5.4.2+正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)課件（第一課時） 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第五章三角函數(shù)5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（第一課時）教學(xué)目標

了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的含義；（重點）01

了解三角函數(shù)的周期性和奇偶性；（重點）02

會利用周期性定義和誘導(dǎo)公式求簡單三角函數(shù)的周期；（難點）03

借助圖象直觀理解正、余弦函數(shù)在[0，2π]上的性質(zhì)(單調(diào)性、最值、圖象與x軸的交點等),能利用性質(zhì)解決一些簡單問題.（難點）04正余弦函數(shù)的性質(zhì)學(xué)科素養(yǎng)

了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的含義.;

數(shù)學(xué)抽象

借助數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖像探究正、余弦函數(shù)的性質(zhì)

直觀想象

求正弦、余弦形函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;；邏輯推理

利用性質(zhì)求周期、比較大小、最值、值域及判斷奇偶性

數(shù)學(xué)運算

數(shù)據(jù)分析

借助數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖像探究正、余弦函數(shù)的性質(zhì)

數(shù)學(xué)建模正余弦函數(shù)的性質(zhì)01知識回顧RetrospectiveKnowledge?正弦函數(shù)五個關(guān)鍵點:與x軸的交點圖像的最高點圖像的最低點?余弦函數(shù)五個關(guān)鍵點:與x軸的交點圖像的最高點圖像的最低點y＝sinx

y＝cosx正余弦函數(shù)的圖像x1-1yo

正弦函數(shù)的圖像(黑色)向左平移個單位，就得到函數(shù)，即的圖象(紅色)．

正余弦函數(shù)的圖像02知識精講

ExquisiteKnowledge

根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗，我們要研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等.另外，三角函數(shù)是刻畫“周而復(fù)始”現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，與此對應(yīng)的性質(zhì)是特別而重要的.

類比以往對函數(shù)性質(zhì)的研究，你認為應(yīng)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的哪些性質(zhì)？觀察它們的圖象，你能發(fā)現(xiàn)它們具備哪些性質(zhì)？探究

觀察正弦函數(shù)的圖像，可以發(fā)現(xiàn)，在圖像上，橫坐標每隔2π個單位長度，就會出現(xiàn)縱坐標相同的點，這就是正弦函數(shù)值具有的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.實際上，這一點既可以從定義中看出，也能從誘導(dǎo)公式sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)中得到反映.即自變量x的值加上2π的整數(shù)倍時所對應(yīng)的函數(shù)值，與x所對應(yīng)的函數(shù)值相等.數(shù)學(xué)上用周期性來定量地刻畫這種“周而復(fù)始”的規(guī)律.周期性一般地，設(shè)函數(shù)

f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x+T∈D，且

f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.周期性一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

即要找一個函數(shù)f(x)的周期T，就要找到一個T，對任意x都滿足

f(x+T)=f(x)

周期函數(shù)的周期不止一個.例如2π，4π，6π以及-2π，-4π，-6π等.都是正弦函數(shù)的周期.事實上，由sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)，我們可知：?k∈Z，k≠0，常數(shù)2kπ都是它的周期.

若函數(shù)f(x)的周期是T，則kT

(k∈Z，k≠0)也是f(x)的周期.正余弦函數(shù)的性質(zhì)周期性

如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.

根據(jù)上述的定義，我們有：正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π.

類似的，由cos(x+2kπ)=cos

x(k∈Z)，可知，余弦函數(shù)也是周期函數(shù).2π，4π，6π以及-2π，-4π，-6π等都是余弦函數(shù)的周期.即?k∈Z，k≠0，常數(shù)2kπ都是它的周期，最小正周期是2π.

附：今后本書中所涉及的周期，如果不加特別說明，都是指最小正周期.正余弦函數(shù)的性質(zhì)周期性【周期函數(shù)的理解】①對周期函數(shù)與周期定義中的“當x取定義域內(nèi)的每一個值時”，要特別注意其中

“每一個”的要求.如果只是對某些x有f(x+T)=f(x)，那么T就不是f(x)的周期.②周期函數(shù)的周期不唯一.若T是函數(shù)f(x)的最小正周期，則kT(k∈Z，k≠0)也是函數(shù)f(x)的周期.③并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期.例如，對于函數(shù)f(x)=C，(C為常數(shù))所有非零實數(shù)T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常數(shù)函數(shù)沒有最小正周期.正余弦函數(shù)的性質(zhì)【例1】求下列函數(shù)的周期：【解析】(1)?x∈R，有3sin(x＋2π)＝3sinx，由周期函數(shù)的定義可知，函數(shù)y＝3sinx的周期為2π．(2)令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cosz的周期為2π，即cos（z＋2π）＝cosz，于是cos(2x＋2π)＝cos2x，所以cos2(x＋π)＝cos2x，x∈R．由周期函數(shù)的定義可知，函數(shù)y＝cos2x的周期為π．周期性正余弦函數(shù)的性質(zhì)【例1】求下列函數(shù)的周期：周期性正余弦函數(shù)的性質(zhì)周期性第一步，先用換元法轉(zhuǎn)換：比如對于“（2）y＝cos2x，x∈R”，

令2x＝t，所以y＝f(x)＝cos2x＝cost；第二步，利用已知的三角函數(shù)的周期找關(guān)系：

由cos(2π＋t)＝cost，代入可得：cos(2π＋2x)＝cos2x；第三步，根據(jù)定義變形：變形可得：cos2(π＋x)＝cos2x，

于是就有f(x＋π)＝f

(x)；對于周期問題，求解的步驟如下：第四步，確定結(jié)論：根據(jù)定義可知其周期為π．正余弦函數(shù)的性質(zhì)周期性

仿照上述分析過程可得函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數(shù)，且A≠0，ω>0)的最小正周期為：T＝

．

一般地，如果函數(shù)y＝f(x)的周期是T，

那么函數(shù)y＝f(ωx)(ω>0)的周期是.正余弦函數(shù)的性質(zhì)

回顧例2的解答過程中，你能發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān)嗎？函數(shù)的周期與x的系數(shù)有關(guān).周期性【練習(xí)】求下列函數(shù)的周期：正余弦函數(shù)的性質(zhì)奇偶性

觀察正弦曲線(黑色)和余弦曲線(紅色)，可以看到正弦曲線關(guān)于原點O對稱，余弦曲線關(guān)于y軸對稱.所以正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù).

因為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域為R，這個事實，由誘導(dǎo)公式sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx得到.x1-1yo正余弦函數(shù)的性質(zhì)奇偶性【練習(xí)】判斷下列函數(shù)中，哪些是奇函數(shù)？哪些是偶函數(shù)？正余弦函數(shù)的性質(zhì)

知道一個函數(shù)的奇偶性，同樣也可以縮小我們研究函數(shù)的范圍，因為奇、偶函數(shù)的圖象分別關(guān)于原點、y軸對稱，所以只需要搞清楚函數(shù)在y軸右側(cè)的圖象與性質(zhì)，那么，整個定義域內(nèi)的圖象與性質(zhì)就都知道了，可以提高我們研究函數(shù)的效率．奇偶性【思考】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象分別關(guān)于原點、y軸對稱，除此以外它們是否還有其它的對稱中心和對稱軸呢？正余弦函數(shù)的性質(zhì)

知道一個函數(shù)的奇偶性，對研究它的圖象與性質(zhì)有什么幫助？03拓展提升ExpansionAndPromotionx1-1yo正弦函數(shù)y=sinx對稱性正余弦函數(shù)的性質(zhì)對稱性x1-1yo余弦函數(shù)y=cos

x正余弦函數(shù)的性質(zhì)對稱