《簡單的三角恒等變換》教學(xué)設(shè)計二

高中數(shù)學(xué)精選資源2/2《簡單的三角恒等變換》教學(xué)設(shè)計二教學(xué)設(shè)計一、導(dǎo)入新課三角函數(shù)的化簡、求值、證明都離不開三角恒等變換.學(xué)習(xí)了兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式以后,我們就有了進(jìn)行三角變換的新工具,從而使三角變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富和靈活.三角變換不同于代數(shù)變換,后者往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換,變換內(nèi)容比較單一.而對于三角變換,不僅要考慮三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)形式方面的差異,還要考慮三角函數(shù)式所包含的角,以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異.它是一種立體的綜合性變換,從函數(shù)式結(jié)構(gòu)、函數(shù)種類、角與角之間的聯(lián)系等方面找一個切入點,并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形,這是三角恒等變換的一個重要特點.例如,在二倍角公式中是的二倍,是的二倍,那么能用的三角函數(shù)表示出來嗎？反過來,你能用表示出,和嗎？二、新知探究1.探究二倍角公式的變形.思考1：我們知道倍角公式中,“倍角”是相對的,那么對二倍角的余弦公式,若用替換,用代替,結(jié)果怎樣？提示：.思考2：根據(jù)上述結(jié)果,試用,表示,,.提示：,,同理,.思考3：利用和倍角公式又能得到與,怎樣的關(guān)系？提示：,.結(jié)論：,,.2.探究和、差角公式的變形.思考4：和、差角的正弦、余弦公式有哪些？它們進(jìn)行和與差的運算會出現(xiàn)什么結(jié)果？提示：（1）兩角和與差的正弦公式：；.（2）兩角和與差的余弦公式：；.將前兩個公式、后兩個公式的左右兩邊分別相加、減可以得到：①；②；③；④.思考5：如果令,,則,,把,的值分別代入①②③④,你能得到什么結(jié)論？提示：；；；.三、例題剖析例1試以表示,,.想一想1：與有什么關(guān)系？想一想2：二倍角的余弦公式是如何表示的？想一想3：同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系如何？解：是的二倍角.在倍角公式中,以代替,以代替,得,所以.在倍角公式中,以代替,以代替,得,所以.將上述兩個式子左右兩邊分別相除,得.本例的結(jié)果還可以表示為：,,,并稱之為半角公式,符號由所在象限決定.歸納總結(jié)：半角公式根號前的符號由所在象限決定,若沒有給出限定符號的條件,則在根號前保留正、負(fù)號；若給出了角的具體范圍（或某函數(shù)值的正、負(fù)情況）,則先求出的范圍,再確定符號.若給出了所在的象限,可根據(jù)下表判定符號：第一象限第一、三象限+、-+、-+第二象限第一、三象限+、-+、-+第三象限第二、四象限+、--、+-第四象限第二、四象限+、--、+-練習(xí)：教材第84頁練習(xí)第1題.例2求證：（1）；（2）.想一想1：我們學(xué)過的兩角和與差的公式中哪些包含呢？想一想2：（1）式左邊兩個三角函數(shù)式體現(xiàn)乘積的形式,我們學(xué)過的和（差）角公式中有乘積的形式嗎？想一想3：（1）式與（2）式的左右兩邊在結(jié)構(gòu)形式上有什么不同？證明：（1）因為,,將以上兩式的左右兩邊分別相加,得,即.（2）由（1）可得.①設(shè),,則,,把,的值代入①,即得.歸納總結(jié)：例8的證明用到了換元的方法.如把看作,看作,從而把包含,的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為,的三角函數(shù)式.或者,把看作,看作,把等式看作,的方程,則原問題轉(zhuǎn)化為解方程（組）求.它們都體現(xiàn)的化歸思想.練習(xí)：教材第84頁練習(xí)第2,3題.四、課堂小結(jié)本節(jié)主要學(xué)習(xí)了怎樣推導(dǎo)半角公式、積化和差公式與和差化積公式,以及如何利用已有的十一個公式進(jìn)行簡單的三角恒等變換.在解題過程中,應(yīng)注意對三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行分析,根據(jù)結(jié)構(gòu)特點選擇合適公式,進(jìn)行變形.還要思考一題多解、一題多變,并體會其中的一些數(shù)學(xué)思想,如換元、方程思想,“1”的代換,逆用公式等.五、鞏固提升教材第87頁練習(xí)第1、2、3題.板書設(shè)計第1課時利用公式進(jìn)行簡單的恒等變換一、導(dǎo)入新課二、新知探究1.探究二倍角公式的變形2.探究和、差角公式的變形三、例題剖析例1半角公式：例2積化和差與和差化積公式積化和差公式和差化積公式：四、課堂小結(jié)五、鞏固提升教學(xué)研討教學(xué)時,注意以下問題：1.三角變換,應(yīng)注意三角函數(shù)種類和式子結(jié)構(gòu)形式等特點的變化,分析透徹.找到它們之間的聯(lián)系,即學(xué)會“三看”——“看角、看函數(shù)、看結(jié)構(gòu)”,達(dá)到統(tǒng)一變形.