2.2 充分條件、必要條件、充要條件【導(dǎo)學(xué)案教師版】

高中數(shù)學(xué)精選資源2/2第2章 常用邏輯用語(yǔ)第02講充分條件、必要條件、充要條件目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)重難點(diǎn)1、理解充分條件、必要條件、充要條件的定義．2、會(huì)求某些簡(jiǎn)單問(wèn)題成立的充分條件、必要條件、充要條件．3、能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進(jìn)行充要條件的證明．1．通過(guò)對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與充分條件和必要條件的關(guān)系2．通過(guò)對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與充要條件的關(guān)系3．熟練判斷命題間的關(guān)系4．根據(jù)命題關(guān)系求參數(shù)范圍或參數(shù)值知識(shí)精講知識(shí)精講一、充分條件與必要條件充分條件與必要條件“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關(guān)系p?qp?q條件關(guān)系p是q的條件q是p的條件p不是q的條件q不是p的條件定理關(guān)系判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件【特別提醒】對(duì)充分條件和必要條件的理解：(1)對(duì)“推出”的正確理解：對(duì)于命題p：∠A＝30°，q：sinA＝.顯然p可以推出q，記為p?q，而q是不能推出p的．(2)若p?q，則p是q的充分條件．所謂充分，就是說(shuō)條件是充分的，也就是說(shuō)條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證的．“有之必成立，無(wú)之未必不成立”．(3)若p?q，則q是p的必要條件．所謂必要，就是條件是必須有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，無(wú)之必不成立”．（4）以下五種表述形式是等價(jià)的：①p?q；②p是q的充分條件；③q的充分條件是p；④q是p的必要條件；⑤p的必要條件是q。二、充要條件充要條件(1)如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作p?q，此時(shí)，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們就說(shuō)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為條件．(2)如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．概括地說(shuō)，如果p?q，那么p與q互為充要條件．【特別提醒】（1）若p是q的充要條件，則p?q，即命題p和q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題。（2）“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別是：若p是q的充要條件說(shuō)明p是條件，q是結(jié)論；若p的充要條件是q說(shuō)明q是條件，p是結(jié)論．一、充分必要充分必要二、充要能力拓展能力拓展考法01充分條件的判斷充分條件的判斷方法(1)判定p是q的充分條件要先分清什么是p，什么是q，即轉(zhuǎn)化成p?q問(wèn)題．(2)除了用定義判斷充分條件還可以利用集合間的關(guān)系判斷，若p構(gòu)成的集合為A，q構(gòu)成的集合為B，A?B，則p是q的充分條件．例1下列命題中，p是q的充分條件的是________例1①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；②p：兩個(gè)三角形面積相等，q：兩個(gè)三角形全等；③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0無(wú)實(shí)根．【答案】②【解析】①∵(x－2)(x－3)＝0，∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.∴p不是q的充分條件．②∵兩個(gè)三角形面積相等，不能推出兩個(gè)三角形全等，∴p不是q的充分條件．③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0無(wú)實(shí)根，∴p是q的充分條件．【跟蹤訓(xùn)練】“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________條件．【答案】充分【解析】由a>2且b>2?a＋b>4，ab>4，∴是充分條件．考法02必要條件的判定(1)判斷p是q的什么條件，主要判斷若p成立時(shí)，能否推出q成立，反過(guò)來(lái)，若q成立時(shí)，能否推出p成立；若p?q為真，則p是q的充分條件，若q?p為真，則p是q的必要條件．(2)也可利用集合的關(guān)系判斷，如條件甲“x∈A”，條件乙“x∈B”，若A?B，則甲是乙的必要條件．例2在以下各題中，分析p與q的關(guān)系：例2(1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5；(2)p：一個(gè)四邊形的四個(gè)角都相等，q：四邊形是正方形．【解析】(1)由于p?q，故p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)由于q?p，故q是p的充分條件，p是q的必要條件．【跟蹤訓(xùn)練】下列p是q的必要條件的是()A．p：a＝1，q：|a|＝1B．p：－1<a<1，q：a<1C．p：a<b，q：a<b＋1D．p：a>b，q：a>b＋1【答案】D【解析】要滿足p是q的必要條件，即q?p，只有q：a>b＋1?q：a－b>1?p：a>b，故選D.考法03根據(jù)充分條件或必要條件求參數(shù)的范圍充分條件與必要條件的應(yīng)用技巧(1)應(yīng)用：可利用充分性與必要性進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的求解，特別是求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題．(2)求解步驟：先把p，q等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解．例3已知p：實(shí)數(shù)x滿足3a<x<a，其中a<0；q：實(shí)數(shù)x滿足－2≤x≤3.若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)a例3【解析】p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因?yàn)閜?q，所以A?B，所以?－≤a<0，所以a的取值范圍是－≤a<0.【跟蹤訓(xùn)練】變式1.（變條件）將本例中條件p改為“實(shí)數(shù)x滿足a<x<3a，其中a>0”，若p是q的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】p：a<x<3a，即集合A＝{x|a<x<3a}．q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因?yàn)閝?p，所以B?A，所以?a∈?.變式2.（變條件）將例題中的條件“q：實(shí)數(shù)x滿足－2≤x≤3”改為“q：實(shí)數(shù)x滿足－3≤x≤0”其他條件不變，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】p：3a<x<a，其中a<0，即集合A＝{x|3a<x<a}．q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．因?yàn)閜是q的充分條件，所以p?q，所以A?B，所以?－1≤a<0.所以a的取值范圍是－1≤a<0.考法04充分必要條件的判定定義法判斷充分條件、必要條件（1）確定誰(shuí)是條件，誰(shuí)是結(jié)論（2）嘗試從條件推結(jié)論，若條件能推出結(jié)論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件（3）嘗試從結(jié)論推條件，若結(jié)論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件.例4指出下列各題中p是q例4(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形全等．(3)p：a＞b，q：ac＞bc.【解析】(1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要條件．(2)兩個(gè)三角形相似兩個(gè)三角形全等，但兩個(gè)三角形全等?兩個(gè)三角形相似，故p是q的必要不充分條件．(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，故p是q的既不充分也不必要條件．【跟蹤訓(xùn)練】指出下列各組命題中，p是q的什么條件．(1)p：四邊形的對(duì)角線相等，q：四邊形是平行四邊形．(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蔚膶?duì)角線相等四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形四邊形的對(duì)角線相等，所以p是q的既不充分也不必要條件．(2)因?yàn)?x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2?(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分不必要條件．考法05充要條件的證明充要條件的證明策略（1）要證明一個(gè)條件p是否是q的充要條件，需要從充分性和必要性兩個(gè)方向進(jìn)行，即證明兩個(gè)命題“若p，則q”為真且“若q，則p”為真.（2）在證明的過(guò)程中也可以轉(zhuǎn)化為集合的思想來(lái)證明，證明p與q的解集是相同的，證明前必須分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論.提醒：證明時(shí)一定要注意，分清充分性與必要性的證明方向.例5求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1的充要條件是a＋b＋c例5【證明】先證必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1，∴x＝1滿足方程ax2＋bx＋c＝0，則a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.再證充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1.因此，關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.【跟蹤訓(xùn)練】求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac＜0.【證明】必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根．所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2為方程的兩根)，所以ac＜0.充分性：由ac＜0，可推得b2－4ac＞0，及x1x2＝＜0.(x1，x2為方程的兩根)所以方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相異實(shí)根，且兩根異號(hào)，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根．綜上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac＜0.考法06充分條件與必要條件的應(yīng)用充分條件與必要條件的應(yīng)用技巧(1)應(yīng)用：可利用充分性與必要性進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的求解，特別是求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題．(2)求解步驟：先把p，q等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解．(3)關(guān)鍵點(diǎn)：利用充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍的關(guān)鍵就是找出集合間的包含關(guān)系，要注意范圍的臨界值．例6已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m例6【解析】p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以q是p的充分不必要條件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有或解得m≤3.又m>0，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|0<m≤3}．【跟蹤訓(xùn)練】變式1.（變條件）若本例中“p是q的必要不充分條件”改為“p是q的充分不必要條件”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因?yàn)閜是q的充分不必要條件，設(shè)p代表的集合為A，q代表的集合為B，所以AB.所以或解得m≥9，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≥9}．變式2.（變?cè)O(shè)問(wèn)）本例中p，q不變，是否存在實(shí)數(shù)m使p是q的充要條件？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】因?yàn)閜：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．若p是q的充要條件，則方程組無(wú)解．故不存在實(shí)數(shù)m，使得p是q的充要條件．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．有以下說(shuō)法，其中正確的個(gè)數(shù)為（）（1）“m是自然數(shù)”是“m是整數(shù)”的充分條件.（2）“兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角相等”是“這兩個(gè)三角形全等”的必要條件.（3）“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要條件.A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【解析】（1）由于“m是自然數(shù)”?“m是整數(shù)”，因此“m是自然數(shù)”是“m是整數(shù)”的充分條件.（2）由三角形全等可推出這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角相等，所以“兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角相等”是“這兩個(gè)三角形全等”的必要條件.（3）由(a+b)·(a-b)=0，得：|a|=|b|，推不出a=b，由a=b，能推出|a|=|b|，故“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要條件.故選：D．2．“”是二次函數(shù)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)”的（）A．充分條件B．必要條件C．既是充分條件也是必要條件D．既不是充分條件也不是必要條件【答案】A【解析】“”，二次函數(shù)一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；二次函數(shù)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，，不一定等于0.所以，“”是二次函數(shù)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)”的充分條件.故選:A3．對(duì)于實(shí)數(shù)，“”是“”的（）條件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，例如當(dāng)，但，故充分性不成立；反之，若，則，故必要性成立.故選：B.4．已知p是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，下列命題正確的是（）A．r是q的充分不必要條件 B．p是q的充分不必要條件C．r是q的必要不充分條件 D．r是s的充分不必要條件【答案】B【解析】由題意，但是不能推出成立，則，所以是等價(jià)的，因此ACD都錯(cuò)誤，B正確．故選：B．5．“>1”的一個(gè)充分不必要條件是（）A．x>y B．x>y>0C．x<y D．y<x<0【答案】B【解析】如果p是q的充分不必要條件，那么，而.當(dāng)x>y>0時(shí)，必有>1，而>1?>0?x>y>0或x<y<0.所以x>y>0是>1的充分不必要條件.故選：B.6．若非空集合A，B，C滿足A∪B=C，且B不是A的子集，則（）A．“x∈C”是“x∈A”的充分條件但不是必要條件B．“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件C．“x∈C”是“x∈A”的充分條件也是“x∈A”的必要條件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分條件也不是“x∈A”的必要條件【答案】B【解析】因?yàn)锽不是A的子集，所以集合中必含有元素不屬于，而即為或，x∈A必有x∈C，但反之不一定成立，所以“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件.故選：B．7．是成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性顯然成立，必要性可以舉反例：，，顯然必要性不成立.故選：A8．有限集合中元素的個(gè)數(shù)記作，設(shè)都為有限集合，給出下列命題：①的充要條件是；②的必要條件是；③不是的子集的充分條件是④的充要條件是其中真命題的序號(hào)是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】A【解析】①，集合與集合沒(méi)有公共元素，所以充要條件是，故①正確；②集合中的元素都是集合中的元素，則，故②正確；③當(dāng)時(shí)，則，由無(wú)法得到不是的子集，故③錯(cuò)誤；④集合中的元素與集合中的元素完全相同，但兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相同，并不意味著它們的元素相同，故④錯(cuò)誤．故選：A題組B能力提升練1．王昌齡《從軍行》中兩句詩(shī)為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意知：“攻破樓蘭”未必“返回家鄉(xiāng)”，即“攻破樓蘭”“返回家鄉(xiāng)”；若“返回家鄉(xiāng)”則必然“攻破樓蘭”，即“返回家鄉(xiāng)”“攻破樓蘭”；“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要不充分條件.故選：A.2．已知條件，條件關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)解．則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條【答案】A【解析】由一元二次方程有實(shí)數(shù)解可得，解得，又所以p是q的充分不必要條件，故選：A3．已知，集合．若是的必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值可以是（）A． B．1 C．3 D．5【答案】ABC【解析】由，解得，∴，非空集合，又是的必要條件，所以，當(dāng)，即時(shí)，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，∴，解得，∴的取值范圍是，實(shí)數(shù)m的取值可以是，故選：ABC.4．設(shè)．若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)可以是（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】解得，，記，解得，，記，是的必要不充分條件，所以，解得，的取值范圍是．故選：．5．若不等式成立的充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】由得，因?yàn)槭遣坏仁匠闪⒌某浞植槐匾獥l件，∴滿足且等號(hào)不能同時(shí)取得，即，解得．故答案為：6．已知，，且是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【解析】，，且是的必要不充分條件，所以是的真子集，所以或，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.7．設(shè)集合，（1）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)集合，使“”是“”的充分條件，但“”不是“”的必要條件；（2）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)集合，使“”是“”的必要條件，但“”不是“”的充分條件．【解析】（1）由于“”是“”的充分條件，但“”不是“”的必要條件，所以集合是集合的真子集，由此可得符合題意.（2）由于于“”是“”的必要條件，但“”不是“”的充分條件，所以集合是集合的真子集，由此可知符合題意.8．設(shè)：實(shí)數(shù)滿足，：實(shí)數(shù)滿足.（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由得.（2）：，：，∵是的充分條件，∴，∴題組C培優(yōu)拔尖練1．已知，恒成立，則的一個(gè)充分不必要條件可以是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由，恒成立，只需，即因充分不必要條件是充要條件的真子集，所以AC正確.故選：AC2．下列四個(gè)條件中可以作為方程有實(shí)根的充分不必要條件是（）A．a(chǎn)=0 B． C． D．【答案】AC【解析】當(dāng)時(shí)，方