2.4線段、角的對(duì)稱性（一~二）（解析版）

2.4線段、角的對(duì)稱性（一~二）【推本溯源】1.如圖，直線PQ是線段AB的垂直平分線，PQ與AB交于點(diǎn)O，把OA沿直線PQ翻折，可得OA與OB重合。幾何語言：∵直線PQ是線段AB的垂直平分線∴∠1=∠2=90°，OA=OB因此，線段是軸對(duì)稱圖形；它得對(duì)稱軸是線段的垂直平分線和它本身所在得直線。2.如圖，線段AB的垂直平分線l交AB于點(diǎn)O，點(diǎn)P是l上任意一點(diǎn)，PA與PB相等嗎？為什么？通過證明，你發(fā)現(xiàn)了什么？用語言描述你得到的結(jié)論．科網(wǎng)ZXXK]PA=PB證：∵直線l是線段AB的垂直平分線∴∠1=∠2=90°，OA=OB在▲PAO與▲PBO中∴▲PAO≌▲PBO（SAS）∴PA=PB因此線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等幾何語言：∵直線l是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P是l上一點(diǎn)∴PA=PB（證明定理：SAS）3.如圖，若點(diǎn)Q是線段AB外任意一點(diǎn)，且QA＝QB，那么點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上嗎？為什么？在。過點(diǎn)Q作AB的垂線交AB與點(diǎn)M，可得∠QMA=∠QMB=90°證：在Rt▲AQM和Rt▲BQM中，∠QMA=∠QMB=90°，∴Rt▲AQM≌Rt▲BQM（HL）∴AM=BM∴點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上。因此線段垂直平分線的判定定理是到線段兩個(gè)端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．幾何語言：∵QA=QB∴點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上4.如圖：已知AC=AD，BC=BD，求證：AB垂直平分CD。證明：∵AC=AD，BC=BD∴點(diǎn)A、B是線段CD垂直平分線上的點(diǎn)∴AB垂直平分CD5.你用尺規(guī)畫出任一條線段的垂直平分線嗎？作法：1.分別以A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C、D。2.過C、D兩點(diǎn)作直線。直線CD就是線段AB的垂直平分線。6.在直線AB外任取一點(diǎn)C，用該方法作出線段BC、AC的垂直平分線，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn).這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等【解惑】例1：如圖，在中，，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，的周長是，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的周長公式即可得．【詳解】解：是線段的垂直平分線，，，，的周長是，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例2：如圖，是的角平分線，、分別是和的高，求證：垂直平分．【答案】見解析【分析】利用角平分線的性質(zhì)證得，再由全等證得，即可證得垂直平分．【詳解】證明：設(shè)、的交點(diǎn)為K，平分，，，，，在和中，，（HL），，是線段的垂直平分線．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等的性質(zhì)和判定，垂直平分線的判定，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的幾何定理．例3：如圖：在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，邊上，且．

(1)猜想：（填上“”、“”或“”）；(2)證明你的猜想．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)圖形直接作答即可；（2）如圖，延長至，使，連接，．證明，推出，得出垂直平分，可得，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和線段間的代換即可證得結(jié)論．【詳解】（1）猜想：；故答案為：；（2）證明：如圖，延長至，使，連接，．點(diǎn)是的中點(diǎn)，．在和中，．．，∴垂直平分，．，，組成了一個(gè)三角形，，又，，．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系以及線段垂直平分線的性質(zhì)，正確添加輔助線，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．例4：到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（

）A．三條高的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定定理解答．【詳解】解：到三角形的一邊的兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這邊的垂直平分線上，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的判定定理，掌握到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．例5：已知：兩條相交公路與形成的區(qū)域內(nèi)部有兩個(gè)居民小區(qū)，可近似的看作點(diǎn)D與點(diǎn)E．為了給居民提供便利，社區(qū)要在內(nèi)部區(qū)域內(nèi)選擇一處地址修建快遞柜，使選址點(diǎn)P到兩個(gè)居民區(qū)和兩條公路距離均相等．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作出點(diǎn)P的位圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．【答案】見解析【分析】分別作出線段的垂直平分線，的角平分線即可．【詳解】解：如圖，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，角平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【摩拳擦掌】1．（2023春·廣東河源·八年級(jí)校聯(lián)考期中）到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形三條（

）A．中線的交點(diǎn)B．三邊垂直平分線的交點(diǎn)C．角平分線的交點(diǎn) D．高線的交點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的中垂線上，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的中垂線上，∴到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查中垂線的判定．熟練掌握到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的中垂線上，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·河北保定·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)．甲、乙兩人按圖中的作法，都得到了全等．下列判斷錯(cuò)誤的是（

）

甲通過作的垂直平分線得到點(diǎn)P、Q乙通過過點(diǎn)D作的平行線得到點(diǎn)P、Q甲證明全等的依據(jù)是 乙證明全等的依據(jù)是【答案】D【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，，則根據(jù)“”可判斷，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，在根據(jù)“”得到．【詳解】解：由圖可知，甲通過作的垂直平分線得到點(diǎn)P、Q，則，，又∵，∴．故A、C正確；由圖可知，乙通過過點(diǎn)D作的平行線得到點(diǎn)P、Q，∵，，∴，，又∵∴．故B正確，D錯(cuò)誤．故答案選D．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定等知識(shí)，其中掌握基本的作圖方法，并能理解作圖所使用的原理是解決本題的關(guān)鍵．3.（2022秋·廣東河源·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，是中邊上的垂直平分線，如果，，則的周長為（

）A．16cm B．18cm C．26cm D．28cm【答案】B【分析】根據(jù)線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等，得到，從而得到的周長等于．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∵的周長等于，，，∴的周長等于cm，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．4．（2023春·北京西城·八年級(jí)北京市第一六一中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，中，是的垂直平分線，cm，的周長為13cm，的周長為______cm．

【答案】19【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得cm，，然后根據(jù)三角形的周長公式結(jié)合線段的代換求解即可．【詳解】解：∵是的垂直平分線，cm，∴cm，，∵的周長為13cm，∴cm，∴的周長為cm；故答案為：19．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，屬于?？碱}型，熟知線段垂直平分線上的點(diǎn)到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．（2021春·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，，，則的周長為______．

【答案】【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，然后利用等線段代換得到的周長為．【詳解】∵的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，∴的周長為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．6．（2022秋·湖南邵陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段CD與線段BE互相垂直平分，，，則______．【答案】72°【分析】利用線段互相垂直平分，結(jié)合余角定義，對(duì)該題進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵線段CD與線段BE互相垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即：，∵線段CD與線段BE互相垂直平分，∴AC=AD，∴，∴．故答案為：72°．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是線段垂直平分線的應(yīng)用，以及簡單的角度計(jì)算，掌握基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·安徽宿州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知甲工廠靠近公路a，乙工廠靠近公路b，為了發(fā)展經(jīng)濟(jì)，甲、乙兩工廠準(zhǔn)備合建一個(gè)倉庫，經(jīng)協(xié)商，倉庫必須滿足以下兩個(gè)要求：①到兩工廠的距離相等；②在內(nèi)，且到兩條公路的距離相等．你能幫忙確定倉庫的位置嗎？（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】連接，作線段的垂直平分線，作角的平分線，則與的交點(diǎn)F就是倉庫的位置．【詳解】解：如圖，點(diǎn)F為倉庫的位置．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作線段的垂直平分線和角平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握尺規(guī)作線段垂直平分線和角平分線的一般步驟．8．（2023·廣東汕頭·校聯(lián)考一模）如圖，在中，．

(1)尺規(guī)作圖：作的垂直平分線，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q．（要求：先用鉛筆作圖，再用黑色筆把它涂黑，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，連接，，，求的周長．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）按照作線段垂直平分線的作法進(jìn)行即可；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，則的周長為，即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求作．

（2）解：垂直平分線段，，的周長為，，，的周長為．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖：作線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)定理，掌握這些知識(shí)是關(guān)鍵．9．（2023秋·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，邊，的垂直平分線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：點(diǎn)在線段的垂直平分線上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)直接可得到答案；（2）根據(jù)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上即可得到答案；【詳解】（1）證明：∵邊、的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，，∴；（2）證明：∵邊，的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，，∴，點(diǎn)在的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)及判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等及到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．【知不足】1．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，，有下列結(jié)論：①平分；②平分；③平分；④平分．其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．只有①【答案】B【分析】先證明得到，，，即可判斷①②③；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明④．【詳解】解：∵，，，∴，∴，，，∴平分，平分，故①正確，②正確；∵，，∴是線段的垂直平分線，∴平分，故③正確；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明，即無法證明平分，故④錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)等幾何知識(shí)，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理，線段的垂直平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋·廣東汕尾·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，的平分線與邊的垂直平分線相交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，于點(diǎn)，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③平分；④；其中正確的有（

）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】①由角平分線的性質(zhì)即可證明；②由題意可知，可得，，從而可以證明；③假設(shè)平分，則，可推出，條件不足，故錯(cuò)誤；④連接，證明，，得出，，即可證明．【詳解】如圖所示，連接，

∵平分，，，∴．故①正確；∵，平分，∴．∵，∴．∴．同理，∴．故②正確；∵，∴．假設(shè)平分，則，∴．∵，∴．∴．又∵的度數(shù)是未知的，∴不能判定平分．故③錯(cuò)誤；∵是的垂直平分線，∴．在和中，，∴．∴．在和中，，∴．∴，∴．故④正確；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國·八年級(jí)期中）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交AC于D，已知AC=10cm，BC=7cm，則△BCD的周長是________cm．【答案】17【分析】根據(jù)DE垂直平分線AB，得，進(jìn)而求△BCD的周長；【詳解】解：∵DE垂直平分線AB，∴，∵AC=10cm，BC=7cm，∴△BCD的周長為：cm；故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，若，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，在上取一點(diǎn)，使，則＝______．【答案】/20度【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可求，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：在中，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵在于利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和計(jì)算未知角．5．（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)臺(tái)州市書生中學(xué)?？计谥校┤鐖D中，，請(qǐng)依據(jù)尺規(guī)作圖的作圖痕跡計(jì)算_____．【答案】/83度【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，由作法可知，是的平分線，得到，由作法可知，是的平分線，得到，再由三角形外角定理即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴．由作法可知，是的平分線，∴，由作法可知，是線段的垂直平分線，∴，∴，∵，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知角平分線及線段垂直平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵．6．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，有三幢公寓樓分別建在點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C處，是連接三幢公寓樓的三條道路，要修建一超市P，按照設(shè)計(jì)要求，超市要在的內(nèi)部，且到A、C的距離必須相等，到兩條道路的距離也必須相等，請(qǐng)利用尺規(guī)作圖確定超市P的位置．（不要求寫出作法、證明，但要保留作圖痕跡）．【答案】見解析【分析】作線段的垂直平分線和的角平分線，則其交點(diǎn)即為點(diǎn)P．【詳解】解：如圖，P點(diǎn)即為所作．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—線段的垂直平分線，作圖—角平分線．掌握基本作圖方法是解題關(guān)鍵．7．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）如圖，已知，請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）．

(1)如圖1，在邊上確定一點(diǎn)，使得；(2)如圖2，在正方形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，在邊上作出一點(diǎn)，使得的周長為線段的長．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作的垂直平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；（2）以為圓心，為半徑作出交于點(diǎn)，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，則即為所求【詳解】（1）如圖所示，作的垂直平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；

∵，∴；（2）：如圖所示，以為圓心，為半徑作出交于點(diǎn)，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，則即為所求

以為圓心，為半徑作出交于點(diǎn)，∴，作的垂直平分線，交于點(diǎn)，則即為所求∴∴的周長為【點(diǎn)睛】本題考查了作垂直平分線，垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖，在中，，，D是的中點(diǎn)，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到E，使，請(qǐng)補(bǔ)充完整證明“”的推理過程．(1)求證：證明：延長到點(diǎn)E，使在和中∵（已作）（對(duì)頂角相等）____________（中點(diǎn)定義）∴（____________）(2)由（1）的結(jié)論，根據(jù)與之間的關(guān)系，探究得出的取值范圍是____________；【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．(3)【問題解決】如下圖，中，，，是的邊上的中線，，，且，求的長．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）由“”可證；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，由三角形的三邊關(guān)系可求解；（3）由“”可證，則，可求，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得的長．【詳解】（1）證明：延長到點(diǎn)E，使在和中，∵（已作），（對(duì)頂角相等），（中點(diǎn)定義），∴，故答案為：，；（2）解：∵，∴，在中，，∴，∴，故答案為：；（3）解：如圖3，延長交于點(diǎn)F，∵，∴，∴，∵是中線，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是的垂直平分線，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題和倍長中線問題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，并運(yùn)用類比的方法解決問題．【一覽眾山小】1．（2023春·廣東茂名·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，等腰的底邊的長為6，面積是18，腰的垂直平分線分別交，邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長的最小值為（

）

A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】連接，，先求出，是線段的垂直平分線，求出，的長為的最小值，即可求出周長最小值．【詳解】如圖，連接，．∵是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，∴，解得．∵是線段的垂直平分線，∴點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，，∴，∴的長為的最小值，∴的周長．

故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了將軍飲馬問題，解題的關(guān)鍵是做輔助線確定．2．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，D為中點(diǎn)，作交于E，交于F，連接，，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】延長到M，使，連接，利用證明，得到，再根據(jù)三線合一的逆定理得出，最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得解．【詳解】解：延長到M，使，連接，∵D為中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，又∵，∴，在中，，∴，即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合理的輔助線并根據(jù)SAS證明是解題的關(guān)鍵．3．（2023·黑龍江牡丹江·?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，，點(diǎn)到的距離是，到的距離是，則等于__________【答案】2或10【分析】根據(jù)可判斷點(diǎn)都在的垂直平分線上，然后分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在的內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)O在的外部時(shí)，分別計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴點(diǎn)都在的垂直平分線上，由題意知，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在的內(nèi)部時(shí)，；②當(dāng)點(diǎn)O在的外部時(shí)，；故答案為：2或10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的基本性質(zhì)．解本題的關(guān)鍵在于分類討論．4．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)為的平分線上一點(diǎn)，過任作一直線分別與的兩邊交于，兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，過作的垂線交于點(diǎn)，，則____．【答案】．【分析】過D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE＝DF，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出BD＝CD，證Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB＝∠CDF，推出∠BDC＝∠EDF＝50°，由四邊形內(nèi)角和定理即可得出答案．【詳解】解：如圖：過作于，于，則，平分，，為中點(diǎn)，，，在和中，，，，．，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線，證明三角形全等是解此題的關(guān)鍵．5．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，是的角平分線，分別是和的高，則與的關(guān)系為_________．【答案】AD垂直平分EF【分析】利用角平分線的性質(zhì)證得，再證得，最后根據(jù)垂直平分線的判定定理可得垂直平分．【詳解】證明：設(shè)、的交點(diǎn)為K，平分，，，，，在和中，，，，AD垂直平分EF．故答案為AD垂直平分EF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、垂直平分線的判定等知識(shí)點(diǎn)，掌握到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，已知，P為邊上一點(diǎn)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法在邊上求作一點(diǎn)E，使得的周長等于（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】連接，作的垂直平分線，交于點(diǎn)E即可．【詳解】如圖所示，點(diǎn)E即為所求作的點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)，用尺規(guī)作出的垂直平分線．7．（2023春·陜西寶雞·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，兩公路與相交于點(diǎn)O，兩公路內(nèi)側(cè)有兩工廠C和D，現(xiàn)要修建一貨站使貨站P到兩條公路OA、OB的距離相等，且到兩工廠C、D的距離相等，用尺規(guī)作出貨站P的位置．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】只要作出的角平分線和線段的垂直平分線，兩線的交點(diǎn)即為所求．【詳解】解：如圖所示：點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作角平分線和線段的垂直平分線以及兩者的性質(zhì)，正確理解題意、熟練掌握基本作圖方法是關(guān)鍵．8．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，的周長為．請(qǐng)你解答下列問題：(1)求的長；(2)試判斷點(diǎn)是否在邊的垂直平分線上，并說明理由．【答案】(1)(2)點(diǎn)在邊的垂直平分線上，理由見解析【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，同理，于是得到結(jié)論；（2）連接，，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)與判定即可得到結(jié)論．【詳解】（1）垂直平分，，同理，；（2）點(diǎn)在邊的垂直平分線上，理由：連接，，，與是，的垂直平分線，，，，點(diǎn)在邊的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．9．（2022秋·河北秦皇島·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，平分的外角，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，．(1)求證：點(diǎn)P在線段的垂直平分線上；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖，連接，，，再證明（SAS），可得，從而可得結(jié)論；（2）證明，可得，結(jié)合，利用，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵平分，，∴，在和中，，∴，∴，∴點(diǎn)P在線段的垂直平分線上．（2）證明：∵平分，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定，作出合適的輔助線證明三角形全等是解本題的關(guān)鍵．10．（2022秋·湖南株洲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，為的中點(diǎn)，連接、，，延長交的延長線于點(diǎn)F.(1)求證：；(2)求證：；(3)若四邊形的面積為32，，求點(diǎn)E到邊的距離.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)4【分析】(1)首先根據(jù)可知，再根據(jù)點(diǎn)為的中點(diǎn)，可證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；(2)結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可知是線段的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可證得，再由線段的和差以及等量代換即可得證；(3)首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)，可得，，，再根據(jù)，即可求得，據(jù)此即可求得．【詳解】（1）證明：，，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，，在和中，，；（2）證明：，，，又，是線段的垂直平分線，，即；（3）解：，，是線段的垂直平分線，，，即，設(shè)點(diǎn)E到邊的距離為h，則，解得，即點(diǎn)E到邊的距離為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明三角形全等．11．（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，平分，過點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)、．(1)求證：是的平分線．(2)求證：線段垂直平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先利用證出，得到，再利用證出，得到，即可證明結(jié)論；（2）由（1）知，得到，，再利用證出，得到，，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）∵平分，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∴是的平分線；（2）如圖，由（1）知，∴，，在和中，∵，∴，∴，，∴線段垂直平分．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的綜合，熟練掌握角平分線的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的判定是解題的關(guān)鍵．12．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，，垂足分別為E，F(xiàn)．(1)如圖①請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使，你添加的條件是______，并證明；(2)如圖②，為的平分線，當(dāng)有一點(diǎn)G從點(diǎn)D向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，，垂足分別為E，F(xiàn)，這時(shí)，是否垂直于？(3)如圖③，為的平分線，當(dāng)點(diǎn)G在線段的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他條件不變，這時(shí)，是否垂直于？【答案】(1)答案不唯一，如平分，證明見解析；(2)；(3)．【分析】（1）添加平分，依據(jù)證明，可得即可得垂直于，從而可得結(jié)論；（2）（3）方法同（1）證明即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：答案不唯一，如平分，證明如下：∵平分，∴，∵∴又，∴，∴∴垂直于