福建省百校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題含解析

福建省百校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（）A.1 B.2C. D.42．已知全集，集合，則（）A. B.C. D.3．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結(jié)論是A.B.C.D.4．已知橢圓的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若橢圓C上存在一點(diǎn)A，滿足，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.關(guān)于點(diǎn)對稱B.關(guān)于直線對稱C.為奇函數(shù)D.為偶函數(shù)7．若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.8．設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.9．若兩定點(diǎn)A，B的距離為3，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則M點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為（）A. B.C. D.10．直線分別與曲線，交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.1C. D.211．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的直線交雙曲線右支于A、B兩點(diǎn)，若是等腰三角形，且，則的周長為（）A. B.C. D.12．若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，，對一切，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.14．已知點(diǎn)，則線段的垂直平分線的一般式方程為__________.15．某人有樓房一棟，室內(nèi)面積共計(jì)，擬分割成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為，可住游客4名，每名游客每天的住宿費(fèi)100元；小房間每間面積為，可住游客2名，每名游客每天的住宿費(fèi)150元；裝修大房間每間需要3萬元，裝修小房間每間需要2萬元.如果他只能籌款25萬元用于裝修，且假定游客能住滿客房，則該人一天能獲得的住宿費(fèi)的最大值為___________元.16．曲線圍成的圖形的面積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓的方程為（1）求圓的圓心及半徑；（2）是否存在直線滿足：經(jīng)過點(diǎn)，且_________________？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：條件①：被圓所截得的弦長最長；條件②：被圓所截得的弦長最短；條件③：被圓所截得的弦長為注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線（）的焦點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為1.（1）求拋物線C的方程；（2）若不經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，且，求證：直線l過定點(diǎn).19．（12分）已知數(shù)列滿足，（1）設(shè)，求證:數(shù)列是等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和20．（12分）設(shè)AB是過拋物線焦點(diǎn)F的弦，若，，求證：（1）；（2）（為弦AB的傾斜角）21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)F，C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5（1）求C方程；（2）過F作直線l，交C于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，求直線l的方程22．（10分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓C上，且滿足（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．證明：總存在一個(gè)確定的圓與直線l相切，并求該圓的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】首先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.2、B【解析】根據(jù)題意先求出，再利用交集定義即可求解.【詳解】全集，集合，則，故故選：B3、C【解析】1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以歸納：左邊每一個(gè)式子均有2n-1項(xiàng)，且第一項(xiàng)為n，則最后一項(xiàng)為3n-2右邊均為2n-1的平方故選C點(diǎn)睛：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）4、C【解析】根據(jù)題意可知當(dāng)A為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，即可滿足橢圓C上存在一點(diǎn)A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.【詳解】由橢圓的對稱性可知，當(dāng)A為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，故只需即可滿足題意，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則只需,即有，所以，解得，故選：C5、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可解不等式【詳解】由則函數(shù)在上單調(diào)遞增又，所以，解得故選：A6、D【解析】根據(jù)圖象求得函數(shù)解析式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，可得，根據(jù)圖形走勢，可得，解得，令，可得，所以，由，所以A不正確；由，可得不是函數(shù)的對稱軸，所以B不正確；由，此時(shí)函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以C不正確；由為偶函數(shù)，所以D正確.故選：D.7、D【解析】由，分兩步，當(dāng)求出，當(dāng)時(shí)得到，兩式作差即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】解：因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)②，①②得，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以；故選：D8、C【解析】利用函數(shù)的奇偶性求出，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用點(diǎn)斜式即可求出結(jié)果【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋魹槠婧瘮?shù)，則則，即，所以，所以函數(shù)，可得；所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即故選：C9、D【解析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)M的軌跡方程即可計(jì)算得解.【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)點(diǎn)，則，化簡并整理得：，于是得點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，其面積為，所以M點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為.故選：D10、B【解析】設(shè)，，，，得到，用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：設(shè)，，，，則，，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)的最小值為1，故選：B11、A【解析】設(shè)，．根據(jù)雙曲線的定義和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，從而可得的周長.【詳解】由雙曲線可得設(shè)，．則，，所以，因?yàn)槭堑妊切?，且，所以，即，所以，所以，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，的周長故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)雙曲線的定義求解是解題關(guān)鍵.12、A【解析】由已知設(shè)雙曲線方程為：，代入求得，計(jì)算即可得出離心率.【詳解】雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且它的兩條漸近線方程是，設(shè)雙曲線方程為：，代入得：，.所以雙曲線方程為：..雙曲線C的離心率為故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】通過分離參數(shù)，得到關(guān)于x的不等式；再構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，進(jìn)而求得a的取值范圍【詳解】因?yàn)?，代入解析式可得分離參數(shù)a可得令（）則，令解得所以當(dāng)0＜x＜1，，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減當(dāng)1＜x，，所以h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）在x=1時(shí)取得極小值，也即最小值所以h（x）≥h（1）=4因?yàn)閷σ磺衳∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=4所以a的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分離參數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題14、【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式可得的中點(diǎn)和直線斜率，由垂直關(guān)系可得垂直平分線的斜率，由點(diǎn)斜式可得直線方程，化為一般式即可【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，的中點(diǎn)為，可得直線的斜率為，由垂直關(guān)系可得其垂直平分線的斜率為，故可得所求直線的方程為：，化為一般式可得故答案為：15、3600【解析】先設(shè)分割大房間為間，小房間為間，收益為元，列出約束條件，再根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)，再利用的幾何意義求最值，只需求出直線過可行域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)時(shí)，從而得到值即可【詳解】解：設(shè)裝修大房間間，小房間間，收益為萬元，則，目標(biāo)函數(shù)，由，解得畫出可行域，得到目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，有最大值，故應(yīng)隔出大房間3間和小房間8間，每天能獲得最大的房租收益最大，且為3600元故答案為：360016、##【解析】曲線圍成圖形關(guān)于軸，軸對稱，故只需要求出第一象限的面積即可.【詳解】將或代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線關(guān)于軸，軸對稱，因此只需求出第一象限的面積即可.當(dāng)，時(shí)，曲線可化為：，表示的圖形為一個(gè)半圓，圍成的面積為，故曲線圍成的圖形的面積為.故答案：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）圓心為，半徑為；（2）答案見解析.【解析】（1）寫出圓標(biāo)準(zhǔn)方程即得解；（2）選擇條件①：直線應(yīng)過圓心即直線過點(diǎn)和，即得解；選擇條件②：直線應(yīng)與垂直，求出直線的方程即得解；選擇條件③：不存在滿足條件的直線.【小問1詳解】解：由圓的方程整理可得，所以圓心為，半徑為.小問2詳解】選擇條件①：若直線被圓所截得的弦長最長，則直線應(yīng)過圓心即直線過點(diǎn)和，所以直線的斜率為，則直線的方程為.選擇條件②：若直線過點(diǎn)被圓所截得的弦長最短，則直線應(yīng)與垂直.又，所以.故直線方程為.選擇條件③：經(jīng)過點(diǎn)的直線被圓所截得的最短弦長，由于，所以不存在滿足條件的直線.18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，由點(diǎn)到直線距離公式可得參數(shù)值得拋物線方程；（2）設(shè)直線方程為，，直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入可得值，得定點(diǎn)坐標(biāo)【小問1詳解】已知雙曲線的一條漸近線方程為，即，拋物線的焦點(diǎn)為，所以，解得（因?yàn)椋?，所以拋物線方程為；【小問2詳解】由題意設(shè)直線方程為，設(shè)由得，，，又，所以，所以，直線不過原點(diǎn)，，所以所以直線過定點(diǎn)19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）將變形為，得到為等比數(shù)列，（2）由（1）得到的通項(xiàng)公式，用錯(cuò)位相減法求得【詳解】（1）由，，可得，因?yàn)閯t，，可得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，（2）由（1），由，可得，，，上面兩式相減可得：，則【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和(2)錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列和或差數(shù)列的求和(4)裂項(xiàng)相消法：用于通項(xiàng)能變成兩個(gè)式子相減，求和時(shí)能前后相消的數(shù)列求和.20、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)直線的方程為，代入，再利用韋達(dá)定理，即可得到結(jié)論；（2）由拋物線的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的定義，即可得到的長，同理可得的長，兩式相乘即可證明；【小問1詳解】證明：由題意設(shè)直線的方程為，代入，可得，所以；【小問2詳解】證明：如圖，不妨設(shè)弦AB的傾斜角為銳角，作垂直于拋物線準(zhǔn)線,垂足為M,N,由拋物線的定義可得，所以，同理可得，,所以，當(dāng)為直角或鈍角時(shí)，同理可證明，故.21、（1）；（2）.【解析】（1）由拋物線的定義，結(jié)合已知有求p，寫出拋物線方程.（2）由題意設(shè)直線l為，聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理可得，由中點(diǎn)公式有，進(jìn)而求k值，寫出直線方程.【詳解】（1）由題意知：拋物線的準(zhǔn)線為，則，可得，∴C的方程為.（2）由（1）知：，由題意知：直線l的斜率存在，令其方程為，∴聯(lián)立拋物線方程，得：，，若，則，而線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，∴，即，得，∴直線l的方程為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）利用拋物線定義求參數(shù)，寫出拋物線方程；（2）由直線與拋物線相交，以及相交弦的中點(diǎn)坐標(biāo)值，應(yīng)用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式求直線斜率，并寫出直線方程.22、（1）；（2）理由見解析，圓的方程為.【解析】(1)根據(jù)給定條件可得，結(jié)合勾股定