1.3探索三角形全等的條件（七~八）（原卷版）

1.3探索三角形全等的條件（七~八）【推本溯源】1.角平分線的畫法：如圖，是任意一個(gè)角，在，邊上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與，重合，過角尺頂點(diǎn)的射線便是平分線，此作法用的判定三角形全等的方法是什么？那除了用刻度尺的畫法，我們還可以用圓規(guī)和直尺作角平分線嗎？作法：以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交射線OA、OB于點(diǎn)C、D；分別以C、D為圓心，大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)M；作射線OM。OM是∠ABC的角平分線。 2.如圖，PC=PD，QC=QD，PQ與CD相交與點(diǎn)E，證：PQ⊥CD由此，你能發(fā)現(xiàn)用直尺和圓規(guī)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法嗎？作法：（1）以點(diǎn)P為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，使它與AB交于點(diǎn)C、D；（2）分別以C、D為圓心，大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)Q；（3）作直線PQ。直線PQ是經(jīng)過直線AB外一點(diǎn)P的AB的垂線。3.按下列做法，用直尺和圓規(guī)作Rt▲ABC，使∠C=90°，CB=a，AB=c。作法：（1）作∠PCQ=90°；（2）在射線CP上截取CB=a；（3）以點(diǎn)B為圓心，c的長(zhǎng)為半徑作弧交射線CQ與點(diǎn)A；（4）連接AB。Rt▲ABC就是所求作的三角形?？匆幌伦约鹤鞯娜切魏推渌瑢W(xué)完全重合嗎？4.已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′求證：△ABC≌△A′B′C′證：把兩個(gè)直角三角形拼在一起，可證∠B=∠B′；然后運(yùn)用AAS證全等即可。通過自己實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)：（簡(jiǎn)寫成“”或“”）幾何語言：在Rt▲ABC與Rt▲A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°∴Rt▲ABC≌Rt▲A′B′C′（HL）【解惑】例1：王師傅用角尺平分一個(gè)角，如圖①，學(xué)生小顧用三角尺平分一個(gè)角，如圖②，他們都在兩邊上分別取，前者使角尺兩邊相同刻度分別與，重合，角尺頂點(diǎn)為；后者分別過，作，的垂線，交點(diǎn)為，則射線平分，均可由得知，其依據(jù)分別是（）A．； B．； C．； D．；例2：如圖，是的角平分線，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，且，則______度．例3：下面是小芳同學(xué)設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作這條直線垂線”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖1，直線l及直線l外一點(diǎn)P．求作：直線l的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)P．作法：如圖2，①以P為圓心，大于P到直線l的距離為半徑作弧，交直線l于A、B兩點(diǎn)；②連接PA和PB；③作∠APB的角平分線PQ，交直線l于點(diǎn)Q．④作直線PQ．∴直線PQ就是所求的直線．根據(jù)小芳設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，解答下列問題：（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖2（保留作圖痕跡）；（2）補(bǔ)全下面證明過程：證明：∵PQ平分∠APB，∴∠APQ=∠QPB．又∵PA=，PQ=PQ，∴△APQ≌△BPQ（

）（填推理依據(jù)）．∴∠PQA=∠PQB（

）（填推理依據(jù)）．又∵∠PQA＋∠PQB＝180°，∴∠PQA=∠PQB＝90°．∴PQ⊥l．例4：如圖，在8×6的方格紙中有線段AD，其中A，D在格點(diǎn)上，請(qǐng)分別按下列要求作△ABC（所作△ABC不是等腰三角形，作出一個(gè)即可．）（1）在圖1中，作△ABC，使AD為△ABC的中線，點(diǎn)B，C在格點(diǎn)上．（2）在圖2中，作△ABC，使AD為△ABC的高線，點(diǎn)B，C在格點(diǎn)上．例5：如圖，四邊形中，，，，，與相交于點(diǎn)F．(1)求證：(2)判斷線段與的位置關(guān)系，并說明理由．【摩拳擦掌】1．（2022·四川廣元·統(tǒng)考一模）已知∠AOB＝20°和射線MN．如圖，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫弧分別交∠AOB的兩邊于點(diǎn)P、Q，接著在射線MN上以點(diǎn)M為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫弧l交射線MN于點(diǎn)N；以N為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑畫兩段弧，分別交l于C、D兩點(diǎn)，連MC，MD并延長(zhǎng)．則∠CMD的度數(shù)為（

）A．20° B．50° C．60° D．40°2．（2022秋·天津·八年級(jí)天津市第五十五中學(xué)?？计谀┤鐖D，下面是利用尺規(guī)作∠AOB的平分線OC的作法：（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)D，E；（2）分別以D，E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C；（3）畫射線OC，射線OC就是∠AOB的平分線．在用尺規(guī)作角平分線過程中，用到的三角形全等的判定方法是（）A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS3．（2022秋·湖北宜昌·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，利用尺規(guī)作∠AOB的平分線，做法如下：①在OA、OB上分別截取OD、OE，使OD＝OE；②分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于一點(diǎn)C；③畫射線OC，射線OC就是∠AOB的角平分線．在用尺規(guī)作角平分線時(shí)，用到的三角形全等的判定方法是（

）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS4．（2022秋·湖南·八年級(jí)期中）如圖，一塊余料ABCD，AD∥BC，現(xiàn)進(jìn)行如下操作以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交BA，BC于點(diǎn)G，H；再分別以點(diǎn)G，H為圓心，大于GH的長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部相交于點(diǎn)O，畫射線BO，交AD于點(diǎn)E．連結(jié)OG、OH．若∠A＝124°，則∠AEB的大小是___度．5．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在已知的中，按以下步驟作圖：①分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)；②作直線交于點(diǎn)，連接．若，則________（填“”、“”或“”）．6．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，中，，是上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為，，若，則的值為____________.

7.（2021秋·北京·八年級(jí)北京四中?？计谥校┤鐖D，已知．按照以下步驟作圖：①以點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交、于M、N兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于線段的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)C．則射線是的角平分線．根據(jù)上面的作法，完成以下問題：（1）使用直尺和圓規(guī)，作出射線（請(qǐng)保留作圖痕跡）；（2）完成下面證明過程．（注：括號(hào)里填寫推理的依據(jù)）．連接，．在和中，∵∴（

），∴________（

），即平分．8．（2020秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖,在△ABC中,∠BAC是鈍角,按要求完成下列畫圖．（不寫作法，保留作圖痕跡）①用尺規(guī)作∠BAC的角平分線AE．②用三角板作BC邊上的高AD．③用尺規(guī)作AB邊上的垂直平分線．【知不足】1．（2021·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）圖1～圖4是四個(gè)基本作圖的痕跡，關(guān)于四條?、佟ⅱ?、③、④有四種說法：（1）?、偈且設(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑所畫的弧；（2）?、谑且訮為圓心，任意長(zhǎng)為半徑所畫的弧；（3）弧③是以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑所畫的??；（4）弧④是以P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑所畫的??；其中正確說法的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）判定三角形全等的方法有（

）①；②；③；④；⑤A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤3．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在的兩邊上，分別取，再分別過點(diǎn)M，N作，OB的垂線，交點(diǎn)為P，畫射線，則平分的依據(jù)是（

）A． B． C． D．4．（2022秋·遼寧鐵嶺·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，P、Q兩點(diǎn)分別在和過點(diǎn)A且垂直于的射線上運(yùn)動(dòng)，要使和全等，則______．5．（2023秋·福建莆田·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，P，Q兩點(diǎn)分別在和過點(diǎn)A且垂直于的射線上運(yùn)動(dòng)，，要使與全等，則_____．6．（2022秋·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度與右邊滑梯的水平長(zhǎng)度相等，那么判定與全等的依據(jù)是________________．7．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在與中，，，，，則______．8．（2021秋·江蘇無錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖①，點(diǎn)P是∠AOB的平分線OC上的一點(diǎn)，我們可以分別OA、OB在截取點(diǎn)M、N，使OM=ON，連結(jié)PM、PN，就可得到.（1）請(qǐng)你在圖①中,根據(jù)題意，畫出上面敘述的全等三角形和，并加以證明．（2）請(qǐng)你參考（1）中的作全等三角形的方法，解答下列問題：（Ⅰ）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角,∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F．請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系.（Ⅱ）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請(qǐng)問，你在（Ⅰ）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【一覽眾山小】1．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，于點(diǎn)D，，若cm，則的值為（）A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm2．（2022秋·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）用三角尺可以畫角平分線：如圖所示，在已知的兩邊上分別取點(diǎn)，，使，再過點(diǎn)畫的垂線，過點(diǎn)畫的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，畫射線．可以得到，所以．那么射線就是的平分線．的依據(jù)是（

）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS3．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下面材料：已知線段a，b．求作：，使得斜邊，一條直角邊．作法：（1）作射線、，且．（2）以A為圓心，線段b長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)C．（3）以C為圓心，線段a長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)B．（4）連接．則就是所求作的三角形．上述尺規(guī)作圖過程中，用到的判定三角形全等的依據(jù)是（

）A． B． C． D．4．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在課堂上，老師發(fā)給每人一張印有（如圖所示）的卡片，然后，要同學(xué)們嘗試畫一個(gè)，使得.小趙和小劉同學(xué)先畫出了之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示老師評(píng)價(jià)：他倆的做法都正確.請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的做法，并說出其作圖依據(jù).我選______的做法（填“小趙”或“小劉”），他作圖判定的依據(jù)是______5．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀?shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們探究了角平分線的作法．下面給出三個(gè)同學(xué)的作法：小紅的作法如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再過點(diǎn)O作MN的垂線，垂足為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．小明的作法如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過角尺頂點(diǎn)C的射線OC便是∠AOB的平分線．小剛的作法如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再分別過點(diǎn)M，N作OA，OB的垂線，交點(diǎn)為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．請(qǐng)根據(jù)以上情境，解決下列問題(1)小紅的作法依據(jù)是．(2)為說明小明作法是正確的，請(qǐng)幫助他完成證明過程．證明：∵OM＝ON，OC＝OC，，∴△OMC≌△ONC()(填推理的依據(jù))(3)小剛的作法正確嗎?請(qǐng)說明理由6．（2021·吉林·九年級(jí)專題練習(xí)）在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題老師說：“小華的作法正確”請(qǐng)回答：小華第二步作圖的依據(jù)是______．7．（2023秋·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）按要求完成尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，并完成計(jì)算．已知：在中，，．(1)作邊上的高，作的平分線，與相交于點(diǎn)．(2)求所作圖形中的度數(shù)．8．（2022秋·江蘇徐州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上，點(diǎn)C在內(nèi)部.(1)若，①如圖1，若，求證：.②如圖2，若，求證：OC平分.(2)如圖3，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C隨之運(yùn)動(dòng)，且，P為OM上定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，PC的長(zhǎng)度最短？請(qǐng)用尺規(guī)作圖作出PC最短時(shí)C點(diǎn)的位置（保留作圖痕跡，不要寫作法）9．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期末）已知ABC．(1)如圖1，按如下要求用尺規(guī)作圖：①作出ABC的中線CD；②延長(zhǎng)CD至E，使DE＝CD，連接AE；（不要求寫出作法，但要保留作圖痕跡．）(2)在（1）中，直線AE與直線BC的關(guān)系是；(3)如圖2，若∠ACB＝，CD是中線．試探究CD與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(4)如圖3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中線，過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，交CD于點(diǎn)F，連接DE．若CF＝4，則DE的長(zhǎng)是．10．（2020·廣西·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，已知，直線及上兩點(diǎn)，．尺規(guī)作圖：作，使點(diǎn)在直線的上方，，．（保留作圖痕跡，且用黑色筆將作圖痕跡描黑，不寫作法和證明）11．（2019秋·江蘇無錫·七年級(jí)校考期末）作