線的對稱點(diǎn)為

D

，∴

PM

＝

DM

，

OP

＝

OD

，∠

DOA

＝∠

POA

.

∵點(diǎn)

P

關(guān)于射線

OB

所在直線的對稱點(diǎn)為

C

，∴

PN

＝

CN

，

OP

＝

OC

，∠

COB

＝∠

POB

.

∵△

PMN

的周長的最小值是5

cm，123456∴

PM

＋

PN

＋

MN

＝5

cm.∴

DM

＋

CN

＋

MN

＝5

cm，即

CD

＝5

cm.又∵

OP

＝5

cm，∴

OP

＝

CD

.

∴

OC

＝

OD

＝

CD

，即△

OCD

是等邊三角形.∴∠

COD

＝60°.∴∠

AOB

＝30°.1234565.

如圖，點(diǎn)

P

為馬廄，

AB

為草地邊緣(

AB

下方為草

地)，

CD

為一河流，牧馬人欲從馬廄牽馬先去草地吃

草，然后到河邊飲水，最后回到馬廄.請幫他確定一條

最佳行走路線.123456【解】如圖所示.作法：①分別作點(diǎn)

P

關(guān)于

AB

，

CD

的對稱點(diǎn)P'，

P

″；②連接P'P″，分別交

AB

，

CD

于點(diǎn)

M

，

N

；③分別連接

MP

，

NP

.

則

PM

—

MN

—

NP

為最佳行走路線.123456【點(diǎn)方法】解決“一點(diǎn)兩線”型最短路徑問題的方法.分別以兩線為對稱軸，作已知點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連接兩個(gè)對稱

點(diǎn)，

將最短路徑轉(zhuǎn)化為連接兩個(gè)對稱點(diǎn)的線段.

解決“一點(diǎn)兩線”型最短路徑問題的方法.分別以兩線為對稱軸，作已知點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連接兩個(gè)對稱

點(diǎn)，

將最短路徑轉(zhuǎn)化為連接兩個(gè)對稱點(diǎn)的線段.

123456類型4

“兩點(diǎn)兩線”型6.

如圖，

AB

是∠

MON

內(nèi)部的一條線段，在∠

MON

的兩邊

OM

，

ON

上各取一點(diǎn)

C

，

D

，與點(diǎn)

A

，

B

組成四邊形

ABDC

，如何取點(diǎn)才能使該四邊形的周長最小？123456【解】如圖，作點(diǎn)

A

關(guān)于射線

OM

所在直線的對稱點(diǎn)

E

，

再作

B

關(guān)于射線

ON

所在直線的對稱點(diǎn)

F

，連接

EF

交

OM

于點(diǎn)

C

，交

ON

于點(diǎn)

D

，連接

AC

，

BD

，則四邊形

ABDC

即為所求.123456【點(diǎn)方法】解決“兩點(diǎn)兩線”型最短路徑問題的方法.以兩線為對稱軸，分別作靠近線的點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連接

兩個(gè)對稱點(diǎn)，將最短路徑轉(zhuǎn)化為連接兩個(gè)對稱點(diǎn)的線段.拓展：已知直線

m

，

n

，點(diǎn)

A

，

B

為直線外兩

點(diǎn)，在直線

m

，

n

上分別找兩點(diǎn)

P

，

Q

，使

PA

＋

PQ

＋

QB

最小.123456(1)如圖①，點(diǎn)

A

，

B

在直線

m

，

n

外側(cè)，連接

AB

，

分別交直線

m

，

n

于點(diǎn)

P

，

Q

；(2)如圖②，點(diǎn)

A

在直線

m

外側(cè)，點(diǎn)

B

在直線

m

，

n

內(nèi)側(cè)，作點(diǎn)

B

關(guān)于直線

n

的對稱點(diǎn)B'，連接AB'，分別交

直線

m

，

n

于點(diǎn)

P

，

Q

；123