2023-2024學(xué)年上海市五愛(ài)中學(xué)招生全國(guó)統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)試題模擬試卷(一)_第1頁(yè)
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2022-2023學(xué)年上海市五愛(ài)中學(xué)招生全國(guó)統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)試題模擬試卷(一)注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列,則公比的值為(

)A. B. C.或 D.或2.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),且滿足,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.9 B.10 C.18 D.203.已知的面積是,,,則()A.5 B.或1 C.5或1 D.4.設(shè),集合,則()A. B. C. D.5.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若,則內(nèi)角()A. B. C. D.6.已知橢圓內(nèi)有一條以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦,則直線的方程為()A. B.C. D.7.已知若(1-ai)(3+2i)為純虛數(shù),則a的值為()A. B. C. D.8.執(zhí)行如下的程序框圖,則輸出的是()A. B.C. D.9.已知邊長(zhǎng)為4的菱形,,為的中點(diǎn),為平面內(nèi)一點(diǎn),若,則()A.16 B.14 C.12 D.810.設(shè)命題:,,則為A., B.,C., D.,11.若x,y滿足約束條件且的最大值為,則a的取值范圍是()A. B. C. D.12.集合,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是A.1個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.7個(gè)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,記,則的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為__________.14.(5分)已知,且,則的值是____________.15.已知,為雙曲線的左、右焦點(diǎn),雙曲線的漸近線上存在點(diǎn)滿足,則的最大值為________.16.已知全集,集合則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知.(1)求;(2)若為銳角三角形,求的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù)().(1)討論的單調(diào)性;(2)若對(duì),恒成立,求的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.20.(12分)已知數(shù)列滿足,等差數(shù)列滿足,(1)分別求出,的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為證明:.21.(12分)在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,,分別為,的中點(diǎn).(1)求證:.(2)若,求二面角的余弦值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓的方程為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求和的極坐標(biāo)方程;(2)過(guò)且傾斜角為的直線與交于點(diǎn),與交于另一點(diǎn),若,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】

由成等差數(shù)列得,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式展開即可得到公比q的方程.【詳解】由題意,∴2aq2=aq+a,∴2q2=q+1,∴q=1或q=故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差等比數(shù)列的綜合,利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關(guān)鍵,對(duì)于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式也要熟練.2.B【解析】

由已知可得函數(shù)f(x)的周期與對(duì)稱軸,函數(shù)F(x)=f(x)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)f(x)與g(x)圖象在上交點(diǎn)的個(gè)數(shù),作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖,數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】函數(shù)F(x)=f(x)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)f(x)與g(x)圖象在上交點(diǎn)的個(gè)數(shù),由f(x)=f(2﹣x),得函數(shù)f(x)圖象關(guān)于x=1對(duì)稱,∵f(x)為偶函數(shù),取x=x+2,可得f(x+2)=f(﹣x)=f(x),得函數(shù)周期為2.又∵當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,且f(x)為偶函數(shù),∴當(dāng)x∈[﹣1,0]時(shí),f(x)=﹣x,g(x),作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖:由圖可知,兩函數(shù)圖象共10個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)F(x)=f(x)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,屬于中檔題.3.B【解析】∵,,∴①若為鈍角,則,由余弦定理得,解得;②若為銳角,則,同理得.故選B.4.B【解析】

先化簡(jiǎn)集合A,再求.【詳解】由得:,所以,因此,故答案為B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.5.C【解析】

由正弦定理化邊為角,由三角函數(shù)恒等變換可得.【詳解】∵,由正弦定理可得,∴,三角形中,∴,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理,考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式,掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵.6.C【解析】

設(shè),,則,,相減得到,解得答案.【詳解】設(shè),,設(shè)直線斜率為,則,,相減得到:,的中點(diǎn)為,即,故,直線的方程為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)點(diǎn)差法求直線方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.7.A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)可得,根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為,該復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的分類,屬基礎(chǔ)題.8.A【解析】

列出每一步算法循環(huán),可得出輸出結(jié)果的值.【詳解】滿足,執(zhí)行第一次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第二次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第三次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第四次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第五次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第六次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第七次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第八次循環(huán),,;不成立,跳出循環(huán)體,輸出的值為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖的計(jì)算,解題時(shí)要根據(jù)算法框圖計(jì)算出算法的每一步,考查分析問(wèn)題和計(jì)算能力,屬于中等題.9.B【解析】

取中點(diǎn),可確定;根據(jù)平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算法則可求得,利用可求得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn),連接,,,即.,,,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的求解問(wèn)題,涉及到平面向量的線性運(yùn)算,關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笙蛄窟M(jìn)行拆解,進(jìn)而利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解.10.D【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題,所以,命題:,,則為:,.故本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的否定,特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系,是基礎(chǔ)題.11.A【解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的最值,判斷a的范圍即可.【詳解】作出約束條件表示的可行域,如圖所示.因?yàn)榈淖畲笾禐?,所以在點(diǎn)處取得最大值,則,即.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用z的幾何意義,通過(guò)數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.12.B【解析】

由題意,結(jié)合集合,求得集合,得到集合中元素的個(gè)數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,集合,則,所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè),故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解,其中作出集合的運(yùn)算,得到集合,再由真子集個(gè)數(shù)的公式作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

根據(jù)定積分的計(jì)算,得到,令,求得,即可得到答案.【詳解】根據(jù)定積分的計(jì)算,可得,令,則,即的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的應(yīng)用,以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理求得的表示是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】

由于,且,則,得,則.15.【解析】

設(shè),由可得,整理得,即點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上.又點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為,所以當(dāng)雙曲線的漸近線與圓相切時(shí),取得最大值,此時(shí),解得.16.【解析】

根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】解:.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了補(bǔ)集的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】

(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件,由此求得的值,進(jìn)而求得的大小.(2)利用正弦定理和兩角差的正弦公式,求得的表達(dá)式,進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】(1)由題設(shè)知,,即,所以,即,又所以.(2)由題設(shè)知,,即,又為銳角三角形,所以,即所以,即,所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形,考查利用角的范圍,求邊的比值的取值范圍,屬于中檔題.18.(1)①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;②當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;(2).【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù),,對(duì)討論,得導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得原函數(shù)的單調(diào)性;(2)法一:由得,分別運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)(),的單調(diào)性,和其函數(shù)的最值,可得,可得的范圍;法二:由得,化為令(),研究函數(shù)的單調(diào)性,可得的取值范圍.【詳解】(1)的定義域?yàn)?,,①?dāng)時(shí),由得,得,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;②當(dāng)時(shí),恒成立,在上單調(diào)遞增;(2)法一:由得,令(),則,在上單調(diào)遞減,,,即,令,則,在上單調(diào)遞增,,在上單調(diào)遞減,所以,即,(*)當(dāng)時(shí),,(*)式恒成立,即恒成立,滿足題意法二:由得,,令(),則,在上單調(diào)遞減,,,即,當(dāng)時(shí),由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增,恒成立,滿足題意當(dāng)時(shí),令,則,所以在上單調(diào)遞減,又,當(dāng)時(shí),,,使得,當(dāng)時(shí),,即,又,,,不滿足題意,綜上所述,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性的討論,不等式恒成立時(shí),求解參數(shù)的范圍,屬于難度題.19.≤x≤【解析】由題知,|x-1|+|x-2|≤恒成立,故|x-1|+|x-2|不大于的最小值.∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,當(dāng)且僅當(dāng)(a+b)·(a-b)≥0時(shí)取等號(hào),∴的最小值等于2.∴x的范圍即為不等式|x-1|+|x-2|≤2的解,解不等式得≤x≤.20.(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)因?yàn)椋?,所以,即,又因?yàn)椋詳?shù)列為等差數(shù)列,且公差為1,首項(xiàng)為1,則,即.設(shè)的公差為,則,所以(),則(),所以,因此,綜上,.(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則兩式相減得,所以,設(shè)則,所以.21.(1)見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)由已知可證明平面,從而得證面面垂直,再由,得線面垂直,從而得,由直角三角形得結(jié)論;(2)以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量法示二面角.【詳解】(1)證明:連接,,.,,平面.平面,平面平面.,為的中點(diǎn),.平面平面,平面.平面,.為斜邊的中點(diǎn),,(2),由(1)可知,為等腰直角三角形,則.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,則,記平面的法向量為由得到,取,可得,則.易知平面的法向量為.記二面角的平面角為,且由圖可知為銳角,則,所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直,從而得線線垂直,考查用空間向量法求二面角.在立體幾何中求異面直線成的角、直線與平面所成的角、二面角等空間角時(shí),可以建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量

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