專項15-分式的運算-重難點題型

分式的運算-重難點題型【知識點1分式的加減】同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p。①同分母分式的加減：；②異分母分式的加法：。注：不論是分式的哪種運算，都要先進行因式分解。【題型1分式的加減】【例1】（鹽城月考）化簡：（1）aa?b（2）x2【變式1-1】當m＞﹣3時，比較m+2m+3與m+3【變式1-2】（樂山）已知Ax?1?B2?x=【變式1-3】（河南期末）若a＞0，M=aa+1，（1）當a＝1時，M＝12，N＝23；當a＝3時，M＝34，N＝（2）猜想M與N的大小關(guān)系，并證明你的猜想．【題型2分式與整式的混合運算】【例2】（嘉興一模）計算x2x+2解法一：x2x+2=x解法二：x2x+2=1（1）判斷：兩位同學(xué)的解題過程有無計算錯誤？若有誤，請在錯誤處打“×”．（2）請選擇一種你喜歡的方法，完成解答．【變式2-1】（梧州）計算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）+x【變式2-2】（昌平區(qū)期中）閱讀下列材料，然后回答問題．我們知道，假分數(shù)可以化為整數(shù)與真分數(shù)的和的形式．例如：32=1+12，在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．例如：x+1x?2，x例如：x+1x?2x2解決下列問題：（1）將分式x?2x+3（2）如果分式x2+2xx+3【變式2-3】（玄武區(qū)期中）著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個重要原則．”《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜；從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法．閱讀材料：在處理分數(shù)和分式的問題時，有時由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實際運算時難度較大，這時，我們可將分數(shù)（分式）拆分成一個整數(shù)（整式）與一個真分數(shù)（分式）的和（差）的形式，通過對它的簡單分析來解決問題，我們稱這種方法為分離常數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效．將分式分離常數(shù)可類比假分數(shù)變形帶分數(shù)的方法進行，如：x2?2x+3x?1=x(x?1)+x?2x+3x?1=x+?(x?1)+2根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：（1）假分式x+6x+4可化為帶分式（2）利用分離常數(shù)法，求分式2x（3）若分式5x2+9x?3x+2拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：5m﹣11+1n?6，則m2+n2+【知識點2分式的混合運算】1.乘法法則：。分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。2.除法法則：。分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。3.分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分別乘方。4.分式的混合運算：與實數(shù)運算類似，分式的混合運算應(yīng)先乘方、后乘除、最后加減，有括號時，先算括號里面的，并恰當運用運算律簡化運算。一個分式與一個整式相加減時，可以把整式視為分母為1的分式，以免通分漏項。【題型3分式的混合運算】【例3】（萊蕪區(qū)期中）計算：（1）b?ab÷(a?bab)2+（2）（3x?1?x﹣1）【變式3-1】（榆陽區(qū)模擬）化簡：（3x?1?x﹣1）【變式3-2】（南京）計算(a【變式3-3】（宛城區(qū)二模）復(fù)習(xí)備考時，王老師在黑板上寫了一道分式化簡題的正確計算結(jié)果，隨后用手遮住了原題目的一部分，如圖：（﹣a+1）÷a（1）求被手遮住部分的代數(shù)式，并將其化簡；（2）原代數(shù)式的值能等于3嗎？請說明理由．【題型4分式的規(guī)律問題】【例4】（安徽三模）觀察下列不等式：①12②13③14④15…按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個不等式：；（2）寫出你猜想的第n個不等式：（用含n的等式表示）；（3）比較n+2(n+1)2和【變式4-1】（溫江區(qū)期末）已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2=11?S1，S3=11?S2，S4=11?【變式4-2】（玄武區(qū)校級期中）如果記f（x）=x21+x2，并且f（1）表示當x＝1時y的值，即f（1）=121+12=12，f（（1）f（6）＝3637；f（14）＝1（2）f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（13）+…+f（n+1）+f（1n+1）＝12+n【變式4-3】（海港區(qū)期中）觀察下列各式：第一式：11×2第二式：12×3第三式：13×4…（1）請你根據(jù)觀察得到的規(guī)律寫出這列式子的第n式：1n×(n+1)=（2）求和：1x(x+1)（3）已知a2﹣6a+9與|b﹣1|互為相反數(shù)，求ba(a+1)【知識點3整數(shù)指數(shù)冪的運算】1.整數(shù)負指數(shù)冪：。2.若，且a≠0，則m=n；反之，若a≠0，且m=n，則。據(jù)此，可解決某些條件求值問題?！绢}型5整數(shù)指數(shù)冪的運算】【例5】（海淀區(qū)校級期中）1(?0.3)?1÷|52?（﹣1+15【變式5-1】（江都區(qū)期中）已知a＝﹣3﹣2，b＝（?13）﹣2，c＝（?13）0，比較a、b、c的大小，并用“＜”號連接起來：【變式5-2】（江都區(qū)月考）a﹣p=1ap（a≠0），即a的負P次冪等于a的p次冪的倒數(shù)．例：4（1）計算：5﹣2＝；（﹣2）﹣2＝；（2）如果2﹣p=18，那么p＝；如果a﹣2=116，那么a＝（3）如果a﹣p=136，且a、p為整數(shù)，求滿足條件的a、【變式5-3】（鹽都區(qū)月考）（1）已知a＝2﹣44444，b＝3﹣33333，c＝5﹣22222，請用“＜”把它們按從小到大的順序連接起來，說明理由．（2）請?zhí)剿魇沟玫仁剑?x+3）x+2020＝1成立的x的值．【題型6分式的化簡與求值】【例6】（泰興市期中）先化簡，再求值：a+4a2?4÷(4a+2?a?2)，其中【變式6-1】設(shè)有理數(shù)a，b，c都不為零，且a+b+c＝0，則1aA．1 B．﹣1 C．0 D．不能確定【變式6-2】（濰城區(qū)二模）先化簡，再求值：（x2?1x2?2x+1?11?x）÷（【變式6-3】（萬山區(qū)期末）求值：（1）已知（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝4．求xy的值；（2）已知x+1x=3，求x

分式的運算-重難點題型（解析版）【知識點1分式的加減】同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減。①同分母分式的加減：；②異分母分式的加法：。注：不論是分式的哪種運算，都要先進行因式分解?！绢}型1分式的加減】【例1】（鹽城月考）化簡：（1）aa?b（2）x2【分析】（1）先通分再進行加減，即可得出答案；（2）先化簡再進行加減，即可得出答案．【解答】解：（1）原式=a?b（2）原式=(x?2)(x+2)【變式1-1】當m＞﹣3時，比較m+2m+3與m+3【分析】根據(jù)比較大小若a﹣b＞0，則a＞b，若a﹣b＜0，則a＜b，m+2m+3?m+3m+4得?1(m+3)(m+4)，由已知m＞﹣3，則可得（m+3）＞0，【解答】解：m+2=(m+2)(m+4)=m=?1∵m＞﹣3，∴m+3＞0，m+4＞1，∴（m+3）（m+4）＞0，∴?1∴m+2m+3【變式1-2】（樂山）已知Ax?1?B2?x=【分析】根據(jù)異分母分式的加減法法則把等式的左邊進行計算，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可．【解答】解：Ax?1∴A+B=2?2A?B=?6解得A=4B=?2【變式1-3】（河南期末）若a＞0，M=aa+1，（1）當a＝1時，M＝12，N＝23；當a＝3時，M＝34，N＝（2）猜想M與N的大小關(guān)系，并證明你的猜想．【分析】（1）直接代入計算即可；（2）利用求差法比較M與N的大小關(guān)系，根據(jù)分式的加減法運算法則進行計算，最后判斷其正負．【解答】解：（1）當a＝1時，M=aa+1=1當a＝3時，M=aa+1=3故答案為：12，23，34（2）M＜N，理由是：M﹣N=a=a(a+2)?(a+1=?1∵a＞0，∴（a+1）（a+2）＞0，∴?1即M﹣N＜0，∴M＜N．【題型2分式與整式的混合運算】【例2】（嘉興一模）計算x2x+2解法一：x2x+2=x解法二：x2x+2=1（1）判斷：兩位同學(xué)的解題過程有無計算錯誤？若有誤，請在錯誤處打“×”．（2）請選擇一種你喜歡的方法，完成解答．【分析】（1）根據(jù)添括號法則判斷解法一，根據(jù)提取公因式的方法判斷解法二；（2）原式進行通分，然后再根據(jù)同分母分式加減法運算法則進行計算或者將原式通過提取公因式進行變形，然后結(jié)合乘法公式進行化簡計算．【解答】解：（1）解法一有錯誤，解法一的做法相當于添括號，括號前面是負號，括號內(nèi)的各項要改變符號，∴原式=x解法二的做法相當于提取公因式，∴原式==1∴解法二正確，（2）選擇解法一：原式==x=x=4選擇解法二：原式==1=1=x=4【變式2-1】（梧州）計算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）+x【分析】將所求式子用完全平方公式、單項式乘多項式、分式加減法依次運算，然后再合并同類項即可．【解答】解：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）+＝x2﹣4x+4﹣x2+x+x﹣4＝﹣2x．【變式2-2】（昌平區(qū)期中）閱讀下列材料，然后回答問題．我們知道，假分數(shù)可以化為整數(shù)與真分數(shù)的和的形式．例如：32=1+12，在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．例如：x+1x?2，x例如：x+1x?2x2解決下列問題：（1）將分式x?2x+3（2）如果分式x2+2xx+3【分析】（1）原式利用閱讀材料中的方法變形為整式和真分式之和即可；（2）原式利用閱讀材料中的方法變形為整式和真分式之和，根據(jù)原式的值為整數(shù)，得到真分式為整數(shù)0，即可確定出x的整數(shù)值．【解答】解：（1）原式=x+3?5x+3=（2）原式=＝x?＝x?＝x﹣1+3∵原式的值為整數(shù)，且x為整數(shù)，∴3x+3為整數(shù)，即x+3＝±1或x則x＝﹣2或﹣4或0或﹣6．【變式2-3】（玄武區(qū)期中）著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個重要原則．”《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜；從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法．閱讀材料：在處理分數(shù)和分式的問題時，有時由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實際運算時難度較大，這時，我們可將分數(shù)（分式）拆分成一個整數(shù)（整式）與一個真分數(shù)（分式）的和（差）的形式，通過對它的簡單分析來解決問題，我們稱這種方法為分離常數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效．將分式分離常數(shù)可類比假分數(shù)變形帶分數(shù)的方法進行，如：x2?2x+3x?1=x(x?1)+x?2x+3x?1=x+?(x?1)+2根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：（1）假分式x+6x+4可化為帶分式1+2（2）利用分離常數(shù)法，求分式2x（3）若分式5x2+9x?3x+2拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：5m﹣11+1n?6，則m2+n【分析】（1）按照閱讀材料方法，把x+6x+4（2）用分離常數(shù)法，把原式化為2+3x2（3）用分離常數(shù)法，把原式化為5x﹣1?1x+2，根據(jù)已知用x的代數(shù)式表示m、n和m2+n2+【解答】解：（1）x+6x+4=(x+4)+2故答案為：1+2（2）2x2+5∵x2+1≥1，∴0＜3∴2＜2（3）∵5x2+9x?3x+2=而分式5x2+9x?3x+2拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：5∴5x﹣1＝5m﹣11，n﹣6＝﹣（x+2），∴m＝x+2，n＝﹣x+4，∴m+n＝6，mn＝（x+2）（﹣x+4）＝﹣x2+2x+8，而m2+n2+mn＝（m+n）2﹣mn＝36﹣（﹣x2+2x+8）＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+27≥27，∴當x＝1時，m2+n2+mn最小值是27．故答案為：27．【知識點2分式的混合運算】1.乘法法則：。分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。2.除法法則：。分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。3.分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分別乘方。4.分式的混合運算：與實數(shù)運算類似，分式的混合運算應(yīng)先乘方、后乘除、最后加減，有括號時，先算括號里面的，并恰當運用運算律簡化運算。一個分式與一個整式相加減時，可以把整式視為分母為1的分式，以免通分漏項。【題型3分式的混合運算】【例3】（萊蕪區(qū)期中）計算：（1）b?ab÷(a?bab)2+（2）（3x?1?x﹣1）【分析】（1）先根據(jù)分式的乘方算乘方，再根據(jù)分式的乘法和除法法則進行計算，最后根據(jù)分式的加法法則進行計算即可；（2）先根據(jù)分式的減法法則算括號里面的，再根據(jù)分式的除法進行計算，最后求出答案即可．【解答】解：（1）原式=?(a?b)b?a2b2(a?b)=?a＝0；（2）原式=3?(x+1)(x?1)x?1=?x2=?(x+2)(x?2)x?1?＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2．【變式3-1】（榆陽區(qū)模擬）化簡：（3x?1?x﹣1）【分析】根據(jù)分式的減法和除法法則可以解答本題．【解答】解：（3x?1?x＝[3x?1?=3?x2=(2+x)(2?x)=2+x【變式3-2】（南京）計算(a【分析】根據(jù)分式的加減法和除法可以解答本題．【解答】解：(＝[ab(a+b)?=a=(a?b=a?b【變式3-3】（宛城區(qū)二模）復(fù)習(xí)備考時，王老師在黑板上寫了一道分式化簡題的正確計算結(jié)果，隨后用手遮住了原題目的一部分，如圖：（﹣a+1）÷a（1）求被手遮住部分的代數(shù)式，并將其化簡；（2）原代數(shù)式的值能等于3嗎？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)被除式＝商×除式，其中的一個加式＝和﹣另一個加式，列出表示被遮擋部分的算式，然后根據(jù)分式混合運算的運算順序和計算法則進行計算；（2）根據(jù)原式值為3列出分式方程求解，然后結(jié)合分式有意義的條件進行分析判斷．【解答】解：（1）被遮擋部分可表示為：?a?2a+2=?a?2a+2=?(a?2)(a+2)=?=3∴被遮擋部分的代數(shù)式為3a+1（2）不能，理由如下：當原式的值為3時，?a?2解得：a＝﹣1，經(jīng)檢驗：a＝﹣1是分式方程的解，又∵a+2≠0，a+1≠0，∴a≠﹣2且a≠﹣1，∴原式的值不能為3．【題型4分式的規(guī)律問題】【例4】（安徽三模）觀察下列不等式：①12②13③14④15…按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個不等式：172（2）寫出你猜想的第n個不等式：1(n+1)2＜（3）比較n+2(n+1)2和【分析】（1）觀察以上規(guī)律，寫出第6個不等式即可；（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出第n個不等式即可；（3）利用作差法計算可再結(jié)合n大于0得結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)規(guī)律可得第6個不等式為：17故答案為：17（2）根據(jù)規(guī)律可得第n個不等式為：1(n+1)故答案為：1(n+1)（3）∵n+2(n+1)∴n+2(n+1)【變式4-1】（溫江區(qū)期末）已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2=11?S1，S3=11?S2，S4=11?【分析】根據(jù)題意可得S2=11?S1=?1a，S3=11?【解答】解：∵S1＝a+1（a不取0和﹣1），∴S2=1S3=1S4=11?…，∴3個一循環(huán)，∵2020÷3＝673…1，∴S2020＝a+1．故答案為：a+1．【變式4-2】（玄武區(qū)校級期中）如果記f（x）=x21+x2，并且f（1）表示當x＝1時y的值，即f（1）=121+12=12，f（（1）f（6）＝3637；f（14）＝1（2）f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（13）+…+f（n+1）+f（1n+1）＝12+n【分析】（1）把x＝6和x=14代入f（x）（2）利用f（n）+f（1n【解答】解：（1）f（6）=6f（14）=（2）f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（13）+…+f（n+1）+f（1n+1）＝f（1）+[f（2）+f（12）]+[f（3）+f（13）]+…+[f（n=12=12故答案為3637；117；1【變式4-3】（海港區(qū)期中）觀察下列各式：第一式：11×2第二式：12×3第三式：13×4…（1）請你根據(jù)觀察得到的規(guī)律寫出這列式子的第n式：1n×(n+1)=（2）求和：1x(x+1)（3）已知a2﹣6a+9與|b﹣1|互為相反數(shù)，求ba(a+1)【分析】（1）直接根據(jù)給出的例子找出規(guī)律即可；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律直接計算即可；（3）先根據(jù)相反數(shù)的定義求出a、b的值，代入代數(shù)式進行計算即可．【解答】解：（1）∵第一式11×2=1?12，第二式∴第n式1n×(n+1)故答案為：1n×(n+1)（2）原式==1=x+2016=2016（3）∵a2﹣6a+9與|b﹣1|互為相反數(shù)，∴a2﹣6a+9+|b﹣1|＝0，即（a﹣3）2+|b﹣1|＝0，∴a＝3，b＝1，∴原式==1=1=10【知識點3整數(shù)指數(shù)冪的運算】1.整數(shù)負指數(shù)冪：。2.若，且a≠0，則m=n；反之，若a≠0，且m=n，則。據(jù)此，可解決某些條件求值問題。【題型5整數(shù)指數(shù)冪的運算】【例5】（海淀區(qū)校級期中）1(?0.3)?1÷|52?（﹣1+15【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運算順序和運算法則計算即可得出答案．【解答】解：原式=?310÷|52+1?=?310÷14=?6=?53【變式5-1】（江都區(qū)期中）已知a＝﹣3﹣2，b＝（?13）﹣2，c＝（?13）0，比較a、b、c的大小，并用“＜”號連接起來：a＜c【分析】直接利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：∵a＝﹣3﹣2=?19，b＝（?13）﹣2＝9，c＝（∴a＜c＜b．故答案為：a＜c＜b．【變式5-2】（江都區(qū)月考）a﹣p=1ap（a≠0），即a的負P次冪等于a的p次冪的倒數(shù)．例：4（1）計算：5﹣2＝125；（﹣2）﹣2＝14（2）如果2﹣p=18，那么p＝3；如果a﹣2=116，那么（3）如果a﹣p=136，且a、p為整數(shù)，求滿足條件的a、【分析】（1）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的計算法則計算即可求解；（2）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的計算法則找到指數(shù)即可求解；（3）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的計算法則找到底數(shù)和指數(shù)即可求解．【解答】解：（1）5﹣2=125；（﹣2）﹣2故答案為：125；1（2）如果2﹣p=18，那么如果a﹣2=116，那么故答案為：3；±4；（3）由于a、p為整數(shù)，所以當a＝36時，p＝1；當a＝6時，p＝2；當a＝﹣6時，p＝2．【變式5-3】（鹽都區(qū)月考）（1）已知a＝2﹣44444，b＝3﹣33333，c＝5﹣22222，請用“＜”把它們按從小到大的順序連接起來，說明理由．（2）請?zhí)剿魇沟玫仁剑?x+3）x+2020＝1成立的x的值．【分析】（1）首先把負整數(shù)指數(shù)的冪化為11111，然后進行比較，即可得出答案；（2）等式的值為1，可以是非零數(shù)的0次冪，也可以是1的任何次方，也可以是﹣1的偶次冪，分別計算即可．【解答】解：（1）a＞c＞b，理由如下：a＝（2﹣4）11111＝（124）11111＝（116b＝（3﹣3）11111＝（133）11111＝（127c＝（5﹣2）11111＝（152）11111＝（125∵116∴（116）11111＞（125）11111＞（127∴a＞c＞b；（2）當x+2020＝0時，x＝﹣2020，此時2x+3＝﹣4037≠0，符合題意；當2x+3＝1時，x＝﹣1，符合題意；當2x+3＝﹣1時，x＝﹣2，此時x+2020＝2018，符合題意．綜上所述，x＝﹣2或﹣1或﹣2020．【題型6分式的化簡與求值】【例6】（泰興市期