2021年滬教版數(shù)學(xué)必修二同步第13講 向量的應(yīng)用（講義）教師版

第13講向量的應(yīng)用

知識(shí)梳理

1、平面向量分解定理：

如果4,怎是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量3有且只有一

對(duì)實(shí)數(shù)4，冬，使我們把不平行的向量Z，,叫做這一平面內(nèi)所有向量的一

組基.

注意：

（1）基底不共線；

（2）將任一向量7在給出基底H的條件下進(jìn)行分解；

（3）基底給定時(shí)，分解形式唯一，4，42.是被［唯一確定的數(shù)量

幾何角度證明：

如圖，在平面內(nèi)取一點(diǎn)0,作OA=a<OB=b^OC=c<再作直線0A、OB.

設(shè)點(diǎn)C不在直線0A和0B上，過(guò)點(diǎn)C分別作直線0A、0B的平行線，由于向量￡石不

平行，可知所作兩直線分別與直線OB、0A有唯一的交點(diǎn)，記為N、M.作向量而、ON.

因?yàn)辂?//￡,所以存在唯一的實(shí)數(shù)工，使OM=xa.

因?yàn)辂?/B，所以存在唯一的實(shí)數(shù)y,使而=仍.

而四邊形OMCN是平行四邊形，因此OC=OM+ON=xa+yh.

即=c=xa+yB.

如果點(diǎn)C在直線0A或0B上，那么￡//￡,或工/區(qū).

這時(shí)得"==+或c=>5=（）。+）石.所以之關(guān)于￡、b的分解式總是確定的.

代數(shù)角度：證明唯一性：

（1）當(dāng)￡w。時(shí),6=o-^+o-^

e

（2）當(dāng)&w0時(shí)，假設(shè)a=4e\+4e2，則有+4/=4約+辦i，

（4-4）?&+（4-4）?G=0.

由于."不平行，故（4_4'）=o,（4_《）=o,即4=4'，4=41

2、重要結(jié)論

設(shè)冰礪不平行，點(diǎn)P在A3上o存在實(shí)數(shù)兒〃使得麗=幾方+〃而

且4+〃=1（九〃￡R）

證明：如圖，設(shè)向量Q=〃無(wú)瓦PB=AAB,

A

o

?.?麗+麗=而n4+〃=l

麗=麗+麗=礪+〃而=OA+〃(OB-QA)礪+〃礪

=AOA+piOB【4〃的正負(fù)可以給學(xué)生講一下】

3、平面向量和三角形四心

(1)而+而+數(shù)=6=G是A4BC的重心.

證法1：設(shè)G(x,y),A(x],必),B(X2,y2),C(x3,y3)

(XlX)+(X2X)+(X3X)=

GA+GB+GC=0^\~~~°

.(y-y)+(%-y)+(x-y)=o

x_*+%+0

一3

JoG是A48C的重心.

M+%+為

一

ry3

證法2：如圖?.?而+而+岳=百+2而=6

A

AG=2GD

，A、G、。三點(diǎn)共線，且G分A。為2：1

/.G是AABC的重心

(2)設(shè)a",c是三角形的三條邊長(zhǎng)，/是AABC的內(nèi)心6而+人拓+c7d=6=0為

△A3C的內(nèi)心.

證明：valA+blB+clc=Q

(a+b+c)IA+hAB+cAC=O

—beABAC

AI=----------(——+——)

a+b+ccb

AH\r

——>—分別為AB.AC方向上的單位向量,

cb

詈Ar

丁平分NBAC,

b

IA為中NA的角平分線，

同理可證"為△/附中N8的角平分線，二為%中NA的角平分線。

.?.點(diǎn)/為△/!a'的內(nèi)心。

(3)HAHB=HBHC=HCHA。H為墳BC的垂心.

證明：如圖所示H是三角形4?。的垂心，BE垂直4C,垂直陽(yáng)D、￡是垂足.

OAOB=OBOC=OB(OA-OC)=ObC4=0o。8_LAC

同理蘇，前，OC1AB

(4)|蘇月方|=］次00為AABC的外心。

（5）四心重要的結(jié)論:

I、外心（外接圓圓心。中垂線的交點(diǎn)）

①.網(wǎng)=網(wǎng)=聞=/?（"為外接圓半徑）.

--,——1

AOAB=-AB

②.2

—,—,1I------2

AOAC=-AC

2

■11—?-1——-

AOBC=-AC——AB

22

-*--?1I--"p1---2

推廣\AO-AD=-\AB\+-AC（。為比?的中點(diǎn)，G為△力比■的重心）.

:4lI4

-----?------?1|[2]—2

AO-AG=-\AB\+-AC

6\I6

④.*圓心角是圓周角的兩倍.

⑤.*sin2A-04+sin23.08+sin2c-0C=6

II、重心（G中線的交點(diǎn)）

①.GA+GB+GC^O.

②.OG=hOA+OB+OC）or~AG=\（AB.

JJ

＞

③.若A（xl,yi）,B（x2,y2\C（x3,y3）,則其重心的坐標(biāo)為

G（＞+々+芻X+%+%）

I3'3『

重心分每條中線分為2：1的兩短.

m、內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心/角平分線的交點(diǎn)）

，，?，?----'

①.府=丸（/^-+/￡-）（/1/0）注：工^-+工工表示為N4的角平分線.

\AB\\AC\\AB\\AC\

②.c,IC+a,IA+b'IB-0.

IV、垂心（〃角平分線的交點(diǎn)）

①。HAHB=HBHC=HCHA.

②.*tanA-/Z4+tan5-HB+tanC-HC=6

4、運(yùn)用向量方法解決平面幾何問(wèn)題可以分哪幾個(gè)步驟？

“三步曲”：

(D建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為向量問(wèn)題；

(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；

(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

例題解析

1、平面向量的分解定理

例1.［華師大二附中高二(上)期中?12］下列有關(guān)平面向量分解定理的四個(gè)命題中：

①一個(gè)平面內(nèi)有且只有一對(duì)不平行的向量可作為表示該平面所有向量的基；

②一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多對(duì)不平行向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基；

③平面向量的基向量可能互相垂直；

④一個(gè)平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)三個(gè)互不平行向量的線性組合.

正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【難度】★

【答案】B

【解答】一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多對(duì)不平行的向量可作為表示該平面所有向量的基，...①錯(cuò)

誤，②正確；

平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，.?.③正確；

平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)兩個(gè)互不平行向量的線性組合，

如果是三個(gè)不共線的向量，表示法不唯一，，④錯(cuò)誤.

綜上，正確的命題是②③.故選：B.

例2［位育中學(xué)期中?13］平面內(nèi)有三個(gè)向量灑，OB,0C,其中而與應(yīng)的夾角為120。，筋1與

應(yīng)的夾角為30。，且|曲=|曲=1,|應(yīng)1=2，5,若說(shuō)=4而+〃血兒，〃eR),則4+

。的值為.__.

【難度】★★

【答案】(4,2)

【解析】方法一如圖，應(yīng)'=布+而，應(yīng)|=2,1流|=|詼=4,

￡硬....人..C

尸…;F-一2

0C=WA+20B.4+〃=6.

方法二由詫‘=4而+〃應(yīng)，兩邊同乘應(yīng)得應(yīng)i=4而?說(shuō)：+0,4=4.

.?.左=4而+〃應(yīng)，兩邊同乘應(yīng)，得詫'?而=4+"而?為，即3=4+（一；）〃."=2.

，4+〃=6.

方法三以。為原點(diǎn)，/為x軸建立直角坐標(biāo)系，則力（1,0）,C（245cos30°,24sin

30°）,

j?（cos120°,sin120°）.即4（1,0）,<7（3,木）,5（一；,平）.

〃=2

由詫'=A0A+〃宓得,.，4+〃=6.

A=4

例3.［普陀區(qū)晉元中學(xué)期中?16］如圖所示，A,B,C是圓。上的三點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線與

線段班的延長(zhǎng)線交于圓。外的點(diǎn)〃，若應(yīng)'=贏+〃宓，則葉〃的取值范圍是（）

B.(1,+8)C.(—8,—1)D.(―1,0)

【難度】★★

【答案】D

【解析】依題意，由點(diǎn)，是圓。外一點(diǎn)，可設(shè)詼=4位（4>1）,則而=應(yīng)+4及1=4而+（1

-4）08.

又C0,〃三點(diǎn)共線，令灰一〃沅則沆、=一3而一三/?應(yīng)（4>1,〃>1）,所以

X1—XX1—X\

m=---，n=-------.故/zz+〃=------------=----￡（-1,0）.故選D.

〃〃〃〃〃'

例4.如圖，在△4?。中，AF=\AB,〃為比1的中點(diǎn)，AD與CF交于點(diǎn)、E.若范=a,AC=b,

?J

【難度】★★

【答案】彳

【解析】如圖，設(shè)外的中點(diǎn)為M,連接MD.

A

因?yàn)椤榧?的中點(diǎn)，材為陽(yáng)的中點(diǎn)，所以必〃以

因?yàn)?尸=，8所以廣為4V的中點(diǎn)，￡為力〃的中點(diǎn).

方法一因?yàn)檩?a,~AC=b,〃為6C的中點(diǎn)，所以語(yǔ)=；(a+6).所以就1=；蒞)=；(a+6).

所以龍=。+<￡=—"+熊=—6+彳(己+6)=彳a—所以*=彳，尸—泰所以x+尸一

1

2,

1113

方法二易得以7=］仞7,極，=5仍所以所以四=彳。7.

因?yàn)?7=~CA-VAF=—AC+誦'=-6+Ja,所以~CE=^(—b+-a)

J4J44

131

所以戶彳，y=-則x+y=-/.

例5.如圖，設(shè)向量應(yīng)=(3,1),而=33),若詫三幺成1+〃應(yīng)，且則用陰影

表示。點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域正確的是()

【難度】★★

【答案】D

【解析】設(shè)C（x，y）.".'0C=^0A+nOB=A（3,D+〃（l,3）=（34+〃，H+3〃）,

,ix—y

-

x=3久+〃，1，

尸，+3〃，解得?.?42故選D.

3y-xx—3y+8<0,

u=----

8.

例6.［華師大二附中期中?⑻已知"為△/式的中線4?的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)"的直線分別交兩邊

AB,力。于點(diǎn)RQ,設(shè)AP=xABAQ=yAC,記y=/(x)?

(1)求函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式;

S

(2)求32的取值范圍.

^MBC

【難度】★★

【解答】(1)如圖所示：；1)為BC的中點(diǎn)，M為AD的中點(diǎn),

AM=^AD='^('|AB+"|AC)=^AB+-1AC>

=

又?；PQM三點(diǎn)共線，MAMXAP+(1-x)AQ=AB+(1-y而

故，4，故4T=1,即y=f(x)后1)

(1-X)y=l以4y4x-l3

4

21

(2)設(shè)aABC的面積為1,則△APQ的面積命片尸一一,(工WxWl)

4x-l3

故當(dāng)x=3時(shí)，S取最小值3,當(dāng)x=2,或X=1時(shí)，S取最大值士，故繪MGR,h.

2433SAABC43

例7.在△OAB中,C為0A上的一點(diǎn),且沅=工@京Q是BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A的直線/〃OD,P

3

是直線/上的動(dòng)點(diǎn)，而W七而十九友則/「八=_______-

atIi,

【難度】★★

3

【答案】—

2

—"I—*1—-

【解析】方法一山〃是8C的中點(diǎn)，???。。=—0B+—0C

22

AP=OP-()A=A]()B+^~j)OC

又?.?直線/〃OD,即z尸〃/2=-1

—,3—,—?,—*Xi=o.Zy=——

方法二特殊法不妨點(diǎn)尸在點(diǎn)力匕OP^-OC=\OB+^OC------------「12

=_3

~~2

例8.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量而和良，它們的夾角為90°.如圖所示，點(diǎn)C在以。為

圓心的圓弧4?上運(yùn)動(dòng).若應(yīng)三疝+y南，其中x、yGR,則x+y的最大值是—.

匚

【難度】★★

【答案】m

【解析】方法一：設(shè)//況三%則NC如=90°-a,

_一fx=cosa

：.OC=C4Sa?%+sina?OB,即j.

y=sina

/.x+y=cosa+sin。=/sin（。+彳）＜蛆.

方法二：上述方法一可以建立坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)的形式表示出來(lái)。（推薦此方法）

方法三：連接AB,在弧AB上的點(diǎn)C做直線和AB平行的直線，當(dāng)點(diǎn)C在弧AB中點(diǎn)

時(shí)，做的直線與直線AB相距最遠(yuǎn)，此時(shí)x+y取得最大值。

方法四：應(yīng)三疝+了施邊平方后得l=/+y2之攵要_：.x+y=^y[2.

方法五：a=xfl4+w?兩邊分別同乘的，而得0c.OA=x,OC?OB=y

設(shè)/力比-a,則NC仍=90。-a,

'.x+y='0C'tti+OC'OB=cosa+sina=/sin（。+丁卜/.

例9.將一圓的六個(gè)等分點(diǎn)分成兩組相間的三點(diǎn)，它們所構(gòu)成的兩個(gè)正三角形扣除內(nèi)部六條

線段后可以形成一正六角星，如圖所示的正六角星的中心為點(diǎn)。，其中】、亍分別為點(diǎn)。

到兩個(gè)頂點(diǎn)的向量;若將點(diǎn)。到正六角星12個(gè)頂點(diǎn)的向量,都寫成al+方斤的形式，則a+人

的最大值為（）

A.3B.4C.5D.6

yX

【難度】★★★

【答案】C

【鞏固訓(xùn)練】

1.［建平中學(xué)期中?6］已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)向量&=（L2）、‘=（m-1,6+3）使得平

面內(nèi)的任意一個(gè)向量C都可以唯一分解成C=/?+?,則必的取值范圍是.

【難度】★

【答案】（-00,5）U（5,+8）

2.［莘莊中學(xué)等四校聯(lián)考期中?10］如圖，在人鉆。中，D、E分別為邊BC、4c的中

點(diǎn).b為邊A8上的點(diǎn)，且AB=3AE,若A/5=xA尸+yAB,x,yeR,則無(wú)+y的值

為_(kāi)___________

【難度】★★

【答案】-

2

3.［位育中學(xué)監(jiān)控考試?11］在AABC中，AM=^JB+mAC,向量說(shuō)的終點(diǎn)M在

A4BC的內(nèi)部（不含邊界），則實(shí)數(shù)”的取值范圍是—

【難度】★★

（0,34）

【答案】4

4.若直線/上不同的三個(gè)點(diǎn)4B,C與直線，外一點(diǎn)0,使得，而+x應(yīng)三2瓦成立，則滿

足條件的實(shí)數(shù)x的集合為（）

A.{-1.0}B.［呼甫C.巳^1，口？^D.{—1}

【難度】★★

【答案】D

【解析】由V而+x宓=2反'=2（比一施可得，龍一!■而+（；+［應(yīng)，由4B,C共線知，

］+（金+1）=1,解得X=-1或kO（舍），

5.［普陀區(qū)晉元中學(xué)期中?16］如圖，在AABC中，AM'=-AB,AN=-AC,BN與

34

CM交于點(diǎn)、E,若通=》通+），印Q，則》+y=

BC

【難度】★★

【答案】'

6.［復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)期中?21］如圖，數(shù)軸匕y的交點(diǎn)為。，夾角為夕，與x軸、y軸正

向同向的單位向量分別是年,1。由平面向量基本定理，對(duì)于平面內(nèi)的任一向量而，存在

唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y），使得麗=高+兩'，我們把（x,y）叫做點(diǎn)p在斜坐標(biāo)系xOy中

的坐標(biāo)（以下各點(diǎn)的坐標(biāo)都指在斜坐標(biāo)系九Oy中的坐標(biāo)）.

（1）若6=90°,而為單位向量，且麗與1的夾角為120°,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（2）若8=45°,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,、歷），求向量而與1的夾角.

【難度】★★

-、（1，八2亞

【答案】（1）；（2）arccos-----.

I22J5

7.（1）在AOAB中，點(diǎn)P、。分別在。4、QB上，線段PQ過(guò)三角形4B0的重心G,

設(shè)礪=4，OB=b,OP=tna,OQ=nb,試求竺？的值.

mn

（2）在AABC中，點(diǎn)〃是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AC上一點(diǎn)，且迫=,，BN與CM相

AC3

交于點(diǎn)E,設(shè)通=1,衣=石，試用2B表示荏.

【難度】★★

__21-

【答案】（1）3；（2）AE=-a+-b.

55

8.如圖，在△48C中，60為邊力C上的中線，BG=2GO,設(shè)而〃而，若而=!而+

5

（4wR）,則;I的值為

【難度】★★★

6

【答案】

?

9.在直角AABC中，NC是直角，CA=4,CB=3,△ABC的內(nèi)切圓交CA,CB于點(diǎn)D,E,點(diǎn)P

是圖中陰影區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)（不包含邊界）.若而=x3+y無(wú)，則x+y的值可以使（）

A.1B.2

【難度】★★★

【答案】B

10.如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEE中，動(dòng)圓。的半徑為1,圓心在線段CQ

（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，P是圓。上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量Q=通+〃赤（他,“為實(shí)數(shù)）,

則加+〃的最大值為—

【難度】★★★

【答案】5

2、平面向量與“四心”

一、單選題

例1.（2020?湖北武漢市第十一中學(xué)高一月考）已知。是AAbC所在平面內(nèi)的一定點(diǎn),

動(dòng)點(diǎn)戶滿足。戶=礪+4,2w（0,+oo）,則動(dòng)點(diǎn)〃的軌跡一定通過(guò)

△ABC的（）

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

【答案】A

n

【分析】E表示的是］方向上的單位向量，畫(huà)圖象，根據(jù)圖象可知點(diǎn)P在/84c的角平

分線上,故動(dòng)點(diǎn)尸必過(guò)二角形的內(nèi)心.

AB

【詳解】如圖，設(shè)AFAE

Afi

已知而，通均為單位向量,

故四邊形AEDF為菱形，所以AO平分ABAC.

由分=函+"篇+備

,Ae(0,+oo)

得而=/1而，又Q與而有公共點(diǎn)A,

故A。/三點(diǎn)共線，

所以點(diǎn)P在ABAC的角平分線上，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)△A6C的內(nèi)心.

故選：A.

例2.（2021?上海金山區(qū)?高三一模）已知△A6C的外接圓圓心為。，NA=120°,若

AO=xAB+yAC(x,yeR),則1+丁的最小值為()

123

A.B.C.D.2

232

【答案】D

【分析】設(shè)OA與8C交點(diǎn)為E,則荏=九通+〃才亍其中九+〃=1,由于

AO-xAB+yAC-r^^AAB+^AC）'得"+>=帚（幾+〃）=心，

因?yàn)間w|OE|<R故x+y的最小值可得.

【詳解】設(shè)OA與BC交點(diǎn)為E，設(shè)|0同="，圓的半徑為R,。為3c中點(diǎn)，如圖所

示：

則40=—^—荏，設(shè)通=九通+"/,因?yàn)锽,C,E三點(diǎn)共線，則幾+〃=1

R-m

所以Z0=xAQ+yZe=—^—(/UQ+〃〃)，故x+y=—。+〃)=—

R-mx7R-mR-m

因?yàn)镹A=120。，則ZCOD=60。所以|。。|=Reos60。=；R

nRR

R----->------=2

則一4機(jī)<R,故火—加一。R所以x+y的最小值為2

2R--

故選：D

【點(diǎn)睛】設(shè)女=4而+〃/，因?yàn)?,C,E三點(diǎn)共線，則;1+〃=1,得

x+y=—（2+〃）=』一是解題的關(guān)鍵.

R—m''R-m

例3.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）已知0,N,夕在△ABC所在平面內(nèi)，且

I*1I*1I--*\rrr一UUMULU1LUMlULJUUUL*L?JU1

|。曰=|。4=|oq,NA+NB+NC=a，且PA.PB=PB?PC=PC?PA，則點(diǎn)〃,

N,尸依次是的（填三角形的四心）

【答案】外心、重心、垂心

【分析】由忸可=|礪卜卜耳結(jié)合外接圓的性質(zhì)得出“是AABC外接圓的圓心，取

中點(diǎn)。，利用向量運(yùn)算確定N為AABC二邊中線的交點(diǎn)，從而判斷N為重心，山

⑸?麗一而屁=0得出場(chǎng)?麗=0，即PBLAC，再由尸013,尸4_18（7判斷

P是三角形的乖心.

【詳解】

由題：|礪卜|礪卜|反|,所以o是AABC外接圓的圓心

取中點(diǎn)￡），麗+而+祝=6，刖4=一（福+祝）=一2而，即N4所在直線經(jīng)

過(guò)8c中點(diǎn)。，與中線共線，同理可得N&NC分別與AC,A8邊的中線共線，即”是三

角形三條中線交點(diǎn)，即重心

PAPB=PBPCPAPB-PBPC=Q-（PA-PC）-PB^O,CA.~PB=Q

即PB_LAC,同理可得PC_LA8,Q4_L8C,即〃是三角形的垂心.

故答案為：外心、重心、垂心

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1、。是AA5c的重心o赤+礪+元=0；2、。是△?15c的

I--*|Icll-T-xlUUULU.auULIUUUUULUUUU

外心O|0川=|04=[0。|；3、p是AABC的垂心O=

例4.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）已知。是平面上一定點(diǎn)，滿足

ABAC

OP=OA+A.（--------1-—-：--------）,Ae[0,+oo）,則尸的軌跡一定通過(guò)AABC的—

|AB|cosB|AC|cosC

（外心、垂心、重心、內(nèi)心）

【答案】垂心

ABAC

【分析】將麗=麗+〃~~~:-------1------------）,轉(zhuǎn)化為

|AB|cosB|AC|cosC

衣——),再結(jié)合夾角公式，由阮?(士竺一—)判

IAB|cosB|AC|cosC|AB\cosB\AC\cosC

斷.

___.ABAC

【詳解】???o尸=04+〃=-----+-------),

|A81cos8|AC|cosC

通+^^),

OP-OA=A(

|AB|cosBIAC|cosC

而

即衣=〃?+

IAB|cosBIAC|cosC

3c=網(wǎng)BAB同C'"「=同CAC國(guó)B’

.阮(/?

；)=-|BC|+|BC|=O,

|AB|cosB|AC|cosC

?.BC與〃-=-----+--——）垂直，

|AB|cosB|AC|cosC

uuuuuu

即APrBC^

點(diǎn)戶在8c的高線上，即夕的軌跡過(guò)AABC的垂心.

故答案為：垂心

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是對(duì)三角形“四心”的意義要明確，“外心”是三邊垂直平

分線的交點(diǎn)；“內(nèi)心”是三角平分線的交點(diǎn)；“垂心”是三邊上高線的交點(diǎn)；“旁心”是三角

形一個(gè)內(nèi)角的平分線和其他兩個(gè)內(nèi)角的外角平分線的交點(diǎn)..

例5.（2020?上海徐匯區(qū)?位育中學(xué)高二月考）設(shè)，是4LBC的垂心，且

3HA+4HB+5HC=0<貝IJCOSZABC=

【答案】亟5

21

【分析】利用三角形的垂心與向量的關(guān)系得解.

【詳解】先證明：已知。是A43c內(nèi)的一點(diǎn)，ABOCA4OCA4O5的面積分別為3,

求證：

SB,Sc,SA?OA+SB*OB+SC*OC^O

證明：如圖2延長(zhǎng)。4與邊相交于點(diǎn)。則

圖1圖2

BD_%加_SRBOD=SMBD-SZB0D_Sc

DCSMCDS?CODSACD—SACOD品

----DC—BD—.SB—S

°D=^OB+京。C=K0B+KcOC

°D_SBOD=ScOD=SROD+SgD__S-

%SBOA^COAS^QA+^COASR+Sc

__s

??.0D=---S--B--+-SOCOAA

SB

??,次麗+備花

Sf!+Sc

SA*OA+SB-OB+SC?OC=6

再證明：。是AABC的垂心=Sgoc:SACOA:SMOB=tanA:tanB：tanC

<=>thn/l?OA+BOB+COC=~

DB

CDCD

證明：如圖。為三角形的垂心，tanA=----,tanB=-----=>tanA:tan=DB:AD

ADDB

S^oc-SACOA=DB:AD

Sw應(yīng)儂=tanA:tanB

同理得SSCOA:=tan3:tanC,S^oc:SMOB=tanA:tanC

S&BOC:S“COA:S^OB=tanA:tan8:tanC

tanA?OA+tan3?OB+tanC?OC=0

由以上結(jié)論得：

H是AABC的垂心OSABHC:S&CHA：S^HB=tanA:tanB:tanC

otanA*HA+tanB?HB+tanC?HC=Q

由題設(shè)得則4=tan^=螞C=義.再由tanA+tanB+tanC=tanAtaaBtanC，得

345

2--f=，tanB-.故cosZABC='l".

V5521

故答案為：巫5

21

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的垂心與向量關(guān)系求三角形角的余弦值，屬于中檔題.

例6.已知。是面a上一定點(diǎn)，A、B、C是面a上A48C的三個(gè)頂點(diǎn)，N5,NC分別是邊

AC,A3對(duì)應(yīng)的角.

①動(dòng)點(diǎn)戶滿足加=百+而+元，則A4BC的心一定在滿足條件的一點(diǎn)集合

中.

②動(dòng)點(diǎn)月滿足而=蘇+2(4^1+=)(2>0),則A4BC的心一定在滿足條件

AC

的P點(diǎn)集合中.

—>—>AP

③動(dòng)點(diǎn)〃滿足OP=QA+4(=——+1―I)(4>0),則AA3c的_______心一定在

AB^sinBAOsinC

滿足條件的〃點(diǎn)集合中.

——?——>ARAC

④動(dòng)點(diǎn)2滿足OP=OA+4(=------+=--------)(4>0)，則AA8C的______心一定在

A目cos5AQcosC

滿足條件的尸點(diǎn)集合中.

—?+0('ATiAC

⑤動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=---+4(上竺一+—一),2e(0,+oo)則MBC的

2|AB|cosB|JC|cosC

心一定在滿足條件的一點(diǎn)集合中.

【難度】★★

【答案】①重②內(nèi)③重④垂⑤外

【提示】四線上的動(dòng)點(diǎn)表示：

_____ToAC

⑴中線上的動(dòng)點(diǎn)：〃通+/)或2(=----------+=-----------■

|A^|sinB|AC|sinC

AD~AC

(2)高線上的動(dòng)點(diǎn)：——+產(chǎn)；一).

|A闿cos8ACcosC

ABAC_

(3)角平分線上的動(dòng)點(diǎn)：2(R+R

OB+OCABAC

(4)中垂線上的動(dòng)點(diǎn):OP=——-——+丸(=------+=-------x),

2|AB|cosB|AC|cosC

例7.已知點(diǎn)。是AA8C的重心，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,且

2aOA+hOB+^-cOC=6,則角C的大小是

3

【難度】★★

TT

【答案】-

3

【解析】提示：點(diǎn)。是A48。的重心，故(方+。方+反=6,又

2a-OA+bOB+—c-OC=6

3

所以2。=6=氈5然后用余弦定理解得

3

例8.已知。是A45C內(nèi)心，若=WiJcosZBAC=.

【難度】★★

【答案】cosZBAC=-

4

----2——?12—?2―-1——--

【解析】提示：方法一AO=-AB+-AC=>-OA+-OB+-OC=0

55555

:.a:b:c=2:2:l,由余弦定理即可解得

方法二AO=-AB-AC>AO=-AD-AC

5+55+5

.?.點(diǎn)0在中線CD上，故CA=CB,CD1AB(三線合一)

過(guò)點(diǎn)0作0F//AC,0E//ABAAE:EC=DF:AF=1:4

又A0為四邊形AEOF的角平分線，所以四邊形AEOF是菱形

AAE=AF.,.AD：AC=1：4AcosZB0C=-

ARACARAC1

例9.已知非零向量4?與4d肅足（二一?—）?BG=O5.——?---=~,則△4?。為（）

AB\AC\\AB\\AC\2

A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形

【難度】★★

【答案】非零向量與滿足（義+￡^）?二0,即角A的平分線垂直于BC,

\AB\\AC\

/AAC1IT

：.AB=AC,又COSA=5,Z/l=-,所以AABC為等邊三角形，選I).

|AB|\AC\-3

例10.［位育中學(xué)監(jiān)控考試?21］已知A4BC中，過(guò)重心G的直線交邊A8于尸，交邊AC

于。，設(shè)A4PQ的面積為加，A43c的面積為S2，AP=pPB，AQ=qQC＞（D求

__.pqS.

GA+G6+GC；（2）求一人的值；（3）求心的取值范圍.

P+QS2

【難度】★★★

【答案】⑴GA+GB+GC=0

(2)AG=-AB+-AC,又因G,P,Q三點(diǎn)共線

33

所以元=加而+（1—m）而=2Q+止型公

1+p\+q

mp1

TTp-3

化簡(jiǎn)得公

消去加得:=1

(1-m)q13P3q

1+q-3

--\AP\\AQ\sinZBAC〃q

3)

AB\\AC\sinABACl+p1+4

1

119

2所時(shí)*）

--^+1,故。＜一＜1,

P24p

【鞏固訓(xùn)練】

1.己知點(diǎn)0、N、P在A4BC所在平面內(nèi)，且I)|=|礪|=|瓦I，而+麗+近=0,

蘇?麗=而?1=1?蘇，則點(diǎn)0、N、P依次是根6。的()

A.重心、外心、重心B.重心、外心、內(nèi)心

C.外心、重心、重心D.外心、重心、內(nèi)心

【難度】★

【答案】C

2.已知△4?。的外接圓的圓心為0,半徑為1,若3萬(wàn)+4應(yīng)+5應(yīng)'=0,則的面積為

()

2136

A-5B-2C-WD-5

【難度】★★

【答案】A

【解析】由題設(shè)，得3而+5必=-4應(yīng)，即9+2X3X5而?應(yīng)+25=16,

34142

AsinZJOC=T,&“r=7；X1X1T

?\cosZAOC=—5z,52X5-=5.

3.已知AONB中，|萬(wàn)卜3,|礪卜2,M是△048重心，且礪?荻=0,則

cosZAOB=.

【難度】★★

【答案】—

【解析】MBMO=OM-OB]OM

1I...-[21-------2I---"|2--―—―??

=-\OA\——OAOB——\OB\=0=>()AOB=-\^>cosZAOB=——

9lI99l?6

4.設(shè)G是△/1比重心，且(56sinA)a+(40sinB)而+(35sinC)&'=6,則N8=

【難度】★★

7T

【答案】-

3

5.設(shè)4B,。為直線/上不同的三點(diǎn)，。為直線/外一點(diǎn).若0應(yīng)+g市+r應(yīng)'=0(0,q,r

GR),則o+q+r=()

A.-1B.0C.1D.3

【難度】★★

【答案】B

【解析】由已知得而=—“為一」而而4B,。三點(diǎn)共線，所以一"+（—4=1,所以0+q

PPP\PJ

+r=0.

6.［上海實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中?9］已知△A3C滿足|詬|=3,\AC\=4,。是△A5C的外心，

______1_2___

AO=AAB+——AdQeR）,則△A8C的面積是

2

【難度】★★★

【答案】2小或^不

2

_1-入_

【解析】如圖：0是AABC的外心，設(shè)AC的中點(diǎn)為D,vAO=XAB+--^―AC-

???B0=A6-AE=（入-1）AB+1-XAC=（入-1）AB+1-X（BC-BA）=

二^（BC+BA），則前+就=2麗，，的二（1-入）BD-即B、0、D三點(diǎn)共線.

是△ABC的外心，；.0DJ_AC,則BD_LAC,；.sin/BAC