專(zhuān)項(xiàng)11-三角形的外角-專(zhuān)題訓(xùn)練

三角形的外角-專(zhuān)題訓(xùn)練一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（廈門(mén)期末）如圖，點(diǎn)B，C分別在∠EAF的邊AE，AF上，點(diǎn)D在線段AC上，則下列是△ABD的外角的是（）A．∠BCF B．∠CBE C．∠DBC D．∠BDF2．（吉林）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（）A．85° B．75° C．65° D．60°3．（懷集縣期末）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，CE⊥AB于點(diǎn)E，則∠DCE的度數(shù)是（）A．5° B．8° C．10° D．15°4．（海淀區(qū)二模）如圖，在△ABC中，EF∥BC，ED平分∠BEF，且∠DEF＝70°，則∠B的度數(shù)為（）A．70° B．60° C．50° D．40°5．（江津區(qū)期中）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，則∠A＝（）A．50° B．60° C．70° D．85°6．（北海期末）將一副直角三角板如圖放置，使兩直角重合，則∠DFB的度數(shù)為（）A．145° B．155° C．165° D．175°7．（涪城區(qū)校級(jí)期末）一副三角板如圖方式擺放，BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，則∠BMD的度數(shù)為（）A．102° B．107.5° C．112.5° D．115°8．（平定縣期末）把一副三角尺ABC與BDE按如圖所示那樣拼在一起，∠ABC＝60°，∠C＝∠DBE＝90°，其中A，D，B三點(diǎn)在同一直線上，BM為∠ABC的平分線，BN為∠CBE的平分線，則∠MBN的度數(shù)是（）A．55° B．30° C．45° D．60°9．（鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，連接AP，若∠BPC＝40°，則∠NAP的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°10．（大安市期末）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠A+∠P＝（）A．70° B．80° C．90° D．100°二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上11．（天心區(qū)期末）如圖，已知∠ACP＝115°，∠B＝65°，則∠A＝．12．（廈門(mén)期末）如圖，CE是△ABC外角的平分線，且AB∥CE，若∠ACB＝36°，則∠A等于度．13．（渝中區(qū)期末）將一副直角三角板按如圖放置，使兩直角重合，則∠1的度數(shù)為．14．（羅湖區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，則∠E＝度．15．（嵊州市期中）一副分別含有30°和45°的直角三角板，拼成如圖，則∠BFD的度數(shù)是．16．（敘州區(qū)期末）如圖，△ABC中，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF，AD∥BC．以下結(jié)論：①∠ABC＝∠ACB；②∠ADC+∠ABD＝90°；③BD平分∠ADC；④2∠BDC＝∠BAC．其中正確的結(jié)論有．（填序號(hào)）17．（新賓縣期末）如圖，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2，…，∠A2017BC和∠A2017CD的平分線交于點(diǎn)A2018，則∠A2018＝度．18．（遂寧期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC，內(nèi)角∠ABC，外角∠ACF，以下結(jié)論：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④∠ADB=45°?12∠CDB三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（順平縣期中）如圖，已知D是△ABC邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，∠A＝35°，∠ACD＝83°．（1）求∠B的度數(shù)；（2）若∠D＝42°，求∠AFE的度數(shù)．20．（鹽田區(qū)期末）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度數(shù)；（2）求證：∠BAC＝∠B+2∠E．21．（平輿縣期中）已知：如圖，∠MON＝90°，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上移動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AC平分∠MAB，AC的反向延長(zhǎng)線與∠ABO的平分線相交于點(diǎn)D．（1）當(dāng)∠ABO＝70°時(shí)、∠D的度數(shù)是多少？（2）隨著點(diǎn)A、B的移動(dòng)，試問(wèn)∠D的大小是否變化？請(qǐng)說(shuō)出你的理由．22．（武漢期中）如圖（1）已知△ABC的外角∠CBD與∠BCE的平分線相交于點(diǎn)P，如圖（2）已知△ABC的內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的角平分線相交于點(diǎn)P．選擇其中一個(gè)圖形猜想∠BPC與∠A的關(guān)系并證明你的猜想解：我選擇的是，猜想結(jié)論：．證明：23．（豐澤區(qū)校級(jí)期中）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長(zhǎng)線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A的度數(shù)．24．（雙陽(yáng)區(qū)期末）【探究】如圖①，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．則∠A＝度，∠P＝度．（2）∠A與∠P的數(shù)量關(guān)系為，并說(shuō)明理由．【應(yīng)用】如圖②，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)Q．直接寫(xiě)出∠A與∠Q的數(shù)量關(guān)系為．

三角形的外角-專(zhuān)題訓(xùn)練（解析版）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（廈門(mén)期末）如圖，點(diǎn)B，C分別在∠EAF的邊AE，AF上，點(diǎn)D在線段AC上，則下列是△ABD的外角的是（）A．∠BCF B．∠CBE C．∠DBC D．∠BDF【分析】根據(jù)三角形的外角的定義得出即可．【解析】：△ABD的一個(gè)外角是∠BDF，故選：D．2．（吉林）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（）A．85° B．75° C．65° D．60°【分析】利用三角形外角的性質(zhì)解答即可．【解析】：如圖所示，∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，故選：B．3．（懷集縣期末）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，CE⊥AB于點(diǎn)E，則∠DCE的度數(shù)是（）A．5° B．8° C．10° D．15°【分析】依據(jù)直角三角形，即可得到∠BCE＝40°，再根據(jù)∠A＝30°，CD平分∠ACB，即可得到∠BCD的度數(shù)，再根據(jù)∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】：∵∠B＝50°，CE⊥AB，∴∠BCE＝40°，又∵∠A＝30°，CD平分∠ACB，∴∠BCD=12∠BCA∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝50°﹣40°＝10°，故選：C．4．（海淀區(qū)二模）如圖，在△ABC中，EF∥BC，ED平分∠BEF，且∠DEF＝70°，則∠B的度數(shù)為（）A．70° B．60° C．50° D．40°【分析】由EF∥BC，∠DEF＝70°，ED平分∠BEF，可推出∠EDB＝∠DEF＝70°，∠BED＝∠DEF＝70°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠B的度數(shù)．【解析】：∵EF∥BC，∠DEF＝70°，ED平分∠BEF，∴∠EDB＝∠DEF＝70°，∠BED＝∠DEF＝70°，∴∠B＝180°﹣∠EDB﹣∠BED＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故選：D．5．（江津區(qū)期中）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，則∠A＝（）A．50° B．60° C．70° D．85°【分析】根據(jù)∠ACD＝∠A+∠B，求出∠ACD即可解決問(wèn)題．【解析】：∵CE平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，∵∠ACD＝∠B+∠A，∴∠A＝120°﹣35°＝85°，故選：D．6．（北海期末）將一副直角三角板如圖放置，使兩直角重合，則∠DFB的度數(shù)為（）A．145° B．155° C．165° D．175°【分析】利用三角形的外角性質(zhì)可求出∠AFD的度數(shù)，再利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可求出∠DFB的度數(shù)．【解析】：∵∠CDF＝∠A+∠AFD，∴∠AFD＝∠CDF﹣∠A＝45°﹣30°＝15°．又∵∠DFB+∠AFD＝180°，∴∠DFB＝180°﹣∠AFD＝180°﹣15°＝165°．故選：C．7．（涪城區(qū)校級(jí)期末）一副三角板如圖方式擺放，BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，則∠BMD的度數(shù)為（）A．102° B．107.5° C．112.5° D．115°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線的定義解答即可．【解析】：∵BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，∴∠MBD=12∠ABD=1∴∠BMD＝180°﹣∠MBD﹣∠BDM＝180°﹣30°﹣37.5°＝112.5°，故選：C．8．（平定縣期末）把一副三角尺ABC與BDE按如圖所示那樣拼在一起，∠ABC＝60°，∠C＝∠DBE＝90°，其中A，D，B三點(diǎn)在同一直線上，BM為∠ABC的平分線，BN為∠CBE的平分線，則∠MBN的度數(shù)是（）A．55° B．30° C．45° D．60°【分析】由角平分線的定義可知∠CBM=12∠ABC=12×60°＝30°，∠CBN【解析】：∵BM為∠ABC的平分線，∴∠CBM=12∠ABC∵BN為∠CBE的平分線，∴∠CBN=12∠EBC∴∠MBN＝∠CBN﹣∠CBM＝75°﹣30°＝45°．故選：C．9．（鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，連接AP，若∠BPC＝40°，則∠NAP的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)和角平分線的定義解答即可．【解析】：∵BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACM，∴∠PCM=12∠ACM，∠PBC∵∠ACM＝∠ABC+∠BAC，∠PCM＝∠PBC+∠BPC，∴∠PCM=12∠ABC+12∴∠BPC=12∠∴∠BAC＝80°，∴∠NAC＝100°，∴∠NAP＝50°，故選：C．10．（大安市期末）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠A+∠P＝（）A．70° B．80° C．90° D．100°【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求出∠A的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠P的度數(shù)，即可求出結(jié)果．【解析】：∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故選：C．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上11．（天心區(qū)期末）如圖，已知∠ACP＝115°，∠B＝65°，則∠A＝50°．【分析】根據(jù)三角形中一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求解．【解析】：∵∠ACP＝115°，∠B＝65°，∴∠A＝∠ACP﹣∠B＝115°﹣65°＝50°．故答案為：50°．12．（廈門(mén)期末）如圖，CE是△ABC外角的平分線，且AB∥CE，若∠ACB＝36°，則∠A等于72度．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義解答即可．【解析】：∵∠ACB＝36°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣36°＝144°，∵CE是△ABC外角的平分線，∴∠ACE=1∵AB∥CE，∴∠A＝∠ACE＝72°，故答案為：72．13．（渝中區(qū)期末）將一副直角三角板按如圖放置，使兩直角重合，則∠1的度數(shù)為165°．【分析】由題意得出∠CAD＝60°、∠B＝45°、∠CAB＝120°，根據(jù)∠1＝∠B+∠CAB可得答案．【解析】：如圖，由題意知，∠CAD＝60°，∠B＝90°﹣45°＝45°，∴∠CAB＝120°，∴∠1＝∠B+∠CAB＝45°+120°＝165°．故答案為：165°．14．（羅湖區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，則∠E＝25度．【分析】根據(jù)角平分線定義得出∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出2∠E+∠ABC＝∠A+∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案．【解析】：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠E+∠EBC，∴2∠DCE＝2∠E+2∠EBC，∴∠ACD＝2∠E+∠ABC，∴2∠E+∠ABC＝∠A+∠ABC，∴∠A＝2∠E，∵∠A＝50°，∴∠E＝25°，故答案為：25．15．（嵊州市期中）一副分別含有30°和45°的直角三角板，拼成如圖，則∠BFD的度數(shù)是15°．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CDF的度數(shù)，由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解析】：∵△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，∴∠CDF＝60°，∵∠CDF是△BDF的外角，∠B＝45°，∴∠BFD＝∠CDF﹣∠B＝60°﹣45°＝15°．故答案為：15°．16．（敘州區(qū)期末）如圖，△ABC中，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF，AD∥BC．以下結(jié)論：①∠ABC＝∠ACB；②∠ADC+∠ABD＝90°；③BD平分∠ADC；④2∠BDC＝∠BAC．其中正確的結(jié)論有①②④．（填序號(hào)）【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠EAD＝∠CAD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EAD＝∠ABC，∠CAD＝∠ACB，求得∠ABC＝∠ACB，故①正確；根據(jù)角平分線的定義得到∠ADC＝90°?12∠ABC，求得∠ADC+∠ABD＝90°故②正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB＝CB，與題目條件矛盾，故③錯(cuò)誤，根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)即可得到2∠BDC＝∠BAC，故【解析】：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠ABC，∠CAD＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，故①正確；∵AD，CD分別平分∠EAC，∠ACF，∴可得∠ADC＝90°?12∠∴∠ADC+12∠∴∠ADC+∠ABD＝90°，故②正確；∵∠ABD＝∠DBC，BD＝BD，∠ADB＝∠BDC，∴△ABD≌△BCD（ASA），∴AB＝CB，與題目條件矛盾，故③錯(cuò)誤，∵∠DCF＝∠DBC+∠BDC，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∴2∠DCF＝2∠DBC+2∠BDC，2∠DCF＝2∠DBC+∠BAC，∴2∠BDC＝∠BAC，故④正確，故答案為：①②④．17．（新賓縣期末）如圖，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2，…，∠A2017BC和∠A2017CD的平分線交于點(diǎn)A2018，則∠A2018＝m22018【分析】利用角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)，易證∠A1=12∠A，進(jìn)而可求∠A1，由于∠A1=12∠A，∠A2=12∠A1=【解析】：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CA=1∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即12∠ACD＝∠A1+12∴∠A1=12（∠ACD﹣∠∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1=12∠∠A2=12∠A1=1以此類(lèi)推可知∠A2018=122018∠A故答案為：m218．（遂寧期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC，內(nèi)角∠ABC，外角∠ACF，以下結(jié)論：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④∠ADB=45°?12∠CDB，其中正確的結(jié)論有【分析】根據(jù)角平分線定義得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根據(jù)已知結(jié)論逐步推理，即可判斷各項(xiàng)．【解析】：①∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正確；②∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，故②錯(cuò)誤；③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°，故③正確；④∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠DCF＝∠ADC，∵∠ADC+∠ABD＝90°，∵∠DCF＝90°?12∠ABC＝∠DBC+∠∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC，∴∠DBC＝45°?12∠故④正確；故答案是：①③④．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（順平縣期中）如圖，已知D是△ABC邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，∠A＝35°，∠ACD＝83°．（1）求∠B的度數(shù)；（2）若∠D＝42°，求∠AFE的度數(shù)．【分析】（1）（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可．【解析】：（1）∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∠A＝35°，∠ACD＝83°，∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝48°．（2）∵∠AFE是△BDF的一個(gè)外角，∠B＝48°，∠D＝42°，∴∠AFE＝∠B+∠D＝48°+42°＝90°．20．（鹽田區(qū)期末）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度數(shù)；（2）求證：∠BAC＝∠B+2∠E．【分析】（1）根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠ACD，即可求出∠ACE，求出∠CAE，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠E即可；（2）利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解析】：（1）∵∠ACB＝40°，∴∠ACD＝180°﹣40＝140°，∵∠B＝30°，∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，∴∠ACE＝70°，∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；（2）∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∵∠DCE＝∠B+∠E，∴∠ACE＝∠B+∠E，∵∠BAC＝∠ACE+∠E，∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．21．（平輿縣期中）已知：如圖，∠MON＝90°，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上移動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AC平分∠MAB，AC的反向延長(zhǎng)線與∠ABO的平分線相交于點(diǎn)D．（1）當(dāng)∠ABO＝70°時(shí)、∠D的度數(shù)是多少？（2）隨著點(diǎn)A、B的移動(dòng)，試問(wèn)∠D的大小是否變化？請(qǐng)說(shuō)出你的理由．【分析】（1）利用三角形的外角性質(zhì)可求出∠MAB的度數(shù)，由AC平分∠MAB，BD平分∠ABO，利用角平分線的定義可求出∠CAB和∠ABD的度數(shù)，再利用三角形的外角性質(zhì)可求出∠D的度數(shù)；（2）利用三角形的外角性質(zhì)及角平分線的定義可用∠ABO表示出∠CAB和∠ABD的度數(shù)，再利用三角形的外角性質(zhì)可求出∠D的度數(shù)為固定值，進(jìn)而可得出∠D的大小不發(fā)生變化．【解析】：（1）∵∠MON＝90°，∠ABO＝70°，∴∠MAB＝∠AOB+∠ABO＝90°+70°＝160°．∵AC平分∠MAB，∴∠CAB=12∠∵BD平分∠ABO，∴∠ABD=12∠又∵∠CAB＝∠ABD+∠D，∴∠D＝∠CAB﹣∠ABD＝80°﹣35°＝45°．（2）∠D的大小不變，理由如下：∵∠MAB＝∠AOB+∠ABO＝90°+∠ABO，AC平分∠MAB，∴∠CAB=12∠MAB＝45°+1∵BD平分∠ABO，∴∠ABD=12∠又∵∠CAB＝∠ABD+∠D，∴∠D＝∠CAB﹣∠ABD＝45°+12∠ABO?1∴∠D的大小不發(fā)生變化．22．（武漢期中）如圖（1）已知△ABC的外角∠CBD與∠BCE的平分線相交于點(diǎn)P，如圖（2）已知△ABC的內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的角平分線相交于點(diǎn)P．選擇其中一個(gè)圖形猜想∠BPC與∠A的關(guān)系并證明你的猜想解：我選擇的是圖（2），猜想結(jié)論：∠BPC=12∠A證明：【分析】圖（1）中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、角平分線定義和三角形的外角的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)，得∠BPC＝90°?12∠圖（2）中，根據(jù)角平分線定義和三角形的外角的性質(zhì)，可以得到∠BPC=12∠【解析】：圖（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，∵BP，CP分別是△ABC外角∠DBC，∠BCE的角平分線，∴∠PBC+∠PCB=12（∠DBC+∠ECB）=1即：∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝（90?12∠圖（2），結(jié)論：∠BPC=12∠證明如下：∵∠1是△PBC的外角，∴∠P＝∠1﹣∠2=12（∠ACD﹣∠ABC）=123．（豐澤區(qū)校級(jí)期中）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長(zhǎng)線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A的度數(shù)．【分析】（1）運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出∠ABC+∠ACB，進(jìn)而求出∠BPC即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°?12∠A，求出∠E=12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，那么分四種情況進(jìn)行討論：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠【解答】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點(diǎn)，∴∠P＝180°?12（∠ABC+∠ACB）＝180°（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，∴∠QBC+∠QCB=12（∠MBC+∠=12（360°﹣∠ABC﹣∠=12（180°+∠＝90°+12∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°?1（3）延長(zhǎng)BC至F，∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E=12∠∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+=12（∠ABC+∠A+∠如果△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的3倍，那么分四種情況：①∠EBQ＝3∠E＝90°，則∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，則∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，則∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，則∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．綜上所述，∠A的度數(shù)是60°或120°或45°或135°．24．（雙陽(yáng)區(qū)期末）【探究】如圖①，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．則∠A＝50度，∠P＝115度．（2）∠A與∠P的數(shù)量關(guān)系為∠P?12∠A【應(yīng)用】如圖②，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)Q．直接寫(xiě)出∠A與∠Q的數(shù)量關(guān)系為∠Q＝90°?12∠A【分析】【探究】（1）由三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可；（2）由角平分線定義得∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1【應(yīng)用】由角平分線定義可得∠CBQ＝90°?12∠ABC，∠BCQ＝90°?1【解答】【探究】解：（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，∴∠A＝1880°﹣80°﹣50°＝50°，∵∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P，∴∠CBP=12∠ABC，∠BCP=1∴∠BCP+∠CBP=12（∠ABC+∠ACB）∴∠P＝180°﹣65°＝115°，故答案為：50，115；（2）∠P?12∠∵BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∠P+∠PBC+∠PCB＝180°，∴∠P+12（∠ABC+∠∴∠P+12（180°﹣∠∴∠P?12∠故答案為：∠P?12∠【應(yīng)用】解：∠Q＝90°?12∠∵∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)Q，∴∠CBQ=12（180°﹣∠ABC）＝90°?1∠BCQ=12（180°﹣∠ACB）＝90°?1∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）＝180°﹣（90°?12∠ABC+90°?12∠ACB）=1又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠Q=12（180°﹣∠A）＝90°?1故答案為：∠Q＝90°?12∠

專(zhuān)題11.4多邊形及其內(nèi)角和姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（鎮(zhèn)原縣期末）一個(gè)多邊形的每個(gè)外角為30°，那么這個(gè)多邊形邊數(shù)為（）A．12 B．6 C．10 D．8【分析】一個(gè)多邊形的外角和為360°，而每個(gè)外角為30°，進(jìn)而求出外角的個(gè)數(shù)，即為多邊形的邊數(shù)．【解析】：360°÷30°＝12，故選：A．2．（云南模擬）一個(gè)多邊形每一個(gè)外角都等于18°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．10 B．12 C．16 D．20【分析】利用多邊形的外角和除以外角度數(shù)可得邊數(shù)．【解析】：∵一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于18°，且多邊形的外角和等于360°，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是：360°÷18°＝20，故選：D．3．（溫江區(qū)校級(jí)期末）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的5倍，則這個(gè)多邊形是（）A．六邊形 B．八邊形 C．十邊形 D．十二邊形【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，依據(jù)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的5倍列方程，即可得到n的值．【解析】：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，依題意得（n﹣2）?180°＝5×360°，解得n＝12，∴這個(gè)多邊形是十二邊形，故選：D．4．（沂南縣期末）一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個(gè)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角是（）A．120° B．108° C．90° D．60【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和定義（n﹣2）×180°，先求出邊數(shù)，再用內(nèi)角和除以邊數(shù)即可求出這個(gè)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角．【解析】：設(shè)此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：180（n﹣2）＝540，解得：n＝5．則這個(gè)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為540°÷5＝108°．故選：B．5．（沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）若一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是135度，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．10【分析】先求出正多邊形每個(gè)外角的度數(shù)，然后利用多邊形外角和除以外角度數(shù)即可得到多邊形的邊數(shù)．【解析】：∵正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為135°，∴正多邊形的每個(gè)外角為180°﹣135°＝45°，∵多邊形的外角和為360°，∴多邊形的邊數(shù)為360°÷45°＝8．故選：C．6．（永州期末）富有燦爛文化的永州，現(xiàn)今保留著許多具有歷史和文化價(jià)值的建筑，古樸的建筑物上雕刻的優(yōu)美圖案是我們數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容．圖1中的“冰裂紋窗格”圖案就是永州古建筑雕刻圖案其中的代表，無(wú)規(guī)則多邊形的形狀，蘊(yùn)含了豐富而和諧的數(shù)學(xué)美．圖2是從圖1冰裂紋窗格圖案中提取的由五條線段組成的多邊形，根據(jù)繪制的圖形，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度數(shù)為（）A．72° B．108° C．360° D．540°【分析】多邊形的外角和等于360度，依此即可求解．【解析】：由多邊形的外角和等于360度，可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360度．故選：C．7．（梁園區(qū)期末）若n邊形的內(nèi)角和等于外角和的3倍，則邊數(shù)n為（）A．n＝6 B．n＝7 C．n＝8 D．n＝9【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和等于外角和的3倍，可得方程180（n﹣2）＝360×3，再解方程即可．【解析】：由題意得：180（n﹣2）＝360×3，解得：n＝8，故選：C．8．（煙臺(tái)期中）從多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到2003個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．2001 B．2005 C．2004 D．2006【分析】可根據(jù)多邊形的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到的三角形個(gè)數(shù)與多邊形的邊數(shù)的關(guān)系求解．【解析】：多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到2003個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為2003+1＝2004．故選：C．9．（龍口市期中）如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（）個(gè)．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)多邊形的定義：平面內(nèi)不在同一條直線上的幾條線段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形．顯然只有第一個(gè)、第二個(gè)、第五個(gè)．【解析】：所示的圖形中，屬于多邊形的有第一個(gè)、第二個(gè)、第五個(gè)．故選：A．10．（黃石港區(qū)校級(jí)期中）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，則x為（）A．30° B．35° C．36° D．45°【分析】根據(jù)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角相等以及多邊形的內(nèi)角和公式可得∠E＝∠CDE＝108°，再根據(jù)正多邊形的各邊相等可得△ADE是等腰三角形，據(jù)此可得∠1的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系求解即可．【解析】：因?yàn)槲暹呅蜛BCDE是正五邊形，所以∠E＝∠CDE=180°×(5?2)5=108°，AE所以∠1=∠3=180°?108°所以x＝∠CDE﹣∠1﹣∠3＝36°．故選：C．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上11．（海南）正六邊形的一個(gè)外角等于60度．【分析】根據(jù)正多邊形的每一個(gè)外角都相等和多邊形的外角和等于360度解答即可．【解析】：∵正六邊形的外角和是360°，∴正六邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為：360°÷6＝60°，故答案為：60．12．（灞橋區(qū)模擬）一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角為30°，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為12．【分析】一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，根據(jù)內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角，因而就可以求出外角的度數(shù)．根據(jù)任何多邊形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度數(shù)就可以求出外角和中外角的個(gè)數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．【解析】：多邊形的邊數(shù)：360°÷30°＝12，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為12．故答案為：12．13．（綏棱縣期末）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和之和是1800°，則此多邊形是十邊形．【分析】任意多邊形的一個(gè)內(nèi)角與相鄰?fù)饨堑暮蜑?80°，然后根據(jù)題意可求得答案．【解析】：∵多邊形的一個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑暮蜑?80°，∴1800°÷180°＝10．故答案為：十．14．（松山區(qū)期末）一個(gè)正五邊形和一個(gè)正六邊形都有一邊在直線l上，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)O，其擺放方式如圖所示，則∠1+∠2＝132°．【分析】利用正多邊形的性質(zhì)求出∠AOE、∠BOF、∠2，即可解決問(wèn)題．【解析】：如圖：由題意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，∴∠2＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∴∠1＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，∴∠1+∠2＝84°+48°＝132°，故答案為：132．15．（亭湖區(qū)校級(jí)期中）從如圖的五邊形ABCDE紙片中減去一個(gè)三角形，剩余部分的多邊形的內(nèi)角和是360°或540°或720°．【分析】分為三種情況，畫(huà)出圖形，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出內(nèi)角和即可．【解析】：如圖，剩余的部分是四邊形，其內(nèi)角和為360°，如圖，剩余的部分是五邊形，其內(nèi)角和為540°，如圖，剩余的部分是六邊形，其內(nèi)角和為720°，所以剩余部分的多邊形的內(nèi)角和是360°或540°或720°．故答案為：360°或540°或720°．16．（常熟市期末）如圖，已知∠B＝30°，則∠A+∠D+∠C+∠G＝210°．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BEF+∠BFE的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義得出∠DEF+∠GFE的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解析】：∵∠B＝30°，∴∠BEF+∠BFE＝180°﹣30°＝150°，∴∠DEF+∠GFE＝360°﹣150°＝210°．∵∠DEF＝∠A+∠D，∠GFE＝∠C+∠G，∴∠A+∠D+∠C+∠G＝∠DEF+∠GFE＝210°，故答案為：210．17．（雁塔區(qū)校級(jí)模擬）一個(gè)正多邊形的外角與其相鄰的內(nèi)角之比為1：4，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為十．【分析】設(shè)正多邊形的每個(gè)外角的度數(shù)為x，與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為4x，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到x+4x＝180°，解出x＝36°，然后根據(jù)多邊形的外角和為360°即可計(jì)算出多邊形的邊數(shù)．【解析】：設(shè)正多邊形的每個(gè)外角的度數(shù)為x，與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為4x，依題意有：x+4x＝180°，解得x＝36°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)＝360°÷36°＝10．故答案為：十．18．（南海區(qū)一模）一個(gè)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)最多引出7條對(duì)角線，則n的值為10．【分析】可根據(jù)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線與邊的關(guān)系n﹣3，列方程求解．【解析】：∵多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線與邊的關(guān)系n﹣3，∴n﹣3＝7，解得n＝10．故答案為：10．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（江都區(qū)月考）一個(gè)多邊形中，每個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)外角都等于它的相鄰內(nèi)角的14【分析】根據(jù)題意得出內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而得出邊長(zhǎng)，即可得出答案．【解析】：設(shè)這個(gè)多邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為x，由x=14（180°﹣解得：x＝36°，360÷36＝10，（10﹣2）×180°＝1440°，此多邊形為十邊形，內(nèi)角和為1440°．20．（叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）在一個(gè)各內(nèi)角都相等的多邊形中，每一個(gè)內(nèi)角都比相鄰?fù)饨堑?倍還大20°，（1）求這個(gè)多邊形的邊數(shù)；（2）若將這個(gè)多邊形剪去一個(gè)角，剩下多邊形的內(nèi)角和是多少？【分析】（1）設(shè)多邊形的一個(gè)外角為α，則與其相鄰的內(nèi)角等于3α+20°，根據(jù)內(nèi)角與其相鄰的外角的和是180度列出方程，求出α的值，再由多邊形的外角和為360°，求出此多邊形的邊數(shù)為360°÷α；（2）剪掉一個(gè)角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可以知道，邊數(shù)增加1，相應(yīng)內(nèi)角和就增加180度，由此即可求出答案．【解析】：（1）設(shè)多邊形的一個(gè)外角為α，則與其相鄰的內(nèi)角等于3α+20°，由題意，得（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．即多邊形的每個(gè)外角為40°．又∵多邊形的外角和為360°，∴多邊形的外角個(gè)數(shù)=360∴多邊形的邊數(shù)＝9，答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是9；（2）因?yàn)榧舻粢粋€(gè)角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變，當(dāng)截線為經(jīng)過(guò)對(duì)角2個(gè)頂點(diǎn)的直線時(shí)，多邊形的邊數(shù)減少了1條邊，內(nèi)角和＝（9﹣2﹣1）×180°＝1080°；當(dāng)截線為經(jīng)過(guò)多邊形一組對(duì)邊的直線時(shí)，多邊形的邊數(shù)不變，內(nèi)角和＝（9﹣2）×180°＝1260°；當(dāng)截線為只經(jīng)過(guò)正方形一組鄰邊的一條直線時(shí)，多邊形的邊數(shù)增加一條邊，內(nèi)角和＝（9﹣2+1）×180°＝1440°．答：將這個(gè)多邊形剪去一個(gè)角，剩下多邊形的內(nèi)角和是1080°或1260°或1440°．21．（建鄴區(qū)期末）閱讀佳佳與明明的對(duì)話，解決下列問(wèn)題：（1）“多邊形內(nèi)角和為2020°”，為什么不可能？（2）明明求的是幾邊形的內(nèi)角和？（3）錯(cuò)當(dāng)成內(nèi)角的那個(gè)外角為多少度？【分析】（1）n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，因而內(nèi)角和一定是180度的倍數(shù)，依此即可作出判斷；（2）設(shè)應(yīng)加的內(nèi)角為x，多加的外角為y，依題意可列方程：（n﹣2）180°＝2020°﹣y+x，解方程即可求解；（3）代入計(jì)算求解．【解析】：（1）設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，180°（n﹣2）＝2020°，解得n=132∵n為正整數(shù)，∴“多邊形的內(nèi)角和為2020°”不可能．（2）設(shè)應(yīng)加的內(nèi)角為x，多加的外角為y，依題意可列方程：（n﹣2）180°＝2020°﹣y+x，∵﹣180°＜x﹣y＜180，∴2020°﹣180°＜180°（n﹣2）＜2020°+180°，解得122又∵n為正整數(shù)，∴n＝13，n＝14．故明明求的是十三邊形或十四邊形的內(nèi)角和．（3）十三邊形的內(nèi)角和＝180°×（13﹣2）＝1980°，∴y﹣x＝2020°﹣1980°＝40°，又x+y＝180°，解得：x＝70°，y＝110°；十四邊形的內(nèi)角和＝180°×（14﹣2）＝2160°，∴y﹣x＝2020°﹣2160°＝﹣140°，又x+y＝180°，解得：x＝160°，y＝20°；所以那個(gè)外角為110°或20°．22．（1）如圖（1）所示是四邊形，小明作出它對(duì)角線為2條，算法為4×(4?3)2（2）如圖（2）是五邊形，小明作出它的對(duì)角線有5條，算法為5×(5?3)2（3）如圖（3）是六邊形，可以作出它的對(duì)角線有9條，算法為6×(