2025屆山西省太原市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末預(yù)測(cè)試題含解析

2025屆山西省太原市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）A. B.C. D.2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.3．已知某扇形的面積為，圓心角為，則該扇形的半徑為（）A.3 B.C.9 D.4．若“”是“”的充分不必要條件，則（）A. B.C. D.5．已知，則（）A.－ B.C.－ D.6．已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集為（）A. B.C. D.7．設(shè)集合，，，則（）A. B.C. D.8．已知，若，則m的值為（）A.1 B.C.2 D.49．已知函數(shù)的定義域是，那么函數(shù)在區(qū)間上（）A.有最小值無(wú)最大值 B.有最大值無(wú)最小值C.既有最小值也有最大值 D.沒(méi)有最小值也沒(méi)有最大值10．與角的終邊相同的最小正角是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若弧度數(shù)為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓心角所夾扇形的面積是___________12．?dāng)?shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是__________.13．已知曲線且過(guò)定點(diǎn)，若且，則的最小值為_(kāi)____14．已知角的終邊上有一點(diǎn)，則________.15．設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為_(kāi)________.16．設(shè)函數(shù)，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）函數(shù)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).18．已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求的值域和單調(diào)區(qū)間；（2）若存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍.19．某單位安裝1個(gè)自動(dòng)污水凈化設(shè)備，安裝這種凈水設(shè)備的成本費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與管線、主體裝置的占地面積x（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.1，為了保證正常用水，安裝后采用凈水裝置凈水和自來(lái)水公司供水互補(bǔ)的用水模式．假設(shè)在此模式下，安裝后該單位每年向自來(lái)水公司繳納水費(fèi)為，記y為該單位安裝這種凈水設(shè)備費(fèi)用與安裝設(shè)備后每年向自來(lái)水公司繳水費(fèi)之和（1）寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）求x為多少時(shí)，y有最小值，并求出y的最小值20．設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集，集合，集合.（1）求集合A，集合B；（2）求.21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中且．設(shè)（）若，，，求方程在區(qū)間內(nèi)的解集（）若函數(shù)滿足：圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在處取得最小值，試確定、和應(yīng)滿足的與之等價(jià)的條件

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理即可判斷.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)為定義在上的連續(xù)減函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩函數(shù)值異號(hào)，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是，故選：B.2、B【解析】先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再將代入判斷奇偶性,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性即可【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,定義域?yàn)?,故是奇函數(shù),故A不符合條件；對(duì)于選項(xiàng)B,定義域?yàn)?,故是偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,在上是增函數(shù),故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,定義域?yàn)?,故是偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,在上是增函數(shù),則在上是減函數(shù),故C不符合條件；對(duì)于選項(xiàng)D,定義域?yàn)?,故是奇函數(shù),故D不符合條件,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵3、A【解析】根據(jù)扇形面積公式求出半徑.【詳解】扇形的面積，解得：故選：A4、B【解析】轉(zhuǎn)化“”是“”的充分不必要條件為，分析即得解【詳解】由題意，“”是“”的充分不必要條件故故故選：B5、D【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，結(jié)合二倍角的余弦公式即可直接得出結(jié)果.【詳解】由題意得，，即，所以.故選：D.6、C【解析】首先畫(huà)出函數(shù)的圖象，并當(dāng)時(shí)，，由圖象求不等式的解集.【詳解】由題意畫(huà)出函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，，解得，是偶函數(shù)，時(shí)，，由圖象可知或，解得：或，所以不等式的解集是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，利用函數(shù)圖象解不等式，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于幾次題型.7、D【解析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：集合，，，則故選：D8、B【解析】依題意可得，列方程解出【詳解】解：，，故選：9、A【解析】依題意不等式的解集為，即可得到且，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算在區(qū)間上的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最值；【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，即不等式的解集為，所以且，即，所以，函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，沒(méi)有最大值；故選：A10、D【解析】寫(xiě)出與角終邊相同的角的集合，即可得出結(jié)論.【詳解】與角終邊相同角的集合為，當(dāng)時(shí)，取得最小正角為.故選：D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據(jù)所給弦長(zhǎng)，圓心角求出所在圓的半徑，利用扇形面積公式求解.【詳解】由弦長(zhǎng)為2，圓心角為2可知扇形所在圓的半徑，故，故答案為：12、16【解析】第50百分位數(shù)為數(shù)據(jù)的中位數(shù),即得.【詳解】數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)，即為數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.故答案為：16.13、【解析】由指數(shù)函數(shù)圖象所過(guò)定點(diǎn)求出，利用“1”的代換湊配出定值后用基本不等式得出最小值．【詳解】令，，則，∴定點(diǎn)為，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)取得最小值.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查用基本不等式求最值．“1”的代換是解題關(guān)鍵．14、【解析】直接根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)榻堑慕K邊上有一點(diǎn)，則所以，所以故答案為：【點(diǎn)睛】考查任意角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得到，，，從而可比較a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，，，所?故答案為：.16、6【解析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，分別求出和，計(jì)算即可求出結(jié)果.【詳解】由題知，，，.故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)求函數(shù)值的問(wèn)題，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算.屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）（3）答案見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)題意條件，分別求解的定義域和解對(duì)數(shù)不等式即可完成求解；（2）通過(guò)題意條件，找到和兩函數(shù)值域的關(guān)系，分別求解出對(duì)應(yīng)的值域，通過(guò)分類討論即可完成求解；（3）通過(guò)題意條件，通過(guò)討論的值，分別作出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像，借助換元，觀察函數(shù)圖像的交點(diǎn)狀況，從而完成求解.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，由，可得，即的定義域?yàn)?；不等式，所以，即為，解得，則原不等式的解為；【小問(wèn)2詳解】函數(shù)，若存在，使得成立，則和在上的值域的交集不為空集；由（1）可知：時(shí)，顯然單調(diào)遞減，所以其值域?yàn)?；若，則在上單調(diào)遞減，所以的值域?yàn)?，此時(shí)只需，即，所以；若，則在遞增，可得的值域?yàn)椋藭r(shí)與的交集顯然為空集，不滿足題意；綜上，實(shí)數(shù)的范圍是；小問(wèn)3詳解】由，得，令，則，畫(huà)出的圖象，當(dāng)，只有一個(gè)，對(duì)應(yīng)3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，由，得在，三個(gè)分別對(duì)應(yīng)一個(gè)零點(diǎn)，共3個(gè)，在時(shí)，，三個(gè)分別對(duì)應(yīng)1個(gè)，1個(gè)，3個(gè)零點(diǎn)，共5個(gè)，綜上所述：當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有5個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于“存在，使得成立”，需要將其轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)值域的關(guān)系，即兩個(gè)函數(shù)的值域有交集，需根據(jù)函數(shù)的具體范圍進(jìn)行適時(shí)的分類討論即可.18、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】（1）利用換元法設(shè)，求出的范圍，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出值域，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出的單調(diào)區(qū)間；（2）分別討論，兩種情況，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)的性質(zhì)得出a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，由，解得即函數(shù)的定義域?yàn)椋藭r(shí)則，即的值域?yàn)橐髥握{(diào)增（減）區(qū)間，等價(jià)于求的增（減）區(qū)間在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減（2）當(dāng)時(shí)，存在單調(diào)遞增區(qū)間，則函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間則判別式，解得或（舍）當(dāng)時(shí)，存在單調(diào)遞增區(qū)間，則函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間則判別式，解得或，此時(shí)不成立綜上，a的取值范圍為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解.19、（1）（2）當(dāng)時(shí)，y有最小值為3.【解析】（1）根據(jù)y為該單位安裝這種凈水設(shè)備費(fèi)用與安裝設(shè)備后每年向自來(lái)水公司繳水費(fèi)之和即可建立函數(shù)模型；（2）利用均值不等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)時(shí)，y有最小值為3.20、（1），；（2），.【解析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法解出集合A，根據(jù)分式不等式解出結(jié)合B；（2）由交集、并集的概念和運(yùn)算即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意知，，且【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，所以，.21、（1）解集為；（2）見(jiàn)解析.【解析】分析：（）由平面向量數(shù)量積公式、結(jié)合輔助角公式可得，令，從而可得結(jié)果；（）“圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在處取得最小值”．因此，根據(jù)三角函數(shù)的圖象特征可以知道，，故有，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；此時(shí)，，對(duì)討論兩種情況可得使得函數(shù)滿足“圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在處取得最小值的充要條件”是“，時(shí)，，；或當(dāng)時(shí)，，”.詳解：（）根據(jù)題意，當(dāng)，，時(shí)，，，則有或，即或，又因?yàn)椋试趦?nèi)解集為（）解：因?yàn)?，設(shè)周期因?yàn)楹瘮?shù)須滿足“圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在處取得最小值”因此，根據(jù)三角函數(shù)的圖象特征可以知道，，故有，∴，，又因?yàn)?，形如的函?shù)的圖象的對(duì)稱中心都是的零點(diǎn)，故需滿足，而當(dāng)，時(shí)，因?yàn)椋?；所以?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；此時(shí)，，∴，（i）當(dāng)，時(shí)，，進(jìn)一步要使