2025屆云南省會(huì)澤一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆云南省會(huì)澤一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．為了調(diào)查全國(guó)人口的壽命，抽查了11個(gè)?。ㄊ校┑?500名城鎮(zhèn)居民，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是（）A.總體 B.個(gè)體C.樣本 D.樣本容量2．若雙曲線的漸近線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為（）A B.C.2 D.3．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.4．隨機(jī)地向兩個(gè)標(biāo)號(hào)分別為1與2的格子涂色，涂上紅色或綠色，在已知其中一個(gè)格子顏色為紅色條件下另一個(gè)格子顏色也為紅色的概率為（）A. B.C. D.5．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F且與x軸垂直的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若是正三角形，則C的離心率為（）A. B.C. D.6．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S，若，且，則S3等于（）A.28 B.26C.28或-12 D.26或-107．一個(gè)動(dòng)圓與定圓相外切，且與直線相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（）A. B.C. D.8．已知等比數(shù)列滿足，則q＝（）A.1 B.－1C.3 D.－39．設(shè)變量滿足約束條件：，則的最小值（）A. B.C. D.10．圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有A.個(gè) B.個(gè)C.個(gè) D.個(gè)11．已知圓C過(guò)點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.12．已知直線的方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在正方體中，點(diǎn)是底面內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且平面，則異面直線與所成角的取值范圍為_(kāi)___________14．曲線在處的切線方程是________.15．已知命題，則命題的的否定是___________.16．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓.人們將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線方程為；②曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離為；③曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離大于到直線的距離；④曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）如圖，正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且（1）證明：面；（2）求平面和平面夾角的余弦值19．（12分）已知，使；不等式對(duì)一切恒成立.如果為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知等差數(shù)列滿足（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和21．（12分）已知圓，點(diǎn)（1）若點(diǎn)在圓外部，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線交圓于，兩點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線l的斜率22．（10分）甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有5題，選擇題（1）甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題（2）甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由樣本的概念即知.【詳解】由題意可知，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是樣本.2、D【解析】由雙曲線的漸近線方程結(jié)合已知可得.【詳解】雙曲線方程為所以漸近線為，故，解得：.故選：D3、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求導(dǎo)法則判斷.【詳解】，，，，只有B正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】根據(jù)古典概型的概率公式即可得出答案.【詳解】在已知其中一個(gè)格子顏色為紅色條件下另一個(gè)格子顏色有紅色與綠色兩種情況，其中一個(gè)格子顏色為紅色條件下另一個(gè)格子顏色也為紅色的情況有1種，所以在已知其中一個(gè)格子顏色為紅色條件下另一個(gè)格子顏色也為紅色的概率為.故選：D.5、A【解析】設(shè)雙曲線半焦距為c，求出，由給定的正三角形建立等量關(guān)系，結(jié)合計(jì)算作答.【詳解】設(shè)雙曲線半焦距為c，則，而軸，由得，從而有，而是正三角形，即有，則，整理得，因此有，而，解得，所以C的離心率為.故選：A6、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求解，直接計(jì)算S3即可.【詳解】由可得，即，所以，又，解得，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：C7、D【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)之間距離的關(guān)系化簡(jiǎn)即可.【詳解】定圓的圓心，半徑為2，設(shè)動(dòng)圓圓心P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），動(dòng)圓的半徑為r，d為動(dòng)圓圓心到直線的距離，即r，則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切的性質(zhì)可得，所以，化簡(jiǎn)得：∴動(dòng)圓圓心軌跡方程為故選：D8、C【解析】根據(jù)已知條件，利用等比數(shù)列的基本量列出方程，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋士傻?；解?故選：C.9、D【解析】如圖作出可行域，知可行域的頂點(diǎn)是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，平移，當(dāng)經(jīng)過(guò)A時(shí)，的最小值為-8，故選D.10、C【解析】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離和圓的半徑的關(guān)系即可得解.【詳解】圓可變?yōu)椋瑘A心為，半徑為，圓心到直線的距離，圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有個(gè).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了圓與直線的位置關(guān)系，考查了學(xué)生合理轉(zhuǎn)化的能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組即可.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將坐標(biāo)代入得:,解得，故圓的方程為，故選：C.12、B【解析】利用直線的方向向量求出其斜率，進(jìn)而求出傾斜角作答.【詳解】因直線的方向向量為，則直線l的斜率，直線l的傾斜角，于是得，解得，所以直線l的傾斜角為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】過(guò)作平面平面，得到在與平面的交線上，連接，證得平面平面，得到點(diǎn)在上，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，且，得到，，設(shè)與所成角為，利用向量的夾角公式，求得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】過(guò)作平面平面，因?yàn)辄c(diǎn)是底面內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且平面，則平面，即在與平面的交線上，連接，因?yàn)榍遥运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，平面，同理可證平面，所以平面平面，則平面即為，點(diǎn)在線段上，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，且，則，，可得，設(shè)與所成角為，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，當(dāng)或時(shí)，取得最大值，最大值為故答案為14、【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把代入即可得到切線的斜率，然后根據(jù)和斜率寫(xiě)出切線的方程即可.【詳解】解：由函數(shù)知，把代入得到切線的斜率則切線方程為：，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}是存在量詞命題，所以其否定是全稱量詞命題即，故答案為：16、①④【解析】設(shè),根據(jù)滿足,利用兩點(diǎn)間距離公式化簡(jiǎn)整理，即可判斷①是否正確；由①可知，圓上的點(diǎn)到的距離的范圍為,進(jìn)而可判斷②是否正確；設(shè)，根據(jù)題意可知，再根據(jù)在曲線上，可得，由此即可判斷③是否正確；由橢圓的的定義，可知在橢圓上，再根據(jù)橢圓與曲線的位置關(guān)系，即可判斷④是否正確.【詳解】設(shè),因?yàn)闈M足,所以,整理可得：,即,所以①正確；對(duì)于②中,由①可知，點(diǎn)在圓的外部,因?yàn)榈綀A心的距離,半徑為,所以圓上的點(diǎn)到的距離的范圍為,而,所以②不正確；對(duì)于③中,假設(shè)存在，使得到點(diǎn)的距離大于到直線的距離,又，到直線的距離，所以，化簡(jiǎn)可得，又，所以，即，故假設(shè)不成立，故③不正確；對(duì)于④中,假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為，則在以點(diǎn)與點(diǎn)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的橢圓上，即在橢圓上，易知橢圓與曲線有交點(diǎn)，故曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為；所以④正確.故答案為：①④.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由此求得.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則,解得，.∴.【小問(wèn)2詳解】由（1）知.∴.∴.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）證明平面，可得出，再由結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：正中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，因?yàn)槠矫妫矫?，則，，則平面，平面，則，又，且，平面.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，平面，平面，則，又因?yàn)椋?，故平面，所以，平面的一個(gè)法向量為，則.因此，平面和平面夾角的余弦值為.19、【解析】若真命題，利用分離參數(shù)法結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，可得；若為真命題，利用分離參數(shù)法并結(jié)合基本不等式可得，再根據(jù)為真命題，為假命題，可知，一真命題一假命題；再分“為真命題，為假命題”和“為假命題，為真命題”兩種情況，求解范圍，即可得到結(jié)果.【詳解】解：若為真命題，則有解，所以，即；若為真命題，則對(duì)一切恒成立,令則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值；所以，即；又為真命題，為假命題，所以，一真命題一假命題；當(dāng)為真命題，為假命題時(shí)，，所以；當(dāng)為假命題，為真命題時(shí)，，所以；綜上所述，.20、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意得列出方程組，可求得的值，代入公式，即可得答案.（2）由（1）可得，利用等比數(shù)列的定義，可證數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合前n項(xiàng)和公式，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意得，解得，所以通項(xiàng)公式【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，，又，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以21、（1）；（2）最大值為2，【解析】（1）根據(jù)題意，將圓的方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得，求解不等式組得答案；（2）當(dāng)時(shí)，圓的方程為，求出圓心與半徑，設(shè)，則，分析可得面積的最大值，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得圓心到直線的距離，設(shè)直線的方程為，即，由點(diǎn)到直線的距離公式列式求得的值【詳解】解：（1）根據(jù)題意，圓，即，若在圓外，則有，解得：，即的取值范圍為；（2）當(dāng)時(shí)，圓的方程為，圓心為，半徑，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，且其最大值為2，此時(shí)為等腰直角三角形，圓心到直線的距離，設(shè)直線的方程為，即，則有，解得，即直線的斜率【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一問(wèn)解答過(guò)程中，容易忽視二元二次方程表示圓的條件，導(dǎo)致出錯(cuò)，解